高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第八章立体几何初步章末检测卷(一)(原卷版+解析)

这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第八章立体几何初步章末检测卷(一)(原卷版+解析)，共21页。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．已知圆柱的轴截面是面积为100的正方形，则该圆柱的侧面积为
A．B．C．D．
2．已知直线，，平面，，，，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则图形的周长是

A．B．C．D．
4．已知四面体的每个顶点都在球的球面上，平面，，是正三角形，是等腰三角形，则球的体积为
A．B．C．D．
5．已知为正方体，，，分别为棱，，的中点，则①；②平面；③；④，上述四个结论正确的个数为
A．1B．2C．3D．4
6．已知，，是空间中三条不同的直线，，是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是
A．若，，，，则 B．若，，，，则
C．若，，，，，则 D．若，，，，则
7．已知圆锥的顶点为点，高是底面半径的倍，点，是底面圆周上的两点，当是等边三角形时面积为，则圆锥的侧面积为
A．B．C．D．
8．将长方体削去一部分得到如图所示的多面体，且，，为中点，有以下结论：①，，三点共线；②平面；③异面直线与所成角的余弦值为；④三棱锥的体积为3．
其中正确的命题是
A．①③B．①④C．②③D．②③④
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．如图所示，已知四边形是由一个等腰直角三角形和一个有一内角为的直角三角形拼接而成，将绕边旋转的过程中，下列结论中可能成立的是
A．B．C．D．
10．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是
A．沙漏中的细沙体积为
B．沙漏的体积是
C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为
D．该沙漏的一个沙时大约是1565秒
11．如图，在正四棱柱中，，分别是，的中点，有如下四个命题，其中真命题是
A．与垂直B．与垂直C．与异面D．与异面
12．如图，在四边形中，，，，将四边形沿对角线折成四面体，使得平面平面，给出下列四个结论，其中正确的有
A． B．四面体的体积为
C．与所成的角为 D．四面体的外接球的表面积为
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知一个圆柱的体积为，底面直径与母线长相等，圆柱内有一个三棱柱，与圆柱等高，底面是顶点在圆周上的正三角形，则三棱柱的侧面积为 ．
14．在四面体中，，，，则四面体的外接球的体积为 ．
15．已知三个互不重合的平面，，，且直线，不重合，由下列条件：
①，；②，；③，，；
能推得的条件是 ．
16．如图，已知平行四边形中，，，，平面，且，则 ．
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．如图，四边形是菱形，平面，为的中点．求证：
（1）平面；
（2）平面．
18．如图所示，长方体中，、分别为、的中点，
（1）判断与平面的位置关系，并证明；
（2）若，，求与所成角的余弦值．
19．如图，为圆柱的轴截面（即过旋转轴的截面），为其一条母线（不与，重合）．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：平面平面．
20．如图甲，直角梯形中，，，为中点，在上，且，已知，现沿把四边形折起如图乙，使平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
21．如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于、的点．
（1）证明：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．
22．如图，三棱锥中，侧面与侧面均为边长为6的正三角形，且，为的中点，为线段的一个靠近点的三等分点．
（1）证明：平面；
（2）求四棱锥的体积．
立体几何初步章末检测卷（一）
说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．已知圆柱的轴截面是面积为100的正方形，则该圆柱的侧面积为
A．B．C．D．
【解析】设底面圆的半径为，则高为，由，得，
所以．
故选：．
2．已知直线，，平面，，，，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】直线，，平面，，，，
若，则与相交、平行或异面，故充分性不成立；
若，则与相交或平行，故必要性不成立．
“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：．
3．如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则图形的周长是
A．B．C．D．
【解析】根据题意，直观图正方形的边长，，
原图形为平行四边形，其中，高．
则．
故原图形的周长；
故选：．
4．已知四面体的每个顶点都在球的球面上，平面，，是正三角形，是等腰三角形，则球的体积为
A．B．C．D．
【解析】平面，平面，，
又是等腰三角形，．
是正三角形，．
设为外接圆的圆心，则，
，球的体积，
故选：．
5．已知为正方体，，，分别为棱，，的中点，则①；②平面；③；④，上述四个结论正确的个数为
A．1B．2C．3D．4
【解析】由已知平面即截面所在平面，其顶点分别为所在棱的中点，
在中，，为中点，则，平面，平面，
平面，故②正确；
，平面，与不平行，故①错误．
三棱锥为正三棱锥，故，故③正确；
，，，平面，
平面，则，
由，可得，同理可得，
即可证得平面，，故④正确．
故选：．
6．已知，，是空间中三条不同的直线，，是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是
A．若，，，，则
B．若，，，，则
C．若，，，，，则
D．若，，，，则
【解析】对于，若，，，，且，则，所以选项错误；
对于，若，，，，则或，选项错误；
对于，若，，，，则由面面垂直的性质知，
又，所以，选项正确；
对于，若，，，则，
又，所以，选项错误．
故选：．
7．已知圆锥的顶点为点，高是底面半径的倍，点，是底面圆周上的两点，当是等边三角形时面积为，则圆锥的侧面积为
A．B．C．D．
【解析】设圆锥的母线长为，圆锥底面半径为，高为，
由题意可得，
由为等边三角形，且面积为，
所以，解得，
在直角三角形中，有，
所以，
解得，
所以圆锥的侧面积，
故选：．
8．将长方体削去一部分得到如图所示的多面体，且，，为中点，有以下结论：
①，，三点共线；
②平面；
③异面直线与所成角的余弦值为；
④三棱锥的体积为3．
其中正确的命题是
A．①③B．①④C．②③D．②③④
【解析】如图，作长方体，在棱上截取，连接，
则，，则四边形为平行四边形，
故，而，，四边形为平行四边形，
故，所以，且，
故四边形为平行四边形，故连接和相交，交点为二者的中点，
因为为中点，故为的中点，即，，三点共线，①正确；
假设平面，而平面，故，
而为的中点，则，这与矛盾，故②错；
由①的分析可知，连接，则即为异面直线与所成角或其补角，
在中，，
故，
所以异面直线与所成角为，③正确；
由于，故④错误，
故选：．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．如图所示，已知四边形是由一个等腰直角三角形和一个有一内角为的直角三角形拼接而成，将绕边旋转的过程中，下列结论中可能成立的是
A．B．C．D．
【解析】设，则，，，
若，又，可得平面，则，符合，故可能成立；
若，又，可得平面，则，
为直角三角形的斜边，而，故不可能成立；
若，则，故可能成立；
若，则为直角三角形的斜边，由于的长不确定，故可能成立．
故选：．
10．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是
A．沙漏中的细沙体积为
B．沙漏的体积是
C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为
D．该沙漏的一个沙时大约是1565秒
【解析】对于，设细沙在上部时，细沙的底面半径为，则，
所以细沙的体积为，故正确；
对于，沙漏的体积，故错误；
对于，设细沙流入下部后的高度为，根据细沙体积不变可知：，解得，故正确；
对于，该沙漏的一个沙时为：秒，故错误．
故选：．
11．如图，在正四棱柱中，，分别是，的中点，有如下四个命题，其中真命题是
A．与垂直B．与垂直C．与异面D．与异面
【解析】根据题意，在正方体中，连接，，
别是的中点，侧面是矩形，
则也是的中点，
又由是的中点，则，错误，
对于，面，则，必有，故正确；
对于，，而，则有，故正确；
对于，，与异面，则与异面，故正确；
故选：．
12．如图，在四边形中，，，，将四边形沿对角线折成四面体，使得平面平面，给出下列四个结论，其中正确的有
A．
B．四面体的体积为
C．与所成的角为
D．四面体的外接球的表面积为
【解析】如图，将四面体放入长方体中，
，平面平面，平面平面，
平面，
平面，
，故正确；
四面体的体积；故错误；
由于，故与所成的角即为与所成的角，
平面，，
，
又，故△为等边三角形，与所成的角为，故正确；
由，，可得以的中点为球心的球经过，，，，
且，可得球半径为，则四面体的外接球表面积为，故错误．
故选：．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知一个圆柱的体积为，底面直径与母线长相等，圆柱内有一个三棱柱，与圆柱等高，底面是顶点在圆周上的正三角形，则三棱柱的侧面积为 ．
【解析】设圆柱的底面半径为，
则，，
设三棱柱底面边长为，
则，
，
三棱柱的侧面积为，
故答案为：．
14．在四面体中，，，，则四面体的外接球的体积为 ．
【解析】由，
所以，，
可得，
设为中点，则，
即为外接球的球心，球的半径，
所以四面体的外接球的体积为：
．
故答案为：．
15．已知三个互不重合的平面，，，且直线，不重合，由下列条件：
①，；②，；③，，；
能推得的条件是 ．
【解析】①，；可能；
②，；面面平行的性质得出成立；
③，，；若与相交，可能与相交，
故答案为：②
16．如图，已知平行四边形中，，，，平面，且，则 ．
【解析】由余弦定理有，，
，
平面，在平面内，
，
．
故答案为：7．
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．如图，四边形是菱形，平面，为的中点．求证：
（1）平面；
（2）平面．
【解析】证明：（1）连接交于点，连接，如图：
因为为菱形，则为的中点，
因为点为的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
（2）因为为菱形，所以，
因为平面，所以，
又因为，
所以平面．
18．如图所示，长方体中，、分别为、的中点，
（1）判断与平面的位置关系，并证明；
（2）若，，求与所成角的余弦值．
【解析】（1）平面，证明：取的中点，连接，，，
由为的中位线，可得，平面，
可得平面；
同样，，即，平面，
可得平面；
由，为平面的两条相交直线，可得平面平面，
又平面，可得平面；
（2）由于，可得为异面直线与所成角，
由，，可得，，，
在△中，可得，
则与所成角的余弦值为．
19．如图，为圆柱的轴截面（即过旋转轴的截面），为其一条母线（不与，重合）．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：平面平面．
【解析】（1）由条件知，为圆柱的母线，所以平面，
而平面，则．
由为圆的直径，则有，
而，，平面，所以平面．
而平面，所以平面平面．
（2）连接，由题意知，四边形为平行四边形，则，
而平面，平面，所以平面．
易知，在轴截面中，四边形为平行四边形，
则，而平面，平面，
所以平面．
又，，平面，
所以平面平面．
20．如图甲，直角梯形中，，，为中点，在上，且，已知，现沿把四边形折起如图乙，使平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
【解析】（1）证明：由题意知，，
所以平面，平面
，
平面平面，
又平面，
平面；
（2）证明：在图甲中，，，
，则在图乙中，，
又平面平面，平面平面，
平面，
得，
又，，平面，
平面平面．
21．如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于、的点．
（1）证明：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．
【解析】（1）证明：根据题意，平面平面，交线为．
因为，平面，所以平面，故．
因为为半圆弧上异于，的点，且为直径，所以．
又，平面，平面，
所以平面；
（2）当为的中点时，平面．
证明如下：连结交于．因为为矩形，所以为中点．
连结，因为为中点，所以．平面，平面，
所以平面．
22．如图，三棱锥中，侧面与侧面均为边长为6的正三角形，且，为的中点，为线段的一个靠近点的三等分点．
（1）证明：平面；
（2）求四棱锥的体积．
【解析】证明：（1）由题设，连结，则为等腰直角三角形，
又，即为等腰直角三角形，且为的中点，
所以，，
，
则．，
又．平面；
（2）由（1）知：是底面上的高，又为的中点，
所以，
则，
又，
故．