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高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第12讲正弦定理(原卷版+解析)
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这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第12讲正弦定理(原卷版+解析)，共49页。试卷主要包含了正弦定理内容及公式， 正弦定理的常见变形， 三角形面积公式，故选A等内容，欢迎下载使用。
知识点1 正弦定理
1.正弦定理内容及公式：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
公式：在任意△ABC中，都有eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，这就是正弦定理.
注：正弦定理的特点
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．
2. 正弦定理的常见变形
(1)eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R为△ABC外接圆的半径).
(2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径).
(3)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)(R为△ABC外接圆的半径)..
(4)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(5)eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C).
(6)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csinB.
(7)在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.
3. 三角形面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)aha＝eq \f(1,2)bhb＝eq \f(1,2)chc；
(2)S＝eq \f(1,2)absin C ＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)casin B.
知识点2 利用正弦定理判断三角形的解的个数
已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下：
由正弦定理得sinB＝eq \f(bsinA,a)，
①若eq \f(bsinA,a)>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解．
②若eq \f(bsinA,a)＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解．
③若eq \f(bsinA,a)<1，则满足条件的三角形个数为1或2.
考点一 已知两角及一边解三角形
解题方略：
已知任意两角和一边，解三角形的步骤
(1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角；
(2)求边：根据正弦定理，求另外的两边．
已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．
【例1】在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c.
变式1：已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.
变式2：在△ABC中，若BC＝eq \r(5)，sin C＝2sin A，则AB＝________.
变式3：在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c＝________.
变式4：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若csA＝eq \f(4,5)，csC＝eq \f(5,13)，a＝1，则b＝ .
变式5：如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得m，，，则A、B两点的距离为（ ）
A．mB．mC．mD．m
变式6：已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．
考点二 已知两边及一边的对角解三角形
解题方略：
已知三角形两边和一边的对角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．
【例2】在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(6),3) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2)
变式1：已知△ABC中，b＝4eq \r(3)，c＝2，C＝30°，那么此三角形( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．解的个数不确定
变式2：在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有( )
A．一解 B．两解
C．无解 D．无法确定
变式3：在△ABC中，若a＝2，b＝2eq \r(3)，A＝30°，则B为( )
A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°
变式4：在△ABC中，已知a＝2，c＝eq \r(6)，C＝eq \f(π,3)，求A，B，b.
变式5：在△ABC中，a＝1，b＝eq \r(3)，A＝30°，求边c的长．
变式6：已知a，b，c分别是△ABC的三个内角所对的边，若a＝1，b＝eq \r(3)，A＋C＝2B，则sin A＝________.
变式7：已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，C＝eq \f(π,4)，c＝eq \r(2)，a＝x，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) B．(eq \r(2)，2) C．(1,2) D．(1，eq \r(2))
考点三 判断三角形的形状
解题方略：
判断三角形形状的方法及注意事项
(1)利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．
【例3】在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
变式1：在△ABC中，若sin A＝2sin Bcs C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
变式2：在△ABC中，已知3b＝2eq \r(3)asin B，且cs B＝cs C，角A是锐角，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
变式3：【多选】下列命题中，正确的是( )
A．在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B
B．在锐角△ABC中，不等式sin A>cs B恒成立
C．在△ABC中，若acs A＝bcs B，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
变式4：在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，
且(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．
考点四 正弦定理的应用
【例4】有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形；
②正弦定理不适用于钝角三角形；
③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；
④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
变式1：在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是( )
A.eq \f(5,3) B.eq \f(3,5) C.eq \f(3,7) D.eq \f(5,7)
变式2：在△ABC中，若B＝30°，b＝2，则eq \f(a,sin A)＝________.
变式3：在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于( )
A．1∶5∶6 B．6∶5∶1
C．6∶1∶5 D．不确定
变式4：在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则eq \f(a,sin A)＋eq \f(b,2sin B)＋eq \f(2c,sin C)＝________.
【例5】在中，“”是“”的（ ）．
A．充要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件
变式1：在中，若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【例6】在△ABC中，若，则C的值为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
变式1：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acs B＋bcs A＝2ac，则a＝ .
变式2：在中，角，，的对边分别为，，，已知，则角等于（ ）
A．B．C．D．
考点五 正余弦定理的简单综合
解题方略：
利用正、余弦定理解三角形的注意点
正余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．
【例7】(2023·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cs A＝－eq \f(1,4)，则eq \f(b,c)＝( )
A．6 B．5 C．4 D．3
变式1：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cs C＝－eq \f(1,4)，3sin A＝2sin B，则c＝ .
变式2：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－eq \r(3)bc＝a2，bc＝eq \r(3)a2，则角C的大小是 ．
变式3：在△ABC中，B＝eq \f(π,3)，AC＝eq \r(3)，且cs2C－cs2A－sin2B＝－eq \r(2)sin Bsin C，则C＝ ，BC＝ .
变式4：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝eq \r(3)acsB.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
变式5：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－eq \r(2)asin C＝bsin B.
(1)求角B的大小；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.
考点六 三角形的面积问题
解题方略：
1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，及其该角的两边，代入公式求面积；
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
（一）求三角形的面积
【例8】在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积__.
变式1：已知三角形的一边长为7，这条边所对的角为，另两边长之比为3：2，则这个三角形的面积是___________.
变式2：(2023·北京高考)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)a的值；
(2)sin C和S△ABC的面积．
条件①：c＝7，cs A＝－eq \f(1,7)；
条件②：cs A＝eq \f(1,8)，cs B＝eq \f(9,16).
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【例9】已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，则当的周长最大时，的面积为（ ）
A．B．C．D．
变式1：在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，且，，面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式2：△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且.
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC的面积的最大值.
（二）已知三角形面积求边、角的方法
【例10】在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)，则BC的长为( )
A．eq \f(\r(3),2) B．eq \r(3) C．2eq \r(3)D．2
变式1：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(sinA-sinC)=sinB，a2=5c2+2accsB，且△ABC的面积为，则△ABC的周长为（ ）
A．6+2B．4+C．+4D．3+2
变式2：已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，sin2A＋sin2C－eq \f(2,3)sin Asin C＝sin2B.
(1)求sin B的值；
(2)若b＝2，△ABC的面积为eq \r(2)，求△ABC的周长．
变式3：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
(1)求A；
(2)若a=2，的面积为，求b，c的值.
变式4：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，的面积，则的外接圆的面积为__________．
变式5：若的外接圆的半径是3，且，，，则__________.
练习一 已知两角及一边解三角形
1、在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )
A．4eq \r(2) B．4eq \r(3)
C．4eq \r(6) D．4
2、在△ABC中，已知B＝eq \f(π,4)，c＝eq \r(6)，C＝eq \f(π,3)，求A，a，b的值
3、在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
练习二 已知两边及一边的对角解三角形
1、(2023·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq \r(7)，b＝2，A＝60°，则sin B＝_______，c＝________.
2、在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解B．有两解
C．无解D．有解但解的个数不确定
3、【多选】在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是( )
A．b＝7，c＝3，C＝30°B．b＝5，c＝4，B＝45°
C．a＝6，b＝3eq \r(3)，B＝60°D．a＝20，b＝30，A＝30°
4、在中，若，，，则___________.
5、已知中，，，若有两解，则边长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6、在中，内角的对边分别为a，b，c，若，且此三角形有解，则A的取值范围是___________.
练习三 判断三角形的形状
1、在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
2、在中，若，则的形状是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．不能确定
3、对于，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为直角三角形
C．若，则为钝角三角形
D．若，，，则的面积为
4、【多选题】设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
5、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，试判断的形状.
6、在中，，则该三角形的形状是___________.
练习四 正弦定理的应用
1、在中，内角、、所对的边分别是，，且，则（ ）
A．B．C．D．
2、(2023·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))＋cs A＝eq \f(5,4).
(1)求A；
(2)若b－c＝eq \f(\r(3),3)a，证明：△ABC是直角三角形．
练习五 正余弦定理的简单综合
1、在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为( )．
A．B．C．D．
2、在中，，则的值为______．
3、在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc.
(1)求角A的大小；
(2)求eq \f(bsin B,c)的值．
4、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b·cs A＝c·cs A＋a·cs C.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝eq \r(7)，b＋c＝4，求bc的值．
5、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acs B＋bcs A＝eq \f(\r(7),7)ac，sin 2A＝sin A．
(1)求A及a；
(2)若b－c＝2，求BC边上的高．
练习六 三角形的面积问题
1、在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则___________，___________，的面积为___________.
2、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝eq \f(2π,3)，a＝7.若△ABC的面积为eq \f(15\r(3),4)，则其周长是 ．
3、的内角、、的对边分别为、、,已知，该三角形的面积为，则的值为( )
A．B．C．D．
4、已知的内角所对的边分别为，．
（1）求的值；
（2）若，求的面积
5、在△ABC中，a＝eq \r(2)，c＝eq \r(10)， (补充条件)．
(1)求△ABC的面积；
(2)求sin(A＋B)．
从①b＝4，②cs B＝－eq \f(\r(5),5)，③sin A＝eq \f(\r(10),10)这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
第12讲 正弦定理
知识点1 正弦定理
1.正弦定理内容及公式：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
公式：在任意△ABC中，都有eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，这就是正弦定理.
注：正弦定理的特点
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．
2. 正弦定理的常见变形
(1)eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R为△ABC外接圆的半径).
(2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径).
(3)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)(R为△ABC外接圆的半径)..
(4)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(5)eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C).
(6)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csinB.
(7)在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.
3. 三角形面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)aha＝eq \f(1,2)bhb＝eq \f(1,2)chc；
(2)S＝eq \f(1,2)absin C ＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)casin B.
知识点2 利用正弦定理判断三角形的解的个数
已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下：
由正弦定理得sinB＝eq \f(bsinA,a)，
①若eq \f(bsinA,a)>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解．
②若eq \f(bsinA,a)＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解．
③若eq \f(bsinA,a)<1，则满足条件的三角形个数为1或2.
考点一 已知两角及一边解三角形
解题方略：
已知任意两角和一边，解三角形的步骤
(1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角；
(2)求边：根据正弦定理，求另外的两边．
已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．
【例1】在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c.
【解析】A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
由eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)得，c＝eq \f(asin C,sin A)＝eq \f(8×sin 75°,sin 45°)＝eq \f(8×\f(\r(2)＋\r(6),4),\f(\r(2),2))＝4(eq \r(3)＋1)．
所以A＝45°，c＝4(eq \r(3)＋1)．
变式1：已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.
【解析】∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，
∴a＝eq \f(csin A,sin C)＝eq \f(10×sin 45°,sin 30°)＝10eq \r(2).
B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.
又∵eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
∴b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(10×sin 105°,sin 30°)＝20sin 75°＝20×eq \f(\r(6)＋\r(2),4)＝5(eq \r(6)＋eq \r(2)).
变式2：在△ABC中，若BC＝eq \r(5)，sin C＝2sin A，则AB＝________.
【解析】由正弦定理，得AB＝eq \f(sin C,sin A)BC＝2BC＝2eq \r(5).
变式3：在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c＝________.
【解析】由题意，知B＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c＝eq \f(bsin C,sin B)＝eq \f(1×sin 30°,sin 45°)＝eq \f(\r(2),2).
变式4：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若csA＝eq \f(4,5)，csC＝eq \f(5,13)，a＝1，则b＝ .
【解析】在△ABC中，由csA＝eq \f(4,5)，csC＝eq \f(5,13)，
可得sinA＝eq \f(3,5)，sinC＝eq \f(12,13)，
sinB＝sin(A＋C)＝sinAcsC＋csAsinC＝eq \f(63,65)，
又a＝1，由正弦定理得b＝eq \f(asinB,sinA)＝eq \f(21,13).
变式5：如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得m，，，则A、B两点的距离为（ ）
A．mB．mC．mD．m
【解析】由已知，，由正弦定理得：.故选 D
变式6：已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．
【解析】设△ABC中，A＝45°，B＝60°，则C＝180°－(A＋B)＝75°.
因为C>B>A，所以最小边为a.又因为c＝1，由正弦定理，得
a＝eq \f(csin A,sin C)＝eq \f(1×sin 45°,sin 75°)＝eq \r(3)－1，
所以最小边长为eq \r(3)－1.
考点二 已知两边及一边的对角解三角形
解题方略：
已知三角形两边和一边的对角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．
【例2】在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(6),3) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2)
【解析】由于eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，故eq \f(15,\f(\r(3),2))＝eq \f(10,sin B)，解得sin B＝eq \f(\r(3),3).故选A.
变式1：已知△ABC中，b＝4eq \r(3)，c＝2，C＝30°，那么此三角形( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．解的个数不确定
【解析】由正弦定理和已知条件得eq \f(4\r(3),sin B)＝eq \f(2,sin 30°)，∴sin B＝eq \r(3)>1，∴此三角形无解．故选C.
变式2：在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有( )
A．一解 B．两解
C．无解 D．无法确定
【解析】∵b变式3：在△ABC中，若a＝2，b＝2eq \r(3)，A＝30°，则B为( )
A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°
【解析】由正弦定理可知eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，∴sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(2\r(3)×\f(1,2),2)＝eq \f(\r(3),2)，∵B∈(0°，180°)，∴B＝60°或120°.故选B.
变式4：在△ABC中，已知a＝2，c＝eq \r(6)，C＝eq \f(π,3)，求A，B，b.
【解析】∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，∴eq \f(2,sin A)＝eq \f(\r(6),\f(\r(3),2))，
解得：sin A＝eq \f(\r(2),2)，又∵a＜c，C＝eq \f(π,3)，∴A＝eq \f(π,4).
∴B＝π－A－C＝π－eq \f(π,4)－eq \f(π,3)＝eq \f(5π,12)，
sin B＝sin(A＋C)＝sin Acs C＋cs Asin C＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，
∴b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(\r(6)sin \f(5π,12),sin \f(π,3))＝eq \r(3)＋1.
变式5：在△ABC中，a＝1，b＝eq \r(3)，A＝30°，求边c的长．
【解析】由eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(3),2).
∵aA＝30°，
∴B为60°或120°.
①当B＝60°时，C＝180°－60°－30°＝90°.
此时，c＝ eq \r(a2＋b2)＝eq \r(1＋3)＝2.
②当B＝120°时，
C＝180°－120°－30°＝30°. 此时，c＝a＝1.
综上知c＝1或2.
变式6：已知a，b，c分别是△ABC的三个内角所对的边，若a＝1，b＝eq \r(3)，A＋C＝2B，则sin A＝________.
【解析】∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，∴B＝eq \f(π,3)，
∴由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得eq \f(1,sin A)＝eq \f(\r(3),sin\f(π,3)).
∴sin A＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
变式7：已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，C＝eq \f(π,4)，c＝eq \r(2)，a＝x，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) B．(eq \r(2)，2) C．(1,2) D．(1，eq \r(2))
【解析】在△ABC中，根据正弦定理eq \f(a,sinA)＝eq \f(c,sinC)即eq \f(x,sinA)＝eq \f(\r(2),sin\f(π,4))，所以sinA＝eq \f(1,2)x，由题意可得，当A∈(eq \f(π,4)，eq \f(3π,4))时，满足条件的△ABC有两个，所以eq \f(\r(2),2)考点三 判断三角形的形状
解题方略：
判断三角形形状的方法及注意事项
(1)利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．
【例3】在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【解析】由题意有eq \f(a,sin A)＝b＝eq \f(b,sin B)，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形．故选B.
变式1：在△ABC中，若sin A＝2sin Bcs C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
【解析】法一：根据正弦定理，得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，
∴A是直角，B＋C＝90°，
∴2sin Bcs C＝2sin Bcs(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，
∴sin B＝eq \f(\r(2),2).
∵0°＜B＜90°，∴B＝45°，C＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
法二：根据正弦定理，得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．
∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcs C，
∴sin(B＋C)＝sin Bcs C＋cs Bsin C＝2sin Bcs C，
∴sin(B－C)＝0.
又－90°＜B－C＜90°，∴B－C＝0，∴B＝C，
∴△ABC是等腰直角三角形．
变式2：在△ABC中，已知3b＝2eq \r(3)asin B，且cs B＝cs C，角A是锐角，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【解析】由3b＝2eq \r(3)asin B，得eq \f(b,sin B)＝eq \f(2\r(3)a,3)，根据正弦定理，得eq \f(b,sin B)＝eq \f(a,sin A)，所以eq \f(a,sin A)＝eq \f(2\r(3)a,3)，即sin A＝eq \f(\r(3),2).又角A是锐角，所以A＝60°. 又cs B＝cs C，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C. 故△ABC为等边三角形，故选D.
变式3：【多选】下列命题中，正确的是( )
A．在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B
B．在锐角△ABC中，不等式sin A>cs B恒成立
C．在△ABC中，若acs A＝bcs B，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
【解析】对于A，在△ABC中，由正弦定理可得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，所以sin A>sin B⇔a>b⇔A>B，故A正确；对于B，在锐角△ABC中，A，B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且A＋B>eq \f(π,2)，则eq \f(π,2)>A>eq \f(π,2)－B>0，所以sin A>sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－B))＝cs B，故B正确；对于C，在△ABC中，由acs A＝bcs B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝eq \f(π,2)－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accs B，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c，又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．故选A、B、D.
变式4：在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，
且(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．
【解析】因为(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，
所以b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]
＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，
所以2sinAcsB·b2＝2csAsinB·a2，
即a2csAsinB＝b2sinAcsB.
由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，
所以sin2AcsAsinB＝sin2BsinAcsB，
又sinA·sinB≠0，所以sinAcsA＝sinBcsB，
所以sin2A＝sin2B.
在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π，
所以2A＝2B或2A＝π－2B.
所以A＝B或A＋B＝eq \f(π,2).
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
考点四 正弦定理的应用
【例4】有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形；
②正弦定理不适用于钝角三角形；
③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；
④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正确．故选B.
变式1：在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是( )
A.eq \f(5,3) B.eq \f(3,5) C.eq \f(3,7) D.eq \f(5,7)
【解析】根据正弦定理得eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,b)＝eq \f(5,3).故选A.
变式2：在△ABC中，若B＝30°，b＝2，则eq \f(a,sin A)＝________.
【解析】eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(2,\f(1,2))＝4.
变式3：在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于( )
A．1∶5∶6 B．6∶5∶1
C．6∶1∶5 D．不确定
【解析】由正弦定理，知sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝1∶5∶6.故选A.
变式4：在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则eq \f(a,sin A)＋eq \f(b,2sin B)＋eq \f(2c,sin C)＝________.
【解析】∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，
∴eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R＝2，
∴eq \f(a,sin A)＋eq \f(b,2sin B)＋eq \f(2c,sin C)＝2＋1＋4＝7.
答案：7
【例5】在中，“”是“”的（ ）．
A．充要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件
【解析】由得，，，
在中，所以，
由正弦定理得，
由大边对大角的结论知．
所以为充要条件．
故选：A
变式1：在中，若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【解析】设三边所对的角分别为，
由，则∴，正确；
由余弦函数性质知，B正确；
，，
当为钝角时就有，C错误，；
，，∴，D正确．
故选：C．
【例6】在△ABC中，若，则C的值为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【解析】由正弦定理可将变形为.故选B
变式1：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acs B＋bcs A＝2ac，则a＝ .
【解析】由题设及正弦定理得sin Acs B＋sin Bcs A＝2asin C，所以sin(A＋B)＝2asin C．又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2asin C，又sin C≠0，所以a＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
变式2：在中，角，，的对边分别为，，，已知，则角等于（ ）
A．B．C．D．
【解析】由正弦定理得，
∵，∴，即，∴
∵ ，∴.选B.
考点五 正余弦定理的简单综合
解题方略：
利用正、余弦定理解三角形的注意点
正余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．
【例7】(2023·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cs A＝－eq \f(1,4)，则eq \f(b,c)＝( )
A．6 B．5 C．4 D．3
【解析】 ∵ asin A－bsin B＝4csin C，∴ 由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(b2＋c2－4c2＋b2,2bc)＝eq \f(－3c2,2bc)＝－eq \f(1,4)，∴ eq \f(b,c)＝6.故选A.
变式1：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cs C＝－eq \f(1,4)，3sin A＝2sin B，则c＝ .
【解析】∵3sin A＝2sin B，∴3a＝2b.又∵a＝2，∴b＝3.
由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcs C，
∴c2＝22＋32－2×2×3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝16，∴c＝4.
答案：4
变式2：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－eq \r(3)bc＝a2，bc＝eq \r(3)a2，则角C的大小是 ．
【解析】由b2＋c2－eq \r(3)bc＝a2，得b2＋c2－a2＝eq \r(3)bc，
则cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\r(3)bc,2bc)＝eq \f(\r(3),2)，
因为0＜A＜π，所以A＝eq \f(π,6)，
由bc＝eq \r(3)a2及正弦定理，
得sin Bsin C＝eq \r(3)sin2A＝eq \r(3)×eq \f(1,4)＝eq \f(\r(3),4)，
即4sin(π－C－A)sin C＝eq \r(3)，
即4sin(C＋A)sin C＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C＋\f(π,6)))sin C＝eq \r(3)，
整理得eq \r(3)cs 2C＝sin 2C，则tan 2C＝eq \r(3)，又0＜2C＜eq \f(5π,3)，
即2C＝eq \f(π,3)或eq \f(4π,3)，即C＝eq \f(π,6)或eq \f(2π,3).
答案：eq \f(π,6)或eq \f(2,3)π
变式3：在△ABC中，B＝eq \f(π,3)，AC＝eq \r(3)，且cs2C－cs2A－sin2B＝－eq \r(2)sin Bsin C，则C＝ ，BC＝ .
【解析】由cs2C－cs2A－sin2B＝－eq \r(2)sin Bsin C，可得1－sin2C－(1－sin2A)－sin2B＝－eq \r(2)sin Bsin C，即sin2A－sin2C－sin2B＝－eq \r(2)sin Bsin C．结合正弦定理得BC2－AB2－AC2＝－eq \r(2)·AC·AB，所以cs A＝eq \f(\r(2),2)，因为A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)π))，所以A＝eq \f(π,4)，则C＝π－A－B＝eq \f(5π,12).由eq \f(AC,sin B)＝eq \f(BC,sin A)，解得BC＝eq \r(2).
答案：eq \f(5π,12) eq \r(2)
变式4：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝eq \r(3)acsB.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
【解析】(1)∵bsin A＝eq \r(3)acs B，
由正弦定理得sin Bsin A＝eq \r(3)sin AcsB.
在△ABC中，sin A≠0，
即得tan B＝eq \r(3)，∴B＝eq \f(π,3).
(2)∵sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，
即9＝a2＋4a2－2a·2acs eq \f(π,3)，
解得a＝eq \r(3)，∴c＝2a＝2eq \r(3).
变式5：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－eq \r(2)asin C＝bsin B.
(1)求角B的大小；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.
【解析】(1)由正弦定理得a2＋c2－eq \r(2)ac＝b2.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B.
故cs B＝eq \f(\r(2),2)，因此B＝45°.
(2)sin A＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cs 45°＋cs 30°sin 45°＝eq \f(\r(2)＋\r(6),4).
故由正弦定理得a＝b·eq \f(sin A,sin B)＝1＋eq \r(3).
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
c＝b·eq \f(sin C,sin B)＝2×eq \f(sin 60°,sin 45°)＝eq \r(6).
考点六 三角形的面积问题
解题方略：
1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，及其该角的两边，代入公式求面积；
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
（一）求三角形的面积
【例8】在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积__.
【解析】因为，
由正弦定理化角为边可得：，
所以的面积，
故答案为：.
变式1：已知三角形的一边长为7，这条边所对的角为，另两边长之比为3：2，则这个三角形的面积是___________.
【解析】依题意，设三角形另两边长分别为，由余弦定理得：，
解得，于是得三角形面积，
所以三角形的面积是.
故答案为：
变式2：(2023·北京高考)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)a的值；
(2)sin C和S△ABC的面积．
条件①：c＝7，cs A＝－eq \f(1,7)；
条件②：cs A＝eq \f(1,8)，cs B＝eq \f(9,16).
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【解析】选条件①.
(1)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，b＝11－a，c＝7，cs A＝－eq \f(1,7)，
得a2＝(11－a)2＋49－2(11－a)×7×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,7)))，
∴a＝8.
(2)∵cs A＝－eq \f(1,7)，A∈(0，π)，∴sin A＝eq \f(4\r(3),7).
由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，
得sin C＝eq \f(csin A,a)＝eq \f(7×\f(4\r(3),7),8)＝eq \f(\r(3),2)，
由(1)知b＝11－a＝3，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×8×3×eq \f(\r(3),2)＝6eq \r(3).
选条件②.
(1)∵cs A＝eq \f(1,8)，∴A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin A＝eq \f(3\r(7),8).
∵cs B＝eq \f(9,16)，∴B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin B＝eq \f(5\r(7),16).
由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
得eq \f(a,\f(3\r(7),8))＝eq \f(11－a,\f(5\r(7),16))，∴a＝6.
(2)sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sin Acs B＋cs Asin B＝eq \f(\r(7),4).
∵a＋b＝11，a＝6，∴b＝5.
∴S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×6×5×eq \f(\r(7),4)＝eq \f(15\r(7),4).
【例9】已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，则当的周长最大时，的面积为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由正弦定理得，
∵ , ∴，，，由余弦定理得：
，，
当且仅当时取等号，此时．
变式1：在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，且，，面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】∵，由余弦定理得，，由正弦定理得，
即，又，，∴，∵，∴，
三角形为锐角三角形，∴，，即，
，
由正弦定理得，
∵，∴，∴，∴．
故选：A．
变式2：△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且.
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC的面积的最大值.
【解析】（1）在△ABC的内角ABC的对边分别为且.
整理得：（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC
利用正弦定理得：a2﹣b2＝c2﹣bc
即：
由于：0＜A＜π
解得：A＝.
（2）由于
所以：a2＝b2+c2﹣2bccsA
整理得：12＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc
当且仅当时，等式成立，
所以：
（二）已知三角形面积求边、角的方法
【例10】在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)，则BC的长为( )
A．eq \f(\r(3),2) B．eq \r(3) C．2eq \r(3)D．2
【解析】因为S＝eq \f(1,2)AB·ACsin A＝eq \f(1,2)×2×eq \f(\r(3),2)AC＝eq \f(\r(3),2)，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs A＝3.所以BC＝eq \r(3).
变式1：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(sinA-sinC)=sinB，a2=5c2+2accsB，且△ABC的面积为，则△ABC的周长为（ ）
A．6+2B．4+C．+4D．3+2
【解析】在△ABC中，由正弦定理及(sinA-sinC)=sinB得：(a-c)=b，
由余弦定理及a2=5c2+2accsB得：a2=5c2+，解得b=c，
因此有a=2c，从而得csB==-，则有sinB＝，
于是得S△ABC，解得c=2，则a=4，b=2，
所以△ABC的周长为a+b+c=6+2.
故选：A
变式2：已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，sin2A＋sin2C－eq \f(2,3)sin Asin C＝sin2B.
(1)求sin B的值；
(2)若b＝2，△ABC的面积为eq \r(2)，求△ABC的周长．
【解析】(1)因为sin2A＋sin2C－eq \f(2,3)sin Asin C＝sin2B，
所以根据正弦定理得a2＋c2－eq \f(2,3)ac＝b2，
则cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(\f(2,3)ac,2ac)＝eq \f(1,3).
因为0＜B＜π，所以sin B＝eq \r(1－cs2B)＝eq \f(2\r(2),3).
(2)因为△ABC的面积为eq \r(2)，
所以eq \r(2)＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×eq \f(2\r(2),3)ac.
得ac＝3.
因为b＝2，所以a2＋c2－eq \f(2,3)ac＝4，则a2＋c2＝6.
所以a2＋c2＋2ac＝6＋2ac＝12，即(a＋c)2＝12，
因为a＋c＞0，所以a＋c＝2eq \r(3).
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2eq \r(3).
变式3：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
(1)求A；
(2)若a=2，的面积为，求b，c的值.
【解析】(1)由及正弦定理得
.
因为，
所以.
由于，
所以.
又，故.
(2)由题得的面积，故①.
而，且，故②，
由①②得.
变式4：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，的面积，则的外接圆的面积为__________．
【解析】因为，所以，
由余弦定理得，所以，
所以．所以的外接圆的面积为．
故答案为：
变式5：若的外接圆的半径是3，且，，，则__________.
【解析】，，,,
故答案为：5.
练习一 已知两角及一边解三角形
1、在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )
A．4eq \r(2) B．4eq \r(3)
C．4eq \r(6) D．4
【解析】 易知A＝45°，由eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(8×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝4eq \r(6).故选C
2、在△ABC中，已知B＝eq \f(π,4)，c＝eq \r(6)，C＝eq \f(π,3)，求A，a，b的值
【解析】由三角形内角和定理知A＝π－eq \f(π,3)－eq \f(π,4)＝eq \f(5π,12).
又由正弦定理eq \f(c,sin C)＝eq \f(b,sin B)，
得b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(\r(6)×sin\f(π,4),sin\f(π,3))＝2.
又由eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，得a＝eq \f(csin A,sin C)＝eq \f(\r(6)×sin\f(5π,12),sin\f(π,3))＝eq \r(3)＋1.
3、在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】在中，∴．
由正弦定理得，
∴ ．
故选A．
练习二 已知两边及一边的对角解三角形
1、(2023·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq \r(7)，b＝2，A＝60°，则sin B＝_______，c＝________.
【解析】由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得sin B＝eq \f(b,a)·sin A＝eq \f(2,\r(7))×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(21),7).
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，
得7＝4＋c2－4c×cs 60°，
即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．
2、在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解B．有两解
C．无解D．有解但解的个数不确定
【解析】由正弦定理得eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
∴sin B＝eq \f(bsin C,c)＝eq \f(40×\f(\r(3),2),20)＝eq \r(3)>1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．故选C
3、【多选】在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是( )
A．b＝7，c＝3，C＝30°B．b＝5，c＝4，B＝45°
C．a＝6，b＝3eq \r(3)，B＝60°D．a＝20，b＝30，A＝30°
【解析】对于A，因为b＝7，c＝3，C＝30°，所以由正弦定理可得sin B＝eq \f(bsin C,c)＝eq \f(7×\f(1,2),3)＝eq \f(7,6)＞1，无解；对于B，因为b＝5，c＝4，B＝45°，所以由正弦定理可得sin C＝eq \f(csin B,b)＝eq \f(4×\f(\r(2),2),5)＝eq \f(2\r(2),5)＜1，且c＜b，有一解；对于C，因为a＝6，b＝3eq \r(3)，B＝60°，所以由正弦定理可得sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(6×\f(\r(3),2),3\r(3))＝1，A＝90°，此时C＝30°，有一解；对于D，因为a＝20，b＝30，A＝30°，所以由正弦定理可得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(30×\f(1,2),20)＝eq \f(3,4)＜1，且b＞a，所以B有两个值，有两解．故选BC
4、在中，若，，，则___________.
【解析】在中，由正弦定理得，
有，解得.
又，所以，所以.故答案为： .
5、已知中，，，若有两解，则边长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】设角A、B、C所对边为a、b、c，由三角形有两解的条件可得，
，即，
解得即边长的取值范围是.
故选：A.
6、在中，内角的对边分别为a，b，c，若，且此三角形有解，则A的取值范围是___________.
【解析】由正弦定理得，
所以,
所以，
所以或,
因为此三角形有解，,
所以.
故答案为：
练习三 判断三角形的形状
1、在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
【解析】∵在中，，
∴由正弦定理可得，
同除以可得
∴一定是直角三角形，
故选B．
2、在中，若，则的形状是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．不能确定
【解析】因为在中，满足，
由正弦定理知，代入上式得，
又由余弦定理可得，因为C是三角形的内角，所以，
所以为钝角三角形，故选A.
3、对于，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为直角三角形
C．若，则为钝角三角形
D．若，，，则的面积为
【解析】对于A：，
或，
或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B: ，
或，
所以不一定是直角三角形，故B错误；
对于C：，
，
由正弦定理得，又，
所以角为钝角，所以为钝角三角形，故C正确；
对于D: ，，，
，又，
或，或，
或，故D错误.
故选：C
4、【多选题】设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【解析】∵
∴由正弦定理得，
∵
∴，即
∴或，即该三角形为等腰三角形或直角三角形.
故选：AC.
5、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，试判断的形状.
【解析】由正弦定理及得，所以
因为，所以或所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形．
6、在中，，则该三角形的形状是___________.
【解析】因为，结合正弦定理得：，
由余弦定理得，
所以，
即，
所以，
，
，
，
因为，所以，即，所以是直角三角形.
故答案为：直角三角形.
练习四 正弦定理的应用
1、在中，内角、、所对的边分别是，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】在中，
所以，
所以，
由正弦定理可知，，
又，
所以，
又，所以，
所以.
故选：A.
2、(2023·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))＋cs A＝eq \f(5,4).
(1)求A；
(2)若b－c＝eq \f(\r(3),3)a，证明：△ABC是直角三角形．
【解析】(1)由已知得sin2A＋cs A＝eq \f(5,4)，即cs2A－cs A＋eq \f(1,4)＝0.
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs A－\f(1,2)))2＝0，cs A＝eq \f(1,2).由于0(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B－sin C＝eq \f(\r(3),3)sin A．
由(1)知B＋C＝eq \f(2π,3)，所以sin B－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－B))＝eq \f(\r(3),3)sin eq \f(π,3).
即eq \f(1,2)sin B－eq \f(\r(3),2)cs B＝eq \f(1,2)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,3)))＝eq \f(1,2).
由于0练习五 正余弦定理的简单综合
1、在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为( )．
A．B．C．D．
【解析】由余弦定理得 ，
即，
得，由正弦定理得，
故选：D.
2、在中，，则的值为______．
【解析】因为在中，，
由正弦定理得，设，
由余弦定理得，
故答案为：
3、在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc.
(1)求角A的大小；
(2)求eq \f(bsin B,c)的值．
【解析】(1)由题意知，
b2＝ac⇒cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(ac＋bc－ac,2bc)＝eq \f(1,2)，
∵A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,3).
(2)由b2＝ac，得eq \f(b,c)＝eq \f(a,b)，
∴eq \f(bsin B,c)＝sin B·eq \f(a,b)＝sin B·eq \f(sin A,sin B)＝sin A＝eq \f(\r(3),2).
4、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b·cs A＝c·cs A＋a·cs C.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝eq \r(7)，b＋c＝4，求bc的值．
【解析】(1)根据正弦定理及2b·cs A＝c·cs A＋a·cs C，
得2sin Bcs A＝sin Ccs A＋sin Acs C＝sin(A＋C)＝sinB.
∵sin B≠0，∴cs A＝eq \f(1,2).
∵0＜A＜π，∴A＝eq \f(π,3).
(2)根据余弦定理得
7＝a2＝b2＋c2－2bccs eq \f(π,3)＝(b＋c)2－3bc，
∵b＋c＝4，∴bc＝3.
5、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acs B＋bcs A＝eq \f(\r(7),7)ac，sin 2A＝sin A．
(1)求A及a；
(2)若b－c＝2，求BC边上的高．
【解析】(1)∵acs B＋bcs A＝eq \f(\r(7),7)ac，
∴由正弦定理得sin Acs B＋sin Bcs A＝eq \f(\r(7),7)asin C，
∴sin(A＋B)＝eq \f(\r(7),7)asin C，又A＋B＝π－C，
∴sin C＝eq \f(\r(7),7)asin C，又sin C＞0，
∴a＝eq \r(7).
∵sin 2A＝sin A，∴2sin Acs A＝sin A，又sin A＞0，
∴cs A＝eq \f(1,2)，
∵A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,3).
(2)由(1)及余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，
得b2＋c2－bc＝7.
将b＝c＋2，代入b2＋c2－bc＝7，得c2＋2c－3＝0，
解得c＝1或c＝－3(舍去)，∴b＝3.
∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，∴sin C＝eq \f(csin A,a)＝eq \f(\r(21),14)，
设BC边上的高为h，则h＝bsin C＝eq \f(3\r(21),14).
练习六 三角形的面积问题
1、在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则___________，___________，的面积为___________.
【解析】由正弦定理得：,,所以，
所以.
故答案为：；5；.
2、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝eq \f(2π,3)，a＝7.若△ABC的面积为eq \f(15\r(3),4)，则其周长是 ．
【解析】由面积公式可得S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(\r(3),4)bc，又由题意知S△ABC＝eq \f(15\r(3),4)，得bc＝15.根据余弦定理，得a2＝b2＋c2＋bc，可得(b＋c)2－bc＝a2，由a＝7，bc＝15，解得(b＋c)2＝64，即b＋c＝8，所以周长为a＋b＋c＝15.
答案：15
3、的内角、、的对边分别为、、,已知，该三角形的面积为，则的值为( )
A．B．C．D．
【解析】∵的面积为，，∴，
∴．由余弦定理得，∴．
由正弦定理得．故选A．
4、已知的内角所对的边分别为，．
（1）求的值；
（2）若，求的面积
【解析】（1）由正弦定理得 故；
（2），由余弦定理，，解得
因此，
5、在△ABC中，a＝eq \r(2)，c＝eq \r(10)， (补充条件)．
(1)求△ABC的面积；
(2)求sin(A＋B)．
从①b＝4，②cs B＝－eq \f(\r(5),5)，③sin A＝eq \f(\r(10),10)这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】选择①.
(1)在△ABC中，因为a＝eq \r(2)，c＝eq \r(10)，b＝4，
由余弦定理得
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(2)2＋42－\r(10)2,2×\r(2)×4)＝eq \f(\r(2),2)，
因为C∈(0，π)，所以sin C＝eq \r(1－cs2C)＝eq \f(\r(2),2)，
所以S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×4×eq \f(\r(2),2)＝2.
(2)在△ABC中，A＋B＝π－C．
所以sin(A＋B)＝sin C＝eq \f(\r(2),2).
选择②.
(1)因为cs B＝－eq \f(\r(5),5)，B∈(0，π)，
所以sin B＝eq \r(1－cs2B)＝eq \f(2\r(5),5)，
因为a＝eq \r(2)，c＝eq \r(10)，
所以S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \r(10)×eq \f(2\r(5),5)＝2.
(2)因为a＝eq \r(2)，c＝eq \r(10)，cs B＝－eq \f(\r(5),5)，
由b2＝a2＋c2－2accs B，
得b2＝(eq \r(2))2＋(eq \r(10))2－2×eq \r(2)×eq \r(10)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)))＝16，
解得b＝4，
由eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，解得sin C＝eq \f(\r(2),2)，
在△ABC中，A＋B＝π－C，sin(A＋B)＝sin C＝eq \f(\r(2),2).
选择③.
依题意，A为锐角，由sin A＝eq \f(\r(10),10)，
得cs A＝eq \r(1－sin2A)＝eq \f(3\r(10),10)，
在△ABC中，因为a＝eq \r(2)，c＝eq \r(10)，cs A＝eq \f(3\r(10),10)，
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，
得(eq \r(2))2＝b2＋(eq \r(10))2－2×eq \r(10)×eq \f(3\r(10),10)b，
解得b＝2或b＝4.
(1)当b＝2时，S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×2×eq \r(10)×eq \f(\r(10),10)＝1.
当b＝4时，S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×4×eq \r(10)×eq \f(\r(10),10)＝2.
(2)由a＝eq \r(2)，c＝eq \r(10)，sin A＝eq \f(\r(10),10)，eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，
得sin C＝eq \f(\r(2),2)，
在△ABC中，A＋B＝π－C，sin(A＋B)＝sin C＝eq \f(\r(2),2).
知识点1 正弦定理
1.正弦定理内容及公式：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
公式：在任意△ABC中，都有eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，这就是正弦定理.
注：正弦定理的特点
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．
2. 正弦定理的常见变形
(1)eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R为△ABC外接圆的半径).
(2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径).
(3)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)(R为△ABC外接圆的半径)..
(4)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(5)eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C).
(6)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csinB.
(7)在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.
3. 三角形面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)aha＝eq \f(1,2)bhb＝eq \f(1,2)chc；
(2)S＝eq \f(1,2)absin C ＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)casin B.
知识点2 利用正弦定理判断三角形的解的个数
已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下：
由正弦定理得sinB＝eq \f(bsinA,a)，
①若eq \f(bsinA,a)>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解．
②若eq \f(bsinA,a)＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解．
③若eq \f(bsinA,a)<1，则满足条件的三角形个数为1或2.
考点一 已知两角及一边解三角形
解题方略：
已知任意两角和一边，解三角形的步骤
(1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角；
(2)求边：根据正弦定理，求另外的两边．
已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．
【例1】在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c.
变式1：已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.
变式2：在△ABC中，若BC＝eq \r(5)，sin C＝2sin A，则AB＝________.
变式3：在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c＝________.
变式4：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若csA＝eq \f(4,5)，csC＝eq \f(5,13)，a＝1，则b＝ .
变式5：如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得m，，，则A、B两点的距离为（ ）
A．mB．mC．mD．m
变式6：已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．
考点二 已知两边及一边的对角解三角形
解题方略：
已知三角形两边和一边的对角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．
【例2】在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(6),3) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2)
变式1：已知△ABC中，b＝4eq \r(3)，c＝2，C＝30°，那么此三角形( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．解的个数不确定
变式2：在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有( )
A．一解 B．两解
C．无解 D．无法确定
变式3：在△ABC中，若a＝2，b＝2eq \r(3)，A＝30°，则B为( )
A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°
变式4：在△ABC中，已知a＝2，c＝eq \r(6)，C＝eq \f(π,3)，求A，B，b.
变式5：在△ABC中，a＝1，b＝eq \r(3)，A＝30°，求边c的长．
变式6：已知a，b，c分别是△ABC的三个内角所对的边，若a＝1，b＝eq \r(3)，A＋C＝2B，则sin A＝________.
变式7：已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，C＝eq \f(π,4)，c＝eq \r(2)，a＝x，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) B．(eq \r(2)，2) C．(1,2) D．(1，eq \r(2))
考点三 判断三角形的形状
解题方略：
判断三角形形状的方法及注意事项
(1)利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．
【例3】在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
变式1：在△ABC中，若sin A＝2sin Bcs C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
变式2：在△ABC中，已知3b＝2eq \r(3)asin B，且cs B＝cs C，角A是锐角，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
变式3：【多选】下列命题中，正确的是( )
A．在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B
B．在锐角△ABC中，不等式sin A>cs B恒成立
C．在△ABC中，若acs A＝bcs B，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
变式4：在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，
且(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．
考点四 正弦定理的应用
【例4】有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形；
②正弦定理不适用于钝角三角形；
③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；
④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
变式1：在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是( )
A.eq \f(5,3) B.eq \f(3,5) C.eq \f(3,7) D.eq \f(5,7)
变式2：在△ABC中，若B＝30°，b＝2，则eq \f(a,sin A)＝________.
变式3：在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于( )
A．1∶5∶6 B．6∶5∶1
C．6∶1∶5 D．不确定
变式4：在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则eq \f(a,sin A)＋eq \f(b,2sin B)＋eq \f(2c,sin C)＝________.
【例5】在中，“”是“”的（ ）．
A．充要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件
变式1：在中，若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【例6】在△ABC中，若，则C的值为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
变式1：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acs B＋bcs A＝2ac，则a＝ .
变式2：在中，角，，的对边分别为，，，已知，则角等于（ ）
A．B．C．D．
考点五 正余弦定理的简单综合
解题方略：
利用正、余弦定理解三角形的注意点
正余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．
【例7】(2023·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cs A＝－eq \f(1,4)，则eq \f(b,c)＝( )
A．6 B．5 C．4 D．3
变式1：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cs C＝－eq \f(1,4)，3sin A＝2sin B，则c＝ .
变式2：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－eq \r(3)bc＝a2，bc＝eq \r(3)a2，则角C的大小是 ．
变式3：在△ABC中，B＝eq \f(π,3)，AC＝eq \r(3)，且cs2C－cs2A－sin2B＝－eq \r(2)sin Bsin C，则C＝ ，BC＝ .
变式4：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝eq \r(3)acsB.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
变式5：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－eq \r(2)asin C＝bsin B.
(1)求角B的大小；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.
考点六 三角形的面积问题
解题方略：
1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，及其该角的两边，代入公式求面积；
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
（一）求三角形的面积
【例8】在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积__.
变式1：已知三角形的一边长为7，这条边所对的角为，另两边长之比为3：2，则这个三角形的面积是___________.
变式2：(2023·北京高考)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)a的值；
(2)sin C和S△ABC的面积．
条件①：c＝7，cs A＝－eq \f(1,7)；
条件②：cs A＝eq \f(1,8)，cs B＝eq \f(9,16).
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【例9】已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，则当的周长最大时，的面积为（ ）
A．B．C．D．
变式1：在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，且，，面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式2：△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且.
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC的面积的最大值.
（二）已知三角形面积求边、角的方法
【例10】在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)，则BC的长为( )
A．eq \f(\r(3),2) B．eq \r(3) C．2eq \r(3)D．2
变式1：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(sinA-sinC)=sinB，a2=5c2+2accsB，且△ABC的面积为，则△ABC的周长为（ ）
A．6+2B．4+C．+4D．3+2
变式2：已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，sin2A＋sin2C－eq \f(2,3)sin Asin C＝sin2B.
(1)求sin B的值；
(2)若b＝2，△ABC的面积为eq \r(2)，求△ABC的周长．
变式3：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
(1)求A；
(2)若a=2，的面积为，求b，c的值.
变式4：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，的面积，则的外接圆的面积为__________．
变式5：若的外接圆的半径是3，且，，，则__________.
练习一 已知两角及一边解三角形
1、在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )
A．4eq \r(2) B．4eq \r(3)
C．4eq \r(6) D．4
2、在△ABC中，已知B＝eq \f(π,4)，c＝eq \r(6)，C＝eq \f(π,3)，求A，a，b的值
3、在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
练习二 已知两边及一边的对角解三角形
1、(2023·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq \r(7)，b＝2，A＝60°，则sin B＝_______，c＝________.
2、在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解B．有两解
C．无解D．有解但解的个数不确定
3、【多选】在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是( )
A．b＝7，c＝3，C＝30°B．b＝5，c＝4，B＝45°
C．a＝6，b＝3eq \r(3)，B＝60°D．a＝20，b＝30，A＝30°
4、在中，若，，，则___________.
5、已知中，，，若有两解，则边长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6、在中，内角的对边分别为a，b，c，若，且此三角形有解，则A的取值范围是___________.
练习三 判断三角形的形状
1、在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
2、在中，若，则的形状是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．不能确定
3、对于，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为直角三角形
C．若，则为钝角三角形
D．若，，，则的面积为
4、【多选题】设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
5、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，试判断的形状.
6、在中，，则该三角形的形状是___________.
练习四 正弦定理的应用
1、在中，内角、、所对的边分别是，，且，则（ ）
A．B．C．D．
2、(2023·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))＋cs A＝eq \f(5,4).
(1)求A；
(2)若b－c＝eq \f(\r(3),3)a，证明：△ABC是直角三角形．
练习五 正余弦定理的简单综合
1、在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为( )．
A．B．C．D．
2、在中，，则的值为______．
3、在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc.
(1)求角A的大小；
(2)求eq \f(bsin B,c)的值．
4、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b·cs A＝c·cs A＋a·cs C.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝eq \r(7)，b＋c＝4，求bc的值．
5、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acs B＋bcs A＝eq \f(\r(7),7)ac，sin 2A＝sin A．
(1)求A及a；
(2)若b－c＝2，求BC边上的高．
练习六 三角形的面积问题
1、在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则___________，___________，的面积为___________.
2、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝eq \f(2π,3)，a＝7.若△ABC的面积为eq \f(15\r(3),4)，则其周长是 ．
3、的内角、、的对边分别为、、,已知，该三角形的面积为，则的值为( )
A．B．C．D．
4、已知的内角所对的边分别为，．
（1）求的值；
（2）若，求的面积
5、在△ABC中，a＝eq \r(2)，c＝eq \r(10)， (补充条件)．
(1)求△ABC的面积；
(2)求sin(A＋B)．
从①b＝4，②cs B＝－eq \f(\r(5),5)，③sin A＝eq \f(\r(10),10)这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
第12讲 正弦定理
知识点1 正弦定理
1.正弦定理内容及公式：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
公式：在任意△ABC中，都有eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，这就是正弦定理.
注：正弦定理的特点
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．
2. 正弦定理的常见变形
(1)eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R为△ABC外接圆的半径).
(2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径).
(3)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)(R为△ABC外接圆的半径)..
(4)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(5)eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C).
(6)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csinB.
(7)在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.
3. 三角形面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)aha＝eq \f(1,2)bhb＝eq \f(1,2)chc；
(2)S＝eq \f(1,2)absin C ＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)casin B.
知识点2 利用正弦定理判断三角形的解的个数
已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下：
由正弦定理得sinB＝eq \f(bsinA,a)，
①若eq \f(bsinA,a)>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解．
②若eq \f(bsinA,a)＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解．
③若eq \f(bsinA,a)<1，则满足条件的三角形个数为1或2.
考点一 已知两角及一边解三角形
解题方略：
已知任意两角和一边，解三角形的步骤
(1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角；
(2)求边：根据正弦定理，求另外的两边．
已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．
【例1】在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c.
【解析】A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
由eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)得，c＝eq \f(asin C,sin A)＝eq \f(8×sin 75°,sin 45°)＝eq \f(8×\f(\r(2)＋\r(6),4),\f(\r(2),2))＝4(eq \r(3)＋1)．
所以A＝45°，c＝4(eq \r(3)＋1)．
变式1：已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.
【解析】∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，
∴a＝eq \f(csin A,sin C)＝eq \f(10×sin 45°,sin 30°)＝10eq \r(2).
B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.
又∵eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
∴b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(10×sin 105°,sin 30°)＝20sin 75°＝20×eq \f(\r(6)＋\r(2),4)＝5(eq \r(6)＋eq \r(2)).
变式2：在△ABC中，若BC＝eq \r(5)，sin C＝2sin A，则AB＝________.
【解析】由正弦定理，得AB＝eq \f(sin C,sin A)BC＝2BC＝2eq \r(5).
变式3：在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c＝________.
【解析】由题意，知B＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c＝eq \f(bsin C,sin B)＝eq \f(1×sin 30°,sin 45°)＝eq \f(\r(2),2).
变式4：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若csA＝eq \f(4,5)，csC＝eq \f(5,13)，a＝1，则b＝ .
【解析】在△ABC中，由csA＝eq \f(4,5)，csC＝eq \f(5,13)，
可得sinA＝eq \f(3,5)，sinC＝eq \f(12,13)，
sinB＝sin(A＋C)＝sinAcsC＋csAsinC＝eq \f(63,65)，
又a＝1，由正弦定理得b＝eq \f(asinB,sinA)＝eq \f(21,13).
变式5：如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得m，，，则A、B两点的距离为（ ）
A．mB．mC．mD．m
【解析】由已知，，由正弦定理得：.故选 D
变式6：已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．
【解析】设△ABC中，A＝45°，B＝60°，则C＝180°－(A＋B)＝75°.
因为C>B>A，所以最小边为a.又因为c＝1，由正弦定理，得
a＝eq \f(csin A,sin C)＝eq \f(1×sin 45°,sin 75°)＝eq \r(3)－1，
所以最小边长为eq \r(3)－1.
考点二 已知两边及一边的对角解三角形
解题方略：
已知三角形两边和一边的对角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．
【例2】在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(6),3) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2)
【解析】由于eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，故eq \f(15,\f(\r(3),2))＝eq \f(10,sin B)，解得sin B＝eq \f(\r(3),3).故选A.
变式1：已知△ABC中，b＝4eq \r(3)，c＝2，C＝30°，那么此三角形( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．解的个数不确定
【解析】由正弦定理和已知条件得eq \f(4\r(3),sin B)＝eq \f(2,sin 30°)，∴sin B＝eq \r(3)>1，∴此三角形无解．故选C.
变式2：在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有( )
A．一解 B．两解
C．无解 D．无法确定
【解析】∵b
A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°
【解析】由正弦定理可知eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，∴sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(2\r(3)×\f(1,2),2)＝eq \f(\r(3),2)，∵B∈(0°，180°)，∴B＝60°或120°.故选B.
变式4：在△ABC中，已知a＝2，c＝eq \r(6)，C＝eq \f(π,3)，求A，B，b.
【解析】∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，∴eq \f(2,sin A)＝eq \f(\r(6),\f(\r(3),2))，
解得：sin A＝eq \f(\r(2),2)，又∵a＜c，C＝eq \f(π,3)，∴A＝eq \f(π,4).
∴B＝π－A－C＝π－eq \f(π,4)－eq \f(π,3)＝eq \f(5π,12)，
sin B＝sin(A＋C)＝sin Acs C＋cs Asin C＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，
∴b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(\r(6)sin \f(5π,12),sin \f(π,3))＝eq \r(3)＋1.
变式5：在△ABC中，a＝1，b＝eq \r(3)，A＝30°，求边c的长．
【解析】由eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(3),2).
∵a
∴B为60°或120°.
①当B＝60°时，C＝180°－60°－30°＝90°.
此时，c＝ eq \r(a2＋b2)＝eq \r(1＋3)＝2.
②当B＝120°时，
C＝180°－120°－30°＝30°. 此时，c＝a＝1.
综上知c＝1或2.
变式6：已知a，b，c分别是△ABC的三个内角所对的边，若a＝1，b＝eq \r(3)，A＋C＝2B，则sin A＝________.
【解析】∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，∴B＝eq \f(π,3)，
∴由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得eq \f(1,sin A)＝eq \f(\r(3),sin\f(π,3)).
∴sin A＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
变式7：已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，C＝eq \f(π,4)，c＝eq \r(2)，a＝x，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) B．(eq \r(2)，2) C．(1,2) D．(1，eq \r(2))
【解析】在△ABC中，根据正弦定理eq \f(a,sinA)＝eq \f(c,sinC)即eq \f(x,sinA)＝eq \f(\r(2),sin\f(π,4))，所以sinA＝eq \f(1,2)x，由题意可得，当A∈(eq \f(π,4)，eq \f(3π,4))时，满足条件的△ABC有两个，所以eq \f(\r(2),2)
解题方略：
判断三角形形状的方法及注意事项
(1)利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．
【例3】在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【解析】由题意有eq \f(a,sin A)＝b＝eq \f(b,sin B)，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形．故选B.
变式1：在△ABC中，若sin A＝2sin Bcs C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
【解析】法一：根据正弦定理，得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，
∴A是直角，B＋C＝90°，
∴2sin Bcs C＝2sin Bcs(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，
∴sin B＝eq \f(\r(2),2).
∵0°＜B＜90°，∴B＝45°，C＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
法二：根据正弦定理，得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．
∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcs C，
∴sin(B＋C)＝sin Bcs C＋cs Bsin C＝2sin Bcs C，
∴sin(B－C)＝0.
又－90°＜B－C＜90°，∴B－C＝0，∴B＝C，
∴△ABC是等腰直角三角形．
变式2：在△ABC中，已知3b＝2eq \r(3)asin B，且cs B＝cs C，角A是锐角，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【解析】由3b＝2eq \r(3)asin B，得eq \f(b,sin B)＝eq \f(2\r(3)a,3)，根据正弦定理，得eq \f(b,sin B)＝eq \f(a,sin A)，所以eq \f(a,sin A)＝eq \f(2\r(3)a,3)，即sin A＝eq \f(\r(3),2).又角A是锐角，所以A＝60°. 又cs B＝cs C，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C. 故△ABC为等边三角形，故选D.
变式3：【多选】下列命题中，正确的是( )
A．在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B
B．在锐角△ABC中，不等式sin A>cs B恒成立
C．在△ABC中，若acs A＝bcs B，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
【解析】对于A，在△ABC中，由正弦定理可得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，所以sin A>sin B⇔a>b⇔A>B，故A正确；对于B，在锐角△ABC中，A，B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且A＋B>eq \f(π,2)，则eq \f(π,2)>A>eq \f(π,2)－B>0，所以sin A>sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－B))＝cs B，故B正确；对于C，在△ABC中，由acs A＝bcs B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝eq \f(π,2)－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accs B，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c，又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．故选A、B、D.
变式4：在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，
且(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．
【解析】因为(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，
所以b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]
＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，
所以2sinAcsB·b2＝2csAsinB·a2，
即a2csAsinB＝b2sinAcsB.
由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，
所以sin2AcsAsinB＝sin2BsinAcsB，
又sinA·sinB≠0，所以sinAcsA＝sinBcsB，
所以sin2A＝sin2B.
在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π，
所以2A＝2B或2A＝π－2B.
所以A＝B或A＋B＝eq \f(π,2).
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
考点四 正弦定理的应用
【例4】有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形；
②正弦定理不适用于钝角三角形；
③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；
④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正确．故选B.
变式1：在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是( )
A.eq \f(5,3) B.eq \f(3,5) C.eq \f(3,7) D.eq \f(5,7)
【解析】根据正弦定理得eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,b)＝eq \f(5,3).故选A.
变式2：在△ABC中，若B＝30°，b＝2，则eq \f(a,sin A)＝________.
【解析】eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(2,\f(1,2))＝4.
变式3：在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于( )
A．1∶5∶6 B．6∶5∶1
C．6∶1∶5 D．不确定
【解析】由正弦定理，知sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝1∶5∶6.故选A.
变式4：在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则eq \f(a,sin A)＋eq \f(b,2sin B)＋eq \f(2c,sin C)＝________.
【解析】∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，
∴eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R＝2，
∴eq \f(a,sin A)＋eq \f(b,2sin B)＋eq \f(2c,sin C)＝2＋1＋4＝7.
答案：7
【例5】在中，“”是“”的（ ）．
A．充要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件
【解析】由得，，，
在中，所以，
由正弦定理得，
由大边对大角的结论知．
所以为充要条件．
故选：A
变式1：在中，若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【解析】设三边所对的角分别为，
由，则∴，正确；
由余弦函数性质知，B正确；
，，
当为钝角时就有，C错误，；
，，∴，D正确．
故选：C．
【例6】在△ABC中，若，则C的值为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【解析】由正弦定理可将变形为.故选B
变式1：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acs B＋bcs A＝2ac，则a＝ .
【解析】由题设及正弦定理得sin Acs B＋sin Bcs A＝2asin C，所以sin(A＋B)＝2asin C．又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2asin C，又sin C≠0，所以a＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
变式2：在中，角，，的对边分别为，，，已知，则角等于（ ）
A．B．C．D．
【解析】由正弦定理得，
∵，∴，即，∴
∵ ，∴.选B.
考点五 正余弦定理的简单综合
解题方略：
利用正、余弦定理解三角形的注意点
正余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．
【例7】(2023·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cs A＝－eq \f(1,4)，则eq \f(b,c)＝( )
A．6 B．5 C．4 D．3
【解析】 ∵ asin A－bsin B＝4csin C，∴ 由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(b2＋c2－4c2＋b2,2bc)＝eq \f(－3c2,2bc)＝－eq \f(1,4)，∴ eq \f(b,c)＝6.故选A.
变式1：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cs C＝－eq \f(1,4)，3sin A＝2sin B，则c＝ .
【解析】∵3sin A＝2sin B，∴3a＝2b.又∵a＝2，∴b＝3.
由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcs C，
∴c2＝22＋32－2×2×3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝16，∴c＝4.
答案：4
变式2：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－eq \r(3)bc＝a2，bc＝eq \r(3)a2，则角C的大小是 ．
【解析】由b2＋c2－eq \r(3)bc＝a2，得b2＋c2－a2＝eq \r(3)bc，
则cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\r(3)bc,2bc)＝eq \f(\r(3),2)，
因为0＜A＜π，所以A＝eq \f(π,6)，
由bc＝eq \r(3)a2及正弦定理，
得sin Bsin C＝eq \r(3)sin2A＝eq \r(3)×eq \f(1,4)＝eq \f(\r(3),4)，
即4sin(π－C－A)sin C＝eq \r(3)，
即4sin(C＋A)sin C＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C＋\f(π,6)))sin C＝eq \r(3)，
整理得eq \r(3)cs 2C＝sin 2C，则tan 2C＝eq \r(3)，又0＜2C＜eq \f(5π,3)，
即2C＝eq \f(π,3)或eq \f(4π,3)，即C＝eq \f(π,6)或eq \f(2π,3).
答案：eq \f(π,6)或eq \f(2,3)π
变式3：在△ABC中，B＝eq \f(π,3)，AC＝eq \r(3)，且cs2C－cs2A－sin2B＝－eq \r(2)sin Bsin C，则C＝ ，BC＝ .
【解析】由cs2C－cs2A－sin2B＝－eq \r(2)sin Bsin C，可得1－sin2C－(1－sin2A)－sin2B＝－eq \r(2)sin Bsin C，即sin2A－sin2C－sin2B＝－eq \r(2)sin Bsin C．结合正弦定理得BC2－AB2－AC2＝－eq \r(2)·AC·AB，所以cs A＝eq \f(\r(2),2)，因为A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)π))，所以A＝eq \f(π,4)，则C＝π－A－B＝eq \f(5π,12).由eq \f(AC,sin B)＝eq \f(BC,sin A)，解得BC＝eq \r(2).
答案：eq \f(5π,12) eq \r(2)
变式4：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝eq \r(3)acsB.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
【解析】(1)∵bsin A＝eq \r(3)acs B，
由正弦定理得sin Bsin A＝eq \r(3)sin AcsB.
在△ABC中，sin A≠0，
即得tan B＝eq \r(3)，∴B＝eq \f(π,3).
(2)∵sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，
即9＝a2＋4a2－2a·2acs eq \f(π,3)，
解得a＝eq \r(3)，∴c＝2a＝2eq \r(3).
变式5：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－eq \r(2)asin C＝bsin B.
(1)求角B的大小；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.
【解析】(1)由正弦定理得a2＋c2－eq \r(2)ac＝b2.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B.
故cs B＝eq \f(\r(2),2)，因此B＝45°.
(2)sin A＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cs 45°＋cs 30°sin 45°＝eq \f(\r(2)＋\r(6),4).
故由正弦定理得a＝b·eq \f(sin A,sin B)＝1＋eq \r(3).
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
c＝b·eq \f(sin C,sin B)＝2×eq \f(sin 60°,sin 45°)＝eq \r(6).
考点六 三角形的面积问题
解题方略：
1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，及其该角的两边，代入公式求面积；
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
（一）求三角形的面积
【例8】在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积__.
【解析】因为，
由正弦定理化角为边可得：，
所以的面积，
故答案为：.
变式1：已知三角形的一边长为7，这条边所对的角为，另两边长之比为3：2，则这个三角形的面积是___________.
【解析】依题意，设三角形另两边长分别为，由余弦定理得：，
解得，于是得三角形面积，
所以三角形的面积是.
故答案为：
变式2：(2023·北京高考)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)a的值；
(2)sin C和S△ABC的面积．
条件①：c＝7，cs A＝－eq \f(1,7)；
条件②：cs A＝eq \f(1,8)，cs B＝eq \f(9,16).
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【解析】选条件①.
(1)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，b＝11－a，c＝7，cs A＝－eq \f(1,7)，
得a2＝(11－a)2＋49－2(11－a)×7×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,7)))，
∴a＝8.
(2)∵cs A＝－eq \f(1,7)，A∈(0，π)，∴sin A＝eq \f(4\r(3),7).
由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，
得sin C＝eq \f(csin A,a)＝eq \f(7×\f(4\r(3),7),8)＝eq \f(\r(3),2)，
由(1)知b＝11－a＝3，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×8×3×eq \f(\r(3),2)＝6eq \r(3).
选条件②.
(1)∵cs A＝eq \f(1,8)，∴A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin A＝eq \f(3\r(7),8).
∵cs B＝eq \f(9,16)，∴B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin B＝eq \f(5\r(7),16).
由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
得eq \f(a,\f(3\r(7),8))＝eq \f(11－a,\f(5\r(7),16))，∴a＝6.
(2)sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sin Acs B＋cs Asin B＝eq \f(\r(7),4).
∵a＋b＝11，a＝6，∴b＝5.
∴S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×6×5×eq \f(\r(7),4)＝eq \f(15\r(7),4).
【例9】已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，则当的周长最大时，的面积为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由正弦定理得，
∵ , ∴，，，由余弦定理得：
，，
当且仅当时取等号，此时．
变式1：在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，且，，面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】∵，由余弦定理得，，由正弦定理得，
即，又，，∴，∵，∴，
三角形为锐角三角形，∴，，即，
，
由正弦定理得，
∵，∴，∴，∴．
故选：A．
变式2：△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且.
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC的面积的最大值.
【解析】（1）在△ABC的内角ABC的对边分别为且.
整理得：（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC
利用正弦定理得：a2﹣b2＝c2﹣bc
即：
由于：0＜A＜π
解得：A＝.
（2）由于
所以：a2＝b2+c2﹣2bccsA
整理得：12＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc
当且仅当时，等式成立，
所以：
（二）已知三角形面积求边、角的方法
【例10】在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)，则BC的长为( )
A．eq \f(\r(3),2) B．eq \r(3) C．2eq \r(3)D．2
【解析】因为S＝eq \f(1,2)AB·ACsin A＝eq \f(1,2)×2×eq \f(\r(3),2)AC＝eq \f(\r(3),2)，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs A＝3.所以BC＝eq \r(3).
变式1：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(sinA-sinC)=sinB，a2=5c2+2accsB，且△ABC的面积为，则△ABC的周长为（ ）
A．6+2B．4+C．+4D．3+2
【解析】在△ABC中，由正弦定理及(sinA-sinC)=sinB得：(a-c)=b，
由余弦定理及a2=5c2+2accsB得：a2=5c2+，解得b=c，
因此有a=2c，从而得csB==-，则有sinB＝，
于是得S△ABC，解得c=2，则a=4，b=2，
所以△ABC的周长为a+b+c=6+2.
故选：A
变式2：已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，sin2A＋sin2C－eq \f(2,3)sin Asin C＝sin2B.
(1)求sin B的值；
(2)若b＝2，△ABC的面积为eq \r(2)，求△ABC的周长．
【解析】(1)因为sin2A＋sin2C－eq \f(2,3)sin Asin C＝sin2B，
所以根据正弦定理得a2＋c2－eq \f(2,3)ac＝b2，
则cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(\f(2,3)ac,2ac)＝eq \f(1,3).
因为0＜B＜π，所以sin B＝eq \r(1－cs2B)＝eq \f(2\r(2),3).
(2)因为△ABC的面积为eq \r(2)，
所以eq \r(2)＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×eq \f(2\r(2),3)ac.
得ac＝3.
因为b＝2，所以a2＋c2－eq \f(2,3)ac＝4，则a2＋c2＝6.
所以a2＋c2＋2ac＝6＋2ac＝12，即(a＋c)2＝12，
因为a＋c＞0，所以a＋c＝2eq \r(3).
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2eq \r(3).
变式3：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
(1)求A；
(2)若a=2，的面积为，求b，c的值.
【解析】(1)由及正弦定理得
.
因为，
所以.
由于，
所以.
又，故.
(2)由题得的面积，故①.
而，且，故②，
由①②得.
变式4：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，的面积，则的外接圆的面积为__________．
【解析】因为，所以，
由余弦定理得，所以，
所以．所以的外接圆的面积为．
故答案为：
变式5：若的外接圆的半径是3，且，，，则__________.
【解析】，，,,
故答案为：5.
练习一 已知两角及一边解三角形
1、在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )
A．4eq \r(2) B．4eq \r(3)
C．4eq \r(6) D．4
【解析】 易知A＝45°，由eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(8×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝4eq \r(6).故选C
2、在△ABC中，已知B＝eq \f(π,4)，c＝eq \r(6)，C＝eq \f(π,3)，求A，a，b的值
【解析】由三角形内角和定理知A＝π－eq \f(π,3)－eq \f(π,4)＝eq \f(5π,12).
又由正弦定理eq \f(c,sin C)＝eq \f(b,sin B)，
得b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(\r(6)×sin\f(π,4),sin\f(π,3))＝2.
又由eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，得a＝eq \f(csin A,sin C)＝eq \f(\r(6)×sin\f(5π,12),sin\f(π,3))＝eq \r(3)＋1.
3、在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】在中，∴．
由正弦定理得，
∴ ．
故选A．
练习二 已知两边及一边的对角解三角形
1、(2023·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq \r(7)，b＝2，A＝60°，则sin B＝_______，c＝________.
【解析】由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得sin B＝eq \f(b,a)·sin A＝eq \f(2,\r(7))×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(21),7).
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，
得7＝4＋c2－4c×cs 60°，
即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．
2、在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解B．有两解
C．无解D．有解但解的个数不确定
【解析】由正弦定理得eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
∴sin B＝eq \f(bsin C,c)＝eq \f(40×\f(\r(3),2),20)＝eq \r(3)>1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．故选C
3、【多选】在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是( )
A．b＝7，c＝3，C＝30°B．b＝5，c＝4，B＝45°
C．a＝6，b＝3eq \r(3)，B＝60°D．a＝20，b＝30，A＝30°
【解析】对于A，因为b＝7，c＝3，C＝30°，所以由正弦定理可得sin B＝eq \f(bsin C,c)＝eq \f(7×\f(1,2),3)＝eq \f(7,6)＞1，无解；对于B，因为b＝5，c＝4，B＝45°，所以由正弦定理可得sin C＝eq \f(csin B,b)＝eq \f(4×\f(\r(2),2),5)＝eq \f(2\r(2),5)＜1，且c＜b，有一解；对于C，因为a＝6，b＝3eq \r(3)，B＝60°，所以由正弦定理可得sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(6×\f(\r(3),2),3\r(3))＝1，A＝90°，此时C＝30°，有一解；对于D，因为a＝20，b＝30，A＝30°，所以由正弦定理可得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(30×\f(1,2),20)＝eq \f(3,4)＜1，且b＞a，所以B有两个值，有两解．故选BC
4、在中，若，，，则___________.
【解析】在中，由正弦定理得，
有，解得.
又，所以，所以.故答案为： .
5、已知中，，，若有两解，则边长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】设角A、B、C所对边为a、b、c，由三角形有两解的条件可得，
，即，
解得即边长的取值范围是.
故选：A.
6、在中，内角的对边分别为a，b，c，若，且此三角形有解，则A的取值范围是___________.
【解析】由正弦定理得，
所以,
所以，
所以或,
因为此三角形有解，,
所以.
故答案为：
练习三 判断三角形的形状
1、在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
【解析】∵在中，，
∴由正弦定理可得，
同除以可得
∴一定是直角三角形，
故选B．
2、在中，若，则的形状是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．不能确定
【解析】因为在中，满足，
由正弦定理知，代入上式得，
又由余弦定理可得，因为C是三角形的内角，所以，
所以为钝角三角形，故选A.
3、对于，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为直角三角形
C．若，则为钝角三角形
D．若，，，则的面积为
【解析】对于A：，
或，
或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B: ，
或，
所以不一定是直角三角形，故B错误；
对于C：，
，
由正弦定理得，又，
所以角为钝角，所以为钝角三角形，故C正确；
对于D: ，，，
，又，
或，或，
或，故D错误.
故选：C
4、【多选题】设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【解析】∵
∴由正弦定理得，
∵
∴，即
∴或，即该三角形为等腰三角形或直角三角形.
故选：AC.
5、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，试判断的形状.
【解析】由正弦定理及得，所以
因为，所以或所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形．
6、在中，，则该三角形的形状是___________.
【解析】因为，结合正弦定理得：，
由余弦定理得，
所以，
即，
所以，
，
，
，
因为，所以，即，所以是直角三角形.
故答案为：直角三角形.
练习四 正弦定理的应用
1、在中，内角、、所对的边分别是，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】在中，
所以，
所以，
由正弦定理可知，，
又，
所以，
又，所以，
所以.
故选：A.
2、(2023·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))＋cs A＝eq \f(5,4).
(1)求A；
(2)若b－c＝eq \f(\r(3),3)a，证明：△ABC是直角三角形．
【解析】(1)由已知得sin2A＋cs A＝eq \f(5,4)，即cs2A－cs A＋eq \f(1,4)＝0.
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs A－\f(1,2)))2＝0，cs A＝eq \f(1,2).由于0
由(1)知B＋C＝eq \f(2π,3)，所以sin B－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－B))＝eq \f(\r(3),3)sin eq \f(π,3).
即eq \f(1,2)sin B－eq \f(\r(3),2)cs B＝eq \f(1,2)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,3)))＝eq \f(1,2).
由于0
1、在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为( )．
A．B．C．D．
【解析】由余弦定理得 ，
即，
得，由正弦定理得，
故选：D.
2、在中，，则的值为______．
【解析】因为在中，，
由正弦定理得，设，
由余弦定理得，
故答案为：
3、在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc.
(1)求角A的大小；
(2)求eq \f(bsin B,c)的值．
【解析】(1)由题意知，
b2＝ac⇒cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(ac＋bc－ac,2bc)＝eq \f(1,2)，
∵A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,3).
(2)由b2＝ac，得eq \f(b,c)＝eq \f(a,b)，
∴eq \f(bsin B,c)＝sin B·eq \f(a,b)＝sin B·eq \f(sin A,sin B)＝sin A＝eq \f(\r(3),2).
4、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b·cs A＝c·cs A＋a·cs C.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝eq \r(7)，b＋c＝4，求bc的值．
【解析】(1)根据正弦定理及2b·cs A＝c·cs A＋a·cs C，
得2sin Bcs A＝sin Ccs A＋sin Acs C＝sin(A＋C)＝sinB.
∵sin B≠0，∴cs A＝eq \f(1,2).
∵0＜A＜π，∴A＝eq \f(π,3).
(2)根据余弦定理得
7＝a2＝b2＋c2－2bccs eq \f(π,3)＝(b＋c)2－3bc，
∵b＋c＝4，∴bc＝3.
5、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acs B＋bcs A＝eq \f(\r(7),7)ac，sin 2A＝sin A．
(1)求A及a；
(2)若b－c＝2，求BC边上的高．
【解析】(1)∵acs B＋bcs A＝eq \f(\r(7),7)ac，
∴由正弦定理得sin Acs B＋sin Bcs A＝eq \f(\r(7),7)asin C，
∴sin(A＋B)＝eq \f(\r(7),7)asin C，又A＋B＝π－C，
∴sin C＝eq \f(\r(7),7)asin C，又sin C＞0，
∴a＝eq \r(7).
∵sin 2A＝sin A，∴2sin Acs A＝sin A，又sin A＞0，
∴cs A＝eq \f(1,2)，
∵A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,3).
(2)由(1)及余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，
得b2＋c2－bc＝7.
将b＝c＋2，代入b2＋c2－bc＝7，得c2＋2c－3＝0，
解得c＝1或c＝－3(舍去)，∴b＝3.
∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，∴sin C＝eq \f(csin A,a)＝eq \f(\r(21),14)，
设BC边上的高为h，则h＝bsin C＝eq \f(3\r(21),14).
练习六 三角形的面积问题
1、在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则___________，___________，的面积为___________.
【解析】由正弦定理得：,,所以，
所以.
故答案为：；5；.
2、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝eq \f(2π,3)，a＝7.若△ABC的面积为eq \f(15\r(3),4)，则其周长是 ．
【解析】由面积公式可得S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(\r(3),4)bc，又由题意知S△ABC＝eq \f(15\r(3),4)，得bc＝15.根据余弦定理，得a2＝b2＋c2＋bc，可得(b＋c)2－bc＝a2，由a＝7，bc＝15，解得(b＋c)2＝64，即b＋c＝8，所以周长为a＋b＋c＝15.
答案：15
3、的内角、、的对边分别为、、,已知，该三角形的面积为，则的值为( )
A．B．C．D．
【解析】∵的面积为，，∴，
∴．由余弦定理得，∴．
由正弦定理得．故选A．
4、已知的内角所对的边分别为，．
（1）求的值；
（2）若，求的面积
【解析】（1）由正弦定理得 故；
（2），由余弦定理，，解得
因此，
5、在△ABC中，a＝eq \r(2)，c＝eq \r(10)， (补充条件)．
(1)求△ABC的面积；
(2)求sin(A＋B)．
从①b＝4，②cs B＝－eq \f(\r(5),5)，③sin A＝eq \f(\r(10),10)这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】选择①.
(1)在△ABC中，因为a＝eq \r(2)，c＝eq \r(10)，b＝4，
由余弦定理得
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(2)2＋42－\r(10)2,2×\r(2)×4)＝eq \f(\r(2),2)，
因为C∈(0，π)，所以sin C＝eq \r(1－cs2C)＝eq \f(\r(2),2)，
所以S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×4×eq \f(\r(2),2)＝2.
(2)在△ABC中，A＋B＝π－C．
所以sin(A＋B)＝sin C＝eq \f(\r(2),2).
选择②.
(1)因为cs B＝－eq \f(\r(5),5)，B∈(0，π)，
所以sin B＝eq \r(1－cs2B)＝eq \f(2\r(5),5)，
因为a＝eq \r(2)，c＝eq \r(10)，
所以S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \r(10)×eq \f(2\r(5),5)＝2.
(2)因为a＝eq \r(2)，c＝eq \r(10)，cs B＝－eq \f(\r(5),5)，
由b2＝a2＋c2－2accs B，
得b2＝(eq \r(2))2＋(eq \r(10))2－2×eq \r(2)×eq \r(10)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)))＝16，
解得b＝4，
由eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，解得sin C＝eq \f(\r(2),2)，
在△ABC中，A＋B＝π－C，sin(A＋B)＝sin C＝eq \f(\r(2),2).
选择③.
依题意，A为锐角，由sin A＝eq \f(\r(10),10)，
得cs A＝eq \r(1－sin2A)＝eq \f(3\r(10),10)，
在△ABC中，因为a＝eq \r(2)，c＝eq \r(10)，cs A＝eq \f(3\r(10),10)，
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，
得(eq \r(2))2＝b2＋(eq \r(10))2－2×eq \r(10)×eq \f(3\r(10),10)b，
解得b＝2或b＝4.
(1)当b＝2时，S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×2×eq \r(10)×eq \f(\r(10),10)＝1.
当b＝4时，S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×4×eq \r(10)×eq \f(\r(10),10)＝2.
(2)由a＝eq \r(2)，c＝eq \r(10)，sin A＝eq \f(\r(10),10)，eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，
得sin C＝eq \f(\r(2),2)，
在△ABC中，A＋B＝π－C，sin(A＋B)＝sin C＝eq \f(\r(2),2).
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