中考数学一轮大单元复习4.2三角形的基本性质演练(讲练)(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮大单元复习4.2三角形的基本性质演练(讲练)(原卷版+解析)，共76页。试卷主要包含了请阅读下列材料，=0，则△ABC的形状是等内容，欢迎下载使用。

考点1：三角形的三边关系
例1．（1）(2023秋·贵州铜仁·八年级统考期中）已知长为a，b，c的三条线段首尾顺次相接组成一个三角形．若a=7，b=9，则c的取值范围是（ ）
A．c>2B．c<16C．2≤c≤16D．2（2）（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，6，10B．3，9，6C．2，6，3D．3，6，8
例2．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）请阅读下列材料：
若m2−2m+n2+6n+10=0，求m，n的值．
解：∵m2−2m+n2+6n+10=0，
∴m2−2m+1+n2+6n+9=0，
∴m−12+n+32=0，
∴m−12=0，n+32=0，
∴m=1，n=−3．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)若a2+2ab+2b2+6b+9=0，则a的值为______；b的值为______．
(2)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2−4a+b2−2b+5=0，求c的值．
(3)若A=2a2+3a−5，B=a2+5a−7，试比较A与B的大小关系，并说明理由．
例3．（2023秋·河北沧州·八年级统考期末）如图，直线AB,CD相交于点O，P为这两直线外一点，且OP=2.8．点P关于直线AB,CD的对称点分别是点P1,P2．
（1）若过点P的直线与AB,CD相交于点N，M，且∠OMN+∠ONM=150°．
①∠P1OP2的度数为_________；
②P1P2的长度为_________；
（2）若0°<∠AOC<180°，则点P1,P2之间的距离d的取值范围为_________．
知识点训练
1．（2023秋·山东日照·八年级校考期末）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长为奇数，则第三边长可能为（ ）
A．5或7B．3或5C．5D．7
2．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A．10cm，10cm，8cmB．5cm，6cm，14cm
C．4cm，8cm，12cmD．3cm，9cm，5cm
3．（2023秋·四川南充·八年级统考期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，6B．5，8，13C．4，4，7D．3，4，8
4．(2023秋·广西百色·八年级统考期中）已知三角形的两边长分别为5cm，8cm，则下列长度的线段能作为三角形第三边的是（ ）
A．13cmB．7cmC．3cmD．2cm
5．（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）已知两根直木条的长分别为6dm和12dm，要再选择一根木条，使得它们首尾顺次相接能围成一个三角形，则下列长度的木条中，符合要求的是（ ）
A．5dmB．6dmC．11dmD．20dm
6．（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）八年级1班学生杨冲家和李锐家到嵊州书城的距离分别是5km和3km．那么杨冲，李锐两家的距离不可能是（ ）
A．3kmB．9kmC．5kmD．4km
7．（2023·全国·九年级专题练习）观察下列尺规作图的痕迹：其中，能够说明AB>AC的是（ ）
A．①②B．①④C．②④D．③④
8．(2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）设a、b、c是△ABC的三边长，且a2−b2−c(a−b)=0，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
9．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC，过点A作MN⊥AD．若点E是直线MN上异于点A的一点，连结BE、CE，设△ABC的周长为L1，△EBC的周长为L2，则L1与L2的大小关系为（ ）
A．L1>L2B．L1=L2C．L110．(2023秋·湖南株洲·八年级统考期末）如果一个等腰三角形的两边长分别是3cm和6cm，则此三角形的周长为_____．
11．（2023春·江苏泰州·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）已知a,b,c为△ABC的三边，化简：a+b−c−2a−b−c= ______
12．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图，BD是△ABC的中线，AB=10，BC=6，求中线BD的取值范围．
13．（2023秋·四川广元·八年级统考期末）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：
阅读材料：若m2−2mm+2n2−8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2−2mn+2n2−8n+16=0，
∴m2−2mn+n2+n2−8n+16=0，
∴m−n2+n−42=0，
∴m−n2=0，n−42=0，
∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
14．（2023秋·安徽池州·八年级统考期末）已知a，b，c是△ABC的三边．
(1)化简|a−b+c|+|a−b−c|；
(2)若a和b满足方程组a+2b=122a−b=−1，且c为偶数，求这个三角形的周长．
15．（2023春·全国·八年级专题练习）在ΔABC中，BC=a，AC=b，AB=c.设c为最长边，当a2+b2=c2时，ΔABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究ΔABC的形状（按角分类）．
(1)当ΔABC三边分别为6、8、9时，ΔABC为______三角形；当ΔABC三边分别为6、8、11时，ΔABC为______三角形．
(2)猜想，当a2+b2______c2时，ΔABC为锐角三角形；当a2+b2______c2时，ΔABC为钝角三角形．
(3)判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．
16．（2023秋·河北石家庄·九年级统考期末）如图，长度为3的线段AB固定不动，长度为6的线段AC绕点A旋转，连接BC．在旋转过程中，线段BC的最大值为______；若以线段AC为直角边，以点A为直角顶点构造等腰直角三角形ACD，则在旋转过程中，点B到CD边的距离的最大值为______．
考点2：三角形的内角和外角
例4(1)（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，∠A=40°，∠CBD是△ABC的外角，∠C=60°，则∠CBD的大小是（ ）
A．180°B．120°C．100°D．80°
(2)（2023秋·山东德州·八年级统考期末）如图，C处在B处的北偏西40°方向，C处在A处的北偏西75°方向，则∠ACB的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
(3)（2023秋·山东日照·八年级校考期末）将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处，若∠1=80°，∠2=28°，则∠A的度数为________．
例5(2023秋·四川广安·八年级统考期末）在△ABC中，已知∠A+∠B=∠C，∠A=∠B．
(1)求∠A，∠B和∠C的度数；
(2)按边分类，△ABC属于__________三角形；按角分类，△ABC属于__________三角形．
例6（2023秋·山东枣庄·八年级统考期末）《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．小迪同学在学习过程中产生了一个猜想：“如果三角形一边上的中线的长度等于所在边长度的一半，那么这个三角形是直角三角形．”
(1)请你用尺规作图，在图中作出线段AB的中点D，并连接CD．（保留作图痕迹）
(2)请你结合图形，将小迪猜想的命题写成已知、求证．
已知：
求证：△ABC 为直角三角形．
(3)补全上述猜想的证明过程．
证明：∵点D是线段AB的中点，
∴ ，
又∵CD=12AB，
∴AD=BD=CD，
在△ACD中，∵AD=CD，
∴∠DCA=∠A，（___________）（填推理的依据），
同理，在△BCD中， = ．
在△ABC中
∵∠DCA+∠A+∠DCB+∠B=180°．
∴ ＋ =90°，
∵在△ABC中，∠A+∠ACB+∠B=180°
∴在△ABC中，∠ACB=90° ，
∴△ABC为直角三角形．
知识点训练
1．（2023秋·湖北荆州·八年级统考期末）若等腰三角形的一个角为50°，则它的底角的度数是（ ）
A．50°B．65°C．50°或80°D．50°或65°
2．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图所示，在△ABC中，AC=BC，边AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，∠A=50°，则∠BCD=（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
3．（2023秋·四川南充·九年级统考期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，若AD⊥BC，∠B=40°，则∠CAE的度数为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
4．（2023秋·四川自贡·九年级统考期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，将AC边绕点A逆时针旋转∠α到AD，连接CD，连接BD交AC于点E，若∠BDC=20°，∠BEC=2∠CAD，则∠ABD的度数为（ ）
A． 40° B． 44° C． 48° D． 60°
5．(2023秋·天津东丽·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,∠A=56°，将其折叠，使点A落在CB边上的A'处，折痕为CD，则∠A'DB的度数为（ ）
A．56°B．32°C．22°D．34°
6．(2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD=∠CAD；②若∠BAC=60°，则∠BEC=150°；③若点G为BC的中点，则∠BGD=90°；④AE=DE=DB．其中，一定正确的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
7．(2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE，若∠A=35°，∠B=25°，∠C=50°，则∠1的度数为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
8．（2023秋·山东枣庄·八年级统考期末）按如图中所给的条件，∠1的度数是（ ）
A．62°B．63°C．75°D．118°
9．（2023春·江苏·八年级姜堰区实验初中校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，旋转角为______°．
10．（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）如图，△AOD≌△BOC，∠A=30°，∠C=50°，∠AOC=150°，则∠COD=______°．
11．（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，在△ABC的边AB上取点D，以D为圆心，以DA为半径画圆弧，交AC于点E；以E为圆心，以ED为半径画圆弧，交AB于点F． 若∠CEF＝∠BFE，则∠A＝______°．
12．(2023秋·江苏·八年级统考期末）如图，四边形ABCD中，∠A=120°，∠C=60°．若将四边形ABCD沿BD折叠后，顶点A恰好落在边BC上的点E处（E与C不重合），则∠CDE的度数为______．
13．(2023秋·四川广安·八年级统考期末）如图，点D在线段AB的延长线上．若∠BAC=25°，∠CBD=110°，则∠C的度数是___________．
14．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AC=25，tanA=12，tanB=23，则△ABC的面积为（ ）
A．7B．55C．7+25+13D．25
15．（2023·陕西西安·校考一模）如图，在△ABC中，AC=BC，D、E分别为AB、BC上一点，∠CDE=∠A．若BC=BD，求证：CD=DE．
考点3：三角形的重要线段
例7. （1）（2023秋·广东珠海·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点E是AC的中点，点F是BE的中点，且S△ABC=6cm2，则阴影部分的面积为（ ）
A．2cm2B．2.5cm2C．3cm2D．3.5cm2
（3）（2023春·全国·七年级专题练习）如图，△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则下列说法中错误的是（ ）
A．BE=CEB．∠C+∠CAF=90°C．∠BAE=∠CAE D．S△ABC=2S△ABE
（4）（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）如图，△ABC中，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连接CP，△PBC的面积为3，△ABC的面积为（ ）
A．9B．8C．7D．6
（5）（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）如图，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连接DM，下列结论：①DF=DN；②△AEF为等腰三角形；③AM=MN；④AE=NC，其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
知识点训练
1．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD平分∠CAB，下列说法：
①若CD:BD=2:3，则S△ACD:S△ABD=4:9；
②若CD:BD=2:3，则AC:AB=2:3；
③若∠C=90°，AC+AB=20，CD=3，则S△ABC=30；
④若∠C=90°，AC:AB=5:13，BC=36，则CD=10．
其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③④D．②③④
2．（2023春·八年级课时练习）如图，△ABC的面积为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1,B1C1,C1A1至点A2,B2,C2；使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2,B2,C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过（ ）次操作．
A．2B．3C．4D．5
3．(2023秋·山东济宁·九年级济宁市第十五中学统考期末）如图，在△ABC中，AE平分∠CAB，AE⊥BE于点E，点F是BC的中点，若AB=10，AC=6，则EF的长为（ ）．
A．2B．3C．4D．5
4．(2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，若CD=3，则BC的长是（ ）
A．9B．33C．6D．3
5．（2023秋·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，∠A=60°,∠ABC=80°，BD是△ABC的高线，BE是△ABC的角平分线，则∠DBE的度数是（ ）
A．10°B．12°C．15°D．18°
6．(2023秋·辽宁鞍山·八年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E，F为AB上的一点，CF⊥AD于H．下列判断正确的是（ ）
A．线段AD是△ABE的角平分线B．线段CH为△ACD边AD上的高
C．线段BE是△ABD边AD上的中线D．线段AH为△ABC的角平分线
7．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论不正确的是（ ）．
A．AC−BE=AEB．BE=CE
C．∠DAB=∠CD．BC=4AD
8．(2023秋·八年级单元测试）如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线……，若∠A＝α，则∠A2022为（ ）°．
A．α2022B．α22022C．α2023D．α22023
9．（2023春·七年级课时练习）如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有（ ）
A．AH是△ACF的角平分线和高B．BE是△ABD边AD上的中线
C．FH是△ABD边AD上的高D．AD是△ABE的角平分线
10．(2023秋·山东威海·七年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AE平分∠BAC，若AB=4，CE=1，则△ABE的面积为___________．
11．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，AD是△ABC的中线，M是AC边上的中点，连接DM，若△ABC的面积为8cm2，则△ADM的面积为：_______．
12．（2023春·全国·七年级专题练习）已知△ABC的面积为S，根据下列条件完成填空，
（1）AM1是△ABC的边BC上的中线，如图1，则△ACM1的面积为_________（用含S的式子表示，下同）；
CM2是△ACM1的边AM1上的中线，如图2，则△ACM2的面积为____________；
AM3是△ACM2的边CM2上的中线，如图3，则△ACM3的面积为____________；……
（2）在图2022中，CM2022是△ACM2021的边AM2021上的中线，则△ACM2022的面积为__________．
13．(2023秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，AI平分∠BAC，CI平分∠ACB，将∠BAC平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为___________．
14．（2023秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线．∠B>∠C．
(1)若∠B=60°，∠C=36°，则∠DAE=______°．
(2)若∠B=α，∠C=β，探究∠DAE与α、β的数量关系？
15．(2023秋·广西百色·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．
(1)AC边上的高是线段___________，BC边上的高是线段___________；
(2)画出AB边上的高CD，并表示出此时图中所有的直角三角形；
(3)若CB=5，AC=12，AB=13，求CD的长．
16．（2023秋·河南南阳·九年级统考期末）【阅读理解】
如图①，直线l1∥l2，△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？为什么？
解：相等∵l1∥l2，设l1与l2之间的距离为h，
则S△ABC=12BC⋅ℎ，S△DBC=12BC⋅ℎ．∴S△ABC=S△DBC．
【类比探究】
(1)如图②，直线l1∥l2，当点D在l1、l2之间时，设点A、D到直线l2的距离分别为h、ℎ'，则S△ABCS△DBC=________．
(2)如图③，直线l1∥l2，当点D在l1、l2之间时，连接AD并延长交l2于点M，求证：S△ABCS△DBC=AMDM．
【拓展延伸】
(3)如图④，直线l1∥l2，当点D与△ABC在同一平面内时，直线AD交l2于点E．若AE=3，S△ABCS△DBC=37，直接写出线段AD的长．
17．（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）在如图所示的方格纸中，
(1)在△ABC中，作BC边上的高AD．
(2)作AC边上的中线BE．
(3)求△ABE的面积．
18．(2023春·江苏盐城·七年级校考阶段练习）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，同时，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点．
(1)①如图1，△ABC中，∠A=90°，则△ABC的三条高所在直线交于点 ；
②如图2，△ABC中，∠BAC>90°，已知两条高BE、AD，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出△ABC的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹）
【综合应用】
(2)如图3，在△ABC中，∠ABC>∠C，AD平分∠BAC，过点B作BE⊥AD于点E．
①若∠ABC=80°，∠C=30°，则∠EBD= ；
②请写出∠EBD与∠ABC，∠C之间的数量关系 ，并说明理由．
【拓展延伸】
(3)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，△ABC中，M是BC上一点，则有△ABM的面积△ACM的面积=BMCM．如图5，△ABC中，M是BC上一点，且BM=13BC，N是AC的中点，若△ABC的面积是m，请直接写出四边形CMDN的面积 ．（用含m的代数式表示）
19．(2023秋·河北保定·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC交AB，AC于点E，F．
(1)图中有______个等腰三角形；猜想EF与BE，CF之间有怎样的关系，请直接写出来；
(2)如图2．若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，请直接写出它们；在第（1）问中EF与BE，CF之间的关系还存在吗?并说明理由；
(3)如图3，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过点O作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F．此时EF与BE，CF关系又如何?说明你的理由．
4.2三角形的基本性质知识点演练
考点1：三角形的三边关系
例1．（1）(2023秋·贵州铜仁·八年级统考期中）已知长为a，b，c的三条线段首尾顺次相接组成一个三角形．若a=7，b=9，则c的取值范围是（ ）
A．c>2B．c<16C．2≤c≤16D．2答案：D
分析：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行求解即可．
【详解】解：∵长为a，b，c的三条线段首尾顺次相接组成一个三角形，a=7，b=9，
∴b−a∴2故选D．
（2）（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，6，10B．3，9，6C．2，6，3D．3，6，8
答案：D
分析：根据构成三角形的条件：两边之和大于第三边进行逐一判断即可
【详解】解：根据三角形的三边关系，知
A、3+6<10，不能组成三角形，故选项不符合题意；
B、3+6=9，不能组成三角形；故选项不符合题意；
C、2+3<6，不能组成三角形；故选项不符合题意；
D、3+6>8，能够组成三角形，故选项符合题意．
故选：D．
例2．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）请阅读下列材料：
若m2−2m+n2+6n+10=0，求m，n的值．
解：∵m2−2m+n2+6n+10=0，
∴m2−2m+1+n2+6n+9=0，
∴m−12+n+32=0，
∴m−12=0，n+32=0，
∴m=1，n=−3．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)若a2+2ab+2b2+6b+9=0，则a的值为______；b的值为______．
(2)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2−4a+b2−2b+5=0，求c的值．
(3)若A=2a2+3a−5，B=a2+5a−7，试比较A与B的大小关系，并说明理由．
答案：(1)3，−3
(2)c=2
(3)A>B；理由见解析
分析：（1）按照材料的方法构造成完全平方式，根据完全平方的非负性即可得解；
（2）先求出a,b的值，然后根据三角形三边关系求出c的值；
（3）用作差法比较大小即可．
【详解】（1）解：∵a2+2ab+2b2+6b+9=0，
∴a2+2ab+b2+b2+6b+9=0，
∴a+b2+b+32=0，
∴a+b2=0，b+32=0，
∴a+b=0，b+3=0，
∴a=3，b=−3，
故答案为：3，−3．
（2）解：∵a2−4a+b2−2b+5=0，
∴ a2−4a+4+b2−2b+1=0，
∴a−22+b−12=0，
∴a−22=0，b−12=0
∴a−2=0，b−1=0，
∴a=2，b=1，
∵ a，b，c是△ABC的三边长，
∴2−1即1又∵ a，b，c都是正整数，
∴c=2．
（3）解：A>B，理由如下，
A−B=2a2+3a−5−a2+5a−7，
=2a2+3a−5−a2−5a+7=a2−2a+2=a−12+1，
∵a−12≥0，
∴a−12+1>0，
∴A>B．
【点睛】本题主要考查了整式加减的应用，二次方的非负性，完全平方公式的变形应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，准确计算．
例3．（2023秋·河北沧州·八年级统考期末）如图，直线AB,CD相交于点O，P为这两直线外一点，且OP=2.8．点P关于直线AB,CD的对称点分别是点P1,P2．
（1）若过点P的直线与AB,CD相交于点N，M，且∠OMN+∠ONM=150°．
①∠P1OP2的度数为_________；
②P1P2的长度为_________；
（2）若0°<∠AOC<180°，则点P1,P2之间的距离d的取值范围为_________．
答案： 60° 2.8 0分析：（1）利用三角形内角和可得∠MON=30°，由轴对称的性质可得∠PON=∠P1ON，∠POM=∠P2ON，OP=OP1=OP2=2.8，∠P1OP2=2∠MON，可求得∠P1OP2的度数，进而可证△P1OP2是等边三角形，可得P1P2的长度；
（2）由（1）可知，OP=OP1=OP2=2.8，∠P1OP2=2∠MON=2∠AOC，则由三角形三边关系可知，OP1−OP2【详解】解：（1）∵∠OMN+∠ONM=150°
∴∠MON=180°−∠OMN+∠ONM=180°−150°=30°
由轴对称可知：∠PON=∠P1ON，∠POM=∠P2ON，OP=OP1=OP2=2.8，
∴∠P1OP2=∠P1ON+∠PON+∠POM+∠P2ON=2∠PON+2∠POM
=2∠PON+2∠POM
=2∠PON+∠POM
=2∠MON
=60°，
∴△P1OP2是等边三角形，
∴P1P2=OP1=2.8，
（2）由（1）可知，OP=OP1=OP2=2.8，∠P1OP2=2∠MON=2∠AOC，
则由三角形三边关系可知，OP1−OP2∵0°<∠AOC<180°，
∴当∠AOC=90°时，∠P1OP2=180°，此时P1，O，P2，三点在同一直线上，
此时P1P2=OP1+OP2=5.6，
∴0故答案为：60°，2.8，0【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形的内角和，等边三角形的判定及性质，解本题的关键是熟练掌握轴对称的性质和三角形三边的关系．
知识点训练
1．（2023秋·山东日照·八年级校考期末）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长为奇数，则第三边长可能为（ ）
A．5或7B．3或5C．5D．7
答案：A
分析：根据三角形三边的关系进行求解即可．
【详解】解：∵一个三角形的两边长分别为3和6，
∴6−3<第三边<6+3，即3<第三边<9，
又∵第三边长为奇数，
∴第三边长可以为5或7，
故选A．
【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
2．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A．10cm，10cm，8cmB．5cm，6cm，14cm
C．4cm，8cm，12cmD．3cm，9cm，5cm
答案：A
分析：根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析即可．
【详解】根据三角形的三边关系，得，
A、10+8>10，10cm，10cm，8cm能组成三角形，符合题意；
B、5+6=11<14，5cm，6cm，14cm不能够组成三角形，不符合题意；
C、4+8=12，4cm，8cm，12cm不能组成三角形，不符合题意；
D、5+3=8<9，3cm，9cm，5cm不能够组成三角形，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握判断能否组成三角形的简便方法是看较短的两条线段的和是否大于第三条线段的长度．
3．（2023秋·四川南充·八年级统考期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，6B．5，8，13C．4，4，7D．3，4，8
答案：C
分析：根据三角形的三边关系逐项排查即可解答．
【详解】解：A、2+3<6，所以不能构成三角形，故A不符合题意；
B、5+8=10，所以不能构成三角形，故B不符合题意；
C、4+4>7，所以能构成三角形，故C符合题意；
D、3+4<8，所以不能构成三角形，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
4．(2023秋·广西百色·八年级统考期中）已知三角形的两边长分别为5cm，8cm，则下列长度的线段能作为三角形第三边的是（ ）
A．13cmB．7cmC．3cmD．2cm
答案：B
分析：首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得：第三边应大于两边之差，且小于两边之和，
即8−5=3，8+5=13．
∴第三边取值范围应该为：3<第三边长度<13，
故只有B选项符合条件．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，一定要注意构成三角形的条件：两边之和>第三边，两边之差<第三边．
5．（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）已知两根直木条的长分别为6dm和12dm，要再选择一根木条，使得它们首尾顺次相接能围成一个三角形，则下列长度的木条中，符合要求的是（ ）
A．5dmB．6dmC．11dmD．20dm
答案：C
分析：根据三角形三边的关系求出第三边的取值范围即可得到答案．
【详解】解：由三角形三边的关系可知，12−6<选取的木条长度<12+6，即6dm<选取的木条长度<18dm，
∴四个选项中只有选项C符合题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
6．（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）八年级1班学生杨冲家和李锐家到嵊州书城的距离分别是5km和3km．那么杨冲，李锐两家的距离不可能是（ ）
A．3kmB．9kmC．5kmD．4km
答案：B
分析：当三个地点不在同一直线时根据三角形三边关系即可得到2【详解】解：当三个地点不在同一直线时，由三角形三边关系可得，
2当三个地点在同一直线时，
① 书店在中间时：S=5+3=8，
② 李锐家在中间时：S=5−3=2,
综上所述：2≤S≤8，
故选B．
【点睛】本题主要考查三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，解题的关键是分类讨论．
7．（2023·全国·九年级专题练习）观察下列尺规作图的痕迹：其中，能够说明AB>AC的是（ ）
A．①②B．①④C．②④D．③④
答案：B
分析：利用圆的定义及垂直平分线性质结合三角形三边关系判断即可得到答案；
【详解】解：如图①中，AT=AC，
∵点T在线段AB上，
∴AB>AT，即AB>AC；
如图④中，
由作图可知，EB=EC，
∵EA+EC>AC，
∴EA+EB>AC，即AB>AC；
图②③是角平分线不能得到AB>AC；
故选：B．
【点睛】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．(2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）设a、b、c是△ABC的三边长，且a2−b2−c(a−b)=0，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
答案：D
分析：可将题目所给的关于a、b、c的等量关系式进行适当变形，然后根据有理数的乘法得到a−b=0，从而可以判断△ABC的形状．
【详解】解：∵a2−b2−c(a−b)=0，
∴a+ba−b−ca−b=0，
∴a+b−ca−b=0，
∵a+b>c，
∴a+b−c>0，
∴a−b=0，
∴a=b，
∴△ABC为等腰三角形，
故选D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，因式分解和三角形三边关系的应用，解题的关键是能够将所给式子进行合理变形．
9．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC，过点A作MN⊥AD．若点E是直线MN上异于点A的一点，连结BE、CE，设△ABC的周长为L1，△EBC的周长为L2，则L1与L2的大小关系为（ ）
A．L1>L2B．L1=L2C．L1答案：C
分析：延长BA至F，AF=AC，连接EF，得出∠1+∠3=∠2+∠4，再证明△ACE≌△AFE，得出EF=EC，AF=AC，根据三角形三边关系得出AB+AF【详解】如图，延长BA至F，AF=AC，连接EF，
∵MN⊥AD，
∴∠MAD=∠NAD=90∘，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵∠3=∠5，
∴∠4=∠5，
在△ACE和△AFE中
AF=AC∠4=∠5AE=AE
∴△ACE≌△AFE，
∴EF=EC，AF=AC，
∵BF∴AB+AF∴AB+AC+BC故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系的应用，正确理解题意是解题的关键．
10．(2023秋·湖南株洲·八年级统考期末）如果一个等腰三角形的两边长分别是3cm和6cm，则此三角形的周长为_____．
答案：15cm
分析：先根据三角形的三边关系判断出等腰三角形另一边的长，再根据周长公式即可得出结论．
【详解】解：当等腰三角形的另一边为6cm时，6−3＜6＜6+3，符合三角形的三边关系，此三角形的周长=6+6+3=15（cm）；
当等腰三角形的另一边为3cm时，3+3=6，不符合三角形的三边关系，故此种情况不存在．
故答案为：15cm．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解．
11．（2023春·江苏泰州·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）已知a,b,c为△ABC的三边，化简：a+b−c−2a−b−c= ______
答案：3a−b−3c
分析：根据三角形的三边关系，以及绝对值的意义，进行化简即可．
【详解】解：∵a,b,c为△ABC的三边，
∴a+b>c,b+c>a，
∴a+b−c−2a−b−c=a+b−c−2−a−b−c
=a+b−c−2−a+b+c
=a+b−c+2a−2b−2c
=3a−b−3c；
故答案为：3a−b−3c．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值．熟练掌握三角形的三边关系，是解题的关键．
12．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图，BD是△ABC的中线，AB=10，BC=6，求中线BD的取值范围．
答案：2分析：延长BD到E，使DE=BD,证明两边之和大于BE=2BD，两边之差小于BE=2BD，证明三角形全等，得到线段相等，等量代换得2【详解】解：如图，延长BD至E，使DE=BD，连接CE，
∵D为AC中点，
∴AD=DC，
在△ABD和△CED中，
BD=DE∠ADB=∠CDEAD=CD
∴△ABD≌△CEDSAS，
∴EC=AB=10，
在△BCE中，CE−BC∴4∴4<2BD<16，
∴2【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
13．（2023秋·四川广元·八年级统考期末）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：
阅读材料：若m2−2mm+2n2−8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2−2mn+2n2−8n+16=0，
∴m2−2mn+n2+n2−8n+16=0，
∴m−n2+n−42=0，
∴m−n2=0，n−42=0，
∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知a2+4ab+5b2+6b+9=0，求a、b的值；
(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2−4a+2b2−4b+6=0，求c的值；
答案：(1)a=6，b=−3；
(2)c=2．
分析：（1）将多项式拆分为完全平方展开式的形式，最后配凑为完全平方，再根据平方的性质求解；
（2）先配凑完全平方公式求出a，b值，再根据三角形三边关系求出第三边．
【详解】（1）解：∵a2+4ab+5b2+6b+9=0，
∴a2+4ab+4b2+b2+6b+9=0，
∴a+2b2+b+32=0，
∴a+2b=0，b+3=0，
∴a=6，b=−3；
（2）解：∵a2−4a+2b2−4b+6=0，
∴a2−4a+4+2b2−2b+1=0
∴a−22+2b−12=0，
∴a−2=0，b−1=0，
解得a=2，b=1，
∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴2−1∵c是正整数，
∴c=2．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，三角形三边关系的应用，解题的关键是合理配凑完全平方公式．
14．（2023秋·安徽池州·八年级统考期末）已知a，b，c是△ABC的三边．
(1)化简|a−b+c|+|a−b−c|；
(2)若a和b满足方程组a+2b=122a−b=−1，且c为偶数，求这个三角形的周长．
答案：(1)2c
(2)11或13
分析：（1）根据三角形的三边关系得到：a−b+c>0,a−b−c<0，根据绝对值的性质进行化简，即可求解；
（2）根据三角形的三边关系，确定c的范围，再求出三角形的周长．
【详解】（1）∵a，b，c是△ABC的三边，
∴a−b+c>0,a−b−c<0，
∴|a−b+c|+|a−b−c|=(a−b+c)−(a−b−c)=a−b+c−a+b+c=2c；
（2）解方程组a+2b=122a−b=−1，得a=2b=5，
根据三角形的三边关系得5−2∵c为偶数，
∴c=4或6，
∴这个三角形的周长为2+5+4=11或2+5+6=13．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，绝对值的化简，解二元一次方程组的知识，解题的关键是明确三角形的三边关系．
15．（2023春·全国·八年级专题练习）在ΔABC中，BC=a，AC=b，AB=c.设c为最长边，当a2+b2=c2时，ΔABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究ΔABC的形状（按角分类）．
(1)当ΔABC三边分别为6、8、9时，ΔABC为______三角形；当ΔABC三边分别为6、8、11时，ΔABC为______三角形．
(2)猜想，当a2+b2______c2时，ΔABC为锐角三角形；当a2+b2______c2时，ΔABC为钝角三角形．
(3)判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．
答案：(1)锐角，钝角．
(2)>，<；
(3)当4当25分析：对于（1），利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值，然后作出判断即可；
对于（2），根据（1）中的计算作出判断即可；
对于（3），根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c点的最大值，然后得到c的取值范围，然后分情况讨论即可得．
【详解】（1）当三边长为6，8，10时，62+82=102，三角形是直角三角形．
可知62+82＞92，所以△ABC是锐角三角形；
由62+82＜112，所以△ABC是钝角三角形．
故答案为：锐角，钝角；
（2）当a2+b2＞c2，所以△ABC是锐角三角形；
当a2+b2＜c2，所以△ABC是钝角三角形．
故答案为：＞，＜；
（3）∵c是最长边，
∴4≤c＜4+2，
即4≤c＜6．
当a2+b2=c2，c=25.
当a2+b2＞c2，即4≤c＜25时，△ABC是锐角三角形；
当a2+b2＜c2，即25＜c＜6时，△ABC是钝角三角形．
【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键．
16．（2023秋·河北石家庄·九年级统考期末）如图，长度为3的线段AB固定不动，长度为6的线段AC绕点A旋转，连接BC．在旋转过程中，线段BC的最大值为______；若以线段AC为直角边，以点A为直角顶点构造等腰直角三角形ACD，则在旋转过程中，点B到CD边的距离的最大值为______．
答案： 9 32+3##3+32
分析：根据题意，得出当线段AB与线段AC在同一直线上时，线段BC最大，最大值为AB+AC，然后代入计算即可；当△ACD在线段AB的左侧时，点B到CD的距离更大，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，根据三角形的三边关系，得出AE+AB>BE，当A、B、E三点共线时，AE+AB=BE，综合得出AE+AB≥BE，据此得出当A、B、E三点共线时，点B到CD边的距离的最大，最大值为BE=AE+AB，再根据直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，结合勾股定理，得出AE=32，再根据BE=AE+AB，即可得出答案．
【详解】解：当点C、A、B共线且C、B在点A异侧时，线段BC长度最大，最大值为AB+AC，
∵AB=3，AC=6，
∴BC=6+3=9，
∴线段BC的最大值为9；
故答案为：9
如图，当△ACD在线段AB的左侧时，点B到CD的距离更大，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，
在△ABE中，
AE+AB>BE，
当A、B、E三点共线时，AE+AB=BE，
∴综合可得：AE+AB≥BE，
∴当A、B、E三点共线时，点B到CD边的距离的最大，最大值为BE=AE+AB，
此时，AE为Rt△ACD斜边的中线，
∴AE=12CD，
又∵CD=AC2+AD2=62，
∴AE=12×62=32，
∴BE=AE+AB=32+3，
∴点B到CD边的距离的最大值为32+3．
故答案为：32+3
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、三角形的三边关系、直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半、勾股定理，解本题的关键在充分利用数形结合思想解答．
考点2：三角形的内角和外角
例4(1)（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，∠A=40°，∠CBD是△ABC的外角，∠C=60°，则∠CBD的大小是（ ）
A．180°B．120°C．100°D．80°
答案：C
分析：根据三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：∵∠A=40°，∠CBD是△ABC的外角，∠C=60°，
∴∠CBD=∠A+∠C=100°．
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
(2)（2023秋·山东德州·八年级统考期末）如图，C处在B处的北偏西40°方向，C处在A处的北偏西75°方向，则∠ACB的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
答案：B
分析：根据方向角是视线与正南或正北方向的夹角，根据平行线的性质和三角形内角和的性质即可求解．
【详解】解：如图，
∵DB∥EA，
∴∠DBA+∠BAE=180°，
∵∠CAE=75°，
∴∠DBA+∠BAC=105°，
∵∠CBD=40°，
∴∠CBA+∠BAC=105°+40°=145°，
∴∠ACB=180°−145°=35°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，方向角的定义，熟练掌握方向角的定义与平行线的性质、三角形内角和定理的综合应用是解此题的关键．
(3)（2023秋·山东日照·八年级校考期末）将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处，若∠1=80°，∠2=28°，则∠A的度数为________．
答案：26°##26度
分析：先由折叠的性质得到∠A'=∠A，再由三角形外角的性质推出2∠A+∠2=∠1，据此求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可知∠A'=∠A，
∵∠1=∠A+∠AED，∠AFD=∠2+∠A'，
∴2∠A+∠2=∠1，
∵∠1=80°，∠2=28°，
∴∠A=26°，
故答案为：26°．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和是解题的关键．
例5(2023秋·四川广安·八年级统考期末）在△ABC中，已知∠A+∠B=∠C，∠A=∠B．
(1)求∠A，∠B和∠C的度数；
(2)按边分类，△ABC属于__________三角形；按角分类，△ABC属于__________三角形．
答案：(1)∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°
(2)等腰，直角
分析：（1）根据三角形内角和定理求解即可；
（2）由等角对等边得出AC=BC，确定△ABC属于等腰三角形；再由有一个角是直角的三角形是直角三角形即可求解．
【详解】（1）根据题意，得∠A+∠B=∠C，∠A=∠B，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°.
（2）∵∠A=∠B，
∴AC=BC，
∴按边分类，△ABC属于等腰三角形；
∵∠C=90°，
∴按角分类，△ABC属于直角三角形；
故答案为：等腰；直角．
【点睛】题目主要考查三角形内角和定理的应用及三角形的分类，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键．
例6（2023秋·山东枣庄·八年级统考期末）《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．小迪同学在学习过程中产生了一个猜想：“如果三角形一边上的中线的长度等于所在边长度的一半，那么这个三角形是直角三角形．”
(1)请你用尺规作图，在图中作出线段AB的中点D，并连接CD．（保留作图痕迹）
(2)请你结合图形，将小迪猜想的命题写成已知、求证．
已知：
求证：△ABC 为直角三角形．
(3)补全上述猜想的证明过程．
证明：∵点D是线段AB的中点，
∴ ，
又∵CD=12AB，
∴AD=BD=CD，
在△ACD中，∵AD=CD，
∴∠DCA=∠A，（___________）（填推理的依据），
同理，在△BCD中， = ．
在△ABC中
∵∠DCA+∠A+∠DCB+∠B=180°．
∴ ＋ =90°，
∵在△ABC中，∠A+∠ACB+∠B=180°
∴在△ABC中，∠ACB=90° ，
∴△ABC为直角三角形．
答案：(1)见解析
(2)在△ABC中，CD是△ABC的中线，且CD=12AB
(3)AD=BD；等边对等角；∠DCA+∠CDB=90°或∠A+∠B=90°；∠A； ∠B
分析：（1）根据作出AB的垂直平分线，交AB于D，连接CD，即可；
（2）根据题意将文字语言结合图形转化为符号语言，即可；
（3）根据题意得到∠DCA=∠A，∠DCB=∠B，根据三角形内角和定理得∠DCA+∠A+ ∠DCB+∠B=180°，即可得到∠ACB=90°，即可．
【详解】（1）如图，CD即为所求作的线段，
证明：∵点E、F分别到A、B的距离相等，
∴点E、F分别在AB的垂直平分线上，
∴点D为AB中点，
∴CD即为所求作的线段；
（2）已知：在△ABC中，CD是△ABC的中线，且CD=12AB．
求证：△ABC为直角三角形．
故答案为：在△ABC中，CD是△ABC的中线，且CD=12AB；
（3）∵点D是线段AB的中点，
∴AD=BD，
又∵CD=12AB
∴AD=BD=CD，
在△ACD中，∵AD=CD
∴∠DCA=∠A，（等边对等角）（填推理的依据）
同理，在△BCD中，∠DCB=∠B．
在△ABC中
∵∠DCA+∠A+∠DCB+∠B=180°．
∴∠DCA+∠CDB =90°或∠A+∠B =90°，
∴在△ABC中，∠ACB=90° ，
∴△ABC为直角三角形．
故答案为：等边对等角；∠DCA+∠CDB=90°或∠A+∠B=90°；
∠A+∠B=90°．
【点睛】本题考查了尺规作图-作已知线段的中点，几何文字语言、符号语言的转化，等腰三角形性质等知识，熟知相关知识，掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题关键．
知识点训练
1．（2023秋·湖北荆州·八年级统考期末）若等腰三角形的一个角为50°，则它的底角的度数是（ ）
A．50°B．65°C．50°或80°D．50°或65°
答案：D
分析：分这个角是底角和顶角，两种情况讨论求解．
【详解】解：当这个角为底角时：50°+50°=100°<180°，满足题意；
当这个角是顶角时：它的底角的度数是12180°−50°=65°；
综上：等腰三角形的底角度数为50°或65°；
故选D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．熟练掌握等边对等角，是解题的关键．
2．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图所示，在△ABC中，AC=BC，边AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，∠A=50°，则∠BCD=（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
答案：A
分析：先根据等边对等角和三角形内角和定理求出∠ACB=80°，再根据线段垂直平分线的性质得到AD=CD，则∠ACD=∠A=50°，即可得到∠BCD=∠ACB−∠ACD=30°．
【详解】解：∵在△ABC中，AC=BC，∠A=50°，
∴∠B=∠A=50°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=80°，
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A=50°，
∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=30°，
故选A．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，正确求出∠ACB=80°，∠ACD=50°是解题的关键．
3．（2023秋·四川南充·九年级统考期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，若AD⊥BC，∠B=40°，则∠CAE的度数为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
答案：C
分析：由三角形内角和定理得出∠BAD=90°−40°=50°，再由旋转的性质可得∠BAC=∠DAE即可求解．
【详解】解：∵AD⊥BC，∠B=40°，
∴∠BAD=90°−40°=50°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAD=∠CAE=50°，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是本题的关键．
4．（2023秋·四川自贡·九年级统考期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，将AC边绕点A逆时针旋转∠α到AD，连接CD，连接BD交AC于点E，若∠BDC=20°，∠BEC=2∠CAD，则∠ABD的度数为（ ）
A． 40° B． 44° C． 48° D． 60°
答案：B
分析：作出辅助圆，利用圆周角定理求得∠BAC=2∠BDC=40°，∠CBD=12α，利用等边对等角以及三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵AB=AC=AD，
∴点B、C、D在以A为圆心，AD为半径的圆上，如图：
∵∠BDC=20°，
∴∠BAC=2∠BDC=40°，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=12180°−40°=70°，
∵∠CAD=α，
∴∠CBD=12α，
∵∠BEC=2∠CAD，
∴∠BEC=2∠CAD=2α，
∴∠CBD+∠BEC+∠ACB=180°，即12α+2α+70°=180°，
解得α=44°，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，作出辅助圆是解题的关键．
5．(2023秋·天津东丽·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,∠A=56°，将其折叠，使点A落在CB边上的A'处，折痕为CD，则∠A'DB的度数为（ ）
A．56°B．32°C．22°D．34°
答案：C
分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠B，根据翻折变换的性质可得∠CA'D=∠A，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=56°，
∴∠B=90°−56°=34°，
∵折叠后点A落在边CB上A'处，
∴∠CA'D=∠A=56°，
由三角形的外角性质得，∠A'DB=∠CA'D−∠B=56°−34°＝22°．
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，翻折前后对应边相等，对应角相等．
6．(2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD=∠CAD；②若∠BAC=60°，则∠BEC=150°；③若点G为BC的中点，则∠BGD=90°；④AE=DE=DB．其中，一定正确的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
答案：A
分析：根据点E是△ABC的内心，可得∠BAD=∠CAD，可判断①正确；连接BE，CE，可得∠ABC+∠ACB=2∠CBE+∠BCE，从而得到∠CBE+∠BCE=60°，进而得到∠BEC=120°，可判断②错误； ∠BAD=∠CAD，得出BD=CD，再由点G为BC的中点，则∠BGD=90°成立，可判定③正确；根据点E是△ABC的内心和三角形的外角的性质，可得∠BED=12∠BAC+∠ABC，再由圆周角定理可得∠DBE=12∠BAC+∠ABC，从而得到∠DBE=∠BED，得出BD=DE，但AE≠DE可判断④错误．
【详解】解：∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，故①正确；
如图，连接BE，CE，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABC=2∠CBE，∠ACB=2∠BCE，
∴∠ABC+∠ACB=2∠CBE+∠BCE，
∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠CBE+∠BCE=60°，
∴∠BEC=120°，故②错误；
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，
∴BD=CD,
∵点G为BC的中点，
∴线段AD经过圆心O，
∴AD⊥BC，
∴∠BGD=90°成立，故③正确；
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC,∠ABE=∠CBE=12∠ABC，
∵∠BED=∠BAD+∠ABE，
∴∠BED=12∠BAC+∠ABC，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠CBE+∠CAD，
∴∠DBE=12∠BAC+∠ABC，
∴∠DBE=∠BED，
∴BD=DE，
∵点E不一定是AD的中点，
∴AE≠DE，
∴AE≠DE=DB，故④错误；
综上分析可知，①③正确，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识是解题的关键．
7．(2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE，若∠A=35°，∠B=25°，∠C=50°，则∠1的度数为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
答案：A
分析：由题意易得∠BEC=105°，然后根据三角形外角的性质可进行求解．
【详解】解：∵∠B=25°，∠C=50°，
∴在△BEC中，由三角形内角和可得：
∠BEC=180°−25°−50°=105°，
∵∠A=35°，
∴∠1=∠BEC−∠A=70°，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形内角和及外角的性质是解题的关键．
8．（2023秋·山东枣庄·八年级统考期末）按如图中所给的条件，∠1的度数是（ ）
A．62°B．63°C．75°D．118°
答案：A
分析：根据邻补角求得∠2=25°，然后根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：如图，
∵∠2=180°−155°=25°，
∴∠1=37°+∠2=37°+25°=62°，
故选：A．
【点睛】本题考查了求邻补角，三角形的外角的性质，掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
9．（2023春·江苏·八年级姜堰区实验初中校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，旋转角为______°．
答案：40
分析：根据三角形的内角和得到∠B=90°−20°=70°，由旋转的性质得CB=CD，从而得∠BDC=∠B=70°，即可得到结论．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，
∴∠B=90°−20°=70°，
∵CB=CD，
∴△BCD是等腰三角形，
∴∠BCD=180°−2×70°=40°；
即旋转角为40°，
故答案是：40．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
10．（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）如图，△AOD≌△BOC，∠A=30°，∠C=50°，∠AOC=150°，则∠COD=______°．
答案：50
分析：先根据△AOD≌△BOC得∠B=∠A=30°，再利用三角形内角和定理得出∠BOC=100°，进而得出∠BOC=∠AOD=100°，再利用角的和差关系得出∠BOD=∠BOC+∠AOD−∠AOC=50°，进而可求∠COD．
【详解】解：∵ △AOD≌△BOC，∠A=30°，
∴ ∠B=∠A=30°，∠BOC=∠AOD，
∵ ∠C=50°，
∴ ∠BOC=180°−∠B−∠C=100°，
∴ ∠BOC=∠AOD=100°，
∴ ∠BOD=∠BOC+∠AOD−∠AOC=100°+100°−150°=50°，
∴ ∠COD= ∠BOC−∠BOD=100°−50°=50°，
故答案为：50．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，角的和差关系等，解题的关键是牢记全等三角形的对应角相等．
11．（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，在△ABC的边AB上取点D，以D为圆心，以DA为半径画圆弧，交AC于点E；以E为圆心，以ED为半径画圆弧，交AB于点F． 若∠CEF＝∠BFE，则∠A＝______°．
答案：36
分析：设∠A=x，为圆心，以DA为半径画圆弧交AC于点E可知AD=DE，故∠AED=∠A=x，由三角形外角的性质可知∠EDF=∠A+∠AED=2x，再由以E为圆心，以ED为半径画圆弧，交AB于点F可知DE=EF，故∠EDF=∠EFD=2x，
根据∠CEF=∠BFE可知AE=AF，故∠AFE=∠AEF=2x，再由三角形内角和定理可得出结论．
【详解】设∠A=x，以DA为半径画圆弧交AC于点E，
∴AD=DE，
∴∠AED=∠A=x，
∵∠EDF是△ADE的外角，
∴∠EDF=∠A+∠AED=2x，
∵由以E为圆心，以ED为半径画圆弧，交AB于点F可知DE=EF，
∴∠EDF=∠EFD=2x，
∵∠CEF=∠BFE，
∴AE=AF，
∴∠AFE=∠AEF=2x，
∵∠A+∠AEF+∠AEF=180°,即
x+2x+2x=180°，
∴x=36°，即∠A=36°，
故答案为36．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
12．(2023秋·江苏·八年级统考期末）如图，四边形ABCD中，∠A=120°，∠C=60°．若将四边形ABCD沿BD折叠后，顶点A恰好落在边BC上的点E处（E与C不重合），则∠CDE的度数为______．
答案：60°##60度
分析：根据对称的性质得到BD垂直平分AE，则有AD=ED，AB=EB，证明△ABD≌△EBDSSS，得到∠BED=∠BAD=120°，再利用三角形外角的性质可得结果．
【详解】解：∵A和E关于BD对称，
∴BD垂直平分AE，
∴AD=ED，AB=EB，
在△ABD和△EBD中，
AD=EDAB=EBBD=BD，
∴△ABD≌△EBDSSS，
∴∠BED=∠BAD=120°，
∴∠CDE=∠BED−∠C=60°，
故答案为：60°．
【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，外角的性质，掌握折叠的性质是本题的关键．
13．(2023秋·四川广安·八年级统考期末）如图，点D在线段AB的延长线上．若∠BAC=25°，∠CBD=110°，则∠C的度数是___________．
答案：85°##85度
分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可得解．
【详解】解：∵∠BAC=25°，∠CBD=110°，
∴∠C=∠CBD−∠BAC=110°−25°=85°．
故答案为：85°．
【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
14．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AC=25，tanA=12，tanB=23，则△ABC的面积为（ ）
A．7B．55C．7+25+13D．25
答案：A
分析：过点C作CD⊥AB于点D，根据正切函数的定义和勾股定理求出AD=4，CD=2，根据正切函数值求出BD=3，得出△ABC的面积即可．
【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图所示：
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵tanA=12，
∴CDAD=12，
∴设CD=x，则AD=2x，
∵AD2+CD2=AC2，
∴2x2+x2=252，
解得：x=2或x=−2（舍去），
∴AD=4，CD=2，
∵tanB=CDBD=23，
∴BD=3，
∴AB=AD+BD=7，
∴S△ABC=12AB×CD=12×7×2=7，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角函数的应用，三角形面积的计算，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，求出AB=7．
15．（2023·陕西西安·校考一模）如图，在△ABC中，AC=BC，D、E分别为AB、BC上一点，∠CDE=∠A．若BC=BD，求证：CD=DE．
答案：详见解析
分析：证明△CAD≌△DBE，即可得证．
【详解】证明：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵AC=BC ,BC=BD，
∴AC=BD，
∵∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDE+∠BDE，∠CDE=∠A，
∴∠ACD=∠BDE，
在△ACD与△BDE中，
∠A=∠BAC=BD∠ACD=∠BDE，
∴△ACD≌△BDEASA，
∴CD=DE．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握等边对等角，证明三角形全等，是解题的关键．
考点3：三角形的重要线段
例7. （1）（2023秋·广东珠海·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点E是AC的中点，点F是BE的中点，且S△ABC=6cm2，则阴影部分的面积为（ ）
A．2cm2B．2.5cm2C．3cm2D．3.5cm2
答案：C
分析：根据三角形中线的性质可得S△ABF=12S△ABE,S△ECF=12S△CBE，从而可得S△ABF+S△ECF=12S△ABC=3
【详解】解：∵点E为BC的中点，
∴S△ABF=12S△ABE,S△ECF=12S△CBE，
∴S△ABF+S△ECF=12S△ABE+12S△EBC=12S△ABC=12×6=3cm2
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线与面积之间的关系是解答本题的关键
（3）（2023春·全国·七年级专题练习）如图，△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则下列说法中错误的是（ ）
A．BE=CEB．∠C+∠CAF=90°C．∠BAE=∠CAE D．S△ABC=2S△ABE
答案：C
分析：由中线的性质可得BE=CE，S△ABC=2S△ABE，由角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD；由AF是ΔABC的高，可得∠C+∠CAF=90°．
【详解】解：∵AE是中线，∴BE=CH，S△ABC=2S△ABE，故A、D说法正确；
∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∴∠BAE≠∠CAE，故C说法错误；
∵AF是△ABC的高，∴∠AFC=90°，∴∠C+∠CAF=90°，故B说法正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线，中线和高，明确概念是本题的关键．
（4）（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）如图，△ABC中，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连接CP，△PBC的面积为3，△ABC的面积为（ ）
A．9B．8C．7D．6
答案：D
分析：延长AP交BC于点Q，证明AP=QP，再根据中线的性质，即可进行解答．
【详解】解：延长AP交BC于点Q，
∵BP平分∠ABC，AP⊥BP，
∴∠ABP=∠QBP，∠BAP=∠BPQ=90°，
又BP=BP
∴△ABP≅△QBP
∴AP=QP，
∴S△ABP=S△QBP,S△ACP=S△QCP，
∵S△PBC=S△QBP+S△QCP=3，
∴S△ACP+S△ABP=3，
∴S△ABC=6．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
（5）（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）如图，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连接DM，下列结论：①DF=DN；②△AEF为等腰三角形；③AM=MN；④AE=NC，其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：D
分析：根据题意得出BD=AD，∠DBF=∠DAN，∠BDF=∠ADN，证△DFB≌△DNA，即可判断①；由AM⊥BE，M为EF的中点，证AM为线段EF的垂直平分线，即可判断②正确；证△AMB≌△NMB(ASA)即可判断③正确；证△ABF≌△CAN，推出CN=AF=AE，即可判断④．
【详解】解：∵∠BAC=90°，AC=AB，AD⊥BC，
∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°，
∴∠BAD=45°=∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°，
∴∠BFD=∠AEB=90°−22.5°=67.5°，
∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，
∴AF=AE，AM⊥BE，
∴∠AMF=∠AME=90°，
∴∠DAN=90°−67.5°=22.5°=∠MBN，
在△FBD和△NAD中，
∠FBD=∠DANBD=AD∠BDF=∠ADN，
∴△FBD≌△NAD(ASA)，
∴DF=DN，①正确；
∵ AM⊥BE，M为EF的中点，
∴AM为线段EF的垂直平分线，
∴AF=AE，②正确；
∵ AM⊥BE，
∴ ∠NMB=∠AMB=90°，
∵ BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
在△AMB和△NMB中，
∠NMB=∠AMB=90°MB=MB∠ABM=∠NBM，
∴△AMB≌△NMB(ASA)，
∴AM=MN，③正确；
在△AFB和△CNA中，
∠BAF=∠CAB=AC∠ABF=CAN，
∴△AFB≌△CAN(ASA)，
∴AF=CN，
∵AF=AE，
∴AE=CN，④正确；
综上所述，正确的有4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定义，三角形内角和定理，中垂线的判定与性质，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键，主要考查学生的推理能力．
知识点训练
1．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD平分∠CAB，下列说法：
①若CD:BD=2:3，则S△ACD:S△ABD=4:9；
②若CD:BD=2:3，则AC:AB=2:3；
③若∠C=90°，AC+AB=20，CD=3，则S△ABC=30；
④若∠C=90°，AC:AB=5:13，BC=36，则CD=10．
其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③④D．②③④
答案：D
分析：分别根据角平分线的性质结合三角形面积法进行求解即可
【详解】解：①设BC边上的高为h，则S△ACD:S△ABD=12CD·ℎ:12BD·ℎ=CD:BD，若CD:BD=2:3，则S△ACD:S△ABD=2:3，故①错误；
②过D作DE⊥AB，DF⊥AC，
∵AD平分∠CAB，
∴DE=DF,
∵S△ACD:S△ABD=2:3
∴12AC·DF12AB·DE=ACAB=23
因此，若CD:BD=2:3，则AC:AB=2:3，故②正确；
③若∠C=90°，过D作DE⊥AB，
∵AD平分∠CAB，
∴DE=CD=3,
∴S△ABC=12AC·CD+12AB·DE=12(AC+AB)·CD=12×20×3=30
故③正确；
④若∠C=90°，AC:AB=5:13，BC=36，
∴设AC=5x，AB=13x，则由勾股定理得：BC=12x
∴12x=36，解得x=3，
∴AC=15,AB=39
∵S△ACD+S△ABD=S△ABC，
∴12AC·CD+12AB·DE=12AC·BC，即12×15×CD+12×39×CD=12×15×36
解得，CD=10．故④正确
故选：D
【点睛】本题主要考查了三角形角平分线的性质以及运用等积法解决问题，正确运用面积法是解答本题的关键
2．（2023春·八年级课时练习）如图，△ABC的面积为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1,B1C1,C1A1至点A2,B2,C2；使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2,B2,C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过（ ）次操作．
A．2B．3C．4D．5
答案：C
分析：根据等底同高的两个三角形的面积相等，求出△A1B1C1、△A2B2C2的面积，进而得出答案．
【详解】解：如图，
连接A1C，
∵AB=A1B，S△ABC=1，
∴S△ABC=S△A1BC，
∵BC=B1C，
∴S△A1BC=S△A1B1C，
∴S△A1B1B=2S△ABC=2，
同理，S△A1C1A=2S△ABC，S△B1C1C=2S△ABC，
∴S△A1B1C1=S△A1B1B+S△A1C1A+S△B1C1C+S△ABC=7S△ABC，
同理可得，第二次操作后S△A2B2C2=7S△A1B1C1=7×7=49，
第三次操作后的面积为7×49=343，
第四次操作后的面积为7×343=2401，
故按此规律，要使到的三角形的面积超过2021，至少要经过4次操作．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的面积，根据等底同高的两个三角形的面积相等得出其规律是解本题的关键．
3．(2023秋·山东济宁·九年级济宁市第十五中学统考期末）如图，在△ABC中，AE平分∠CAB，AE⊥BE于点E，点F是BC的中点，若AB=10，AC=6，则EF的长为（ ）．
A．2B．3C．4D．5
答案：A
分析：分别延长AC，BE交于点M，构造等腰△ABM，利用等腰三角形的“三线合一”的性质和三角形中位线定理求解即可．
【详解】解：延长AC，BE交于点M，
∵AE平分∠CAB，AE⊥BE，
∴∠AEB=∠AEM=90°,∠CAE=∠BAE，
∵AE=AE，
∴△ABE≌△AMESAS，
∴AB=AM=10,BE=EM．
∵AC=6,，
∴CM=AM−AC=10−6=4，
∵点F是BC的中点，BE=EM，
∴.EF为△BCM中位线，
∴.EF=12CM=2．
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
4．(2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，若CD=3，则BC的长是（ ）
A．9B．33C．6D．3
答案：A
分析：根据角平分线的作法可知AD平分∠CAB，再根据30°角所对的直角边是斜边的一半即可求得BC．
【详解】解：根据题意可知AD是∠CAB的角平分线
∴∠CAD=∠DAB=12∠CAB，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=∠C−∠B=90°−30°=60°，
∴∠CAD=12∠CAB=12×60°=30°，
∵CD=3，
∴AD=2CD=6，
∵∠DAB=∠ABD=30°，
∴BD=AD=6，
∴BC=BD+CD=9．
故选A
【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，30°角所对的直角边是斜边一半，熟记直角三角形的性质是解题的关键．
5．（2023秋·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，∠A=60°,∠ABC=80°，BD是△ABC的高线，BE是△ABC的角平分线，则∠DBE的度数是（ ）
A．10°B．12°C．15°D．18°
答案：A
分析：利用角平分线的定义可求出∠ABE的度数，在△ABD中，利用三角形内角和定理可求出∠ABD的度数，再结合∠DBE=∠ABE−∠ABD，即可求出∠DBE的度数．
【详解】解：
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=12×80°=40°．
∵BD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°．
在△ABD中，∠ADB=90°,∠A=60°，
∴∠ABD=180°−∠ADB−∠A=180°−90°−60°=30°，
∴∠DBE=∠ABE−∠ABD=40°−30°=10°，
∴∠DBE的度数为10°
故选A．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记三角形内角和是180°是解题的关键．
6．(2023秋·辽宁鞍山·八年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E，F为AB上的一点，CF⊥AD于H．下列判断正确的是（ ）
A．线段AD是△ABE的角平分线B．线段CH为△ACD边AD上的高
C．线段BE是△ABD边AD上的中线D．线段AH为△ABC的角平分线
答案：B
分析：连接三角形的顶点和对边中点的线段叫三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高，据此逐项判断即可．
【详解】依题意：
A.线段AD是△ABC的角平分线，故此选项判断错误，不符合题意，
B.线段CH为△ACD边AD上的高,故此选项判断正确，符合题意；
C. 线段BG是△ABD边AD上的中线,故此选项判断错误，不符合题意，
D.线段AD是△ABC的角平分线，故此选项判断错误，不符合题意，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和对边相交的交点之间的线段；正确理解定义是解题的关键．
7．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论不正确的是（ ）．
A．AC−BE=AEB．BE=CE
C．∠DAB=∠CD．BC=4AD
答案：C
分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，∠C=30°，根据含30度直角三角形的性质得到BC=2AB，再根据角平分线的定义得到∠ABE=∠CBE=30°，即可证明EB=EC从而判断A、B；再根据AD⊥BE即可判断C、D．
【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠C=90°，
又∵∠ABC=2∠C，
∴∠ABC=60°，∠C=30°，
∴BC=2AB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=30°，
∴∠EBC=∠C，
∴EB=EC，故B不符合题意
∴AC−BE=AC−EC=AE，故A不符合题意；
∵AD⊥BE，
∴AB=2AD，∠BAD=60°，
∴BC=4AD，∠DAB≠∠C，故C符合题意，D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，灵活运用所学知识是解题的关键．
8．(2023秋·八年级单元测试）如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线……，若∠A＝α，则∠A2022为（ ）°．
A．α2022B．α22022C．α2023D．α22023
答案：B
分析：根据角平分线的定义可得∠A1BD=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，再根据三角形外角性质可得12∠ABC+∠A=12∠ABC+∠A1，化简可得∠A1=12∠A，进一步找出其中规律，即可求出∠A2022的度数．
【详解】解：∵BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，
∴∠ABA1=∠CBA1=12∠ABC，∠ACA1=∠DCA1=12∠ACD，
∵∠A=α，
∴∠ACD=∠ABC+∠A=2∠CBA1+∠A①，∠DCA1=∠A1+∠CBA1②，
②×2得：2∠DCA1=2∠A1+2∠CBA1，
∴∠ACD=2∠A1+2∠CBA1③，
由①和③得：2∠A1=∠A，
∵∠A=α，
∴∠A1=12∠A=12∠α，
同理∴∠A2=12∠A1=14∠A=122α，
∠A3=12∠A2=18∠A=123α，
…
∴∠A2022=122022α=α22022，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出∠A1，∠A2，∠A3与∠A的规律是解题的关键．
9．（2023春·七年级课时练习）如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有（ ）
A．AH是△ACF的角平分线和高B．BE是△ABD边AD上的中线
C．FH是△ABD边AD上的高D．AD是△ABE的角平分线
答案：A
分析：连接三角形的顶点和对边中点的线段叫三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、AH是△ACF的角平分线和高，故此选项判断正确，符合题意；
B、BG是△ABD边AD上的中线，故此选项判断错误，不符合题意；
C、FH为△AHF边AH上的高，故此选项判断错误，不符合题意
D、AD是△ABC的角平分线，故此选项判断错误，不符合题意，
故答案为：A．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和对边相交的交点之间的线段．正确理解定义是解题的关键．
10．(2023秋·山东威海·七年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AE平分∠BAC，若AB=4，CE=1，则△ABE的面积为___________．
答案：2
分析：过E作DE⊥AB于D，根据角平分线的性质得出DE=CE=1，然后求三角形的面积即可．
【详解】解：过E作DE⊥AB于D，
∵∠C=90°，AE平分∠BAC，CE=1，
∴DE=CE=1，
∴△ABE的面积=12×AB×DE=12×4×1=2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练运用角平分线的性质，正确作出相应辅助线是解题关键．
11．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，AD是△ABC的中线，M是AC边上的中点，连接DM，若△ABC的面积为8cm2，则△ADM的面积为：_______．
答案：2cm2
分析：根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可．
【详解】解：∵AD是△ABC的中线，△ABC的面积为8cm2，
∴S△ACD=12S△ABC=4cm2，
∵M是AC边上的中点，
∴S△ADM=12S△ACD=2cm2，
故答案为：2cm2．
【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
12．（2023春·全国·七年级专题练习）已知△ABC的面积为S，根据下列条件完成填空，
（1）AM1是△ABC的边BC上的中线，如图1，则△ACM1的面积为_________（用含S的式子表示，下同）；
CM2是△ACM1的边AM1上的中线，如图2，则△ACM2的面积为____________；
AM3是△ACM2的边CM2上的中线，如图3，则△ACM3的面积为____________；……
（2）在图2022中，CM2022是△ACM2021的边AM2021上的中线，则△ACM2022的面积为__________．
答案： 12S 14S 18S 122022S
分析：（1）利用三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分求解即可；
（2）根据（1）中的求解可得规律，利用规律即可求解．
【详解】（1）解：∵AM1是△ABC的边BC上的中线，△ABC的面积为S，如图1，
∴S△ACM1=12S△ABC=12S；
又∵CM2是△ACM1的边AM1上的中线，如图2，
∴S△ACM2=12S△ACM1=14S△ABC=14S；
∵AM3是△ACM2的边CM2上的中线，如图3，
∴S△ACM3=12S△ACM2=18S，
故答案为：12S，14S，18S
（2）解：∵S△ACM1=12S，
S△ACM2=12S△ACM1=14S，
S△ACM3=12S△ACM2=18S，
⋯⋯，
以此类推，
可得S△ACMn=12nS，
∴当n=2022时，S△ACM2022=122022S，
故答案为：122022S
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟记三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．
13．(2023秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，AI平分∠BAC，CI平分∠ACB，将∠BAC平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为___________．
答案：7
分析：连接BI，由点I为△ABC的内心，得出BI平分∠ABC，则∠ABI=∠CBI，由平移得AB∥DI，则∠ABI=∠BID，推出∠CBI=∠BID，得出BD=DI，同理可得CE=EI，△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+BD+CE=BC=7，即可得出结果．
【详解】解: 连接BI，如图所示
∵点I为△ABC的内心
∴ BI平分∠ABC
∴ ∠ABI=∠CBI
由平移得AB∥DI
∴ ∠ABI=∠BID
∴ ∠CBI=∠BID
同理可得CE=EI
∴ △DIE的周长=DE+DI+EI=DE+BD+CE=BC=7
即图中阴影部分的周长为7
故答案为：7
【点睛】本题考查了三角形内心的定义，平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是解题的关键．
14．（2023秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线．∠B>∠C．
(1)若∠B=60°，∠C=36°，则∠DAE=______°．
(2)若∠B=α，∠C=β，探究∠DAE与α、β的数量关系？
答案：(1)12
(2)∠DAE=12α−β
分析：（1）首先计算出∠BAC的度数，然后再根据角平分线定义可得∠BAE的度数，再根据直角三角形两锐角互余计算出∠BAD的度数，进而可得∠DAE的度数；
（2）由（1）知∠DAE=∠BAE−∠BAD，再把∠BAE=12∠BAC，∠BAD=90°−∠B代入整理可得答案．
【详解】（1）解：∵在△ABC中，∠B=60°，∠C=36°，
∴∠BAC=180°−∠B+∠C=180°−60°+36°=84°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=12∠BAC=12×84°=42°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−∠B=90°−60°=30°，
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=42°−30°=12°．
故答案为：12．
（2）∠DAE=12α−β，
理由如下：
∵在△ABC中，∠B=α，∠C=β，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−α−β，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=12∠BAC=12180°−α−β
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−∠B=90°−α，
∵∠DAE=∠BAE−∠BAD，
∴∠DAE=12180°−α−β−90°−α=12(α−β)．
【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的角平分线和高的定义，直角三角形两锐角互余．解题的关键是掌握三角形内角和为180°，理清角之间的关系．
15．(2023秋·广西百色·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．
(1)AC边上的高是线段___________，BC边上的高是线段___________；
(2)画出AB边上的高CD，并表示出此时图中所有的直角三角形；
(3)若CB=5，AC=12，AB=13，求CD的长．
答案：(1)BC，AC
(2)画图见解析，△ACD，△BCD，△ABC
(3)6013
分析：（1）根据高的定义判断线段即可；
（2）过C作CD⊥AB，垂足为D即可，根据垂直得到图中的直角三角形；
（3）根据三角形的面积列出等式，从而求出CD．
【详解】（1）解：AC边上的高是线段BC，BC边上的高是线段AC，
故答案为：BC，AC；
（2）高CD如图所示：
其中图中的直角三角形有△ACD，△BCD，△ABC；
（3）根据三角形面积可得：
12×AC×BC=12×AB×CD，
∴12×12×5=12×13×CD，
∴CD=6013．
【点睛】本题考查了三角形的高及画法，直角三角形，三角形的面积，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质．
16．（2023秋·河南南阳·九年级统考期末）【阅读理解】
如图①，直线l1∥l2，△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？为什么？
解：相等∵l1∥l2，设l1与l2之间的距离为h，
则S△ABC=12BC⋅ℎ，S△DBC=12BC⋅ℎ．∴S△ABC=S△DBC．
【类比探究】
(1)如图②，直线l1∥l2，当点D在l1、l2之间时，设点A、D到直线l2的距离分别为h、ℎ'，则S△ABCS△DBC=________．
(2)如图③，直线l1∥l2，当点D在l1、l2之间时，连接AD并延长交l2于点M，求证：S△ABCS△DBC=AMDM．
【拓展延伸】
(3)如图④，直线l1∥l2，当点D与△ABC在同一平面内时，直线AD交l2于点E．若AE=3，S△ABCS△DBC=37，直接写出线段AD的长．
答案：(1)ℎℎ'
(2)见解析
(3)4或10
分析：（1）利用三角形面积公式可得S△ABC=12BC⋅ℎ，S△DBC=12BC⋅ℎ'，由此可解；
（2）过点A作AE⊥BM于E，过点D作DF⊥BM于F，则AE∥DF，进而可得△AEM∽△DFM，根据相似三角形对应边成比例可得AEDF=AMDM，结合（1）中结论即可证明S△ABCS△DBC=AMDM；
（3）分点D在直线l1上方和在直线l2下方两种情况，参照（2）中作法构造相似三角形，即可求解．
【详解】（1）解：∵ S△ABC=12BC⋅ℎ，S△DBC=12BC⋅ℎ'，
∴ S△ABCS△DBC= 12BC⋅ℎ12BC⋅ℎ'= ℎℎ'，
故答案为：ℎℎ'；
（2）证明：如图，过点A作AE⊥BM于E，过点D作DF⊥BM于F，
则∠AEM=∠DFM=90°．
又∵ ∠AME=∠DMF，
∴ △AEM∽△DFM，
∴AEDF=AMDM，
由（1）可知S△ABCS△DBC=AEDF，
∴ S△ABCS△DBC=AMDM；
（3）解：∵ S△ABCS△DBC=37，
∴ S△ABC< S△DBC，
∴点D在直线l1上方或者在直线l2下方．
当点D在直线l1上方时，过点A作AN⊥l2于N，过点D作DM⊥l2于M，如下图所示：
则∠DME=∠ANE=90°．
又∵ ∠DEM=∠AEN，
∴ △DME∽△ANE，
∴ ANDM=AEDE，
∵ S△ABCS△DBC=12BC⋅AN12BC⋅DM=ANDM=37，
∴ AEDE=37，
∵ AE=3，
∴ DE=7，
∴ AD=DE−AE=7−3=4；
当点D在直线l2下方时，如下图所示：
同理可证S△ABCS△DBC=AEDE=37，
∵ AE=3，
∴ DE=7，
∴ AD=DE+AE=7+3=10，
综上可知，线段AD的长为4或10．
【点睛】本题属于几何图形探究题，考查平行线的性质、三角形面积公式、相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过添加辅助线构造相似三角形．
17．（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）在如图所示的方格纸中，
(1)在△ABC中，作BC边上的高AD．
(2)作AC边上的中线BE．
(3)求△ABE的面积．
答案：(1)见解析
(2)见解析
(3)32
分析：（1）根据要求作出高即可．
（2）根据要求作出AC边上的中线即可．
（3）由三角形面积公式即可得出答案．
【详解】（1）如图所示AD即为所求．
（2）如图所示BE即为所求．
（3）∵BC=4，AD=4，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×4=8,
∵ BE为AC边上中线，
∴S△ABE=12S△ABC=12×8=4，
即S△ABE面积为4．
【点睛】本题主要考查三角形高和中线的做法，以及三角形面积，熟练理解三角形面积的求法是解决本题的关键．
18．(2023春·江苏盐城·七年级校考阶段练习）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，同时，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点．
(1)①如图1，△ABC中，∠A=90°，则△ABC的三条高所在直线交于点 ；
②如图2，△ABC中，∠BAC>90°，已知两条高BE、AD，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出△ABC的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹）
【综合应用】
(2)如图3，在△ABC中，∠ABC>∠C，AD平分∠BAC，过点B作BE⊥AD于点E．
①若∠ABC=80°，∠C=30°，则∠EBD= ；
②请写出∠EBD与∠ABC，∠C之间的数量关系 ，并说明理由．
【拓展延伸】
(3)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，△ABC中，M是BC上一点，则有△ABM的面积△ACM的面积=BMCM．如图5，△ABC中，M是BC上一点，且BM=13BC，N是AC的中点，若△ABC的面积是m，请直接写出四边形CMDN的面积 ．（用含m的代数式表示）
答案：(1)①A；②见解析
(2)①25°；②2∠EBD=∠ABC−∠ACB
(3)512m
分析：（1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论；②延长BE、DA交于点F，连接CF，延长BA交CF于点G，则CG为△ABC的第三条高；
（2）①由三角形内角和定理和角平分线定义得∠BAE=12∠BAC=35°，再由直角三角形的性质得∠ABE=55°，即可求解；②由三角形内角和定理和角平分线定义求解即可；
（3）连接CD，由中线的性质得S△ADN=S△CDN，同理S△ABN=S△CBN，设S△ADN=S△CDN=a，则S△ABN=S△CBN=12m，再求出S△CDM=23S△DBC=13m−23a，S△ACM=23S△ABC=23m，然后由面积关系求出a=14m，即可解决问题．
【详解】（1）解：①∵直角三角形三条高的交点为直角顶点，∠A=90°，
∴ΔABC的三条高所在直线交于点A，
故答案为：A；
②如图2，延长BE、DA交于点F，连接CF，延长BA交CF于点G，则CG为△ABC的第三条高；
（2）解：①∵∠ABC=80°，∠ACB=30°，
∴∠BAC=70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=35°，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°−35°=55°，
∴∠EBD=∠ABC−∠ABE=80°−55°=25°，
故答案为：25°；
②∠EBD与∠ABC，∠C之间的数量关系为：2∠EBD=∠ABC−∠ACB，理由如下：
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°−∠BAD，
∴∠EBD=∠ABC−∠ABE=∠ABC+∠BAD−90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC，
∵∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB，
∴∠BAD=90°−12∠ABC−12∠ACB，
∴∠EBD=∠ABC+∠BAD−90°=∠ABC+90°−12∠ABC−12∠C−90°=12∠ABC−12∠ACB，
∴2∠EBD=∠ABC−∠ACB，
故答案为：2∠EBD=∠ABC−∠ACB；
（3）解：连接CD，如图5所示：
∵N是AC的中点，
∴ S△ADNS△CDN=ANCN=1，
∴S△ADN=S△CDN，
同理：S△ABN=S△CBN，
设S△ADN=S△CDN=a，
∵△ABC的面积是m，
∴S△ABN=S△CBN=12m，
∴S△BCD=S△ABD=12m−a，
∵BM=13BC，
∴ BMCM=12，
∴ S△BDMS△CDM=BMCM=12，S△ABMS△ACM=BMCM=12，
∴S△CDM=2S△BDM，S△ACM=2S△ABM，
∴S△CDM=23S△BCD=23×(12m−a)=13m−23a，S△ACM=23S△ABC=23m，
∵S△ACM=S四边形CMDN+S△ADN=S△CDM+S△CDN+S△ADN，
即：23m=13m−23a+a+a，
解得：a=14m，
∴S四边形CMDN=S△CDM+S△CDN=13m−23×14m+14m=512m，
故答案为：512m．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了四边形面积的计算、三角形的高、三角形的中线、三角形内角和定理、三角形的面积等知识；本题综合性强，解题的关键是熟练掌握三角形的三条高交于一点和三角形面积关系．
19．(2023秋·河北保定·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC交AB，AC于点E，F．
(1)图中有______个等腰三角形；猜想EF与BE，CF之间有怎样的关系，请直接写出来；
(2)如图2．若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，请直接写出它们；在第（1）问中EF与BE，CF之间的关系还存在吗?并说明理由；
(3)如图3，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过点O作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F．此时EF与BE，CF关系又如何?说明你的理由．
答案：(1)5；EF=BE+CF
(2)有两个等腰三角形，为△BEO，△CFO；EF=BE+CF还成立，理由见解析
(3)EF=BE−CF；理由见解析
分析：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共五个，根据平行线的性质，等边对等角即可得出，再根据EF=EO+OF，即可得出EF=BE+FC；
（2）由EF∥BC，可得∠2=∠3，再根据角平分线的定义得出∠1=∠2，进而得出∠1=∠3，可得△BEO为等腰三角形，在△CFO中，同理可证；
（3）由于OE∥BC，可得∠5=∠6，再根据角平分线的定义得出∠4=∠5，进而得出∠4=∠6，可得△BEO是等腰三角形，同理可证△CFO是等腰三角形，则BE=EF+FO=EF+CF，即EF=BE−CF．
【详解】（1）解： ∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形，
∵∠ABC，∠ACB的平分线交于O点，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO，
∴EO=EB，FO=FC；
∴△OEB、△OFC是等腰三角形，
∵∠ABC=∠ACB，∠ABC，∠ACB的平分线交于O点，
∴∠OBC=12∠ABC=12∠ACB=∠OCB，
∴△OBC是等腰三角形，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=∠ACB=∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形，
∴图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共五个；
EF与BE、CF的关系是EF=BE+FC．
理由如下：
∵EO=EB，FO=FC，EF=EO+OF，
∴EF=BE+FC；
综上可知，图中有5个等腰三角形，EF=BE+FC；
（2）解：还有两个等腰三角形，为△BEO、△CFO，
如下图所示：
∵EF∥BC，
∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴△BEO为等腰三角形，
同理可证△CFO是等腰三角形．
EF与BE，CF之间的关系还存在，理由如下：
∵△BEO，△CFO是等腰三角形，
∴EO=EB，FO=FC，
∴EF=OE+OF=BE+CF．
（3）
解：有等腰三角形：△BEO、△CFO，此时EF=BE−CF，
如下图所示：
∵OE∥BC，
∴∠5=∠6，
又∠4=∠5，
∴∠4=∠6，
∴△BEO是等腰三角形，
同理可证△CFO是等腰三角形，
∵BE=EO，OF=FC，
∴BE=EF+FO=EF+CF，
∴EF=BE−CF．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，比较综合，难度一般，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质．