高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第06练平面向量的正交分解及坐标表示(原卷版+解析)

这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第06练平面向量的正交分解及坐标表示(原卷版+解析)，共27页。试卷主要包含了给出下面几种说法，平面直角坐标系中，的坐标，若、，则向量的坐标是，已知，，则，已知点，，那么等于，设向量，，则与一定不是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题
1．给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应于唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是
A．1B．2C．3D．4
2．平面直角坐标系中，的坐标
A．与点的坐标相同
B．与点的坐标不相同
C．当与原点重合时，与点的坐标相同
D．当与原点重合时，与点的坐标相同
3．分别以正方形的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有
A．4个B．6个C．8个D．12个
4．若、，则向量的坐标是
A．B．C．D．
5．设若向量，且点坐标为，则点坐标为
A．B．C．D．
6．已知，，则（ ）
A．2B．C．4D．
7．已知点(－3，3)，(－5，－1)，那么等于（ ）
A．(－2，－4)B．(－4，－2)C．(2，4)D．(4，2)
8．设点、，将向量按向量平移后得到为
A．B．C．D．
9．设向量，，则与一定不是
A．平行向量B．垂直向量C．相等向量D．相反向量
10．已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是，，，，则向量的坐标是
A．B．C．D．
11．已知，若，则实数对，为
A．B．C．D．无数对
12．如图所示，若向量、是一组单位正交向量，则向量在平面直角坐标系中的坐标为
A．B．C．或D．或
13．已知是方向分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，为原点，设（其中，则对应点位于
A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三象限D．第四象限
14．定义两个互相垂直的单位向量为“一对单位正交向量”，设平面向量，2，3，满足条件：，2，3，且，2，，则
A．
B．或
C．，2，3，中任意两个都是一对单位正交向量
D．，是一对单位正交向量
15．，，，，，，，是两个向量集合，则等于
A．B．C．D．
二．填空题
16．在平面直角坐标系内，已知，是两个互相垂直的单位向量，若，则向量用坐标表示 ．
17．在平面直角坐标系内，已知、两个互相垂直的单位向量，若，则向量用坐标表示 ．
18．已知点，，则的坐标为 ．
19．若、两点的坐标分别为和，则 ．
20．已知点，且，则点的坐标为． （判断对错）
21．已知向量，点的坐标是，则点的坐标是 ．
22．已知，点的坐标为，是的相等向量，则点的坐标为 ．
23．设，，则向量坐标为 ，向量的坐标为 ，向量的坐标为 ， ， ．
24．已知两点，，则与同向的单位向量是 ．
25．在平面直角坐标系中，在轴、轴正方向上的投影分别是、4，则的单位向量是 ．
26．已知的方向与轴的正向所成的角为，且，则的坐标为 ．
27．已知是坐标原点，点在第二象限，，，求向量的坐标为 ．
28．已知，且向量的方向相对轴正向的转角为，则向量的坐标为 ．
29．已知向量的方向与轴的正向所成的角为，且，则的坐标为 ．
30．直角坐标系中，、分别是与、轴正方向同向的单位向量．在直角三角形中，若，，则的可能值个数是 ．
31．把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是 ．
32．点按向量平移后的对应点的坐标是，则 ．
33．将函数的图象按平移向量平移后得到函数的图象，则该平移向量 ．
34．设点、，将向量按向量平移后得到向量为 ．
35．已知，，则 ．
36．已知，别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，为坐标原点，设，则点位于第 象限．
37．在中，，，，点是内心，且，则 ．
三．解答题
38.如图，分别用基底表示向量，，，，并求出它们的坐标．
39．在直角坐标系中，向量，的方向如图所示，且，，分别求出它们的坐标．
40．已知表示向量的有向线段始点的坐标，求它的终点的坐标．
（1），；
（2），；
（3），．
41．已知中，，，，，是，的中点，是的中点，与交于点，求．
42．设已知点，，及．求：为何值时，在轴上？在轴上？在第二象限？
43．已知直角梯形中，，，过点作，垂足为点，为的中点，用向量的方法证明：
（1）；
（2），，三点共线．
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44.如图，已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角，求和的坐标.
45．已知菱形ABCD的三个顶点，，，求：
（1）第四个顶点D的坐标；
（2）菱形ABCD的面积．
46.若，，当取最小值时，以O、P、Q、A四点构成平行四边形．
（1）求；
（2）求所有符合题意的点A所构成的平面图形的面积．
47．设为平面直角坐标系中的四点，且，，．
（1）若，求点的坐标及；
（2）设向量，，若与平行，求实数的值．
48．已知点，．
（1）若C是线段AB的中点，求C点坐标；
（2）若直线AB上的点D满足，求D点坐标．
49．已知点，向量绕原点O逆时针旋转后等于，求点B的坐标．
50．已知点，，将向量绕点A逆时针旋转得到，求点C的坐标．
51．以原点O及点A(2，-2)为顶点作一个等边△OAB，求点B的坐标及向量的坐标.
第6练 平面向量的正交分解及坐标表示
eq \\ac(○,通) eq \\ac(○,关) eq \\ac(○,练)
一．选择题
1．给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应于唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是
A．1B．2C．3D．4
【解析】向量平移坐标不变，故③错，①②④均对．故选：．
2．平面直角坐标系中，的坐标
A．与点的坐标相同
B．与点的坐标不相同
C．当与原点重合时，与点的坐标相同
D．当与原点重合时，与点的坐标相同
【解析】平面直角坐标系中，的坐标等于点的坐标减去点的坐标，
故当与原点重合时，的坐标与点的坐标相同，
故选：．
3．分别以正方形的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有
A．4个B．6个C．8个D．12个
【解析】如图，以正方形的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量为：
，共8个．
故选：．
4．若、，则向量的坐标是
A．B．C．D．
【解析】、，
，，，，，
故选：．
5．设若向量，且点坐标为，则点坐标为
A．B．C．D．
【解析】设点的坐标为，向量，且点坐标为，，，，，，、，解得、，故点坐标为，
故选：．
6．已知，，则（ ）
A．2B．C．4D．
【解析】由题得=（0,4）所以．故选C
7．已知点(－3，3)，(－5，－1)，那么等于（ ）
A．(－2，－4)B．(－4，－2)C．(2，4)D．(4，2)
【解析】(－3，3)，(－5，－1)，.故选：A
8．设点、，将向量按向量平移后得到为
A．B．C．D．
【解析】、，
将向量向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到，
知与的方向相同，大小也相等，只是位置不同罢了，
于是
故选：．
9．设向量，，则与一定不是
A．平行向量B．垂直向量C．相等向量D．相反向量
【解析】由向量，，
假设，则，无解，
．
故选：．
10．已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是，，，，则向量的坐标是
A．B．C．D．
【解析】平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是，，，，
，，，，，，，．
，，，．
故选：．
11．已知，若，则实数对，为
A．B．C．D．无数对
【解析】，，，
，解得．
实数对，，．
故选：．
12．如图所示，若向量、是一组单位正交向量，则向量在平面直角坐标系中的坐标为
A．B．C．或D．或
【解析】以向量、公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系
，
，得，
，
，，，
即在平面直角坐标系中的坐标为
故选：．
13．已知是方向分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，为原点，设（其中，则对应点位于
A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三象限D．第四象限
【解析】因为，
且，
，
所以对应点的横坐标大于0，纵坐标小于0，
所以点位于第四象限．
故选：．
14．定义两个互相垂直的单位向量为“一对单位正交向量”，设平面向量，2，3，满足条件：，2，3，且，2，，则
A．
B．或
C．，2，3，中任意两个都是一对单位正交向量
D．，是一对单位正交向量
【解析】，2，，或．或．
可取，，，或．
，，，或．
取同样可得．
即可排除，，．
因此正确．
故选：．
15．，，，，，，，是两个向量集合，则等于
A．B．C．D．
【解析】根据所给的两个集合的元素，表示出两个集合的交集，
在集合中，，
在集合中，．
要求两个向量的交集，即找出两个向量集合中的相同元素，
元素是向量，要使得向量相等，只有横标和纵标分别相等，
二元一次方程组的解只有一组，
此时，，．
故选：．
二．填空题
16．在平面直角坐标系内，已知，是两个互相垂直的单位向量，若，则向量用坐标表示 ．
【解析】在平面直角坐标系内，已知，是两个互相垂直的单位向量，若，
则向量用坐标表示．
故答案为：．
17．在平面直角坐标系内，已知、两个互相垂直的单位向量，若，则向量用坐标表示 ．
【解析】由于，是两个互相垂直的单位向量，且，
所以向量用坐标表示为．
故答案为：．
18．已知点，，则的坐标为 ．
【解析】，，
，，
故答案为：
19．若、两点的坐标分别为和，则 ．
【解析】由题意可得：、两点的坐标分别为和，
所以．
故答案为．
20．已知点，且，则点的坐标为． （判断对错）
【解析】，，，，
因此正确．故答案为：正确．
21．已知向量，点的坐标是，则点的坐标是 ．
【解析】设点坐标为
点的坐标是，
即，
解得：，
故点的坐标
故答案为：
22．已知，点的坐标为，是的相等向量，则点的坐标为 ．
【解析】，，，．
故答案为：．
23．设，，则向量坐标为 ，向量的坐标为 ，向量的坐标为 ， ， ．
【解析】，，
向量，
向量，
向量，
，
．
故答案为：，，，，．
24．已知两点，，则与同向的单位向量是 ．
【解析】，，，
与同向的单位向量是
，，．
故答案为：，．
25．在平面直角坐标系中，在轴、轴正方向上的投影分别是、4，则的单位向量是 ．
【解析】在轴、轴正方向上的投影分别是、4，
，．
则的单位向量．
故答案为：．
26．已知的方向与轴的正向所成的角为，且，则的坐标为 ．
【解析】向量的方向与轴的正向所成的角为，且，
如图所示，向量的终点为或，
由三角函数的定义，可得，
；
所以的坐标为或．
故答案为：或．
27．已知是坐标原点，点在第二象限，，，求向量的坐标为 ．
【解析】是坐标原点，点在第二象限，，，，
，即，．
故答案为：．
28．已知，且向量的方向相对轴正向的转角为，则向量的坐标为 ．
【解析】：以为原点，
轴的正方向与向量的方向的转角为，，
该点的纵坐标为，
横坐标为，
向量的坐标为，或，．
故答案为：，或，．
29．已知向量的方向与轴的正向所成的角为，且，则的坐标为 ．
【解析】向量的方向与轴的正向所成的角为，且，
如图，向量的终点坐标为或，
由三角函数的定义，可得，，
．
故答案为：，或．
30．直角坐标系中，、分别是与、轴正方向同向的单位向量．在直角三角形中，若，，则的可能值个数是 ．
【解析】，
因为为直角三角形，
（1）时，；
（2）时，；
（3）时，
综上所述，或
故答案为：，．
31．把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是 ．
【解析】平行于某一直线的一切向量都是共线向量，由共线向量的概念可知，把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是直线．
故答案为：直线．
32．点按向量平移后的对应点的坐标是，则 ．
【解析】点按向量平移后的对应点的坐标是，
是一个以为起点，为终点的向量，
，，
故答案为：
33．将函数的图象按平移向量平移后得到函数的图象，则该平移向量 ．
【解析】函数，
将函数的图象按平移向量平移后得到函数的图象，
即得到，
可以看出图象向右平移一个单位，向下平移一个单位，
平移的向量是
故答案为：
34．设点、，将向量按向量平移后得到向量为 ．
【解析】、，，
向量平移后向量的坐标不变，
，
故答案为：
35．已知，，则 ．
【解析】，，则．
故答案为：．
36．已知，别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，为坐标原点，设，则点位于第 象限．
【解析】由题意可得，，
故，，
，
，
点位于第四象限．
故答案为：四．
37．在中，，，，点是内心，且，则 ．
【解析】设内切圆半径为，
由题意得：，
，
，．
．
故答案为：．
三．解答题
38.如图，分别用基底表示向量，，，，并求出它们的坐标．
【解析】由图可知，，所以．
同理，，，．
39．在直角坐标系中，向量，的方向如图所示，且，，分别求出它们的坐标．
【解析】设点，
∵，且，
∴，．
又，
∴，．
故，．
40．已知表示向量的有向线段始点的坐标，求它的终点的坐标．
（1），；
（2），；
（3），．
【解析】设，，
（1），，，，，终点的坐标为，
（2），，，，，解得，，终点的坐标为，
（3），，，，，解得，，终点的坐标为，
41．已知中，，，，，是，的中点，是的中点，与交于点，求．
【解析】，，，
，．
，是，的中点，是的中点，与交于点，
是的中点，
．
42．设已知点，，及．求：为何值时，在轴上？在轴上？在第二象限？
【解析】点，，及．
，，
，
当在轴上时，它的坐标要满足纵标为0，
，
，
当在轴上，它的坐标要满足横标为0，
，
当在第二象限时，，，
43．已知直角梯形中，，，过点作，垂足为点，为的中点，用向量的方法证明：
（1）；
（2），，三点共线．
【解析】（1）证明：如图，以为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，
令，则
因为，，，，
易知四边形 为正方形．
所以可求得各点坐标分别为，，，
，，
因为，
，
所以，
所以，
又 与 无公共点，
所以．
（2）证明：连接，．
因为 为 的中点，
所以，
所以凶，
，
所以，
所以．
又 与 有公共点，
所以，， 三点共线．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布
44.如图，已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角，求和的坐标.
【解析】（由题知，分别是，角的终边与单位圆的交点．
设，．由三角函数的定义，
得，，∴．
，，∴．
∴，．
∴，
45．已知菱形ABCD的三个顶点，，，求：
（1）第四个顶点D的坐标；
（2）菱形ABCD的面积．
【解析】（（1）设，由，
得，解得，，
所以点的坐标为.
（2）∵，，，，
∴，
∴菱形的面积.
46.若，，当取最小值时，以O、P、Q、A四点构成平行四边形．
（1）求；
（2）求所有符合题意的点A所构成的平面图形的面积．
【解析】（1）由，得,当时，取最小值，
此时，，.
又O、P、Q、A四点构成平行四边形，
所以或或.
（2）符合题意的点A的坐标为或或，由这三点构成的图形为三角形，面积为.即三角形的面积为4.
47．设为平面直角坐标系中的四点，且，，．
（1）若，求点的坐标及；
（2）设向量，，若与平行，求实数的值．
【解析】（（1）设，因为，，，所以，得，则；
（2）由题意，，，所以，，因为与平行，所以，解得.
48．已知点，．
（1）若C是线段AB的中点，求C点坐标；
（2）若直线AB上的点D满足，求D点坐标．
【解析】（1）设，又，
则，
是线段的中点，
，即，解得，
（2）设，又，
，
，
，解得，
.
49．已知点，向量绕原点O逆时针旋转后等于，求点B的坐标．
【解析】由题意得：，
设与轴正方向夹角为，则与轴正方向夹角为
，
设
则，

50．已知点，，将向量绕点A逆时针旋转得到，求点C的坐标．
【解析】
设与轴正向夹角为，则，即
∴
由题意得：
设，则 ∴，
∴
51．以原点O及点A(2，-2)为顶点作一个等边△OAB，求点B的坐标及向量的坐标.
【解析】因为△OAB是等边三角形，
所以||=||=||=4.
又以Ox为始边，OA为终边的角为或-(如图)，
所以当B在OA上方时，以OB为终边的角为，
由任意角三角形函数的定义，得
==(2，2)，
所以=-=(2，2)-(2，-2)=(0，4)，
当B在OA下方时，以OB为终边的角为或-，得=(0，-4)，
所以=-=(0，-4)-(2，-2)
=(-2，-2)，
综上所述，B(2，2)，=(0，4)
或B(0，-4)，=(-2，-2).