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高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第05练空间直线、平面的平行(原卷版+解析)
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这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第05练空间直线、平面的平行(原卷版+解析)，共34页。试卷主要包含了如图，在直三棱柱中，，，，，两个平面平行的条件是，可判断平面平面的条件为等内容，欢迎下载使用。
一．选择题
1．在长方体中，，分别是和的中点，长方体的各棱中与平行的有
A．一条B．两条C．三条D．四条
2．如图，已知点，分别是正方体的棱，的中点，点，分别是线段与上的点，平面，这样的直线的条数为
A．0条B．1条C．2条D．无数条
3．如图，在长方体中，下列直线与平面平行的是
A．B．C．D．
4．设，为两个不同的平面，则的一个充要条件可以是
A．内有无数条直线与平行B．，垂直于同一个平面
C．，平行于同一条直线D．，垂直于同一条直线
5．如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是
A．B．
C．D．
6．如图，在直三棱柱中，，，，．若在线段上存在点，使得平面，则点满足
A．B．C．D．
7．下列条件中，能得到平面平面的条件是
A．存在一条直线，，
B．存在一条直线，，
C．存在两条平行直线，，，，，
D．存在两条异面直线，，，，，
8．设直线平面，则过作平面，使，这样的
A．只能作一个B．至多可作一个C．不存在D．至少可作一个
9．两个平面平行的条件是
A．一个平面内一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面
D．两个平面都平行于同一条直线
10．可判断平面平面的条件为
A．平面内有无数条直线平行于平面
B．平面与平面同平行于一条直线
C．平面内有两条直线平行于平面
D．平面内有两条相交直线与平面平行
11．已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，且平面，平面，则是的
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
12．下列命题中
①如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
②如果一个平面内有两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
③如果一个平面内任意一条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
④如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
正确命题的个数是
A．1B．2C．3D．4
13．在正方体中，下列四对截面彼此平行的是（ ）
A．平面与平面B．平面与平面
C．平面与平面D．平面与平面
14．已知、是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题，其中真命题是
A．若，，，则B．若，，且，则
C．若，，且，则D．若，，，则
15．如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的有 个．
A．1B．2C．3D．4
16．在三棱柱中，为该棱柱的九条棱中某条棱的中点，若平面，则为
A．棱的中点B．棱的中点C．棱的中点D．棱的中点
二．多选题
17．下列命题中错误的是
A．若直线上有无数个点不在平面内，则
B．若直线与平面平行，则直线与平面内的任意一条直线平行
C．若直线，和平面满足，，则
D．若直线，，和平面，满足，，，，则
18．如图，为矩形所在平面外一点，矩形对角线的交点为，为的中点，则下列结论成立的是
A．平面B．平面C．平面D．平面
19．如图，在平行六面体中，点，，分别为棱，，的中点，平行六面体的各棱长均相等．下列结论中正确的是
A．B．
C．平面D．平面
20．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，分别是棱，的中点，则
A．平面B．平面C．平面D．平面
21．如图，点，，，，为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，满足直线平面的是
A．B．
C．D．
三．填空题
22．空间两个角，，且与的两边对应平行，若，则 ．
23．已知直线，，平面，，若，，，则直线与的关系是 ．
24．“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的 条件．
25．如图，底面是平行四边形的四棱锥中，，，且，若平面，则 ．
26．考查下列两个命题：“ ”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中，为直线，，为平面），则此条件为 ．
①；②；
27．已知三棱锥的底面是边长为3的正三角形，为的中点，、分别为、上一点，且满足，平面，则 ．
28．下列三个说法：
①若直线在平面外，则；
②若直线，直线，，则；
③若，，则与内任意直线平行．
其中正确的有 ．
29．如图所示，在正方体中，，，分别是，，的中点，点在四边形的边及其内部运动，则满足条件 时，有平面．
30．如图是一几何体的平面展开图，其中为正方形，，，，分别为，，，的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：
①平面平面；
②直线平面；
③直线平面；
④直线平面．
其中正确的序号是 ．
31．已知长方体的侧棱长8，，分别是侧棱，上的动点，，在棱上，且，若平面，则 ．
32．如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动．请补充一个恰当条件，当点满足 条件时，有平面．
33．在直三棱柱中，，，，，分别是，，，，的中点，给出下列四个判断：
①平面；
②平面；
③平面；
④平面，
则错误的序号为 ．
四．解答题
34．如图，在正方体中，，分别为，的中点，与交于点．求证：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）平面平面．
35．如图，在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，为的中点．求证：平面．
36．如图，四边形是矩形，平面，平面．
（1）证明：平面平面；
（2）若平面与平面的交线为，求证：．
37．如图，在正方体中，，，，，分别为棱，，，的中点．
（1）证明：平面．
（2）在棱上确定一点，使，，，四点共面，指出的位置即可，无需说明理由，并求四边形的面积．
38．如图，在正三棱柱中，，为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离．
39．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点．
（1）求证：若是棱的中点，则平面平面；
（2）求三棱锥的体积．
40．如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）设为棱上的一点，问：当在什么位置时，平面平面？
第5练 空间直线、平面的平行
eq \\ac(○,通) eq \\ac(○,关) eq \\ac(○,练)
一．选择题
1．在长方体中，，分别是和的中点，长方体的各棱中与平行的有
A．一条B．两条C．三条D．四条
【解析】如图示：
，
，分别是和的中点，
，
又，
，
同理，，
故选：．
2．如图，已知点，分别是正方体的棱，的中点，点，分别是线段与上的点，平面，这样的直线的条数为
A．0条B．1条C．2条D．无数条
【解析】如图，当底面向上平移时，设面面，与线段，分别交于点，，则面，
又平面，所以平面，
由于这样的平行平面有无数个，所以满足题意的直线有无数条．
故选：．
3．如图，在长方体中，下列直线与平面平行的是
A．B．C．D．
【解析】，且平面，平面，平面．
故选：．
4．设，为两个不同的平面，则的一个充要条件可以是
A．内有无数条直线与平行B．，垂直于同一个平面
C．，平行于同一条直线D．，垂直于同一条直线
【解析】内有无数条直线与平行推不出，故不符合，
，垂直于同一平面，得到或，故不符合，
，平行于同一条直线，得到或与相交，故不符合，
，垂直于同一条直线，故符合．
故选：．
5．如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是
A．B．
C．D．
【解析】对于选项，由正方体的性质可知，又平面，平面，平面，
对于选项，由正方体的性质可知，又平面，平面，平面，
对于选项，由正方体的性质可知，又平面，平面，平面，
对于选项，由正方体的性质可知体对角线与平面相交，所以直线与平面不平行，
故选：．
6．如图，在直三棱柱中，，，，．若在线段上存在点，使得平面，则点满足
A．B．C．D．
【解析】连接交于点，连接，如图所示，
平面，平面平面，平面，
，
又为的中点，
点为的中点，即，
故选：．
7．下列条件中，能得到平面平面的条件是
A．存在一条直线，，
B．存在一条直线，，
C．存在两条平行直线，，，，，
D．存在两条异面直线，，，，，
【解析】对于，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故不对；
对于，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故不对；
对于，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故不对；
对于，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故正确．
故选：．
8．设直线平面，则过作平面，使，这样的
A．只能作一个B．至多可作一个C．不存在D．至少可作一个
【解析】当时，过作平面，使得，
由平面与平面平行的性质得：
这样的平面有且只有1个．
与相交时，设平面为，与交点为，
根据题意，，则且，这与矛盾，
这样的不存在．
综上所述，过平面外一条直线与平行的平面的个数为至多1个．
故选：．
9．两个平面平行的条件是
A．一个平面内一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面
D．两个平面都平行于同一条直线
【解析】对于，一个平面内一条直线平行于另一个平面，则两平面相交或平行，故错误；
对于，一个平面内两条平行直线平行于另一个平面，这两个平面有可能相交，
只有一个平面内两条相交直线平行于另一个平面，这两个平面才平行，故错误；
对于，由平面与平面平行的判定定理得：
一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行，故正确；
对于，两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面相交或平行，故错误．
故选：．
10．可判断平面平面的条件为
A．平面内有无数条直线平行于平面
B．平面与平面同平行于一条直线
C．平面内有两条直线平行于平面
D．平面内有两条相交直线与平面平行
【解析】若是平面内有无数条平行的直线平行于平面无法得到，不符合；
平面与平面同平行于一条直线，则，有可能相交，不符合；
若是平面内两条平行直线平行于平面无法得到，不符合；
根据面面平行判定定理可知，符合，
故选：．
11．已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，且平面，平面，则是的
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【解析】，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，且平面，平面，如图，
满足，但，相交，故充分性不成立，
再如下图：
满足，但，异面，故必要性不成立，
是的不充分不必要条件．
故选：．
12．下列命题中
①如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
②如果一个平面内有两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
③如果一个平面内任意一条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
④如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
正确命题的个数是
A．1B．2C．3D．4
【解析】对于①，根据面面平行的定义可知，必须是平面内的所有直线都与另外一个平面平行，否则面面不一定平行，故错误；
对于②，根据面面平行的判定定理可知，平面内的两条直线必须是相交直线，否则面面不一定平行，故错误；
对于③，根据面面平行的定义可知，一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，故正确；
对于④，根据面面平行的判定定理可知，一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行，故正确；
综上所述，正确的命题个数为2个，
故选：．
13．在正方体中，下列四对截面彼此平行的是（ ）
A．平面与平面B．平面与平面
C．平面与平面D．平面与平面
【解析】如图，正方体，
所以四边形是平行四边形，平面，
面，所以平面，同理平面.
因为平面，
所以平面平面.
故选：A
14．已知、是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题，其中真命题是
A．若，，，则B．若，，且，则
C．若，，且，则D．若，，，则
【解析】、是两条不同的直线，，是两个不同的平面，
对于，若，，，则与相交、平行或异面，故错误；
对于，若，，且，则由线面垂直的性质得，故正确；
对于，若，，且，则与相交或平行，故错误；
对于，若，，，则与平行或异面，故错误．
故选：．
15．如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的有 个．
A．1B．2C．3D．4
【解析】对于①，如图，
为底面对角线的交点，可得，
又平面，所以直线与平面不平行；
对于②，由于，结合线面平行的判定定理可知与平面平行；
对于③，由于，结合线面平行的判定定理可知与平面平行；
对于④，由于，结合线面平行的判定定理可知与平面平行．
所以在这四个正方体中，直线与平面平行的有3个．
故选：．
16．在三棱柱中，为该棱柱的九条棱中某条棱的中点，若平面，则为
A．棱的中点B．棱的中点C．棱的中点D．棱的中点
【解析】对于：当为棱的中点时，与相交，故与平面不平行，故错误；
对于：当为棱的中点时，与相交，故与平面不平行，故错误；
对于：当为棱的中点，与平面不平行，故错误；
对于：如图，当为棱的中点时，取的中点，连接，，
由，，可得四边形为平行四边形，即有，
由平面，平面，
所以平面，
同理可得平面，
由，
可得平面平面，
由于平面，
则平面．
故选：．
二．多选题（共5小题）
17．下列命题中错误的是
A．若直线上有无数个点不在平面内，则
B．若直线与平面平行，则直线与平面内的任意一条直线平行
C．若直线，和平面满足，，则
D．若直线，，和平面，满足，，，，则
【解析】．当直线与平面相交时满足有无数个点不在平面内，故错误；
．当直线与平面平行，则直线与平面内的无数条直线平行，故错误；
．当直线，和平面满足，，则或与相交或与异面，故错误；
．因为，，，所以，
又因为，
所以，
所以，故正确．
故选：．
18．如图，为矩形所在平面外一点，矩形对角线的交点为，为的中点，则下列结论成立的是
A．平面B．平面C．平面D．平面
【解析】矩形的对角线与交于点，
所以点为的中点，在中，因为点是的中点，
所以是的中位线，，平面，平面，
平面，故正确；
平面，平面，平面，故正确；
因为，平面，平面，所以与平面，平面相交，故错误；
故选：．
19．如图，在平行六面体中，点，，分别为棱，，的中点，平行六面体的各棱长均相等．下列结论中正确的是
A．B．
C．平面D．平面
【解析】因为，
，
所以，所以，
又平面，平面，平面，
所以平面，平面，
故选项，，正确，
又与不平行，所以与不平行，
故选项错误．
故选：．
20．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，分别是棱，的中点，则
A．平面B．平面C．平面D．平面
【解析】，分别是棱，的中点，连接，交于
四边形是平行四边形，是的中点，
，
平面，平面，平面，故正确；
平面，平面，平面，故正确；
平面，，与平面不平行，故错误；
平面，，与平面不平行，故错误．
故选：．
21．如图，点，，，，为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，满足直线平面的是
A．B．
C．D．
【解析】选项，如图所示，点，为正方体的两个顶点，则，
平面，平面，
平面，即选项正确；
选项，如图所示，为正方体的一个顶点，则，，
，，、平面，、平面，
平面平面，
又平面，
平面，即选项正确；
选项，如图所示，为正方体的一个顶点，则平面平面，
平面，
平面，即选项正确；
选项，连接，则，
，，，四点共面，
平面，与平面相矛盾，即选项错误．
故选：．
三．填空题
22．空间两个角，，且与的两边对应平行，若，则 ．
【解析】因为空间两个角与的两边对应平行，
所以或，
因为，
所以或．
故答案为：或．
23．已知直线，，平面，，若，，，则直线与的关系是 ．
【解析】直线，，平面，，若，，，
可得，没有公共点，则直线与的关系是平行或异面．
故答案为：平行或异面．
24．“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的 条件．
【解析】根据直线与平面平行的定义：“直线与平面没有公共点时，直线与平面平行“
所以“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的充要条件，
故答案为：充要．
25．如图，底面是平行四边形的四棱锥中，，，且，若平面，则 ．
【解析】连接，交于点，连接，过点作的平行线，交棱于点，连接，，如图所示，
平面，平面，，
平面平面，
，即为的中点，
又，
，
．
故答案为：．
26．考查下列两个命题：“ ”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中，为直线，，为平面），则此条件为 ．
①；②；
【解析】（1）由线面平行的判定定理知应填“”； （2）易知应填“”．
故答案为：；．
27．已知三棱锥的底面是边长为3的正三角形，为的中点，、分别为、上一点，且满足，平面，则 ．
【解析】连接，，如图所示，
平面，平面平面，平面，
，
，，
又为边长为3的等边三角形，，
，
故答案为：．
28．下列三个说法：
①若直线在平面外，则；
②若直线，直线，，则；
③若，，则与内任意直线平行．
其中正确的有 ．
【解析】对于①，若直线在平面外，可能与平面相交，不一定平行．故不正确；
对于②，由直线与平面平行的判定定理可知正确；
对于③，与平面内的直线可能平行，相交或异面，故错误．
故答案为：②．
29．如图所示，在正方体中，，，分别是，，的中点，点在四边形的边及其内部运动，则满足条件 时，有平面．
【解析】连接，，，，，，
在正方体中，，，分别是，，的中点，
点在四边形的边及其内部运动，
，，，
又，，，
，，，
，，
平面平面，
满足条件线段时，有平面．
故答案为：线段．
30．如图是一几何体的平面展开图，其中为正方形，，，，分别为，，，的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：
①平面平面；
②直线平面；
③直线平面；
④直线平面．
其中正确的序号是 ．
【解析】作出立体图形如图所示，连接，，，四点构成平面，
对于①，因为，分别是，的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
同理平面，又，，平面，
所以平面平面，故①正确；
对于②，连接，交于点，连接，，则为，的中点，
所以，又平面，平面，所以平面，故②正确；
对于③，由①中的分析可知，，所以，
因为平面，平面，所以平面，故③正确；
对于④，根据③中的分析可知，，再结合图形可得，，则直线与平面不平行，故④错误．
故答案为：①②③．
31．已知长方体的侧棱长8，，分别是侧棱，上的动点，，在棱上，且，若平面，则 ．
【解析】连接，交于点，连接，
平面，平面，平面平面，
．
在上截取，连接，则，
，
又，
四边形为平行四边形，．
又，，
，即点为的中点，
而，
．
故答案为：2．
32．如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动．请补充一个恰当条件，当点满足 条件时，有平面．
【解析】取，，，的中点分别为，，，，
连接，，，，，，，
因为，分别为，的中点，所以．
同理可得．
因为，，所以四边形是平行四边形，可得．
所以，同理可证明，，
所以，，，，，共面，
因为，平面，面，
所以平面，
若平面，则点在平面内，
又因为点在上底面（含边界），
所以点在面与面的交线上，
所以点在线段上，即点在中点与中点连线上，
故答案为：在中点与中点连线上．
33．在直三棱柱中，，，，，分别是，，，，的中点，给出下列四个判断：
①平面；
②平面；
③平面；
④平面，
则错误的序号为 ．
【解析】连接、、、、、、、，
所以，四边形为平行四边形，则 且，
、 分别为、的中点，则且，
故四边形为平行四边形，则，
平面，平面，故平面，
同理可证四边形 为平行四边形，则，，
则四边形为平行四边形，所以，，
平面，平面，则平面，
，故平面平面，平面，则平面，③对；
对于①，若平面，，则平面平面，
因为过点且与平面平行的平面只有一个，矛盾，故①错，
同理可知，②④均错．
故答案为：①②④．
四．解答题
34．如图，在正方体中，，分别为，的中点，与交于点．求证：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）平面平面．
【解析】证明：（Ⅰ）在正方形中，，分别为，的中点，
可得，，
则四边形为平行四边形，
则；
（Ⅱ）由，平面，平面，
可得平面，
在中，为的中点，为的中点，
可得，
又平面，平面，
所以平面，
又，平面，平面，
所以平面平面．
35．如图，在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，为的中点．求证：平面．
【解析】证明：因为为的中点，为的中点．所以，
又因为底面是正方形，所以，所以，
因为面，面，所以面．
36．如图，四边形是矩形，平面，平面．
（1）证明：平面平面；
（2）若平面与平面的交线为，求证：．
【解析】证明：（1）因为平面，平面，
所以，
又因为平面，平面，
故平面，
在矩形中，，
又平面，平面，
故平面，
因为，，平面，
故平面平面；
（2）因为，平面，平面，
则平面，
又平面，平面平面，
所以．
37．如图，在正方体中，，，，，分别为棱，，，的中点．
（1）证明：平面．
（2）在棱上确定一点，使，，，四点共面，指出的位置即可，无需说明理由，并求四边形的面积．
【解析】证明：（1）取的中点，连接，，
因为侧面为正方形，且，分别为棱，的中点，则是平行四边形，
又是中点，所以，且，
又为棱的中点，所以，且，所以，且，
所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，所以平面；
（2）为棱上靠近的一个四等分点，连接，，
取中点，中点，连接，，，
则且得平行四边形，所以，
正方形中，由，得平行四边形，所以，
是中点，是中点，则，
所以，所以，，，共面，
连接，
由正方体性质知平面，而平面，所以，同理，
在△中，，
在中，，
又，所以由余弦定理可得．
设到的距离为，则由等面积法可得，
所以，
因为，
所以四边形的面积．
38．如图，在正三棱柱中，，为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离．
【解析】（1）证明：连接交于，连接，
正三棱柱中，易得为中点，
又为的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）解：因为平面，
所以与到平面的距离相等，
因为，
所以，，，
因为，
所以，
所以，，
设到平面的距离为，则，
所以，
所以，
即点到平面的距离为．
39．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点．
（1）求证：若是棱的中点，则平面平面；
（2）求三棱锥的体积．
【解析】（1）证明：取的中点，连接，．
，，分别是，，的中点，
，且，．
，且，，且，
四边形为平行四边形，
．
连接，，是棱的中点，，
，，
平面平面．
（2），，，．
三棱锥为：
．
40．如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）设为棱上的一点，问：当在什么位置时，平面平面？
【解析】证明：（1）在四棱柱中，连接，如图，
因，分别是，的中点，则有，又平面，平面，
所以平面；
（2）是中点，使得平面平面，理由如下：
取的中点，连接，，而是的中点，于是得，
而平面，平面，
从而得平面，由（1）知平面，，且，平面，
因此有平面平面，
所以当是的中点时，平面平面．
一．选择题
1．在长方体中，，分别是和的中点，长方体的各棱中与平行的有
A．一条B．两条C．三条D．四条
2．如图，已知点，分别是正方体的棱，的中点，点，分别是线段与上的点，平面，这样的直线的条数为
A．0条B．1条C．2条D．无数条
3．如图，在长方体中，下列直线与平面平行的是
A．B．C．D．
4．设，为两个不同的平面，则的一个充要条件可以是
A．内有无数条直线与平行B．，垂直于同一个平面
C．，平行于同一条直线D．，垂直于同一条直线
5．如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是
A．B．
C．D．
6．如图，在直三棱柱中，，，，．若在线段上存在点，使得平面，则点满足
A．B．C．D．
7．下列条件中，能得到平面平面的条件是
A．存在一条直线，，
B．存在一条直线，，
C．存在两条平行直线，，，，，
D．存在两条异面直线，，，，，
8．设直线平面，则过作平面，使，这样的
A．只能作一个B．至多可作一个C．不存在D．至少可作一个
9．两个平面平行的条件是
A．一个平面内一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面
D．两个平面都平行于同一条直线
10．可判断平面平面的条件为
A．平面内有无数条直线平行于平面
B．平面与平面同平行于一条直线
C．平面内有两条直线平行于平面
D．平面内有两条相交直线与平面平行
11．已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，且平面，平面，则是的
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
12．下列命题中
①如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
②如果一个平面内有两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
③如果一个平面内任意一条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
④如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
正确命题的个数是
A．1B．2C．3D．4
13．在正方体中，下列四对截面彼此平行的是（ ）
A．平面与平面B．平面与平面
C．平面与平面D．平面与平面
14．已知、是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题，其中真命题是
A．若，，，则B．若，，且，则
C．若，，且，则D．若，，，则
15．如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的有 个．
A．1B．2C．3D．4
16．在三棱柱中，为该棱柱的九条棱中某条棱的中点，若平面，则为
A．棱的中点B．棱的中点C．棱的中点D．棱的中点
二．多选题
17．下列命题中错误的是
A．若直线上有无数个点不在平面内，则
B．若直线与平面平行，则直线与平面内的任意一条直线平行
C．若直线，和平面满足，，则
D．若直线，，和平面，满足，，，，则
18．如图，为矩形所在平面外一点，矩形对角线的交点为，为的中点，则下列结论成立的是
A．平面B．平面C．平面D．平面
19．如图，在平行六面体中，点，，分别为棱，，的中点，平行六面体的各棱长均相等．下列结论中正确的是
A．B．
C．平面D．平面
20．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，分别是棱，的中点，则
A．平面B．平面C．平面D．平面
21．如图，点，，，，为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，满足直线平面的是
A．B．
C．D．
三．填空题
22．空间两个角，，且与的两边对应平行，若，则 ．
23．已知直线，，平面，，若，，，则直线与的关系是 ．
24．“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的 条件．
25．如图，底面是平行四边形的四棱锥中，，，且，若平面，则 ．
26．考查下列两个命题：“ ”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中，为直线，，为平面），则此条件为 ．
①；②；
27．已知三棱锥的底面是边长为3的正三角形，为的中点，、分别为、上一点，且满足，平面，则 ．
28．下列三个说法：
①若直线在平面外，则；
②若直线，直线，，则；
③若，，则与内任意直线平行．
其中正确的有 ．
29．如图所示，在正方体中，，，分别是，，的中点，点在四边形的边及其内部运动，则满足条件 时，有平面．
30．如图是一几何体的平面展开图，其中为正方形，，，，分别为，，，的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：
①平面平面；
②直线平面；
③直线平面；
④直线平面．
其中正确的序号是 ．
31．已知长方体的侧棱长8，，分别是侧棱，上的动点，，在棱上，且，若平面，则 ．
32．如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动．请补充一个恰当条件，当点满足 条件时，有平面．
33．在直三棱柱中，，，，，分别是，，，，的中点，给出下列四个判断：
①平面；
②平面；
③平面；
④平面，
则错误的序号为 ．
四．解答题
34．如图，在正方体中，，分别为，的中点，与交于点．求证：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）平面平面．
35．如图，在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，为的中点．求证：平面．
36．如图，四边形是矩形，平面，平面．
（1）证明：平面平面；
（2）若平面与平面的交线为，求证：．
37．如图，在正方体中，，，，，分别为棱，，，的中点．
（1）证明：平面．
（2）在棱上确定一点，使，，，四点共面，指出的位置即可，无需说明理由，并求四边形的面积．
38．如图，在正三棱柱中，，为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离．
39．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点．
（1）求证：若是棱的中点，则平面平面；
（2）求三棱锥的体积．
40．如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）设为棱上的一点，问：当在什么位置时，平面平面？
第5练 空间直线、平面的平行
eq \\ac(○,通) eq \\ac(○,关) eq \\ac(○,练)
一．选择题
1．在长方体中，，分别是和的中点，长方体的各棱中与平行的有
A．一条B．两条C．三条D．四条
【解析】如图示：
，
，分别是和的中点，
，
又，
，
同理，，
故选：．
2．如图，已知点，分别是正方体的棱，的中点，点，分别是线段与上的点，平面，这样的直线的条数为
A．0条B．1条C．2条D．无数条
【解析】如图，当底面向上平移时，设面面，与线段，分别交于点，，则面，
又平面，所以平面，
由于这样的平行平面有无数个，所以满足题意的直线有无数条．
故选：．
3．如图，在长方体中，下列直线与平面平行的是
A．B．C．D．
【解析】，且平面，平面，平面．
故选：．
4．设，为两个不同的平面，则的一个充要条件可以是
A．内有无数条直线与平行B．，垂直于同一个平面
C．，平行于同一条直线D．，垂直于同一条直线
【解析】内有无数条直线与平行推不出，故不符合，
，垂直于同一平面，得到或，故不符合，
，平行于同一条直线，得到或与相交，故不符合，
，垂直于同一条直线，故符合．
故选：．
5．如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是
A．B．
C．D．
【解析】对于选项，由正方体的性质可知，又平面，平面，平面，
对于选项，由正方体的性质可知，又平面，平面，平面，
对于选项，由正方体的性质可知，又平面，平面，平面，
对于选项，由正方体的性质可知体对角线与平面相交，所以直线与平面不平行，
故选：．
6．如图，在直三棱柱中，，，，．若在线段上存在点，使得平面，则点满足
A．B．C．D．
【解析】连接交于点，连接，如图所示，
平面，平面平面，平面，
，
又为的中点，
点为的中点，即，
故选：．
7．下列条件中，能得到平面平面的条件是
A．存在一条直线，，
B．存在一条直线，，
C．存在两条平行直线，，，，，
D．存在两条异面直线，，，，，
【解析】对于，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故不对；
对于，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故不对；
对于，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故不对；
对于，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故正确．
故选：．
8．设直线平面，则过作平面，使，这样的
A．只能作一个B．至多可作一个C．不存在D．至少可作一个
【解析】当时，过作平面，使得，
由平面与平面平行的性质得：
这样的平面有且只有1个．
与相交时，设平面为，与交点为，
根据题意，，则且，这与矛盾，
这样的不存在．
综上所述，过平面外一条直线与平行的平面的个数为至多1个．
故选：．
9．两个平面平行的条件是
A．一个平面内一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面
D．两个平面都平行于同一条直线
【解析】对于，一个平面内一条直线平行于另一个平面，则两平面相交或平行，故错误；
对于，一个平面内两条平行直线平行于另一个平面，这两个平面有可能相交，
只有一个平面内两条相交直线平行于另一个平面，这两个平面才平行，故错误；
对于，由平面与平面平行的判定定理得：
一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行，故正确；
对于，两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面相交或平行，故错误．
故选：．
10．可判断平面平面的条件为
A．平面内有无数条直线平行于平面
B．平面与平面同平行于一条直线
C．平面内有两条直线平行于平面
D．平面内有两条相交直线与平面平行
【解析】若是平面内有无数条平行的直线平行于平面无法得到，不符合；
平面与平面同平行于一条直线，则，有可能相交，不符合；
若是平面内两条平行直线平行于平面无法得到，不符合；
根据面面平行判定定理可知，符合，
故选：．
11．已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，且平面，平面，则是的
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【解析】，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，且平面，平面，如图，
满足，但，相交，故充分性不成立，
再如下图：
满足，但，异面，故必要性不成立，
是的不充分不必要条件．
故选：．
12．下列命题中
①如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
②如果一个平面内有两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
③如果一个平面内任意一条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
④如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
正确命题的个数是
A．1B．2C．3D．4
【解析】对于①，根据面面平行的定义可知，必须是平面内的所有直线都与另外一个平面平行，否则面面不一定平行，故错误；
对于②，根据面面平行的判定定理可知，平面内的两条直线必须是相交直线，否则面面不一定平行，故错误；
对于③，根据面面平行的定义可知，一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，故正确；
对于④，根据面面平行的判定定理可知，一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行，故正确；
综上所述，正确的命题个数为2个，
故选：．
13．在正方体中，下列四对截面彼此平行的是（ ）
A．平面与平面B．平面与平面
C．平面与平面D．平面与平面
【解析】如图，正方体，
所以四边形是平行四边形，平面，
面，所以平面，同理平面.
因为平面，
所以平面平面.
故选：A
14．已知、是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题，其中真命题是
A．若，，，则B．若，，且，则
C．若，，且，则D．若，，，则
【解析】、是两条不同的直线，，是两个不同的平面，
对于，若，，，则与相交、平行或异面，故错误；
对于，若，，且，则由线面垂直的性质得，故正确；
对于，若，，且，则与相交或平行，故错误；
对于，若，，，则与平行或异面，故错误．
故选：．
15．如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的有 个．
A．1B．2C．3D．4
【解析】对于①，如图，
为底面对角线的交点，可得，
又平面，所以直线与平面不平行；
对于②，由于，结合线面平行的判定定理可知与平面平行；
对于③，由于，结合线面平行的判定定理可知与平面平行；
对于④，由于，结合线面平行的判定定理可知与平面平行．
所以在这四个正方体中，直线与平面平行的有3个．
故选：．
16．在三棱柱中，为该棱柱的九条棱中某条棱的中点，若平面，则为
A．棱的中点B．棱的中点C．棱的中点D．棱的中点
【解析】对于：当为棱的中点时，与相交，故与平面不平行，故错误；
对于：当为棱的中点时，与相交，故与平面不平行，故错误；
对于：当为棱的中点，与平面不平行，故错误；
对于：如图，当为棱的中点时，取的中点，连接，，
由，，可得四边形为平行四边形，即有，
由平面，平面，
所以平面，
同理可得平面，
由，
可得平面平面，
由于平面，
则平面．
故选：．
二．多选题（共5小题）
17．下列命题中错误的是
A．若直线上有无数个点不在平面内，则
B．若直线与平面平行，则直线与平面内的任意一条直线平行
C．若直线，和平面满足，，则
D．若直线，，和平面，满足，，，，则
【解析】．当直线与平面相交时满足有无数个点不在平面内，故错误；
．当直线与平面平行，则直线与平面内的无数条直线平行，故错误；
．当直线，和平面满足，，则或与相交或与异面，故错误；
．因为，，，所以，
又因为，
所以，
所以，故正确．
故选：．
18．如图，为矩形所在平面外一点，矩形对角线的交点为，为的中点，则下列结论成立的是
A．平面B．平面C．平面D．平面
【解析】矩形的对角线与交于点，
所以点为的中点，在中，因为点是的中点，
所以是的中位线，，平面，平面，
平面，故正确；
平面，平面，平面，故正确；
因为，平面，平面，所以与平面，平面相交，故错误；
故选：．
19．如图，在平行六面体中，点，，分别为棱，，的中点，平行六面体的各棱长均相等．下列结论中正确的是
A．B．
C．平面D．平面
【解析】因为，
，
所以，所以，
又平面，平面，平面，
所以平面，平面，
故选项，，正确，
又与不平行，所以与不平行，
故选项错误．
故选：．
20．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，分别是棱，的中点，则
A．平面B．平面C．平面D．平面
【解析】，分别是棱，的中点，连接，交于
四边形是平行四边形，是的中点，
，
平面，平面，平面，故正确；
平面，平面，平面，故正确；
平面，，与平面不平行，故错误；
平面，，与平面不平行，故错误．
故选：．
21．如图，点，，，，为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，满足直线平面的是
A．B．
C．D．
【解析】选项，如图所示，点，为正方体的两个顶点，则，
平面，平面，
平面，即选项正确；
选项，如图所示，为正方体的一个顶点，则，，
，，、平面，、平面，
平面平面，
又平面，
平面，即选项正确；
选项，如图所示，为正方体的一个顶点，则平面平面，
平面，
平面，即选项正确；
选项，连接，则，
，，，四点共面，
平面，与平面相矛盾，即选项错误．
故选：．
三．填空题
22．空间两个角，，且与的两边对应平行，若，则 ．
【解析】因为空间两个角与的两边对应平行，
所以或，
因为，
所以或．
故答案为：或．
23．已知直线，，平面，，若，，，则直线与的关系是 ．
【解析】直线，，平面，，若，，，
可得，没有公共点，则直线与的关系是平行或异面．
故答案为：平行或异面．
24．“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的 条件．
【解析】根据直线与平面平行的定义：“直线与平面没有公共点时，直线与平面平行“
所以“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的充要条件，
故答案为：充要．
25．如图，底面是平行四边形的四棱锥中，，，且，若平面，则 ．
【解析】连接，交于点，连接，过点作的平行线，交棱于点，连接，，如图所示，
平面，平面，，
平面平面，
，即为的中点，
又，
，
．
故答案为：．
26．考查下列两个命题：“ ”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中，为直线，，为平面），则此条件为 ．
①；②；
【解析】（1）由线面平行的判定定理知应填“”； （2）易知应填“”．
故答案为：；．
27．已知三棱锥的底面是边长为3的正三角形，为的中点，、分别为、上一点，且满足，平面，则 ．
【解析】连接，，如图所示，
平面，平面平面，平面，
，
，，
又为边长为3的等边三角形，，
，
故答案为：．
28．下列三个说法：
①若直线在平面外，则；
②若直线，直线，，则；
③若，，则与内任意直线平行．
其中正确的有 ．
【解析】对于①，若直线在平面外，可能与平面相交，不一定平行．故不正确；
对于②，由直线与平面平行的判定定理可知正确；
对于③，与平面内的直线可能平行，相交或异面，故错误．
故答案为：②．
29．如图所示，在正方体中，，，分别是，，的中点，点在四边形的边及其内部运动，则满足条件 时，有平面．
【解析】连接，，，，，，
在正方体中，，，分别是，，的中点，
点在四边形的边及其内部运动，
，，，
又，，，
，，，
，，
平面平面，
满足条件线段时，有平面．
故答案为：线段．
30．如图是一几何体的平面展开图，其中为正方形，，，，分别为，，，的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：
①平面平面；
②直线平面；
③直线平面；
④直线平面．
其中正确的序号是 ．
【解析】作出立体图形如图所示，连接，，，四点构成平面，
对于①，因为，分别是，的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
同理平面，又，，平面，
所以平面平面，故①正确；
对于②，连接，交于点，连接，，则为，的中点，
所以，又平面，平面，所以平面，故②正确；
对于③，由①中的分析可知，，所以，
因为平面，平面，所以平面，故③正确；
对于④，根据③中的分析可知，，再结合图形可得，，则直线与平面不平行，故④错误．
故答案为：①②③．
31．已知长方体的侧棱长8，，分别是侧棱，上的动点，，在棱上，且，若平面，则 ．
【解析】连接，交于点，连接，
平面，平面，平面平面，
．
在上截取，连接，则，
，
又，
四边形为平行四边形，．
又，，
，即点为的中点，
而，
．
故答案为：2．
32．如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动．请补充一个恰当条件，当点满足 条件时，有平面．
【解析】取，，，的中点分别为，，，，
连接，，，，，，，
因为，分别为，的中点，所以．
同理可得．
因为，，所以四边形是平行四边形，可得．
所以，同理可证明，，
所以，，，，，共面，
因为，平面，面，
所以平面，
若平面，则点在平面内，
又因为点在上底面（含边界），
所以点在面与面的交线上，
所以点在线段上，即点在中点与中点连线上，
故答案为：在中点与中点连线上．
33．在直三棱柱中，，，，，分别是，，，，的中点，给出下列四个判断：
①平面；
②平面；
③平面；
④平面，
则错误的序号为 ．
【解析】连接、、、、、、、，
所以，四边形为平行四边形，则 且，
、 分别为、的中点，则且，
故四边形为平行四边形，则，
平面，平面，故平面，
同理可证四边形 为平行四边形，则，，
则四边形为平行四边形，所以，，
平面，平面，则平面，
，故平面平面，平面，则平面，③对；
对于①，若平面，，则平面平面，
因为过点且与平面平行的平面只有一个，矛盾，故①错，
同理可知，②④均错．
故答案为：①②④．
四．解答题
34．如图，在正方体中，，分别为，的中点，与交于点．求证：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）平面平面．
【解析】证明：（Ⅰ）在正方形中，，分别为，的中点，
可得，，
则四边形为平行四边形，
则；
（Ⅱ）由，平面，平面，
可得平面，
在中，为的中点，为的中点，
可得，
又平面，平面，
所以平面，
又，平面，平面，
所以平面平面．
35．如图，在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，为的中点．求证：平面．
【解析】证明：因为为的中点，为的中点．所以，
又因为底面是正方形，所以，所以，
因为面，面，所以面．
36．如图，四边形是矩形，平面，平面．
（1）证明：平面平面；
（2）若平面与平面的交线为，求证：．
【解析】证明：（1）因为平面，平面，
所以，
又因为平面，平面，
故平面，
在矩形中，，
又平面，平面，
故平面，
因为，，平面，
故平面平面；
（2）因为，平面，平面，
则平面，
又平面，平面平面，
所以．
37．如图，在正方体中，，，，，分别为棱，，，的中点．
（1）证明：平面．
（2）在棱上确定一点，使，，，四点共面，指出的位置即可，无需说明理由，并求四边形的面积．
【解析】证明：（1）取的中点，连接，，
因为侧面为正方形，且，分别为棱，的中点，则是平行四边形，
又是中点，所以，且，
又为棱的中点，所以，且，所以，且，
所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，所以平面；
（2）为棱上靠近的一个四等分点，连接，，
取中点，中点，连接，，，
则且得平行四边形，所以，
正方形中，由，得平行四边形，所以，
是中点，是中点，则，
所以，所以，，，共面，
连接，
由正方体性质知平面，而平面，所以，同理，
在△中，，
在中，，
又，所以由余弦定理可得．
设到的距离为，则由等面积法可得，
所以，
因为，
所以四边形的面积．
38．如图，在正三棱柱中，，为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离．
【解析】（1）证明：连接交于，连接，
正三棱柱中，易得为中点，
又为的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）解：因为平面，
所以与到平面的距离相等，
因为，
所以，，，
因为，
所以，
所以，，
设到平面的距离为，则，
所以，
所以，
即点到平面的距离为．
39．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点．
（1）求证：若是棱的中点，则平面平面；
（2）求三棱锥的体积．
【解析】（1）证明：取的中点，连接，．
，，分别是，，的中点，
，且，．
，且，，且，
四边形为平行四边形，
．
连接，，是棱的中点，，
，，
平面平面．
（2），，，．
三棱锥为：
．
40．如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）设为棱上的一点，问：当在什么位置时，平面平面？
【解析】证明：（1）在四棱柱中，连接，如图，
因，分别是，的中点，则有，又平面，平面，
所以平面；
（2）是中点，使得平面平面，理由如下：
取的中点，连接，，而是的中点，于是得，
而平面，平面，
从而得平面，由（1）知平面，，且，平面，
因此有平面平面，
所以当是的中点时，平面平面．
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