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高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第13讲余弦定理、正弦定理的应用举例(原卷版+解析)
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这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第13讲余弦定理、正弦定理的应用举例(原卷版+解析)，共76页。试卷主要包含了仰角和俯角，如图，设等内容，欢迎下载使用。
知识点1 实际问题中的常用角
1、(1)仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角.目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示.
(2)方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°，如B点的方位角为α(如图1所示).
(3)方位角的其他表示——方向角
①正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上.依此可类推正北方向、正东方向和正西方向.
②东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图2所示).
(4)坡角与坡比
坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq \f(h,l)＝tan θ
知识点2 常见距离问题
知识点3 常见高度问题
知识点4 运用正、余弦定理解决实际问题的基本步骤
(1)分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型；
(3)求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解；
(4)检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解．
考点一 测量距离问题
解题方略：
测量距离的基本类型及方案
【例1】已知A，B两地相距10 km，B，C两地相距20 km，且∠ABC＝120°，则A，C两地相距( )
A．10 km B．10eq \r(3) km C．10eq \r(5) km D．10eq \r(7) km
变式1：如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是________m.
变式2：某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得角∠A＝23°，∠C＝120°，米，则A，B间的直线距离约为（参考数据）（ ）
A．60米B．120米C．150米D．300米
变式3：如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点的距离是________．
变式4：在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为eq \f(\r(3)a,2)的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离．
变式5：如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从C点到B点历时14 s，则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1，参考数据：eq \r(2)≈1.414，eq \r(5)≈2.236)
变式6：海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是( )
A．10eq \r(3) 海里 B.eq \f(10\r(6),3) 海里
C．5eq \r(2) 海里 D．5eq \r(6) 海里
变式7：一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为( )
A.eq \f(17\r(6),2) n mile/h B．34eq \r(6) n mile/h
C.eq \f(17\r(2),2) n mile/h D．34eq \r(2) n mile/h
变式8：如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12eq \r(6) n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求A与D间的距离．
变式9：一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过eq \r(3) h，则船实际航程为( )
A．2eq \r(15) km B．6 km
C．2eq \r(21) km D．8 km
考点二 测量高度问题
解题方略：
测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．
【例2】在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为( )
A．20 m B．30 m
C．40 m D．60 m
变式1：如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两点C与D.现测得∠BCD＝α，
∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.
变式2：如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.
变式3：东寺塔和西寺塔为昆明市城中古景，分别位于昆明市南面的书林街和东寺街，一东一西隔街相望，距今已有1100多年历史，在二月的梅花和烟雨中，“双塔烟雨”成为明清时的“昆明八景”之一.东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称.如图，从东到西的公路上有相距80（单位：）的两个观测点，在点测得塔在北偏东60°的点处，在点测得塔在北偏西30°，塔顶的仰角为45°，则塔的高度约为（ ）
A．B．C．D．
变式4：如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB，某人先在塔的正西方点C处测得塔项的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进60到达点D处，在D处测得塔项的仰角为，则铁塔AB的高度是（ ）
A．50B．30C．25D．15
变式5：如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°，从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=500m，则山高MN=______m.
变式6：如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度___________.
变式7：如图，悬崖的右侧有一条河，左侧一点与河对岸，点、悬崖底部点在同一直线上，一架带有照相机功能的无人机从点沿直线飞行200米到达悬崖顶部点后，然后再飞到点的正上方垂直飞行对线段拍照．其中从处看悬崖顶部的仰角为60°，，米，当无人机在点处获得最佳拍照角度时（即最大），该无人机离底面的高度为（ ）
A．米B．米C．米D．200米
考点三 测量角度问题
解题方略：
测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
（一）仰角和俯角
【例3】从地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为( )
A．α＋β B．α－β C．β－α D．α
变式1：从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )
A．α＞β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
（二）方位角
【例4】若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的( )
A．东偏北45°10′方向上 B．东偏北44°50′方向上
C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南44°50′方向上
变式1：两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°
【例5】某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10 海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10 海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10eq \r(3) 海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．
变式1：某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(eq \r(3)＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10eq \r(2) 海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且eq \r(3)＋1小时后开始持续影响基地2小时．求台风移动的方向．
变式2：在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(eq \r(3)－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10eq \r(3) n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
考点四 正余弦定理在几何中的应用
【例6】△ABC中，BD是AC边上的高，，，则（ ）
A．B．
C．D．
变式1：如图，中，已知点D在BC边上，，，，，则△的面积为________；AB的长是________.
变式2：如图，△的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知，则___________.若线段的垂直平分线交于点D，交AB于点E，且.则△的面积为___________.
变式3：如图，在中，，，延长至，使得.
(1)若，求的面积；
(2)求面积的取值范围.
变式4：已知中，内角、、的对边分别为、、，为的角平分线．
(1)求证：；
(2)若且，求的大小．
(2)
变式5：在如图所示的四边形区域ABCD中，，，，现园林绿化师计划在区域外以AD为边增加景观区域ADM，当时，景观区域ADM面积的最大值为__________．
考点五 正余弦定理与三角函数综合
【例7】已知函数.
（1）求函数在上的最小值；
（2）已知，，分别为内角，，的对边，，，且，求边的长.
变式1：已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）若的内角，，的对边分别为，，且满足，，求的值.
变式2：已知函数为奇函数，且图像相邻的对称轴之间的距离为
(1)求函数的解析式及其减区间；
(2)在中，角A、B、C对应的边为a、b、c，且，，求的周长的取值范围．
练习一 测量距离问题
1、2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走___________米 .
2、一船以每小时15 km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________km.
3、甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12 km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15 min时，两船的距离是( )
A.eq \r(7) km B.eq \r(13) km
C.eq \r(19) km D.eq \r(10－3\r(3)) km
4、台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的持续时间为________h.
5、如图，设、两点在水库的两岸，测量者在的同侧的库边选定一点，测出的距离为m，，，就可以计算出、两点的距离为（ ）
A．mB．mC．mD．m
6、某观察站在城的南偏西的方向，由城出发的一条公路走向是南偏东，在处测得公路上距的处有一人正沿公路向城走去，走了之后到达处，此时，间的距离为，则城与观察站之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
7、在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
8、已知三个观测点，在的正北方向，相距，在的正东方向，相距.在某次爆炸点定位测试中，两个观测点同时听到爆炸声，观测点晚听到，已知声速为，则爆炸点与观测点的距离是（ ）
A．B．C．D．
9、如图，已知两座山高分别为米，米，为测量这两座山峰之间的距离，选择水平地面上一点为观测点，测得，则这两座山峰之间的距离是（ ）
A．米B．米C．20000米D．100000米
10、如图，从200m高的电视塔塔顶A测得地面上某两点B，C的俯角分别为30°和45°，∠BAC＝45°，则B，C两点间的距离为________m．（俯角：在垂直面内视线与水平线的夹角）
11、一炮弹在A处的东偏北的某处爆炸，在A处测到爆炸信号的时间比在B处早4秒，已知A在B的正东方、相距6千米，P为爆炸地点（该信号的传播速度为每秒1千米）求A、P两地的距离.
12、如图所示，一架敌方侦察机向正东方向匀速飞行抵近我方侦察，地面雷达首次探测到该侦察机时其在北偏西75°方向，仰角为30°，2后侦察机飞行到北偏东60°方向，假设该侦察机保持3的飞行高度不变，则其飞行速度为___________.
13、如图所示，有四座城市A，B，C，D，其中B在A的正东方向，且与A相距120km，D在A的北偏东30°方向，且与A相距60km，C在B的北偏东30°方向，且与B相距km，一架飞机从城市D出发，以360km/h的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B有（ ）
A．120kmB．kmC．kmD．km
练习二 测量高度问题
1、如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为( )
A．500eq \r(2) m B．200 m C．1 000eq \r(2) m D．1 000 m
2、如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是60 m，则河流的宽度BC是( )
A．240(eq \r(3)－1)m B．180(eq \r(2)－1)m
C．120(eq \r(3)－1)m D．30(eq \r(3)＋1)m
3、某校高一年级某班开展数学活动，小李和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆高度，小李站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小李和小军相距(BD)6米，小李的身高(AB)1.5米，小军的身高(CD)1.75米，求旗杆的高EF的长．(结果精确到0.1，参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73)
4、某烟花厂按以下方案测试一种“烟花”的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点）进行该烟花的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距30米，∠BAC＝60°，其中B到C的距离为70米.在A地测得C处的俯角为∠OAC＝15°，最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该烟花的垂直弹射高度CH约为（参考数据：≈2.446）（ ）
A．40米B．56米C．65米D．113米
5、山坡上的一棵树被台风吹断，如图，折断部分与残存树干成角，残存树干与山坡构成的角，若m，则这棵树原来的高度为（ ）
A．mB．m
C．mD．m
6、如图，一辆汽车在一条笔直的马路上从东往西以的速度匀速行驶，在处测得马路右侧的一座高塔的仰角为，行驶5分钟后，到达处，测得高塔的仰角为，其中为高塔的底部，且在同一水平面上，则高塔的高度是___________.（塔底大小､汽车的高度及大小忽略不计）
7、圣·索菲亚教堂（SaintSphiaCathedral）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，被列为第四批全国重点文物保护单位，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.如图，小宇为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为：12m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（取）（ ）
A．42.5mB．45mC．51mD．56.4m
8、如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D．现测得米，在点C测得塔顶A的仰角为，
(1)求的面积；
(2)求塔高．
练习三 测量角度问题
1、在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的（ ）
A．北偏西34°27′B．北偏东55°33′
C．北偏西55°32′D．南偏西55°33′
2、如图，一轮船从A点沿北偏东的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东的方向行驶10海里至海岛，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛，则此船沿__________方向行驶__________海里至海岛C（ ）
A．北偏东；B．北偏东；
C．北偏东；D．北偏东；
3、当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝________.
4、一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行到达海岛C．
(1)求的长；
(2)如果下次航行直接从A出发到达C，应沿什么方向航行？
5、为了测量一个不规则湖泊两端C，D之间的距离，如图，在东西方向上选取相距1km的A，B两点，点B在点A的正东方向上，且A，B，C，D四点在同一水平面上.从点A处观测得点C在它的东北方向上，点D在它的西北方向上；从点B处观测得点C在它的北偏东30°方向上，点D在它的北偏西60°方向上.
(1)求C，D两点之间的距离；
(2)以点D为观测点，求点C的方位角.
练习四 正余弦定理在几何中的应用
1、如图，在中，AD平分，且.
（1）求的值；
（2）若，，求的面积.
2、在中，点在边上，，
（1）若，求
（2）若，求的值
3、在中，的角平分线与边相交于点，满足.
(1)求证：；
(2)若，求的大小.
4、如图，在中，点在边上，且.记，.
(1)求证：；
(2)若，，，求的长.
5、如图，在中，，，点在线段上．
(1)若，求的长；
(2)若，的面积为，求的值．
6、在平面四边形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝－，CD＝．
(1)求∠ACB的大小；
(2)求四边形ABCD的面积．
7、在四边形ABCD中，AD//BC，AB＝，∠A＝120°，BD＝3．
（1）求AD的长；
（2）若∠BCD＝105°，求四边形ABCD的面积．
8、北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保､舒适､温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，，且，，.
(1)求氢能源环保电动步道的长；
(2)若___________；求花卉种植区域总面积.
从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
练习五 正余弦定理与三角函数综合
1、已知函数．
(1)求函数的最小正周期，并求函数在时的值域；
(2)设△的内角是，所对边长分别是，当，时，求边长的最小值．
2、已知函数
(1)求函数的最小正周期；
(2)在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，试判断的形状．
3、设函数.
(1)求函数图象的对称中心；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若，，求面积的最大值.
4、（2023·江苏）已知函数，．
（1）求函数的最小值和最小正周期；
（2）设的内角、、的对边分别为，，，且，，若，求，的值．
5、已知
（1）求函数取最大值时的取值集合；
（2）设锐角的角，，所对的边分别为，，，，，求的面积的最大值.
6、己知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)设的三边为a，b，c，b＝2，若，求周长的最大值．
类型
图形
方法
具体
两点间不可通又不可视
余弦定理
可取某点C，使得点A，B和C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a，以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得，AB＝eq \r(a2＋b2－2abcs γ).
两点间可视不可到达的距离
正弦定理
可选取与点B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.
两个不可到达的点之间的距离
先用正弦定理，
再用余弦定理
可先在此岸一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.
类型
简图
计算方法
底部可达
测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C.
底部不可达
点B与C，D共线
测得CD＝a及C与∠ADB的度数.
先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值.
点B与C，D不共线
测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数.
在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值.
类型
A，B两点间不可通或不可视
A，B两点间可视，但有一点不可达
A，B两点都不可达
图形
方法
先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB
以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB
测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；
在△BCD中用正弦定理求BC；
在△ABC中用余弦定理求AB
第13讲 余弦定理、正弦定理的应用举例
知识点1 实际问题中的常用角
1、(1)仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角.目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示.
(2)方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°，如B点的方位角为α(如图1所示).
(3)方位角的其他表示——方向角
①正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上.依此可类推正北方向、正东方向和正西方向.
②东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图2所示).
(4)坡角与坡比
坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq \f(h,l)＝tan θ
知识点2 常见距离问题
知识点3 常见高度问题
知识点4 运用正、余弦定理解决实际问题的基本步骤
(1)分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型；
(3)求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解；
(4)检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解．
考点一 测量距离问题
解题方略：
测量距离的基本类型及方案
【例1】已知A，B两地相距10 km，B，C两地相距20 km，且∠ABC＝120°，则A，C两地相距( )
A．10 km B．10eq \r(3) km C．10eq \r(5) km D．10eq \r(7) km
【解析】AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cs 120°＝700，∴AC＝10eq \r(7) km.故选D.
变式1：如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是________m.
【解析】tan 30°＝eq \f(CD,AD)，tan 75°＝eq \f(CD,DB)，又AD＋DB＝120，∴AD·tan 30°＝(120－AD)·tan 75°，
∴AD＝60eq \r(3)，故CD＝60.
变式2：某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得角∠A＝23°，∠C＝120°，米，则A，B间的直线距离约为（参考数据）（ ）
A．60米B．120米C．150米D．300米
【解析】由题设，，
在△中，，即，
所以米.
故选：C
变式3：如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点的距离是________．
【解析】在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，
∴BD＝CD＝40，BC＝ eq \r(BD2＋CD2)＝40eq \r(2).
在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，
∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°.
由正弦定理，得AC＝eq \f(CDsin 30°,sin 45°)＝20eq \r(2).
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cs ∠BCA＝(20eq \r(2))2＋(40eq \r(2))2－2×40eq \r(2)×20eq \r(2)cs 60°＝2 400，
∴AB＝20eq \r(6)，
故A，B两点之间的距离为20eq \r(6) m.
变式4：在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为eq \f(\r(3)a,2)的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离．
【解析】∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，
又∠DCA＝60°，∴∠DAC＝60°.
∴AD＝CD＝AC＝eq \f(\r(3),2)a.
在△BCD中，∠DBC＝45°，
∵eq \f(BC,sin 30°)＝eq \f(CD,sin 45°)，∴BC＝eq \f(\r(6),4)a.
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs 45°＝eq \f(3,4)a2＋eq \f(3,8)a2－2×eq \f(\r(3),2)a×eq \f(\r(6),4)a×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(3,8)a2.
∴AB＝eq \f(\r(6),4)a.
∴蓝方这两支精锐部队之间的距离为eq \f(\r(6),4)a.
变式5：如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从C点到B点历时14 s，则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1，参考数据：eq \r(2)≈1.414，eq \r(5)≈2.236)
【解析】由题意，AB＝200 m，AC＝100 eq \r(2) m，
由余弦定理可得
BC＝ eq \r(40 000＋20 000－2×200×100 \r(2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2))))
≈316.2 (m)，
这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6 (m/s)．
答案：22.6
变式6：海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是( )
A．10eq \r(3) 海里 B.eq \f(10\r(6),3) 海里
C．5eq \r(2) 海里 D．5eq \r(6) 海里
【解析】如图所示，根据题意，在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.由正弦定理可得eq \f(AB,sin C)＝eq \f(BC,sin A)，即eq \f(10,\f(\r(2),2))＝eq \f(BC,\f(\r(3),2))，∴BC＝5eq \r(6)(海里)．故选D.
变式7：一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为( )
A.eq \f(17\r(6),2) n mile/h B．34eq \r(6) n mile/h
C.eq \f(17\r(2),2) n mile/h D．34eq \r(2) n mile/h
【解析】如图所示，在△PMN中，eq \f(PM,sin 45°)＝eq \f(MN,sin 120°)，
∴MN＝eq \f(68×\r(3),\r(2))＝34eq \r(6)，∴v＝eq \f(MN,4)＝eq \f(17\r(6),2) (n mile/h)．故选A.
变式8：如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12eq \r(6) n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求A与D间的距离．
【解析】在△ABD中，∠ADB＝60°，∠DAB＝75°，
∴B＝45°.
∴AD＝eq \f(ABsin B,sin ∠ADB)＝eq \f(12\r(6)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝24(n mile)．
即A与D间的距离为24 n mile.
变式9：一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过eq \r(3) h，则船实际航程为( )
A．2eq \r(15) km B．6 km
C．2eq \r(21) km D．8 km
【解析】如图所示，在△ACD中，AC＝2eq \r(3)，CD＝4eq \r(3)，∠ACD＝60°，∴AD2＝12＋48－2×2eq \r(3)×4eq \r(3)×eq \f(1,2)＝36.∴AD＝6.即该船实际航程为6 km.故选B.
考点二 测量高度问题
解题方略：
测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．
【例2】在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为( )
A．20 m B．30 m
C．40 m D．60 m
【解析】如图，设O为塔顶在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20eq \r(3). 在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60. ∴AB＝OA－OB＝40. 故选C.
变式1：如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两点C与D.现测得∠BCD＝α，
∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.
【解析】在△BCD中，∠CBD＝π－(α＋β)．
由正弦定理得eq \f(BC,sin∠BDC)＝eq \f(CD,sin∠CBD).
∴BC＝eq \f(CDsin∠BDC,sin∠CBD)＝eq \f(s·sin β,sinα＋β).
在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝eq \f(s·sin βtan θ,sinα＋β).
变式2：如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.
【解析】由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.
因此只需在△ABD中求出AD即可，
在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，
由eq \f(AB,sin 15°)＝eq \f(AD,sin 45°)，得AD＝eq \f(AB·sin 45°,sin 15°)＝eq \f(800×\f(\r(2),2),\f(\r(6)－\r(2),4))
＝800(eq \r(3)＋1)(m)．
即山的高度为800(eq \r(3)＋1)m.
变式3：东寺塔和西寺塔为昆明市城中古景，分别位于昆明市南面的书林街和东寺街，一东一西隔街相望，距今已有1100多年历史，在二月的梅花和烟雨中，“双塔烟雨”成为明清时的“昆明八景”之一.东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称.如图，从东到西的公路上有相距80（单位：）的两个观测点，在点测得塔在北偏东60°的点处，在点测得塔在北偏西30°，塔顶的仰角为45°，则塔的高度约为（ ）
A．B．C．D．
【解析】如图，依题意，，，，
于是得，，在中，，
所以塔的高度约为.
故选：A
变式4：如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB，某人先在塔的正西方点C处测得塔项的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进60到达点D处，在D处测得塔项的仰角为，则铁塔AB的高度是（ ）
A．50B．30C．25D．15
【解析】设塔高的高度为，在中，因为，所以；
在中，因为，所以；
在中，，，，
根据余弦定理可得，，
即，解得或（舍去）.
故选：B.
变式5：如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°，从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=500m，则山高MN=______m.
【解析】在中，，所以，
在中，，则，
由正弦定理得，，
所以，
在中，，
所以，
故答案为：750
变式6：如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度___________.
【解析】设此山高为，则，
在中，则，，则有
解得：，
故答案为：m.
变式7：如图，悬崖的右侧有一条河，左侧一点与河对岸，点、悬崖底部点在同一直线上，一架带有照相机功能的无人机从点沿直线飞行200米到达悬崖顶部点后，然后再飞到点的正上方垂直飞行对线段拍照．其中从处看悬崖顶部的仰角为60°，，米，当无人机在点处获得最佳拍照角度时（即最大），该无人机离底面的高度为（ ）
A．米B．米C．米D．200米
【解析】在中，由正弦定理得，所以．再由余弦定理得，解得．又，所以．设该无人机离底面的高度为米，，
则，当且仅当时等号成立，此时无人机拍摄角度最佳．
故选：C.
考点三 测量角度问题
解题方略：
测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
（一）仰角和俯角
【例3】从地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为( )
A．α＋β B．α－β C．β－α D．α
【解析】如图可知，山顶的仰角为β－α.故选C.
变式1：从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )
A．α＞β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
【解析】根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故选B.
（二）方位角
【例4】若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的( )
A．东偏北45°10′方向上 B．东偏北44°50′方向上
C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南44°50′方向上
【解析】如图所示．故选C
变式1：两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°
【解析】灯塔A，B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.故选B.
【例5】某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10 海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10 海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10eq \r(3) 海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．
【解析】设所需时间为t小时，则AB＝10eq \r(3)t，CB＝10t，在△ABC中，根据余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcs 120°，
可得(10eq \r(3)t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcs 120°，
整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－eq \f(1,2)(舍去)．
所以护航舰需要1小时靠近货船．
此时AB＝10eq \r(3)，BC＝10，
在△ABC中，由正弦定理得eq \f(BC,sin∠CAB)＝eq \f(AB,sin 120°)，
所以sin∠CAB＝eq \f(BCsin 120°,AB)＝eq \f(10×\f(\r(3),2),10\r(3))＝eq \f(1,2)，
所以∠CAB＝30°，
所以护航舰航行的方位角为75°.
变式1：某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(eq \r(3)＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10eq \r(2) 海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且eq \r(3)＋1小时后开始持续影响基地2小时．求台风移动的方向．
【解析】如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一直线上，且AD＝20，AC＝20.
由题意AB＝20(eq \r(3)＋1)，DC＝20eq \r(2)，
BC＝(eq \r(3)＋1)·10eq \r(2).在△ADC中，
因为DC2＝AD2＋AC2，
所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
在△ABC中，由余弦定理得
cs∠BAC＝eq \f(AC2＋AB2－BC2,2AC·AB)＝eq \f(\r(3),2).
所以∠BAC＝30°，又因为B位于A南偏东60°，
60°＋30°＋90°＝180°，又D位于A的正北方向，
又因为∠ADC＝45°，
所以台风移动的方向为北偏西45°.
变式2：在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(eq \r(3)－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10eq \r(3) n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
【解析】设缉私船用t h在D处追上走私船，画出示意图，
则有CD＝10eq \r(3)t，BD＝10t，
在△ABC中，∵AB＝eq \r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°，
∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs∠BAC＝(eq \r(3)－1)2＋22－2·(eq \r(3)－1)·2·cs 120°＝6，
∴BC＝eq \r(6)，且sin∠ABC＝eq \f(AC,BC)·sin∠BAC＝eq \f(2,\r(6))·eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(2),2)，
∴∠ABC＝45°，BC与正北方向成90°角．
∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝eq \f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq \f(10tsin 120°,10\r(3)t)＝eq \f(1,2)，
∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．
考点四 正余弦定理在几何中的应用
【例6】△ABC中，BD是AC边上的高，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】∵
∴
∵
∴
由正弦定理可知，即
∴；
故选：A．
变式1：如图，中，已知点D在BC边上，，，，，则△的面积为________；AB的长是________.
【解析】因为，，，
所以，
又，
则△的面积为，
又，所以在△中由正弦定理得：
，则.
故答案为：；.
变式2：如图，△的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知，则___________.若线段的垂直平分线交于点D，交AB于点E，且.则△的面积为___________.
【解析】由余弦定理知：，而，
∴，又，则，
在△中，设，则，可得，
又的垂直平分线交于点D，交AB于点E，则，
∴，可得，而，故.
∴，故△的面积为.
故答案为：，.
变式3：如图，在中，，，延长至，使得.
(1)若，求的面积；
(2)求面积的取值范围.
【解析】(1)在中，，，.由正弦定理知，所以.
因为为锐角，所以，所以.
在中，，，则，
故.
(2)在中，设，则，.
在中，由正弦定理，得，
所以
由，得，又为锐角，
所以，，所以，
故面积的取值范围是.
变式4：已知中，内角、、的对边分别为、、，为的角平分线．
(1)求证：；
(2)若且，求的大小．
(2)
【解析】(1)证明：由题意可得，
因为为的角平分线，则，
在中，，则，
同理可得，因此，故.
(2)解：设，则，
因为，即，
因为，则，则，，
即，可得，
由（1）可得，则，
在中，，
整理可得，所以，，
因此，.
变式5：在如图所示的四边形区域ABCD中，，，，现园林绿化师计划在区域外以AD为边增加景观区域ADM，当时，景观区域ADM面积的最大值为__________．
【解析】
连AC，，，
∴，则，，
∴．
在△ADM中，，
∴
∴，当且仅当时等号成立，
．
故答案为：.
考点五 正余弦定理与三角函数综合
【例7】已知函数.
（1）求函数在上的最小值；
（2）已知，，分别为内角，，的对边，，，且，求边的长.
【解析】（1）
，
又，所以，
所以当即时，取得最小值，
所以，
（2）因为，，
所以，又，所以，所以由正弦定理有，所以.
变式1：已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）若的内角，，的对边分别为，，且满足，，求的值.
【解析】（1）
，∴，，∴.
（2）∵由题意可得 有，
，
化简可得：，∴由正弦定理可得：，∵，∴余弦定理可得： ，∵，∴，所以.
变式2：已知函数为奇函数，且图像相邻的对称轴之间的距离为
(1)求函数的解析式及其减区间；
(2)在中，角A、B、C对应的边为a、b、c，且，，求的周长的取值范围．
【解析】(1)，
由函数相邻的对称轴之间的距离为，得，
∴，
又∵为奇函数，∴，即，
得，即，而，故，
令，得，
∴的减区间为；
(2)由（1）可知，得，即，
∵，∴，∴，即，
∵，∴
∴
，
而，故；∵，故；
∴，即的周长的取值范围为.
练习一 测量距离问题
1、2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走___________米 .
【解析】由题意，设李华家为，有害垃圾点为，可回收垃圾点为，
则李华的行走路线，如图所示，
在中，因为，
由余弦定理可得：
米，
即李华回到自家楼下至少还需走70米.
故答案为：70.
2、一船以每小时15 km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________km.
【解析】如图所示，AC＝15×4＝60.∠BAC＝30°，∠B＝45°，在△ABC中，eq \f(60,sin 45°)＝eq \f(BC,sin 30°)，∴BC＝30eq \r(2).
答案：30eq \r(2)
3、甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12 km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15 min时，两船的距离是( )
A.eq \r(7) km B.eq \r(13) km
C.eq \r(19) km D.eq \r(10－3\r(3)) km
【解析】由题意知AM＝8×eq \f(15,60)＝2，BN＝12×eq \f(15,60)＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理，得MN2＝MB2＋BN2－2MB·BNcs 120°＝1＋9－2×1×3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝13，所以MN＝eq \r(13) km.故选B.
4、台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的持续时间为________h.
【解析】设t h时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得(20t)2＋402－2×20t×40×cs 45°＝302. 化简，得4t2－8eq \r(2)t＋7＝0，∴t1＋t2＝2eq \r(2)，t1·t2＝eq \f(7,4).从而|t1－t2|＝eq \r(t1＋t22－4t1t2)＝1(h)．
5、如图，设、两点在水库的两岸，测量者在的同侧的库边选定一点，测出的距离为m，，，就可以计算出、两点的距离为（ ）
A．mB．mC．mD．m
【解析】∵中，，，
∴.
又∵中，m，
∴由正弦定理可得：，则m.故选：A.
6、某观察站在城的南偏西的方向，由城出发的一条公路走向是南偏东，在处测得公路上距的处有一人正沿公路向城走去，走了之后到达处，此时，间的距离为，则城与观察站之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意得，在中，，
由余弦定理得,
因为，
所以，
因为
所以，
在中，，由正弦定理得
，
所以，
故选：A
7、在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
【解析】设甲驱逐舰、乙护卫舰、航母所在位置分别为A，B，C，
则，，.
在△ABC中，由正弦定理得，即，
解得，即甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为海里
故选：A
8、已知三个观测点，在的正北方向，相距，在的正东方向，相距.在某次爆炸点定位测试中，两个观测点同时听到爆炸声，观测点晚听到，已知声速为，则爆炸点与观测点的距离是（ ）
A．B．C．D．
【解析】设爆炸点为，由于两个观测点同时听到爆炸声，则点位于的垂直平分线上，又在的正东方向且观测点晚听到，则点位于的左侧，，,，设，
则，
解得，则爆炸点与观测点的距离为，
故选：D.
9、如图，已知两座山高分别为米，米，为测量这两座山峰之间的距离，选择水平地面上一点为观测点，测得，则这两座山峰之间的距离是（ ）
A．米B．米C．20000米D．100000米
【解析】由题意可得米，
米，
则
，
故米.
，即之间的距离为米.选项B正确.
故选：B.
10、如图，从200m高的电视塔塔顶A测得地面上某两点B，C的俯角分别为30°和45°，∠BAC＝45°，则B，C两点间的距离为________m．（俯角：在垂直面内视线与水平线的夹角）
【解析】图中平面，则
，
在三角形中，
故答案为：
11、一炮弹在A处的东偏北的某处爆炸，在A处测到爆炸信号的时间比在B处早4秒，已知A在B的正东方、相距6千米，P为爆炸地点（该信号的传播速度为每秒1千米）求A、P两地的距离.
【解析】如图所示，由题意可知千米，千米，，
在中，设千米，则千米，由余弦定理得
，解得（千米），
所以A、P两地的距离为10千米
12、如图所示，一架敌方侦察机向正东方向匀速飞行抵近我方侦察，地面雷达首次探测到该侦察机时其在北偏西75°方向，仰角为30°，2后侦察机飞行到北偏东60°方向，假设该侦察机保持3的飞行高度不变，则其飞行速度为___________.
【解析】如图所示，在Rt△ABD中可知∠ABD=30°，AD=3，所以.在△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=135°，
根据正弦定理可得，所以该侦察机的飞行速度为.
故答案为：．
13、如图所示，有四座城市A，B，C，D，其中B在A的正东方向，且与A相距120km，D在A的北偏东30°方向，且与A相距60km，C在B的北偏东30°方向，且与B相距km，一架飞机从城市D出发，以360km/h的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B有（ ）
A．120kmB．kmC．kmD．km
【解析】设15min后飞机到了处，则，
由题意，，
，，
，所以，所以，
从而，于是
，，
中，，
．
故选：D．
练习二 测量高度问题
1、如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为( )
A．500eq \r(2) m B．200 m C．1 000eq \r(2) m D．1 000 m
【解析】∵∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，在△ABS中，AB＝eq \f(AS·sin 135°,sin 30°)＝eq \f(1 000×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝1 000eq \r(2)，∴BC＝AB·sin 45°＝1 000eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝1 000(m)．故选D.
2、如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是60 m，则河流的宽度BC是( )
A．240(eq \r(3)－1)m B．180(eq \r(2)－1)m
C．120(eq \r(3)－1)m D．30(eq \r(3)＋1)m
【解析】由题意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60 m，∴AC＝120 m．在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC＝eq \f(ACsin∠BAC,sin∠ABC)＝eq \f(120×\f(\r(2),2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝120(eq \r(3)－1)(m)．故选C.
3、某校高一年级某班开展数学活动，小李和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆高度，小李站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小李和小军相距(BD)6米，小李的身高(AB)1.5米，小军的身高(CD)1.75米，求旗杆的高EF的长．(结果精确到0.1，参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73)
【解析】过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，
∴MN＝0.25，∵∠EAM＝45°，∴AM＝ME，
设AM＝ME＝x，
则CN＝(x＋6)，EN＝(x－0.25)，
∵∠ECN＝30°，∴tan∠ECN＝eq \f(EN,CN)＝eq \f(x－0.25,x＋6)＝eq \f(\r(3),3)，
解得：x≈8.8，
则EF＝EM＋MF≈8.8＋1.5＝10.3(m)．
答：旗杆的高EF约为10.3 m.
4、某烟花厂按以下方案测试一种“烟花”的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点）进行该烟花的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距30米，∠BAC＝60°，其中B到C的距离为70米.在A地测得C处的俯角为∠OAC＝15°，最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该烟花的垂直弹射高度CH约为（参考数据：≈2.446）（ ）
A．40米B．56米C．65米D．113米
【解析】在中，由余弦定理：.
因为，所以，
又因为，所以，
于是，.
故选：C.
5、山坡上的一棵树被台风吹断，如图，折断部分与残存树干成角，残存树干与山坡构成的角，若m，则这棵树原来的高度为（ ）
A．mB．m
C．mD．m
【解析】中，，，，
由正弦定理，得．
所以，，
所以m
故选:A．
6、如图，一辆汽车在一条笔直的马路上从东往西以的速度匀速行驶，在处测得马路右侧的一座高塔的仰角为，行驶5分钟后，到达处，测得高塔的仰角为，其中为高塔的底部，且在同一水平面上，则高塔的高度是___________.（塔底大小､汽车的高度及大小忽略不计）
【解析】如图，由题意可知，
设，则，
在中，由余弦定理可得，
即，解得.
故答案为：.
7、圣·索菲亚教堂（SaintSphiaCathedral）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，被列为第四批全国重点文物保护单位，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.如图，小宇为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为：12m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（取）（ ）
A．42.5mB．45mC．51mD．56.4m
【解析】如图所示，在中，，
在中，，，
所以，
由正弦定理，可得，
又由，
在中，可得.
故选：D.
8、如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D．现测得米，在点C测得塔顶A的仰角为，
(1)求的面积；
(2)求塔高．
【解析】(1)在中，因，则，
由正弦定理得：，，
则，
所以的面积是平方米.
(2)依题意，平面BCD，而平面 BCD，则有，
在中，，由得：
，
所以塔高是米.
练习三 测量角度问题
1、在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的（ ）
A．北偏西34°27′B．北偏东55°33′
C．北偏西55°32′D．南偏西55°33′
【解析】根据方向角的概念可知A正确．
故选：A.
2、如图，一轮船从A点沿北偏东的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东的方向行驶10海里至海岛，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛，则此船沿__________方向行驶__________海里至海岛C（ ）
A．北偏东；B．北偏东；
C．北偏东；D．北偏东；
【解析】由题意得：，，故，所以从A到C的航向为北偏东，由余弦定理得：，故.
故选：C
3、当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝________.
【解析】如图，设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x，依据正弦定理可得eq \f(2,sin 60°)＝eq \f(x,sin120°－α).
所以x＝eq \f(4,\r(3))·sin(120°－α)．因为0°<120°－α<120°，所以要使x最大，只需120°－α＝90°，即α＝30°时，影子最长．
答案：30°
4、一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行到达海岛C．
(1)求的长；
(2)如果下次航行直接从A出发到达C，应沿什么方向航行？
【解析】(1)由题意知，在中，，
，，
根据余弦定理，得，
所以n mile．
(2)根据正弦定理可得，
即
又，所以．
所以应沿北偏东的方向航方向航行 n mile即可到达C处.
5、为了测量一个不规则湖泊两端C，D之间的距离，如图，在东西方向上选取相距1km的A，B两点，点B在点A的正东方向上，且A，B，C，D四点在同一水平面上.从点A处观测得点C在它的东北方向上，点D在它的西北方向上；从点B处观测得点C在它的北偏东30°方向上，点D在它的北偏西60°方向上.
(1)求C，D两点之间的距离；
(2)以点D为观测点，求点C的方位角.
【解析】(1)由已知得，，
所以,.
在中，由正弦定理得.
同理，在中，，，所以，
由正弦定理得.
可以计算出，
在中，，
所以.
(2)如图所示，作，
由（1）知，，所以，
即点C在点D的北偏东75°方向上.
练习四 正余弦定理在几何中的应用
1、如图，在中，AD平分，且.
（1）求的值；
（2）若，，求的面积.
【解析】（1）在中，，在中，.
因为AD平分，且，所以.
（2）由正弦定理及（1）可知.
因为，，所以，
.
因为
，
所以.
2、在中，点在边上，，
（1）若，求
（2）若，求的值
【解析】（1）在中，由余弦定理得，，
即，解得，(负值舍去).
（2）在中，
∵，，∴，
在中，由正弦定理得，∴①，
在中，由正弦定理得，∴②，
由①②得，
∴，
即，
∴，
即，
∴.
3、在中，的角平分线与边相交于点，满足.
(1)求证：；
(2)若，求的大小.
【解析】（1）证明：因为为的角平分线，故，
在中，由正弦定理可得：①，
在中，由正弦定理可得：②，
由①和②可得，
又，故，
可得：，即；
（2）由题意可知，，由（1）知，不妨设.
在中，由余弦定理可得：，
即③，
在中，由余弦定理可得：，
即④，
由又，故，
由③和④可解得：，，
从而可得，，，
在中，由余弦定理得：，
又，故.
4、如图，在中，点在边上，且.记，.
(1)求证：；
(2)若，，，求的长.
【解析】(1)证明：在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
因为，所以，
则，
又因为，则，
所以，即.
(2)解：因为，，所以，
由（1）得，设，，，
在中，由余弦定理得，
即，解得：，所以.
5、如图，在中，，，点在线段上．
(1)若，求的长；
(2)若，的面积为，求的值．
【解析】(1)因为，
由正弦定理可得，
，则，故，则为锐角，所以，，
，则，
在中，由正弦定理得，，解得．
(2)设，则，，则，
即，可得，故，
由余弦定理可得，
在中，由正弦定理可得，故，
在中，由正弦定理可得，故，
因为，
所以，.
6、在平面四边形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝－，CD＝．
(1)求∠ACB的大小；
(2)求四边形ABCD的面积．
【解析】(1)由题意，设，则，，
在中，由正弦定理有，即，解得.
所以，
因为，所以.
(2)由（1），可知，由正弦定理有，即，解得，
在中，由余弦定理有，
即，解得，
四边形ABCD的面积
.
7、在四边形ABCD中，AD//BC，AB＝，∠A＝120°，BD＝3．
（1）求AD的长；
（2）若∠BCD＝105°，求四边形ABCD的面积．
【解析】（1）∵在△ABD中，AB＝，∠A＝120°，BD＝3，
∴由余弦定理得cs 120°＝，解得AD＝ (AD＝－2舍去)，
∴AD的长为．
（2）∵AD∥BC，∠A＝120°，BD＝3，AB＝AD＝，∠BCD＝105°，
∴∠DBC＝30°，∠BDC＝45°，
∴由正弦定理得＝＝，
解得BC＝3－3，DC＝．
如图
过点A作AE⊥BD，交BD于点E，过点C作CF⊥BD，交BD于点F，
则AE＝AB＝，CF＝BC＝，
∴四边形ABCD的面积
S＝S△ABD＋S△BDC＝BD·(AE＋CF)＝×3×(＋)＝．
8、北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保､舒适､温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，，且，，.
(1)求氢能源环保电动步道的长；
(2)若___________；求花卉种植区域总面积.
从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】(1)因为，，所以，因为，，所以由余弦定理得：，因为，所以
(2)选①：；在△ABC中，由正弦定理得：，因为，所以，由（1）知：，代入上式得：，解得：，且，所以，因为，所以，故，所以花卉种植区域总面积为
选②：，在△ABC中，由余弦定理得：，解得：或（舍去），因为，所以，所以，因为，所以，故，所以花卉种植区域总面积为
练习五 正余弦定理与三角函数综合
1、已知函数．
(1)求函数的最小正周期，并求函数在时的值域；
(2)设△的内角是，所对边长分别是，当，时，求边长的最小值．
【解析】(1)由题设，，
∴，
当，即时，有，
∴.
(2)由题设，且，可得或(舍)，
由余弦定理知：，
而，则，当且仅当时等号成立，
∴，即．
2、已知函数
(1)求函数的最小正周期；
(2)在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，试判断的形状．
【解析】(1)函数
，
．
∴函数的最小正周期为．
(2)，
，所以解得．
又，
，即．
是正三角形．
3、设函数.
(1)求函数图象的对称中心；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若，，求面积的最大值.
【解析】(1)
当，即，，解得，，此时，
即函数图象的对称中心为.
(2)因为，所以，
因为A为锐角，所以，
由余弦定理得
所以，当且仅当取等号.
此时，
所以，当且仅当取等号.
4、（2023·江苏）已知函数，．
（1）求函数的最小值和最小正周期；
（2）设的内角、、的对边分别为，，，且，，若，求，的值．
【解析】（1），则的最小值是，最小正周期是；
（2），则，
，，，，，
，由正弦定理，得，①
由余弦定理，得，即，②
由①②解得，．
5、已知
（1）求函数取最大值时的取值集合；
（2）设锐角的角，，所对的边分别为，，，，，求的面积的最大值.
【解析】（1）.
令，即时，取最大值;
所以，此时的取值集合是；
（2）由，得，
因为，所以，所以，则；
在中，由余弦定理，
得，即，当且仅当时取等号，
所以的面积
因此的面积的最大值为.
6、己知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)设的三边为a，b，c，b＝2，若，求周长的最大值．
【解析】(1)
由得，，
∴f(x)的单调递增区间为；
(2)，
，
∴，，
由余弦定理得，
即
即
即
∴
∴，当且仅当a＝c时取等号，
∴三角形的周长最大值为2＋.
类型
图形
方法
具体
两点间不可通又不可视
余弦定理
可取某点C，使得点A，B和C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a，以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得，AB＝eq \r(a2＋b2－2abcs γ).
两点间可视不可到达的距离
正弦定理
可选取与点B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.
两个不可到达的点之间的距离
先用正弦定理，
再用余弦定理
可先在此岸一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.
类型
简图
计算方法
底部可达
测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C.
底部不可达
点B与C，D共线
测得CD＝a及C与∠ADB的度数.
先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值.
点B与C，D不共线
测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数.
在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值.
类型
A，B两点间不可通或不可视
A，B两点间可视，但有一点不可达
A，B两点都不可达
图形
方法
先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB
以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB
测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；
在△BCD中用正弦定理求BC；
在△ABC中用余弦定理求AB
知识点1 实际问题中的常用角
1、(1)仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角.目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示.
(2)方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°，如B点的方位角为α(如图1所示).
(3)方位角的其他表示——方向角
①正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上.依此可类推正北方向、正东方向和正西方向.
②东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图2所示).
(4)坡角与坡比
坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq \f(h,l)＝tan θ
知识点2 常见距离问题
知识点3 常见高度问题
知识点4 运用正、余弦定理解决实际问题的基本步骤
(1)分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型；
(3)求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解；
(4)检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解．
考点一 测量距离问题
解题方略：
测量距离的基本类型及方案
【例1】已知A，B两地相距10 km，B，C两地相距20 km，且∠ABC＝120°，则A，C两地相距( )
A．10 km B．10eq \r(3) km C．10eq \r(5) km D．10eq \r(7) km
变式1：如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是________m.
变式2：某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得角∠A＝23°，∠C＝120°，米，则A，B间的直线距离约为（参考数据）（ ）
A．60米B．120米C．150米D．300米
变式3：如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点的距离是________．
变式4：在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为eq \f(\r(3)a,2)的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离．
变式5：如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从C点到B点历时14 s，则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1，参考数据：eq \r(2)≈1.414，eq \r(5)≈2.236)
变式6：海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是( )
A．10eq \r(3) 海里 B.eq \f(10\r(6),3) 海里
C．5eq \r(2) 海里 D．5eq \r(6) 海里
变式7：一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为( )
A.eq \f(17\r(6),2) n mile/h B．34eq \r(6) n mile/h
C.eq \f(17\r(2),2) n mile/h D．34eq \r(2) n mile/h
变式8：如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12eq \r(6) n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求A与D间的距离．
变式9：一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过eq \r(3) h，则船实际航程为( )
A．2eq \r(15) km B．6 km
C．2eq \r(21) km D．8 km
考点二 测量高度问题
解题方略：
测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．
【例2】在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为( )
A．20 m B．30 m
C．40 m D．60 m
变式1：如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两点C与D.现测得∠BCD＝α，
∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.
变式2：如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.
变式3：东寺塔和西寺塔为昆明市城中古景，分别位于昆明市南面的书林街和东寺街，一东一西隔街相望，距今已有1100多年历史，在二月的梅花和烟雨中，“双塔烟雨”成为明清时的“昆明八景”之一.东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称.如图，从东到西的公路上有相距80（单位：）的两个观测点，在点测得塔在北偏东60°的点处，在点测得塔在北偏西30°，塔顶的仰角为45°，则塔的高度约为（ ）
A．B．C．D．
变式4：如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB，某人先在塔的正西方点C处测得塔项的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进60到达点D处，在D处测得塔项的仰角为，则铁塔AB的高度是（ ）
A．50B．30C．25D．15
变式5：如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°，从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=500m，则山高MN=______m.
变式6：如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度___________.
变式7：如图，悬崖的右侧有一条河，左侧一点与河对岸，点、悬崖底部点在同一直线上，一架带有照相机功能的无人机从点沿直线飞行200米到达悬崖顶部点后，然后再飞到点的正上方垂直飞行对线段拍照．其中从处看悬崖顶部的仰角为60°，，米，当无人机在点处获得最佳拍照角度时（即最大），该无人机离底面的高度为（ ）
A．米B．米C．米D．200米
考点三 测量角度问题
解题方略：
测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
（一）仰角和俯角
【例3】从地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为( )
A．α＋β B．α－β C．β－α D．α
变式1：从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )
A．α＞β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
（二）方位角
【例4】若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的( )
A．东偏北45°10′方向上 B．东偏北44°50′方向上
C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南44°50′方向上
变式1：两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°
【例5】某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10 海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10 海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10eq \r(3) 海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．
变式1：某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(eq \r(3)＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10eq \r(2) 海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且eq \r(3)＋1小时后开始持续影响基地2小时．求台风移动的方向．
变式2：在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(eq \r(3)－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10eq \r(3) n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
考点四 正余弦定理在几何中的应用
【例6】△ABC中，BD是AC边上的高，，，则（ ）
A．B．
C．D．
变式1：如图，中，已知点D在BC边上，，，，，则△的面积为________；AB的长是________.
变式2：如图，△的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知，则___________.若线段的垂直平分线交于点D，交AB于点E，且.则△的面积为___________.
变式3：如图，在中，，，延长至，使得.
(1)若，求的面积；
(2)求面积的取值范围.
变式4：已知中，内角、、的对边分别为、、，为的角平分线．
(1)求证：；
(2)若且，求的大小．
(2)
变式5：在如图所示的四边形区域ABCD中，，，，现园林绿化师计划在区域外以AD为边增加景观区域ADM，当时，景观区域ADM面积的最大值为__________．
考点五 正余弦定理与三角函数综合
【例7】已知函数.
（1）求函数在上的最小值；
（2）已知，，分别为内角，，的对边，，，且，求边的长.
变式1：已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）若的内角，，的对边分别为，，且满足，，求的值.
变式2：已知函数为奇函数，且图像相邻的对称轴之间的距离为
(1)求函数的解析式及其减区间；
(2)在中，角A、B、C对应的边为a、b、c，且，，求的周长的取值范围．
练习一 测量距离问题
1、2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走___________米 .
2、一船以每小时15 km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________km.
3、甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12 km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15 min时，两船的距离是( )
A.eq \r(7) km B.eq \r(13) km
C.eq \r(19) km D.eq \r(10－3\r(3)) km
4、台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的持续时间为________h.
5、如图，设、两点在水库的两岸，测量者在的同侧的库边选定一点，测出的距离为m，，，就可以计算出、两点的距离为（ ）
A．mB．mC．mD．m
6、某观察站在城的南偏西的方向，由城出发的一条公路走向是南偏东，在处测得公路上距的处有一人正沿公路向城走去，走了之后到达处，此时，间的距离为，则城与观察站之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
7、在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
8、已知三个观测点，在的正北方向，相距，在的正东方向，相距.在某次爆炸点定位测试中，两个观测点同时听到爆炸声，观测点晚听到，已知声速为，则爆炸点与观测点的距离是（ ）
A．B．C．D．
9、如图，已知两座山高分别为米，米，为测量这两座山峰之间的距离，选择水平地面上一点为观测点，测得，则这两座山峰之间的距离是（ ）
A．米B．米C．20000米D．100000米
10、如图，从200m高的电视塔塔顶A测得地面上某两点B，C的俯角分别为30°和45°，∠BAC＝45°，则B，C两点间的距离为________m．（俯角：在垂直面内视线与水平线的夹角）
11、一炮弹在A处的东偏北的某处爆炸，在A处测到爆炸信号的时间比在B处早4秒，已知A在B的正东方、相距6千米，P为爆炸地点（该信号的传播速度为每秒1千米）求A、P两地的距离.
12、如图所示，一架敌方侦察机向正东方向匀速飞行抵近我方侦察，地面雷达首次探测到该侦察机时其在北偏西75°方向，仰角为30°，2后侦察机飞行到北偏东60°方向，假设该侦察机保持3的飞行高度不变，则其飞行速度为___________.
13、如图所示，有四座城市A，B，C，D，其中B在A的正东方向，且与A相距120km，D在A的北偏东30°方向，且与A相距60km，C在B的北偏东30°方向，且与B相距km，一架飞机从城市D出发，以360km/h的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B有（ ）
A．120kmB．kmC．kmD．km
练习二 测量高度问题
1、如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为( )
A．500eq \r(2) m B．200 m C．1 000eq \r(2) m D．1 000 m
2、如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是60 m，则河流的宽度BC是( )
A．240(eq \r(3)－1)m B．180(eq \r(2)－1)m
C．120(eq \r(3)－1)m D．30(eq \r(3)＋1)m
3、某校高一年级某班开展数学活动，小李和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆高度，小李站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小李和小军相距(BD)6米，小李的身高(AB)1.5米，小军的身高(CD)1.75米，求旗杆的高EF的长．(结果精确到0.1，参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73)
4、某烟花厂按以下方案测试一种“烟花”的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点）进行该烟花的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距30米，∠BAC＝60°，其中B到C的距离为70米.在A地测得C处的俯角为∠OAC＝15°，最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该烟花的垂直弹射高度CH约为（参考数据：≈2.446）（ ）
A．40米B．56米C．65米D．113米
5、山坡上的一棵树被台风吹断，如图，折断部分与残存树干成角，残存树干与山坡构成的角，若m，则这棵树原来的高度为（ ）
A．mB．m
C．mD．m
6、如图，一辆汽车在一条笔直的马路上从东往西以的速度匀速行驶，在处测得马路右侧的一座高塔的仰角为，行驶5分钟后，到达处，测得高塔的仰角为，其中为高塔的底部，且在同一水平面上，则高塔的高度是___________.（塔底大小､汽车的高度及大小忽略不计）
7、圣·索菲亚教堂（SaintSphiaCathedral）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，被列为第四批全国重点文物保护单位，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.如图，小宇为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为：12m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（取）（ ）
A．42.5mB．45mC．51mD．56.4m
8、如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D．现测得米，在点C测得塔顶A的仰角为，
(1)求的面积；
(2)求塔高．
练习三 测量角度问题
1、在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的（ ）
A．北偏西34°27′B．北偏东55°33′
C．北偏西55°32′D．南偏西55°33′
2、如图，一轮船从A点沿北偏东的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东的方向行驶10海里至海岛，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛，则此船沿__________方向行驶__________海里至海岛C（ ）
A．北偏东；B．北偏东；
C．北偏东；D．北偏东；
3、当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝________.
4、一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行到达海岛C．
(1)求的长；
(2)如果下次航行直接从A出发到达C，应沿什么方向航行？
5、为了测量一个不规则湖泊两端C，D之间的距离，如图，在东西方向上选取相距1km的A，B两点，点B在点A的正东方向上，且A，B，C，D四点在同一水平面上.从点A处观测得点C在它的东北方向上，点D在它的西北方向上；从点B处观测得点C在它的北偏东30°方向上，点D在它的北偏西60°方向上.
(1)求C，D两点之间的距离；
(2)以点D为观测点，求点C的方位角.
练习四 正余弦定理在几何中的应用
1、如图，在中，AD平分，且.
（1）求的值；
（2）若，，求的面积.
2、在中，点在边上，，
（1）若，求
（2）若，求的值
3、在中，的角平分线与边相交于点，满足.
(1)求证：；
(2)若，求的大小.
4、如图，在中，点在边上，且.记，.
(1)求证：；
(2)若，，，求的长.
5、如图，在中，，，点在线段上．
(1)若，求的长；
(2)若，的面积为，求的值．
6、在平面四边形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝－，CD＝．
(1)求∠ACB的大小；
(2)求四边形ABCD的面积．
7、在四边形ABCD中，AD//BC，AB＝，∠A＝120°，BD＝3．
（1）求AD的长；
（2）若∠BCD＝105°，求四边形ABCD的面积．
8、北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保､舒适､温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，，且，，.
(1)求氢能源环保电动步道的长；
(2)若___________；求花卉种植区域总面积.
从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
练习五 正余弦定理与三角函数综合
1、已知函数．
(1)求函数的最小正周期，并求函数在时的值域；
(2)设△的内角是，所对边长分别是，当，时，求边长的最小值．
2、已知函数
(1)求函数的最小正周期；
(2)在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，试判断的形状．
3、设函数.
(1)求函数图象的对称中心；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若，，求面积的最大值.
4、（2023·江苏）已知函数，．
（1）求函数的最小值和最小正周期；
（2）设的内角、、的对边分别为，，，且，，若，求，的值．
5、已知
（1）求函数取最大值时的取值集合；
（2）设锐角的角，，所对的边分别为，，，，，求的面积的最大值.
6、己知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)设的三边为a，b，c，b＝2，若，求周长的最大值．
类型
图形
方法
具体
两点间不可通又不可视
余弦定理
可取某点C，使得点A，B和C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a，以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得，AB＝eq \r(a2＋b2－2abcs γ).
两点间可视不可到达的距离
正弦定理
可选取与点B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.
两个不可到达的点之间的距离
先用正弦定理，
再用余弦定理
可先在此岸一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.
类型
简图
计算方法
底部可达
测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C.
底部不可达
点B与C，D共线
测得CD＝a及C与∠ADB的度数.
先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值.
点B与C，D不共线
测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数.
在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值.
类型
A，B两点间不可通或不可视
A，B两点间可视，但有一点不可达
A，B两点都不可达
图形
方法
先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB
以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB
测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；
在△BCD中用正弦定理求BC；
在△ABC中用余弦定理求AB
第13讲 余弦定理、正弦定理的应用举例
知识点1 实际问题中的常用角
1、(1)仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角.目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示.
(2)方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°，如B点的方位角为α(如图1所示).
(3)方位角的其他表示——方向角
①正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上.依此可类推正北方向、正东方向和正西方向.
②东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图2所示).
(4)坡角与坡比
坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq \f(h,l)＝tan θ
知识点2 常见距离问题
知识点3 常见高度问题
知识点4 运用正、余弦定理解决实际问题的基本步骤
(1)分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型；
(3)求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解；
(4)检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解．
考点一 测量距离问题
解题方略：
测量距离的基本类型及方案
【例1】已知A，B两地相距10 km，B，C两地相距20 km，且∠ABC＝120°，则A，C两地相距( )
A．10 km B．10eq \r(3) km C．10eq \r(5) km D．10eq \r(7) km
【解析】AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cs 120°＝700，∴AC＝10eq \r(7) km.故选D.
变式1：如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是________m.
【解析】tan 30°＝eq \f(CD,AD)，tan 75°＝eq \f(CD,DB)，又AD＋DB＝120，∴AD·tan 30°＝(120－AD)·tan 75°，
∴AD＝60eq \r(3)，故CD＝60.
变式2：某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得角∠A＝23°，∠C＝120°，米，则A，B间的直线距离约为（参考数据）（ ）
A．60米B．120米C．150米D．300米
【解析】由题设，，
在△中，，即，
所以米.
故选：C
变式3：如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点的距离是________．
【解析】在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，
∴BD＝CD＝40，BC＝ eq \r(BD2＋CD2)＝40eq \r(2).
在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，
∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°.
由正弦定理，得AC＝eq \f(CDsin 30°,sin 45°)＝20eq \r(2).
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cs ∠BCA＝(20eq \r(2))2＋(40eq \r(2))2－2×40eq \r(2)×20eq \r(2)cs 60°＝2 400，
∴AB＝20eq \r(6)，
故A，B两点之间的距离为20eq \r(6) m.
变式4：在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为eq \f(\r(3)a,2)的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离．
【解析】∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，
又∠DCA＝60°，∴∠DAC＝60°.
∴AD＝CD＝AC＝eq \f(\r(3),2)a.
在△BCD中，∠DBC＝45°，
∵eq \f(BC,sin 30°)＝eq \f(CD,sin 45°)，∴BC＝eq \f(\r(6),4)a.
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs 45°＝eq \f(3,4)a2＋eq \f(3,8)a2－2×eq \f(\r(3),2)a×eq \f(\r(6),4)a×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(3,8)a2.
∴AB＝eq \f(\r(6),4)a.
∴蓝方这两支精锐部队之间的距离为eq \f(\r(6),4)a.
变式5：如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从C点到B点历时14 s，则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1，参考数据：eq \r(2)≈1.414，eq \r(5)≈2.236)
【解析】由题意，AB＝200 m，AC＝100 eq \r(2) m，
由余弦定理可得
BC＝ eq \r(40 000＋20 000－2×200×100 \r(2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2))))
≈316.2 (m)，
这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6 (m/s)．
答案：22.6
变式6：海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是( )
A．10eq \r(3) 海里 B.eq \f(10\r(6),3) 海里
C．5eq \r(2) 海里 D．5eq \r(6) 海里
【解析】如图所示，根据题意，在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.由正弦定理可得eq \f(AB,sin C)＝eq \f(BC,sin A)，即eq \f(10,\f(\r(2),2))＝eq \f(BC,\f(\r(3),2))，∴BC＝5eq \r(6)(海里)．故选D.
变式7：一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为( )
A.eq \f(17\r(6),2) n mile/h B．34eq \r(6) n mile/h
C.eq \f(17\r(2),2) n mile/h D．34eq \r(2) n mile/h
【解析】如图所示，在△PMN中，eq \f(PM,sin 45°)＝eq \f(MN,sin 120°)，
∴MN＝eq \f(68×\r(3),\r(2))＝34eq \r(6)，∴v＝eq \f(MN,4)＝eq \f(17\r(6),2) (n mile/h)．故选A.
变式8：如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12eq \r(6) n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求A与D间的距离．
【解析】在△ABD中，∠ADB＝60°，∠DAB＝75°，
∴B＝45°.
∴AD＝eq \f(ABsin B,sin ∠ADB)＝eq \f(12\r(6)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝24(n mile)．
即A与D间的距离为24 n mile.
变式9：一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过eq \r(3) h，则船实际航程为( )
A．2eq \r(15) km B．6 km
C．2eq \r(21) km D．8 km
【解析】如图所示，在△ACD中，AC＝2eq \r(3)，CD＝4eq \r(3)，∠ACD＝60°，∴AD2＝12＋48－2×2eq \r(3)×4eq \r(3)×eq \f(1,2)＝36.∴AD＝6.即该船实际航程为6 km.故选B.
考点二 测量高度问题
解题方略：
测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．
【例2】在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为( )
A．20 m B．30 m
C．40 m D．60 m
【解析】如图，设O为塔顶在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20eq \r(3). 在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60. ∴AB＝OA－OB＝40. 故选C.
变式1：如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两点C与D.现测得∠BCD＝α，
∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.
【解析】在△BCD中，∠CBD＝π－(α＋β)．
由正弦定理得eq \f(BC,sin∠BDC)＝eq \f(CD,sin∠CBD).
∴BC＝eq \f(CDsin∠BDC,sin∠CBD)＝eq \f(s·sin β,sinα＋β).
在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝eq \f(s·sin βtan θ,sinα＋β).
变式2：如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.
【解析】由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.
因此只需在△ABD中求出AD即可，
在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，
由eq \f(AB,sin 15°)＝eq \f(AD,sin 45°)，得AD＝eq \f(AB·sin 45°,sin 15°)＝eq \f(800×\f(\r(2),2),\f(\r(6)－\r(2),4))
＝800(eq \r(3)＋1)(m)．
即山的高度为800(eq \r(3)＋1)m.
变式3：东寺塔和西寺塔为昆明市城中古景，分别位于昆明市南面的书林街和东寺街，一东一西隔街相望，距今已有1100多年历史，在二月的梅花和烟雨中，“双塔烟雨”成为明清时的“昆明八景”之一.东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称.如图，从东到西的公路上有相距80（单位：）的两个观测点，在点测得塔在北偏东60°的点处，在点测得塔在北偏西30°，塔顶的仰角为45°，则塔的高度约为（ ）
A．B．C．D．
【解析】如图，依题意，，，，
于是得，，在中，，
所以塔的高度约为.
故选：A
变式4：如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB，某人先在塔的正西方点C处测得塔项的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进60到达点D处，在D处测得塔项的仰角为，则铁塔AB的高度是（ ）
A．50B．30C．25D．15
【解析】设塔高的高度为，在中，因为，所以；
在中，因为，所以；
在中，，，，
根据余弦定理可得，，
即，解得或（舍去）.
故选：B.
变式5：如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°，从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=500m，则山高MN=______m.
【解析】在中，，所以，
在中，，则，
由正弦定理得，，
所以，
在中，，
所以，
故答案为：750
变式6：如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度___________.
【解析】设此山高为，则，
在中，则，，则有
解得：，
故答案为：m.
变式7：如图，悬崖的右侧有一条河，左侧一点与河对岸，点、悬崖底部点在同一直线上，一架带有照相机功能的无人机从点沿直线飞行200米到达悬崖顶部点后，然后再飞到点的正上方垂直飞行对线段拍照．其中从处看悬崖顶部的仰角为60°，，米，当无人机在点处获得最佳拍照角度时（即最大），该无人机离底面的高度为（ ）
A．米B．米C．米D．200米
【解析】在中，由正弦定理得，所以．再由余弦定理得，解得．又，所以．设该无人机离底面的高度为米，，
则，当且仅当时等号成立，此时无人机拍摄角度最佳．
故选：C.
考点三 测量角度问题
解题方略：
测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
（一）仰角和俯角
【例3】从地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为( )
A．α＋β B．α－β C．β－α D．α
【解析】如图可知，山顶的仰角为β－α.故选C.
变式1：从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )
A．α＞β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
【解析】根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故选B.
（二）方位角
【例4】若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的( )
A．东偏北45°10′方向上 B．东偏北44°50′方向上
C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南44°50′方向上
【解析】如图所示．故选C
变式1：两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°
【解析】灯塔A，B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.故选B.
【例5】某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10 海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10 海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10eq \r(3) 海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．
【解析】设所需时间为t小时，则AB＝10eq \r(3)t，CB＝10t，在△ABC中，根据余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcs 120°，
可得(10eq \r(3)t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcs 120°，
整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－eq \f(1,2)(舍去)．
所以护航舰需要1小时靠近货船．
此时AB＝10eq \r(3)，BC＝10，
在△ABC中，由正弦定理得eq \f(BC,sin∠CAB)＝eq \f(AB,sin 120°)，
所以sin∠CAB＝eq \f(BCsin 120°,AB)＝eq \f(10×\f(\r(3),2),10\r(3))＝eq \f(1,2)，
所以∠CAB＝30°，
所以护航舰航行的方位角为75°.
变式1：某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(eq \r(3)＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10eq \r(2) 海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且eq \r(3)＋1小时后开始持续影响基地2小时．求台风移动的方向．
【解析】如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一直线上，且AD＝20，AC＝20.
由题意AB＝20(eq \r(3)＋1)，DC＝20eq \r(2)，
BC＝(eq \r(3)＋1)·10eq \r(2).在△ADC中，
因为DC2＝AD2＋AC2，
所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
在△ABC中，由余弦定理得
cs∠BAC＝eq \f(AC2＋AB2－BC2,2AC·AB)＝eq \f(\r(3),2).
所以∠BAC＝30°，又因为B位于A南偏东60°，
60°＋30°＋90°＝180°，又D位于A的正北方向，
又因为∠ADC＝45°，
所以台风移动的方向为北偏西45°.
变式2：在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(eq \r(3)－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10eq \r(3) n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
【解析】设缉私船用t h在D处追上走私船，画出示意图，
则有CD＝10eq \r(3)t，BD＝10t，
在△ABC中，∵AB＝eq \r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°，
∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs∠BAC＝(eq \r(3)－1)2＋22－2·(eq \r(3)－1)·2·cs 120°＝6，
∴BC＝eq \r(6)，且sin∠ABC＝eq \f(AC,BC)·sin∠BAC＝eq \f(2,\r(6))·eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(2),2)，
∴∠ABC＝45°，BC与正北方向成90°角．
∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝eq \f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq \f(10tsin 120°,10\r(3)t)＝eq \f(1,2)，
∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．
考点四 正余弦定理在几何中的应用
【例6】△ABC中，BD是AC边上的高，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】∵
∴
∵
∴
由正弦定理可知，即
∴；
故选：A．
变式1：如图，中，已知点D在BC边上，，，，，则△的面积为________；AB的长是________.
【解析】因为，，，
所以，
又，
则△的面积为，
又，所以在△中由正弦定理得：
，则.
故答案为：；.
变式2：如图，△的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知，则___________.若线段的垂直平分线交于点D，交AB于点E，且.则△的面积为___________.
【解析】由余弦定理知：，而，
∴，又，则，
在△中，设，则，可得，
又的垂直平分线交于点D，交AB于点E，则，
∴，可得，而，故.
∴，故△的面积为.
故答案为：，.
变式3：如图，在中，，，延长至，使得.
(1)若，求的面积；
(2)求面积的取值范围.
【解析】(1)在中，，，.由正弦定理知，所以.
因为为锐角，所以，所以.
在中，，，则，
故.
(2)在中，设，则，.
在中，由正弦定理，得，
所以
由，得，又为锐角，
所以，，所以，
故面积的取值范围是.
变式4：已知中，内角、、的对边分别为、、，为的角平分线．
(1)求证：；
(2)若且，求的大小．
(2)
【解析】(1)证明：由题意可得，
因为为的角平分线，则，
在中，，则，
同理可得，因此，故.
(2)解：设，则，
因为，即，
因为，则，则，，
即，可得，
由（1）可得，则，
在中，，
整理可得，所以，，
因此，.
变式5：在如图所示的四边形区域ABCD中，，，，现园林绿化师计划在区域外以AD为边增加景观区域ADM，当时，景观区域ADM面积的最大值为__________．
【解析】
连AC，，，
∴，则，，
∴．
在△ADM中，，
∴
∴，当且仅当时等号成立，
．
故答案为：.
考点五 正余弦定理与三角函数综合
【例7】已知函数.
（1）求函数在上的最小值；
（2）已知，，分别为内角，，的对边，，，且，求边的长.
【解析】（1）
，
又，所以，
所以当即时，取得最小值，
所以，
（2）因为，，
所以，又，所以，所以由正弦定理有，所以.
变式1：已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）若的内角，，的对边分别为，，且满足，，求的值.
【解析】（1）
，∴，，∴.
（2）∵由题意可得 有，
，
化简可得：，∴由正弦定理可得：，∵，∴余弦定理可得： ，∵，∴，所以.
变式2：已知函数为奇函数，且图像相邻的对称轴之间的距离为
(1)求函数的解析式及其减区间；
(2)在中，角A、B、C对应的边为a、b、c，且，，求的周长的取值范围．
【解析】(1)，
由函数相邻的对称轴之间的距离为，得，
∴，
又∵为奇函数，∴，即，
得，即，而，故，
令，得，
∴的减区间为；
(2)由（1）可知，得，即，
∵，∴，∴，即，
∵，∴
∴
，
而，故；∵，故；
∴，即的周长的取值范围为.
练习一 测量距离问题
1、2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走___________米 .
【解析】由题意，设李华家为，有害垃圾点为，可回收垃圾点为，
则李华的行走路线，如图所示，
在中，因为，
由余弦定理可得：
米，
即李华回到自家楼下至少还需走70米.
故答案为：70.
2、一船以每小时15 km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________km.
【解析】如图所示，AC＝15×4＝60.∠BAC＝30°，∠B＝45°，在△ABC中，eq \f(60,sin 45°)＝eq \f(BC,sin 30°)，∴BC＝30eq \r(2).
答案：30eq \r(2)
3、甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12 km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15 min时，两船的距离是( )
A.eq \r(7) km B.eq \r(13) km
C.eq \r(19) km D.eq \r(10－3\r(3)) km
【解析】由题意知AM＝8×eq \f(15,60)＝2，BN＝12×eq \f(15,60)＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理，得MN2＝MB2＋BN2－2MB·BNcs 120°＝1＋9－2×1×3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝13，所以MN＝eq \r(13) km.故选B.
4、台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的持续时间为________h.
【解析】设t h时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得(20t)2＋402－2×20t×40×cs 45°＝302. 化简，得4t2－8eq \r(2)t＋7＝0，∴t1＋t2＝2eq \r(2)，t1·t2＝eq \f(7,4).从而|t1－t2|＝eq \r(t1＋t22－4t1t2)＝1(h)．
5、如图，设、两点在水库的两岸，测量者在的同侧的库边选定一点，测出的距离为m，，，就可以计算出、两点的距离为（ ）
A．mB．mC．mD．m
【解析】∵中，，，
∴.
又∵中，m，
∴由正弦定理可得：，则m.故选：A.
6、某观察站在城的南偏西的方向，由城出发的一条公路走向是南偏东，在处测得公路上距的处有一人正沿公路向城走去，走了之后到达处，此时，间的距离为，则城与观察站之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意得，在中，，
由余弦定理得,
因为，
所以，
因为
所以，
在中，，由正弦定理得
，
所以，
故选：A
7、在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
【解析】设甲驱逐舰、乙护卫舰、航母所在位置分别为A，B，C，
则，，.
在△ABC中，由正弦定理得，即，
解得，即甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为海里
故选：A
8、已知三个观测点，在的正北方向，相距，在的正东方向，相距.在某次爆炸点定位测试中，两个观测点同时听到爆炸声，观测点晚听到，已知声速为，则爆炸点与观测点的距离是（ ）
A．B．C．D．
【解析】设爆炸点为，由于两个观测点同时听到爆炸声，则点位于的垂直平分线上，又在的正东方向且观测点晚听到，则点位于的左侧，，,，设，
则，
解得，则爆炸点与观测点的距离为，
故选：D.
9、如图，已知两座山高分别为米，米，为测量这两座山峰之间的距离，选择水平地面上一点为观测点，测得，则这两座山峰之间的距离是（ ）
A．米B．米C．20000米D．100000米
【解析】由题意可得米，
米，
则
，
故米.
，即之间的距离为米.选项B正确.
故选：B.
10、如图，从200m高的电视塔塔顶A测得地面上某两点B，C的俯角分别为30°和45°，∠BAC＝45°，则B，C两点间的距离为________m．（俯角：在垂直面内视线与水平线的夹角）
【解析】图中平面，则
，
在三角形中，
故答案为：
11、一炮弹在A处的东偏北的某处爆炸，在A处测到爆炸信号的时间比在B处早4秒，已知A在B的正东方、相距6千米，P为爆炸地点（该信号的传播速度为每秒1千米）求A、P两地的距离.
【解析】如图所示，由题意可知千米，千米，，
在中，设千米，则千米，由余弦定理得
，解得（千米），
所以A、P两地的距离为10千米
12、如图所示，一架敌方侦察机向正东方向匀速飞行抵近我方侦察，地面雷达首次探测到该侦察机时其在北偏西75°方向，仰角为30°，2后侦察机飞行到北偏东60°方向，假设该侦察机保持3的飞行高度不变，则其飞行速度为___________.
【解析】如图所示，在Rt△ABD中可知∠ABD=30°，AD=3，所以.在△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=135°，
根据正弦定理可得，所以该侦察机的飞行速度为.
故答案为：．
13、如图所示，有四座城市A，B，C，D，其中B在A的正东方向，且与A相距120km，D在A的北偏东30°方向，且与A相距60km，C在B的北偏东30°方向，且与B相距km，一架飞机从城市D出发，以360km/h的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B有（ ）
A．120kmB．kmC．kmD．km
【解析】设15min后飞机到了处，则，
由题意，，
，，
，所以，所以，
从而，于是
，，
中，，
．
故选：D．
练习二 测量高度问题
1、如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为( )
A．500eq \r(2) m B．200 m C．1 000eq \r(2) m D．1 000 m
【解析】∵∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，在△ABS中，AB＝eq \f(AS·sin 135°,sin 30°)＝eq \f(1 000×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝1 000eq \r(2)，∴BC＝AB·sin 45°＝1 000eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝1 000(m)．故选D.
2、如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是60 m，则河流的宽度BC是( )
A．240(eq \r(3)－1)m B．180(eq \r(2)－1)m
C．120(eq \r(3)－1)m D．30(eq \r(3)＋1)m
【解析】由题意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60 m，∴AC＝120 m．在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC＝eq \f(ACsin∠BAC,sin∠ABC)＝eq \f(120×\f(\r(2),2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝120(eq \r(3)－1)(m)．故选C.
3、某校高一年级某班开展数学活动，小李和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆高度，小李站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小李和小军相距(BD)6米，小李的身高(AB)1.5米，小军的身高(CD)1.75米，求旗杆的高EF的长．(结果精确到0.1，参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73)
【解析】过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，
∴MN＝0.25，∵∠EAM＝45°，∴AM＝ME，
设AM＝ME＝x，
则CN＝(x＋6)，EN＝(x－0.25)，
∵∠ECN＝30°，∴tan∠ECN＝eq \f(EN,CN)＝eq \f(x－0.25,x＋6)＝eq \f(\r(3),3)，
解得：x≈8.8，
则EF＝EM＋MF≈8.8＋1.5＝10.3(m)．
答：旗杆的高EF约为10.3 m.
4、某烟花厂按以下方案测试一种“烟花”的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点）进行该烟花的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距30米，∠BAC＝60°，其中B到C的距离为70米.在A地测得C处的俯角为∠OAC＝15°，最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该烟花的垂直弹射高度CH约为（参考数据：≈2.446）（ ）
A．40米B．56米C．65米D．113米
【解析】在中，由余弦定理：.
因为，所以，
又因为，所以，
于是，.
故选：C.
5、山坡上的一棵树被台风吹断，如图，折断部分与残存树干成角，残存树干与山坡构成的角，若m，则这棵树原来的高度为（ ）
A．mB．m
C．mD．m
【解析】中，，，，
由正弦定理，得．
所以，，
所以m
故选:A．
6、如图，一辆汽车在一条笔直的马路上从东往西以的速度匀速行驶，在处测得马路右侧的一座高塔的仰角为，行驶5分钟后，到达处，测得高塔的仰角为，其中为高塔的底部，且在同一水平面上，则高塔的高度是___________.（塔底大小､汽车的高度及大小忽略不计）
【解析】如图，由题意可知，
设，则，
在中，由余弦定理可得，
即，解得.
故答案为：.
7、圣·索菲亚教堂（SaintSphiaCathedral）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，被列为第四批全国重点文物保护单位，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.如图，小宇为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为：12m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（取）（ ）
A．42.5mB．45mC．51mD．56.4m
【解析】如图所示，在中，，
在中，，，
所以，
由正弦定理，可得，
又由，
在中，可得.
故选：D.
8、如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D．现测得米，在点C测得塔顶A的仰角为，
(1)求的面积；
(2)求塔高．
【解析】(1)在中，因，则，
由正弦定理得：，，
则，
所以的面积是平方米.
(2)依题意，平面BCD，而平面 BCD，则有，
在中，，由得：
，
所以塔高是米.
练习三 测量角度问题
1、在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的（ ）
A．北偏西34°27′B．北偏东55°33′
C．北偏西55°32′D．南偏西55°33′
【解析】根据方向角的概念可知A正确．
故选：A.
2、如图，一轮船从A点沿北偏东的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东的方向行驶10海里至海岛，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛，则此船沿__________方向行驶__________海里至海岛C（ ）
A．北偏东；B．北偏东；
C．北偏东；D．北偏东；
【解析】由题意得：，，故，所以从A到C的航向为北偏东，由余弦定理得：，故.
故选：C
3、当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝________.
【解析】如图，设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x，依据正弦定理可得eq \f(2,sin 60°)＝eq \f(x,sin120°－α).
所以x＝eq \f(4,\r(3))·sin(120°－α)．因为0°<120°－α<120°，所以要使x最大，只需120°－α＝90°，即α＝30°时，影子最长．
答案：30°
4、一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行到达海岛C．
(1)求的长；
(2)如果下次航行直接从A出发到达C，应沿什么方向航行？
【解析】(1)由题意知，在中，，
，，
根据余弦定理，得，
所以n mile．
(2)根据正弦定理可得，
即
又，所以．
所以应沿北偏东的方向航方向航行 n mile即可到达C处.
5、为了测量一个不规则湖泊两端C，D之间的距离，如图，在东西方向上选取相距1km的A，B两点，点B在点A的正东方向上，且A，B，C，D四点在同一水平面上.从点A处观测得点C在它的东北方向上，点D在它的西北方向上；从点B处观测得点C在它的北偏东30°方向上，点D在它的北偏西60°方向上.
(1)求C，D两点之间的距离；
(2)以点D为观测点，求点C的方位角.
【解析】(1)由已知得，，
所以,.
在中，由正弦定理得.
同理，在中，，，所以，
由正弦定理得.
可以计算出，
在中，，
所以.
(2)如图所示，作，
由（1）知，，所以，
即点C在点D的北偏东75°方向上.
练习四 正余弦定理在几何中的应用
1、如图，在中，AD平分，且.
（1）求的值；
（2）若，，求的面积.
【解析】（1）在中，，在中，.
因为AD平分，且，所以.
（2）由正弦定理及（1）可知.
因为，，所以，
.
因为
，
所以.
2、在中，点在边上，，
（1）若，求
（2）若，求的值
【解析】（1）在中，由余弦定理得，，
即，解得，(负值舍去).
（2）在中，
∵，，∴，
在中，由正弦定理得，∴①，
在中，由正弦定理得，∴②，
由①②得，
∴，
即，
∴，
即，
∴.
3、在中，的角平分线与边相交于点，满足.
(1)求证：；
(2)若，求的大小.
【解析】（1）证明：因为为的角平分线，故，
在中，由正弦定理可得：①，
在中，由正弦定理可得：②，
由①和②可得，
又，故，
可得：，即；
（2）由题意可知，，由（1）知，不妨设.
在中，由余弦定理可得：，
即③，
在中，由余弦定理可得：，
即④，
由又，故，
由③和④可解得：，，
从而可得，，，
在中，由余弦定理得：，
又，故.
4、如图，在中，点在边上，且.记，.
(1)求证：；
(2)若，，，求的长.
【解析】(1)证明：在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
因为，所以，
则，
又因为，则，
所以，即.
(2)解：因为，，所以，
由（1）得，设，，，
在中，由余弦定理得，
即，解得：，所以.
5、如图，在中，，，点在线段上．
(1)若，求的长；
(2)若，的面积为，求的值．
【解析】(1)因为，
由正弦定理可得，
，则，故，则为锐角，所以，，
，则，
在中，由正弦定理得，，解得．
(2)设，则，，则，
即，可得，故，
由余弦定理可得，
在中，由正弦定理可得，故，
在中，由正弦定理可得，故，
因为，
所以，.
6、在平面四边形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝－，CD＝．
(1)求∠ACB的大小；
(2)求四边形ABCD的面积．
【解析】(1)由题意，设，则，，
在中，由正弦定理有，即，解得.
所以，
因为，所以.
(2)由（1），可知，由正弦定理有，即，解得，
在中，由余弦定理有，
即，解得，
四边形ABCD的面积
.
7、在四边形ABCD中，AD//BC，AB＝，∠A＝120°，BD＝3．
（1）求AD的长；
（2）若∠BCD＝105°，求四边形ABCD的面积．
【解析】（1）∵在△ABD中，AB＝，∠A＝120°，BD＝3，
∴由余弦定理得cs 120°＝，解得AD＝ (AD＝－2舍去)，
∴AD的长为．
（2）∵AD∥BC，∠A＝120°，BD＝3，AB＝AD＝，∠BCD＝105°，
∴∠DBC＝30°，∠BDC＝45°，
∴由正弦定理得＝＝，
解得BC＝3－3，DC＝．
如图
过点A作AE⊥BD，交BD于点E，过点C作CF⊥BD，交BD于点F，
则AE＝AB＝，CF＝BC＝，
∴四边形ABCD的面积
S＝S△ABD＋S△BDC＝BD·(AE＋CF)＝×3×(＋)＝．
8、北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保､舒适､温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，，且，，.
(1)求氢能源环保电动步道的长；
(2)若___________；求花卉种植区域总面积.
从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】(1)因为，，所以，因为，，所以由余弦定理得：，因为，所以
(2)选①：；在△ABC中，由正弦定理得：，因为，所以，由（1）知：，代入上式得：，解得：，且，所以，因为，所以，故，所以花卉种植区域总面积为
选②：，在△ABC中，由余弦定理得：，解得：或（舍去），因为，所以，所以，因为，所以，故，所以花卉种植区域总面积为
练习五 正余弦定理与三角函数综合
1、已知函数．
(1)求函数的最小正周期，并求函数在时的值域；
(2)设△的内角是，所对边长分别是，当，时，求边长的最小值．
【解析】(1)由题设，，
∴，
当，即时，有，
∴.
(2)由题设，且，可得或(舍)，
由余弦定理知：，
而，则，当且仅当时等号成立，
∴，即．
2、已知函数
(1)求函数的最小正周期；
(2)在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，试判断的形状．
【解析】(1)函数
，
．
∴函数的最小正周期为．
(2)，
，所以解得．
又，
，即．
是正三角形．
3、设函数.
(1)求函数图象的对称中心；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若，，求面积的最大值.
【解析】(1)
当，即，，解得，，此时，
即函数图象的对称中心为.
(2)因为，所以，
因为A为锐角，所以，
由余弦定理得
所以，当且仅当取等号.
此时，
所以，当且仅当取等号.
4、（2023·江苏）已知函数，．
（1）求函数的最小值和最小正周期；
（2）设的内角、、的对边分别为，，，且，，若，求，的值．
【解析】（1），则的最小值是，最小正周期是；
（2），则，
，，，，，
，由正弦定理，得，①
由余弦定理，得，即，②
由①②解得，．
5、已知
（1）求函数取最大值时的取值集合；
（2）设锐角的角，，所对的边分别为，，，，，求的面积的最大值.
【解析】（1）.
令，即时，取最大值;
所以，此时的取值集合是；
（2）由，得，
因为，所以，所以，则；
在中，由余弦定理，
得，即，当且仅当时取等号，
所以的面积
因此的面积的最大值为.
6、己知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)设的三边为a，b，c，b＝2，若，求周长的最大值．
【解析】(1)
由得，，
∴f(x)的单调递增区间为；
(2)，
，
∴，，
由余弦定理得，
即
即
即
∴
∴，当且仅当a＝c时取等号，
∴三角形的周长最大值为2＋.
类型
图形
方法
具体
两点间不可通又不可视
余弦定理
可取某点C，使得点A，B和C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a，以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得，AB＝eq \r(a2＋b2－2abcs γ).
两点间可视不可到达的距离
正弦定理
可选取与点B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.
两个不可到达的点之间的距离
先用正弦定理，
再用余弦定理
可先在此岸一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.
类型
简图
计算方法
底部可达
测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C.
底部不可达
点B与C，D共线
测得CD＝a及C与∠ADB的度数.
先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值.
点B与C，D不共线
测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数.
在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值.
类型
A，B两点间不可通或不可视
A，B两点间可视，但有一点不可达
A，B两点都不可达
图形
方法
先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB
以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB
测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；
在△BCD中用正弦定理求BC；
在△ABC中用余弦定理求AB
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