中考数学一轮大单元复习6.3与圆有关的计算重难点题型讲练(4大题型，必刷165题)(讲练)(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮大单元复习6.3与圆有关的计算重难点题型讲练(4大题型，必刷165题)(讲练)(原卷版+解析)，共192页。

(2023秋·广西河池·九年级统考期末）如图，已知正五边形内接于，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
类型2-正多边形的图形变换问题
（2023春·八年级课时练习）如图，边长为4的正六边形的中心与坐标原点重合，轴，将正六边形绕原点O顺时针旋转次，每次旋转，当时，顶点的坐标为_________．
类型3-与正多边形有关的作图问题
(2023秋·江苏苏州·九年级期中）如图，正五边形内接于，依照以下作图过程回答问题：
作法：
（1）作直径．
（2）以F为圆心，为半径作圆弧，与交于点M，N（点M在直径左侧，点N在直径右侧）．
（3）连接．
通过以上作图，若从点A开始，以长为半径，在上依次截取点，再依次连接这些点，可以得到正n边形，则n的值为 _____．
类型4-同圆（正多边形）与多个正多边形（圆）问题
（2023·全国·九年级专题练习）如图1所示的正六边形（记为“图形”）边长为6，将每条边三等分，沿每个顶点相邻的两个等分点连线剪下6个小三角形（如图1中6个阴影部分的三角形），把剪下的这6个小三角形拼接成图2外轮廓所示的正六边形（记为“图形”），作出图形的内切圆⊙O，如图3，得到如下结论：
①图1中剩余的多边形（即空白部分）为正十二边形；
②把图2中空白部分记作“图形”，则图形的周长之比为3：2：；
③图3中正六边形的边上任意一点到⊙O上任意一点的最大距离为4+．
以上结论正确的是（ ）
A．②③B．①③C．②D．①
综合训练
1．(2023秋·辽宁盘锦·九年级统考期末）正八边形的中心角等于（ ）度
A．36B．45C．60D．72
2．（2023·四川成都·模拟预测）如图，多边形是的内接正n边形，已知的半径为r，的度数为，点O到的距离为d，的面积为S．下面三个推断中．
①当n变化时，随n的变化而变化，与n满足的函数关系是反比例函数关系；
②若为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系；
③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系．
其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
3．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ）
A．10B．12C．15D．20
4．（2023·天津和平·统考一模）如图，一个大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为的小正六边形的中心重合，且与边，相交于点，．图中阴影部分的面积记为，三条线段，，的长度之和记为，在大正六边形绕点旋转过程中，和的值分别是( )
A．，B．，C．，D．和的值不能5．（2023秋·云南昆明·九年级云大附中校考期末）下列图形中，绕它的中心旋转后可以和原图形重合的是（ ）
A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形
6．(2023秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（ ）
A．8B．10C．12D．16
7．（2023春·九年级课时练习）如图，点O为正六边形的中心，P、Q分别从点同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2021次相遇地点的坐标为（ ）
A．B．（1，0）C．D．（﹣1，0）
8．(2023秋·天津·九年级校考期末）如图，要拧开一个边长为的正六边形，扳手张开的开口b至少为（ ）
A．B．C． D．
9．（2023秋·山东德州·九年级统考期末）如图，六边形正六边形，曲线…叫做“正六边形的渐开线”，其中弧 ，弧，弧，弧，弧⋯ ．的圆心依次按点循环，其弧长分别记为…．当时，等于（ ）
A．1011πB．C．D．
10．（2023春·九年级课时练习）如图，是由边长为1的正六边形和六角星镶嵌而成的图案，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
11．(2023秋·全国·九年级专题练习）如图，有一张菱形纸片，分别把沿着两条平行于的直线进行对折，得到一个六边形，如果这个六边形是正六边形，则菱形的对角线长的比（ ）
A．B．C．D．
12．（2023春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角α至少为______度．
13．（2023春·天津和平·九年级校考阶段练习）正六边形的边心距为3，这个正六边形的面积为___________．
14．（2023秋·甘肃庆阳·九年级统考期末）已知正多边形的中心角是，则这个多边形是正______边形．
17．（2023春·上海·九年级专题练习）中心角为 60°的正多边形有_____条对称轴．
15．(2023秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，为一个外角为的正多边形的顶点．若为正多边形的中心，则_______．
16．(2023·四川成都·校考二模）某数学小组利用作图软件，将反比例函数和的图象绕点O逆时针旋转45°，得到了美丽的“雪花”图案，再顺次将图象交点连接，得到一个八边形，若该八边形的周长为16，则k＝_____．
17．（2023·山东青岛·统考一模）【问题提出】
正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的半径和中心角有什么关系？
【问题探究】
如图①，是等边三角形，半径，是中心角，是内任意一点，到各边距离、、分别为，设的边长是，面积为．过点作．
∴，，，
∴，①
∵又可以表示②
联立①②得
∴
∴
【问题解决】
如图②，五边形是正五边形，半径，是中心角，是五边形内任意一点，到五边形各边距分别为、、、、，参照（1）的分析过程，探究的值与正五边形的半径及中心角的关系．
【性质应用】
（1）正六边形（半径是）内任意一点到各边距离之和_______．
（2）如图③，正边形（半径是）内任意一点到各边距离之和______．
18．（2023·贵州贵阳·统考一模）尺规作图是初中数学学习中一个非常重要的内容．小明按以下步骤进行尺规作图：①将半径为的六等分，依次得到六个分点；②分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；③连结．则的长是（ ）
A．B．C．D．
19．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知的半径为a，按照下列步骤作图：（1）作的内接正方形ABCD（如图1）；（2）作正方形的内接圆，再作较小圆的内接正方形（如图2）；（3）作正方形的内接圆，再作其内接正方形（如图3）；…；依次作下去，则正方形的边长是______．
20．(2023春·宁夏银川·九年级校联考期中）如图，，作边长为1的正六边形，边、分别在射线OM、ON上，边所在的直线分别交OM、ON于点、，以为边作正六边形，边所在的直线分别交OM、ON于点、，再以为边作正六边形，…，依此规律，经第n次作图后，点到ON的距离是______．
21．（2023春·陕西西安·九年级统考阶段练习）如图，已知，请用尺规作图法，求作的一个内接正方形（保留作图痕迹，不写作法）．
22．（2023春·江西上饶·八年级统考期末）如图，已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．
(1)在图1中，G是AF的中点，过G点作图形的对称轴；
(2)在图2中，G、H分别是AF、CD的中点，画出顶点在六边形的边的中点上的矩形．
23．(2023·浙江金华·统考中考真题）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．
(1)求的度数．
(2)是正三角形吗？请说明理由．
(3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
24．（2023·全国·九年级专题练习）如图，为正五边形的外接圆，已知，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．
(1)在图1中的边上求作点，使；
(2)在图2中的边上求作点，使．
25．(2023春·九年级课时练习）如图，已知．
求作：的内接等边．
小丽同学的作法及证明过程如下：
作法：①作直径；
②作半径的垂直平分线，垂足为，交于两点；
③连接，．
所以即为的内接等边三角形．
∵在中，垂直平分
∴，
∵
∴（①）
∵
∴为等边三角形
∴
∴（②）
∴为的内接等边三角形．
（1）在小丽同学的证明过程中，①、②两处的推理依据分别是 ； ．
（2）请你再给出一种作图方法．（尺规作图，保留作图痕迹）
26．（2023秋·江苏无锡·九年级无锡市天一实验学校校考期中）门环，在中国绵延了数千多年的，集实用、装饰和门第等级为一体的一种古建筑构件，也成为中国古建“门文化”中的一部分，现有一个门环的示意图如图所示，点O为正六边形 ABCDEF的中心．

（1）请用无刻度直尺与圆规，过点O作一个⊙P，使⊙P与直线AF和直线AB同时相切．（请保留作图痕迹）
（2）若正六边形 ABCDEF E的边长为18cm，试求（1）中⊙P的半径．（结果保留根号）
25．（2023·浙江·九年级期末）尺规作图：如图，为的直径．
（1）求作：的内接正六边形；（要求：在所给圆中作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）中已画出的图形上连接，已知的半径为4，求的长．晓敏的解法如下，请你完善解答过程中的两个空格的内容．
解：在中，连接．
∵正六边形内接于，
∴，
∴，
∴________（填推理的依据）．
∵为直径，
∴，
∵，
∴________．
26．（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）尺规作图：如图，为⊙的直径
（1）求作：⊙的内接正六边形.（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）已知连接，⊙的半径为4，求的长.
小明的做法如下，请你帮助他完成解答过程.
在⊙中，连接.
∵正六边形内接于⊙
∴
∴
∴ （填推理依据）
∵为⊙直径
∴
∵
∴
27.（2023春·四川凉山·九年级统考专题练习）如图，正三角形内接于，其边长为；则的内接正方形的边长为（ ）
A．B．C．D．
28．（2023秋·浙江嘉兴·九年级统考期末）如图，正六边形和正方形都内接于，连接，则弦所对圆周角的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
29．(2023秋·贵州黔西·九年级统考期中）已知四个正六边形按如图所示摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F均在上，连接．若两个大正六边形的边长均为4，两个小正六边形全等，则小正六边形的边长是（ ）
A．B．C．D．
30．(2023秋·北京东城·九年级北京二中校联考期末）如图，正六边形内接于，的半径为3，则这个正六边形的边心距的长为（ ）
A．B．C．D．
31．（2023春·九年级课时练习）用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：如图，①在上任取一点A，连接并延长交于点B；②以点B为圆心，为半径作圆弧分别交于C，D两点；③连接，并延长分别交于点E，F；④顺次连接，，，，，，得到六边形．连接，，交于点G，则下列结论错误的是（ ）
A．的内心与外心都是点GB．
C．点G是线段的三等分点D．
32．(2023秋·全国·九年级专题练习）如图，六边形ABCDEF是半径为2的圆的内接正六边形，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
41．(2023·山东济宁·二模）如图，的内接正六边形的边心距为，分别以、、为圆心，正六边形的半径画弧，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
33．（2023秋·四川广元·九年级统考期末）如图，正六边形内接于，的半径为1，则边心距的长为______．
34．（2023·新疆乌鲁木齐·乌市八中校考一模）如图，正五边形内接于，则的度数为________.
35．（2023春·湖南长沙·九年级校考阶段练习）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他首次提出“割圆术”，利用圆内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆周率．如图，多边形A1A2A3…An是⊙O的内接正n边形．已知⊙O的半径为r，∠A1OA2的度数为，点O到A1A2的距离为d，△A1OA2的面积为S．下面四个推断中，
①当n变化时，随n的变化而变化，与n满足函数关系．
②若为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足正比例函数关系．
③无论n，r为何值，总有．
④若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足二次函数关系．
其中错误的是_______（填序号）．
36．(2023秋·河北石家庄·九年级校联考期末）如图，如果、分别是圆O的内接正三角形和内接正方形的一条边，则__________，一定是圆O的内接正n边形的一条边，那么__________．
37．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，正方形内接于，其边长为2，则的内接正三角形的边长为______．
38．(2023·四川绵阳·校考二模）如图，内切于正方形中，与边相切的点分别为，对角线交于点，连接，则的值是______．
39．(2023秋·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，正方形和等边都内接于圆O，与别相交于点G，H．若，则的半径长为 _____；的长为 _____．
40．(2023秋·山东德州·九年级统考期末）如图，正五边形和正三角形都内接于，则的度数为________°．
41．(2023·四川成都·统考中考真题）如图，已知⊙是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是_________．
42．(2023秋·河北保定·九年级统考期末）如图，正六边形是半径为1的的内接六边形，连接并延长到点，过点，交的延长线于点．
(1)是___________（填“直角”“等腰”或“等边”）三角形；
(2)当___________时，直线与相切，此时通过计算比较线段和劣弧长度哪个更长；（参考数据：取3）
(3)已知是上的动点（点不与点A，重合）．
①连接，，求的度数；
②已知，过点作的切线，当切线与直线交于点时，请直接写出长的最小值．
43．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转n个，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
44．（2023·全国·九年级专题练习）如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为）重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片六边形沿水平方向向左平移个单位长度，则上面正六边形纸片面积与折线扫过的面积（阴影部分面积）之比是（ ）
A．B．C．D．
45．(2023秋·广东广州·九年级统考期末）如图，将正六边形放置在直角坐标系内，，点B在原点，点P是正六边形的中心，现把正六边形沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转，经过2022次翻转之后，则点Р的坐标是（ ）
A．B．C．D．
46.（2023春·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，将边长为6的正六边形沿折叠，点恰好落在边的中点上，延长交于点，则的长为（ ）
A．1B．1.2C．1.5D．1.8
47．（2023·全国·九年级专题练习）把边长为2+的正方形沿过中心的一条直线折叠，两旁重叠部分恰为正八边形的一半，则这个正八边形的边EF的长为（ ）
A．1B．2C．D．2
48．(2023·宁夏银川·银川唐徕回民中学校考二模）如图，圆内接正八边形的边长为1，以正八边形的一边AB作正方形ABCD，将正方形ABCD绕点B顺时针旋转，使AB与正八边形的另一边重合，则正方形ABCD与正方形 重叠部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
49．（2023春·浙江金华·九年级浙江省义乌市后宅中学校考开学考试）如图，已知正方形的顶点A、B在上，顶点C、D在内，将正方形绕点A逆时针旋转，使点D落在上．若正方形的边长和的半径均为，则点D运动的路径长为 ___________．
50．（2023·河北·九年级专题练习）如图，如果边长为1的正六边形绕着顶点顺时针旋转后与正六边形重合．
（1）则的长是________；
（2）点在整个旋转过程中，所经过的路径长为________（结果保留）．
51．(2023秋·河北衡水·九年级校考期末）如图，边长为3的正方形ABCD在正六边形外部做顺时针方向的滚动运动，滚动一周回到初始位置时停止，点A在滚动过程中到出发点的最大距离是______．
52．（2023·江苏常州·校联考一模）如图，⊙O的半径为2，圆心O在坐标原点，正方形ABCD的边长为2，点A、B在第二象限，点C、D在⊙O上，且点D的坐标为（0，2），现将正方形ABCD绕点C按逆时针方向旋转150°，点B运动到了⊙O上的点B1处，点A、D分别运动到了点A1、D1处，即得到正方形A1B1C1D1（点C1与C重合）；再将正方形A1B1C1D1绕点B1按逆时针方向旋转150°，点A1运动到了⊙O上的点A2处，点D1、C1分别运动到了点D2、C2处，即得到正方形A2B2C2D2（点B2与B1重合），…，按上述方法旋转2020次后，点A2020的坐标为 _____．
53．(2023春·河北保定·八年级统考期末）定义：如果几个全等的正边形依次有一边重合，排成一圈，中间可以围成一个正多边形，那么我们称作正边形的环状连接．如图1，我们可以看作正八边形的环状连接，中间围成一个正方形．
（1）若正六边形作环状连接，如图2，中间可以围成的正多边形的边数为______；
（2）若边长为的正边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的外轮廓长为_____．（用含的代数式表示）
题型2：弧长公式
类型-1 求弧长
（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）已知：如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的长为（ ）
A．B．C．D．
类型-2 求半径
（2023春·九年级课时练习）把长度为的一根铁丝弯成圆心角是的一条弧，那么这条弧所在圆的半径是（ ）
A．1B．2C．3D．4
类型-3 求圆心角
（2023·河南安阳·统考一模）一个扇形的弧长是，半径是4，则该扇形的圆心角的度数是（ ）
A．B．C．D．
类型-4 求动点的路径长
（2023秋·河北石家庄·九年级统考期末）如图，在中，，，，将绕点B旋转到的位置，此时C，B，在同一直线上，则点A经过的最短路径长为（ ）
A．B．C．D．
综合训练
1．（2023·河北衡水·校考模拟预测）如图，的半径为9，、分别切于点A，B．若，则的长为（ ）
A．πB．πC．D．π
2．(2023秋·浙江衢州·九年级统考期末）已知圆的半径为6，的圆心角所对的弧长是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·山东德州·九年级统考期末）如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角是的扇形，则扇形中弧的长为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图，A，B，C，D为上的点，且直线与夹角为．若，，的长分别为，和，则的半径是（ ）
A．4B．C．5D．
5．(2023秋·贵州黔西·九年级统考期中）小明同学在计算某扇形的面积和弧长时，分别写出如下式子：，，经核对，两个结果均正确，则下列说法正确的（ ）
A．该扇形的圆心角为，直径是4B．该扇形的圆心角为，直径是3
C．该扇形的圆心角为，直径是6D．该扇形的圆心角为，直径是4
70．
6．（2023秋·陕西西安·七年级西安市五环中学校联考期末）若将一个圆分割成三个扇形，它们的面积比为，则最小的扇形的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023秋·甘肃金昌·九年级校考阶段练习）在半径为6 cm的圆中，长为2π cm的弧所对的圆周角的度数为 （ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
8．（2023秋·湖北随州·九年级统考期末）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则点所经过的路径长为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，等腰梯形的腰长为3，正方形的边长为1，它的一边在上，且顶点A与M重合．现将正方形在梯形的外面沿边进行翻滚，翻滚到有一个顶点与N重合即停止滚动，求正方形在翻滚过程中点A所经过的路线长（ ）
A．B．C．D．
10．(2023秋·内蒙古鄂尔多斯·九年级统考期末）如图，半径为10的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·浙江衢州·衢州巨化中学校考一模）如图，点A在半圆O上，BC为直径．若∠ABC=30°，BC=3，则的长是 ___________．
12．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）一个扇形的弧长是，圆心角是，则此扇形的半径是_______cm．
13．(2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）若扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为_____．
14．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）在一个圆中，如果的圆心角所对弧长为，那么这个圆的半径为___．
15．(2023秋·北京海淀·九年级北京市十一学校校考阶段练习）如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料，则此圆弧所在圆的半径为______mm．
16．(2023秋·广东珠海·九年级统考期末）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动．若重物上升，则滑轮旋转的角度为______．
17．(2023秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）一个扇形的弧长是，半径是，则这个扇形的圆心角是______．
18．(2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）已知扇形弧长是米，半径是米，那么扇形的圆心角是____．（ 取）
19．（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，直角三角形中，，，将三角形的斜边放在定直线上，将点按顺时针方向在上转动两次，转动到的位置，设，，，则点所经过的路线长是_____．
20．（2023·辽宁抚顺·统考一模）如图，将矩形绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转至图②位置，以此类推，这样连续旋转2022次．若，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为______．
21．（2023秋·广西防城港·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，．
(1)以点C为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的；
(2)在（1）的条件下，求点A旋转经过的路径的长度（结果保留π）．
22．(2023秋·上海·六年级校考阶段练习）如图，若，求圆心角x的度数．
23．（2023春·江西南昌·九年级南昌市第三中学校考期中）如图所示，扇形从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③（由图②到图③的过程中，弧始终与射线相切，点的运动路径为一段线段），，．
(1)求点运动的路径长；
(2)求点走过路径与射线围成的面积．
24．（2023·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、
(1)以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的．
(2)画出绕O点顺时针旋转后得到的．
(3)直接写出点B所经过的路径长 ．
25．（2023秋·山东临沂·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
(1)请画出与关于原点对称的；
(2)将绕原点O顺时针旋转后得到，请画出；
(3)在（2）的条件下，点A经过的路径长______（结果保留根号π）．
26．(2023秋·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出把绕原点O旋转得到，并写出点的坐标（请使用铅笔和直尺画图）
(2)求出在旋转的过程中，点C经过的路径长（结果保留）
27．(2023春·吉林松原·九年级校考阶段练习）如图，已知，半径为r的圆O从点A出发，沿方向滚动到点C时停止．请你根据题意，解答问题：
(1)在图上画出圆心O运动路径的示意图
(2)求出圆心O运动的路程是多少．
题型3：与扇形有关的面积计算
类型1-求扇形面积
5．(2023春·河北邯郸·九年级校考阶段练习）如图，将边长为的正方形铁丝框，变形为以为圆心、为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形的面积为( )
A．B．C．D．
类型2-旋转图形扫过面积计算
(2023秋·四川泸州·九年级统考期末）如图，将绕点旋转得到，已知，，则线段扫过的图形面积为（ ）
A．B．C．D．
类型3-不规则图形面积计算
（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为的中点．以C为圆心，为半径作圆弧，再分别以E，F为圆心，为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
综合训练
1．（2023春·山东泰安·六年级东平县实验中学校考阶段练习）在半径为1的圆中，60°圆心角所对的扇形的面积是（ ）
A．2πB．πC．D．3π
2．(2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·广东佛山·统考一模）最近“羊了个羊”游戏非常火热，陈老师设计了一个数学版“羊了个羊”游戏，如图，一根长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊(羊只能在草地上活动)那么小羊在草地上的最大活动区域面积是( )
A． B．C．D．
4．(2023秋·云南红河·九年级统考期末）如图，在矩形中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，扇形中，，，点为的中点，将扇形绕点顺时针旋转，得到扇形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·山西晋城·统考一模）如图，正六边形的边长为2，以点A为圆心，长为半径画，连接，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·山东淄博·校考一模）如图，正方形的边长为1，以点O为圆心，为半径作扇形，弧与相交于点，设正方形与扇形之间的阴影部分的面积为；然后以为对角线作正方形，又以点O为圆心，为半径作扇形，弧与相交于点，设正方形与扇形之间的阴影部分面积为；按此规律继续作下去，设正方形与扇形之间的阴影部分面积为，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·安徽池州·校联考一模）如图，，与的一边相切于点P，与另一边相交于B，C两点，且，，则扇形的面积为____________
9．（2023秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，在中，E为的中点，以E为圆心，长为半径画弧交对角线于点F，若，，，则扇形的面积为______．
10．（2023春·北京海淀·九年级清华附中校考阶段练习）如图，是的直径，C是上一点，，，则扇形（阴影部分）的面积为___．
11．（2023春·四川成都·九年级四川省成都市第七中学初中学校校考阶段练习）一个窗户被装饰布挡住一部分，其中窗户的长与宽之比为，装饰布由一个半圆和两个四分之一圆组成，圆的直径都是，这个窗口末被遮挡部分的面积为__________．
12．（2023春·九年级课时练习）如图，把一个含30°的直角三角板的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到位置．设，则顶点A运动到点的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是___________．
13．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考开学考试）如图，在矩形中，，，以为圆心为半径画弧交于点，以为直径画半圆交于点，则图中阴影部分的面积为______．
14．(2023秋·上海·七年级专题练习）如图，在中，，，若把线段绕着点旋转，使得点落在直线上的处，旋转角度大于0度小于180度，那么线段扫过的面积等于_______．（结果保留）
15．(2023秋·新疆·九年级统考期中）如图，的个顶点都在的网格（每个小正方形的边长均为个单位长度）的格点上，将绕点顺时针旋转到的位置，且点、仍落在格点上，则线段扫过的图形面积是______平方单位（结果保留）．
16．(2023秋·广西南宁·九年级南宁十四中校联考期中）如图，中，，，，将绕点O逆时针旋转至，点在的延长线上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为________．（结果保留）
17．(2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，将矩形绕顶点旋转得到矩形，点恰好落在矩形的边上，则扫过的部分(即阴影部分)面积为 ___________．
18．(2023秋·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为______．
19．(2023春·九年级课时练习）如图，在中，，，，将三角形绕点按逆时针方向旋转（）后得到三角形，点经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是_________．
20．(2023春·九年级课时练习）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC=3，BC=2，则=__________；线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________．
21．（2023秋·浙江·九年级期末）如图，在中，，D为中点，以D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在弧上，则图中阴影面积为__________．
22．（2023·河南安阳·统考一模）如图，扇形纸片的半径为2，沿折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为______．
23．（2023·河南南阳·校联考一模）如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点为点D．若，则图中阴影部分的面积为 _____．
24．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，，，点为圆上一点，，将沿弦翻折，交于点，图中阴影部分的面积_______．
25．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）如图，直径的半圆，绕B点顺时针旋转30°，此时点A到了点，则图中阴影部分的面积是______．
26．(2023秋·重庆渝北·九年级统考期末）如图，在正方形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为________．（结果不取近似值）
27．（2023·广东佛山·校联考一模）如图，曲线和是两个半圆，，大半圆半径为4，则阴影部分的面积是______．
28．(2023·广东佛山·校考模拟预测）如图，在边长为的正方形内部，以各边为直径画四个半圆，则图中阴影部分的面积是_____．
29．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）解答题
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．
(1)画出向左平移5个单位后的图形，则点的坐标为______．
(2)画出绕顺时针旋转后的图形，则点的坐标为______．
(3)在（2）的条件下，求线段扫过的面积．
30．(2023秋·上海·七年级专题练习）如图，已知是直角三角形，其中．
(1)画出绕点A顺时针方向旋转90°后的；
(2)线段在旋转过程中所扫过部分的周长是 （保留π）；
(3)求线段在旋转过程中所扫过部分的面积（结果保留π）．
31．（2023秋·广东揭阳·九年级校考阶段练习）如图，在边长为的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点的坐标分别是、绕点逆时针旋转后得到．
(1)画出，直接写出点的坐标；
(2)求在旋转过程中，线段所扫过的面积．
32．(2023秋·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，，，
(1)将绕点顺时针旋转，得△，则点的坐标为 ．
(2)将△向右平移6个单位得△，则点的坐标为 ．
(3)从到△能否看作是绕某一点作旋转变换？若能，则旋转中心坐标为 在旋转变换中所扫过的面积为 ．
33．(2023·广东梅州·统考一模）如图，在中，与分别相切于点E，F，平分，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径是2，求图中阴影部分的面积．
34．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交于点E，D为的下半圆弧的中点，连接交于F，若．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．
35．(2023·江西新余·新余市第一中学校考模拟预测）如图，为等腰三角形，，O是底边的中点，⊙O与腰相切于点D．
(1)求证：与⊙O相切；
(2)已知半径为，，求阴影部分的面积．
题型4：与圆锥有关的计算
类型1-圆锥侧面积的相关计算
例1：（2023·广东汕头·校考一模）圆锥的底面直径是8，母线长是9，则该圆锥的全面积为（ ）
A．B．C．D．
例2：（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）圆锥的底面半径为，母线长，则它的侧面展开图的圆心角度数是（ ）
A．B．C．D．
例3：（2023·浙江舟山·校考一模）一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．3B．3.5C．4D．4.5
类型2-实际问题中的圆锥计算
(2023·广西贺州·统考中考真题）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A．B．C．D．
类型3-圆锥侧面上的最短路径
48．（2023春·九年级课时练习）如图，圆锥的底面半径R＝3，母线l＝5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB＝150°，D为VB上一点，VD＝．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A．3B．4C．D．2
综合训练
1．（2023春·全国·九年级专题练习）已知圆锥的底面半径为，设圆锥的母线与高的夹角为（如图所示），且的值为，则侧面积为（ ）
A． B． C． D．
2．(2023秋·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期末）某圆锥的三视图如图所示，由图中数据可知，该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·广西河池·九年级统考期末）如图所示的扇形纸片的半径为5，用它围成一个圆锥的侧面，若该圆锥的高为3，则该圆锥的底面周长是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·云南昆明·九年级统考期末）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023春·九年级课时练习）已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，如果一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则最短路线长为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）一个圆锥的底面直径是，母线长为，则该圆锥的侧面积为__________（结果保留）．
7．(2023秋·山西大同·九年级统考期末）若一个圆锥的主视图是边长为的等边三角形，则该圆锥的表面积（侧面加底面）是______．（结果保留π）
8．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）将一个底面直径为6cm，母线长为10cm的圆锥沿一条母线剪开，所得的侧面展开图的面积为_____cm2．
9．（2023·广西河池·校考模拟预测）小宇同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为，底面半径为3的圆锥模型，则此圆锥的母线长为_____．
10．（2023春·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，是正五边形的外接圆，半径为5，若用扇形（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是______．
11．(2023春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）已知圆锥的母线长为4，其侧面积为，则它的底面圆的半径等于 _____．
12．(2023秋·山东淄博·九年级统考期末）已知圆锥的高为，母线长为，则圆锥侧面展开图的圆心角为__________．
13．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图是一顶由扇形纸板围成的圆锥形生日帽，阴影部分是扇形纸板重叠的部分（用于黏贴）．已知生日帽的母线长为25cm，高为24cm，长为，则原扇形纸板的圆心角度数为______°．
14．(2023秋·云南红河·九年级统考期末）如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥形状帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为_________．
15．（2023春·湖北省直辖县级单位·九年级统考阶段练习）已知圆锥底面圆的周长为，圆锥的母线为3，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为_____．
16．（2023秋·内蒙古呼和浩特·九年级校考期末）已知圆锥的母线长为13，高为12，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为_______．（用含π的代数式表示），圆心角为______度．
17．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，母线长，则侧面展开图的圆心角的度数为______．
18．（2023秋·湖北武汉·九年级武汉市卓刀泉中学校考阶段练习）如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为_____________．
19．(2023秋·重庆·八年级校考期中）如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点，将圆锥沿母线剪开，其侧面展开图如图2所示，若，，则蚂蚁爬行的最短距离是____________．
20．(2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，已知圆锥的底面半径是，母线长是．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是________．
21．(2023春·九年级课时练习）如图，圆锥的底面圆直径为，母线长为，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为________．
22．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装雷要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，，将扇形EAF围成圆锥时，AE，AF恰好重合，已知圆锥的底面圆直径，母线长．
(1)求这种加工材料的顶角的大小．
(2)求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留）
23．(2023春·九年级课时练习）如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的半径为4m，高为3m．
(1)求这个圆锥的母线长；
(2)为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？（π取3.14，结果精确到1m2）
24．（2023秋·九年级课时练习）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：），电镀时，如果每平方米用锌，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用多少锌？
25．（2023秋·九年级课时练习）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如果想用毛毡搭建20个底面积为，高为，外围高的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（取3.142，结果取整数）？
26．(2023秋·辽宁葫芦岛·九年级校考阶段练习）如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如．
(1) ， ，的取值范围是 ；
(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，）
27．(2023秋·江苏泰州·九年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为．
(1)求它的侧面展开图的圆心角；
(2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？
28．(2023春·全国·九年级专题练习）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4．
（1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数．
（2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬过的最短距离．
6.3与圆有关的计算重难点题型讲练
题型1：正多边形和圆
类型1-正多边形的基础计算
(2023秋·广西河池·九年级统考期末）如图，已知正五边形内接于，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：根据正边形的中心角的计算公式（为正整数，）解答即可．
【详解】解：∵正五边形内接于，
∴正五边形的中心角．
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正边形的中心角的计算公式（为正整数，）是解题的关键．
类型2-正多边形的图形变换问题
（2023春·八年级课时练习）如图，边长为4的正六边形的中心与坐标原点重合，轴，将正六边形绕原点O顺时针旋转次，每次旋转，当时，顶点的坐标为_________．
答案：
分析：先求出旋转2017次与正六边形绕原点O顺时针旋转1次时点A的坐标是一样的，再根据正六边形的性质得到当点A按顺时针旋转60°时，与原F点重合．连接，过点F作轴，垂足为H；证明是等边三角形，得到，求出，得到点F的坐标即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴旋转2017次与正六边形绕原点O顺时针旋转1次时点A的坐标是一样的，
∵正六边形的中心角度数为，即，
∴当点A按顺时针旋转60°时，与原F点重合．
连接，过点F作轴，垂足为H；
由已知，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴旋转2017次后点A的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——旋转，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确判断出当点A按顺时针旋转60°时，与原F点重合是解题的关键．
类型3-与正多边形有关的作图问题
(2023秋·江苏苏州·九年级期中）如图，正五边形内接于，依照以下作图过程回答问题：
作法：
（1）作直径．
（2）以F为圆心，为半径作圆弧，与交于点M，N（点M在直径左侧，点N在直径右侧）．
（3）连接．
通过以上作图，若从点A开始，以长为半径，在上依次截取点，再依次连接这些点，可以得到正n边形，则n的值为 _____．
答案：15
分析：连接，根据作法得：，可得到是等边三角形，从而得到，再根据正五边形内接于，可得，从而得到，进而得到，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
根据作法得：，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵正五边形内接于，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：15
【点睛】本题考查了作图——复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了正多边形与圆．
类型4-同圆（正多边形）与多个正多边形（圆）问题
（2023·全国·九年级专题练习）如图1所示的正六边形（记为“图形”）边长为6，将每条边三等分，沿每个顶点相邻的两个等分点连线剪下6个小三角形（如图1中6个阴影部分的三角形），把剪下的这6个小三角形拼接成图2外轮廓所示的正六边形（记为“图形”），作出图形的内切圆⊙O，如图3，得到如下结论：
①图1中剩余的多边形（即空白部分）为正十二边形；
②把图2中空白部分记作“图形”，则图形的周长之比为3：2：；
③图3中正六边形的边上任意一点到⊙O上任意一点的最大距离为4+．
以上结论正确的是（ ）
A．②③B．①③C．②D．①
答案：A
分析：①根据题意可知过点作于，根据正六边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，求得，即可判断①；
②根据正六边形的性质，结合①的结论，分别求得三个正六边形的边长，即可判②；
③依题意可知图形的内接圆的半径与外接圆的半径之和即为所求，根据正六边形的性质，等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：标注字母如图，过点作于
，为的三等分点，为是三等分点
，
∵正六边形的每一个内角为
∴中，，
在中
，
，
①不正确，
图形，边长为6，所以图形的周长为
如图，依题意可得
则，依题意，是正六边形，

所以图形的周长为
把图2中空白部分记作“图形”，由①可得，
是正六边形，
所以图形的周长为
∴图形的周长之比为=3：2：；
故②正确；
如图，过点作于点， 交内切圆于点，则即为所求，
根据正六边形的性质可得是等边三角形，
，
，
，
，
故③正确，
故选A．
【点睛】本题考查了正六边形与内切圆的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，理解题意求得各线段长是解题的关键．
综合训练
1．(2023秋·辽宁盘锦·九年级统考期末）正八边形的中心角等于（ ）度
A．36B．45C．60D．72
答案：B
分析：直接用360度除以边数即可得到答案．
【详解】解：，
∴正八边形的中心角等于45度，
故选B．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，熟知正n边形的中心角度数为是解题的关键．
2．（2023·四川成都·模拟预测）如图，多边形是的内接正n边形，已知的半径为r，的度数为，点O到的距离为d，的面积为S．下面三个推断中．
①当n变化时，随n的变化而变化，与n满足的函数关系是反比例函数关系；
②若为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系；
③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系．
其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
答案：D
分析：（1）正n边形每条边对应的圆心角度数为，因此为反比例函数关系；
（2）d与r是的邻边和斜边，因此是化简后即正比例函数关系；
（3）三角形面积为×底×高，底为，高为，直接代入即可．
【详解】①，所以与n满足的函数关系是反比例函数关系，正确；
②，所以，所以d与r满足的函数关系是正比例函数关系，正确；
③，所以S与r满足的函数关系是二次函数关系，正确．
故选D
【点睛】本题考查正多边形、圆心角的度数、弦心距、三角形的面积之间的函数关系，解题的关键是读懂题意，求出其中的函数关系式．
3．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ）
A．10B．12C．15D．20
答案：A
分析：作正多边形的外接圆，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解．
【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，
∵，
∴，
∴这个正多边形的边数为．
故选：A．
【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．
4．（2023·天津和平·统考一模）如图，一个大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为的小正六边形的中心重合，且与边，相交于点，．图中阴影部分的面积记为，三条线段，，的长度之和记为，在大正六边形绕点旋转过程中，和的值分别是( )
A．，B．，C．，D．和的值不能确定
答案：A
分析：连接，作，垂足为，证明，再利用平行四边形的面积公式和正六边形的性质即可得到阴影部分的面积和的长度．
【详解】解：连接，作，垂足为，
∵多边形是正六边形，
∴，
∵，
∴和是等边三角形，
∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，掌握全等三角形判定与性质是解题的关键．
5．（2023秋·云南昆明·九年级云大附中校考期末）下列图形中，绕它的中心旋转后可以和原图形重合的是（ ）
A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形
答案：A
分析：根据旋转对称图形的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、正六边形的中心角为：，绕它的中心旋转后可以和原图形重合，符合题意；
B、正五边形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意；
C、正方形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意；
D、正三角形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查旋转对称图形．熟练掌握正多边形的中心角等于，以及旋转对称图形的定义，是解题的关键．
6．(2023秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（ ）
A．8B．10C．12D．16
答案：C
分析：连接，先求出的度数，然后利用正多边形外角和等于，即可求出答案．
【详解】解：连接，如图：
根据题意，正六边形和正方形的中心都是点O，
∴，，
∴；
∵是某正n边形的一个中心角，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形的性质，正多边形的外角和定理，解题的关键是掌握正多边形的性质，正确求出的度数．
7．（2023春·九年级课时练习）如图，点O为正六边形的中心，P、Q分别从点同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2021次相遇地点的坐标为（ ）
A．B．（1，0）C．D．（﹣1，0）
答案：C
分析：连接，证是等边三角形，得，过B作于点G，则，，得，再由题意得P，Q第一次相遇地点的坐标在点，第二次相遇地点在点，第三次相遇地点在点，如此循环下去，即可求出第2021次相遇地点的坐标．
【详解】解：连接OB，如图所示，
∵，O为正六边形的中心，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
过B作于点G，则，，
∴，
∴，，
∵正六边形的边长＝1，
∴正六边形的周长＝6，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，
∴第1次相遇需要的时间为：（秒），
此时点P的路程为，点的Q路程为，
此时P，Q相遇地点的坐标在点，
以此类推：第二次相遇地点在点，
第三次相遇地点在点，…如此下去，
∵，
∴第2021次相遇地点在点E，E的坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、规律型﹣点的坐标、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正六边形的性质，解决本题的关键是找出规律.
8．(2023秋·天津·九年级校考期末）如图，要拧开一个边长为的正六边形，扳手张开的开口b至少为（ ）
A．B．C． D．
答案：B
分析：根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30度，再根据锐角三角函数的知识求解．
【详解】解：设正多边形的中心是O，其一边是，如图，
，
，
∴四边形是菱形，
，，
，
，
，且，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，熟练运用锐角三角函数进行求解．
9．（2023秋·山东德州·九年级统考期末）如图，六边形正六边形，曲线…叫做“正六边形的渐开线”，其中弧 ，弧，弧，弧，弧⋯ ．的圆心依次按点循环，其弧长分别记为…．当时，等于（ ）
A．1011πB．C．D．
答案：B
分析：利用弧长公式，分别计算出，…的长，寻找其中的规律，确定的长．
【详解】解：根据题意得： ，
，
π，
，
按照这种规律可以得到： ，
所以．
故选：B．
【点睛】本题考查的是弧长的计算，先用公式计算，找出规律，求出的长．
10．（2023春·九年级课时练习）如图，是由边长为1的正六边形和六角星镶嵌而成的图案，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：计算出1个正六边形的面积，利用矩形的面积减去图中未涂色部分的面积即可．
【详解】解：如图所示，
∵正六边形的中心角为60°，
∴每个边长为1的正六边形由六个全等的等边三角形组成，
∴，，，
因此每个正六边形的面积为：，
图中未涂色部分面积等于16个正六边形的面积：．
整个图形是一个矩形，长为12，宽为，
矩形的面积为：，
因此图中阴影部分的面积是：，
故选C．
【点睛】本题考查等边三角形相关计算，利用等边三角形计算出每个正六边形的面积是解题的关键．
11．(2023秋·全国·九年级专题练习）如图，有一张菱形纸片，分别把沿着两条平行于的直线进行对折，得到一个六边形，如果这个六边形是正六边形，则菱形的对角线长的比（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：设AC与BD相于O， EF与AC相较于Q，根据正六边形的性质，可得，，根据菱形的性质可得，，根据直角三角形的性质可得，，可求得OE=2EQ，可得，根据对折的性质得， AC=4OQ，据此即可解答．
【详解】解：如图：设AC与BD相交于O， EF与AC相交于Q，
∵六边形BGHDFE是正六边形，
∴，，
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴OE=2EQ，
在中，
，
∴，
由对折的性质得， AC=4OQ，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了正六边形的性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键．
12．（2023春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角α至少为______度．
答案：60
分析：先求出正六边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可．
【详解】解：，
则这个图案绕着它的中心旋转后能够与它本身重合，
故答案为：60．
【点睛】本题考查的是旋转对称图形、正多边形的性质，求出正六边形的中心角是解题的关键．
14．（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）正五边形是旋转对称图形，将正五边形绕着它的旋转中心逆时针旋转，点A的对应点为点，则的正切值______．
答案：##
分析：分两种情形，分别作出图形求出的度数，然后再求正确值即可．
【详解】解：∵五边形为正五边形，
∴，，
∴，
根据旋转可知，，
∴，
如图1， ，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图2，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正多边形，旋转变换，特殊角的三角函数值，等腰三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
13．（2023春·天津和平·九年级校考阶段练习）正六边形的边心距为3，这个正六边形的面积为___________．
答案：
分析：首先根据题意作出图形，然后可得是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得的长，继而求得正六边形的面积．
【详解】解：如图，连接、，过点作于，
六边形是正六边形，
，
，
是等边三角形，
，
正六边形的边心距为，即
在中，，即
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的内接正六边形的性质、正多边形的内角和、等边三角形的判定及性质以及三角函数等知识，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
14．（2023秋·甘肃庆阳·九年级统考期末）已知正多边形的中心角是，则这个多边形是正______边形．
答案：六
分析：根据正多边形的边数=周角÷中心角，计算即可得．
【详解】∵正多边形的中心角是，
∴这个多边形是：，
∴这个多边形是正六边形，
故答案为：六．
【点睛】本题考查了正多边形的性质，解题的关键是掌握正多边形的中心角与边数的关系．
17．（2023春·上海·九年级专题练习）中心角为 60°的正多边形有_____条对称轴．
答案：
分析：用除以中心角的度数即可求得多边形的边数，然后根据正边形有条对称轴即可求解．
【详解】解：正多边形的边数是，
正六边形有条对称轴，
故答案是：．
【点睛】本题考查了多边形的计算以及正多边形的性质，理解正边形有条对称轴是解决问题的关键．
15．(2023秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，为一个外角为的正多边形的顶点．若为正多边形的中心，则_______．
答案：##度
分析：利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据正多边形的中心角的概念求出的度数，再由正多边形的半径，根据等腰三角形的性质求解即可．
【详解】多边形的每个外角相等，且其和为，
据此可得多边形的边数为：，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形的外角，正多边形的中心角，等边对等角等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
16．(2023·四川成都·校考二模）某数学小组利用作图软件，将反比例函数和的图象绕点O逆时针旋转45°，得到了美丽的“雪花”图案，再顺次将图象交点连接，得到一个八边形，若该八边形的周长为16，则k＝_____．
答案：##
分析：先判断八边形为正八边形，进而得出八边形的边长，然后连接OA、OB、OC、BC、AB过点A作AE⊥OB于点E，求出一个中心角的度数，设，用a和正八边形的边长把△ABE三边表示出来，利用求出a的值，即可求出点B的坐标，进而可以求出k的值．
【详解】解：连接OA、OB、OC、BC、AB，过点A作AE⊥OB于点E，BC于x轴交于点D，如图所示：
∵反比例函数的图像关于原点成中心对称图形，的图像也关于原点对称成中心对称图形，且反比例函数的图像与的图像关于x轴或y轴也成轴的对称图形，
∴将反比例函数和的图象绕点O逆时针旋转45°后，将图象交点连接，得到的八边形为正八边形，且O点为八边形的中心，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
设，则，
，
、关于x轴对称，
，
，
，
，
，
，
即
解得：，
，
点坐标为
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正八边形的性质、三角形相似的判定和性质，求反比例函数关系式，旋转的特点、以及解三角形的知识，作出适当的辅助线是解题的关键．
17．（2023·山东青岛·统考一模）【问题提出】
正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的半径和中心角有什么关系？
【问题探究】
如图①，是等边三角形，半径，是中心角，是内任意一点，到各边距离、、分别为，设的边长是，面积为．过点作．
∴，，，
∴，①
∵又可以表示②
联立①②得
∴
∴
【问题解决】
如图②，五边形是正五边形，半径，是中心角，是五边形内任意一点，到五边形各边距分别为、、、、，参照（1）的分析过程，探究的值与正五边形的半径及中心角的关系．
【性质应用】
（1）正六边形（半径是）内任意一点到各边距离之和_______．
（2）如图③，正边形（半径是）内任意一点到各边距离之和______．
答案：【问题解决】：；【性质应用】：（1）；（2）
分析：问题解决：
设正五边形的边长是a，面积为S，得到，O为正五边形的中心，连接、、、、，它们将五边形分成五个全等的等腰三角形，过点O作，垂足为Q，中表示出、、后即可表示出与正多边形的半径R的关系式；
性质应用：
（1）同【问题探究】的方法，可得答案；
（2）总结规律可表示出正n边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和与半径R和中心角的关系．
【详解】解：【问题解决】设正五边形的边长是，面积为，显然，
为正五边形的中心，连接，它们将五边形分成五个全等的等腰三角形，
过点作，垂足为，
∴，，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴
∴
即：
∴
【性质应用】（1）同【问题解决】可得：正六边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和，
故答案为：；
（2）正n边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和，
.
【点睛】本题考查多边形的综合题，涉及正多边形和圆，解直角三角形，解题的关键是熟知正多边形各元素与外接圆之间的关系．
18．（2023·贵州贵阳·统考一模）尺规作图是初中数学学习中一个非常重要的内容．小明按以下步骤进行尺规作图：①将半径为的六等分，依次得到六个分点；②分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；③连结．则的长是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：如图（见解析），先根据六等分点可得是的直径，，再根据圆周角定理、勾股定理可得，从而可得，然后根据等腰三角形的三线合一可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】解：如图，连接，
是的六等分点，
是的直径，，
由圆周角定理得：，
在中，，
分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，
，
又点是的中点，
（等腰三角形的三线合一），
在中，，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的三线合一等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
19．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知的半径为a，按照下列步骤作图：（1）作的内接正方形ABCD（如图1）；（2）作正方形的内接圆，再作较小圆的内接正方形（如图2）；（3）作正方形的内接圆，再作其内接正方形（如图3）；…；依次作下去，则正方形的边长是______．
答案：
分析：观察图形，先根据圆内接正方形的性质求得前几个正方形的边长，进而得出变化规律即可求解．
【详解】解：根据题意，
在图1中圆的半径为a，则正方形的边长，
在图2中，，
则正方形的边长，
在图3中，，
则正方形的边长，
……
依次类推，正方形的边长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆内接正多边形与圆的规律探究型问题、正方形的性质，观察图形，正确得出边长的变化规律是解答的关键．
20．(2023春·宁夏银川·九年级校联考期中）如图，，作边长为1的正六边形，边、分别在射线OM、ON上，边所在的直线分别交OM、ON于点、，以为边作正六边形，边所在的直线分别交OM、ON于点、，再以为边作正六边形，…，依此规律，经第n次作图后，点到ON的距离是______．
答案：
分析：寻找规律求出OBn的长，根据Bn到ON的距离为OBn•sin60°计算即可．
【详解】解：观察图象可知OB1=2=2×30，
OB2=2×31，
OB3=2×32=18，
OB4=2×33=54，
OBn=2×3n-1，
∴Bn到ON的距离为2×3n-1•sin60°=，
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形与圆、等边三角形的性质、正六边形的性质等知识，解题的关键是掌握从特殊到一般的探究方法，属于中考常考题型．
21．（2023春·陕西西安·九年级统考阶段练习）如图，已知，请用尺规作图法，求作的一个内接正方形（保留作图痕迹，不写作法）．
答案：见解析
分析：先作直径，再作的垂直平分线交于点，，则四边形为的内接正方形．
【详解】解：如图，正方形即为所求．
【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图：首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作出图，同时此题也考查了正多边形和圆．
22．（2023春·江西上饶·八年级统考期末）如图，已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．
(1)在图1中，G是AF的中点，过G点作图形的对称轴；
(2)在图2中，G、H分别是AF、CD的中点，画出顶点在六边形的边的中点上的矩形．
答案：(1)见解析
(2)见解析
分析：（1）连接AD，CF就有点O，作直线OG即为；
（2）利用△BEF的中线交于一点，作出EF的中点M，同法作出BC的中点N，连接GM，MH，HN，NG，四边形GMHN即为所求．
（1）
如图1中，直线OG即为所求；
（2）
如图2中，矩形GMHN即为所求．
【点睛】本题考查作图-轴对称变换，正多边形与圆，矩形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．(2023·浙江金华·统考中考真题）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．
(1)求的度数．
(2)是正三角形吗？请说明理由．
(3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
答案：(1)
(2)是正三角形，理由见解析
(3)
分析：（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得，则(优弧所对圆心角)，然后根据圆周角定理即可得出结论；
（2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；
（3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵正五边形．
∴，
∴，
∵，
∴(优弧所对圆心角)，
∴；
（2）解：是正三角形，理由如下：
连接，
由作图知：,
∵，
∴，
∴是正三角形，
∴，
∴，
同理，
∴，即，
∴是正三角形；
（3）∵是正三角形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键．
24．（2023·全国·九年级专题练习）如图，为正五边形的外接圆，已知，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．
(1)在图1中的边上求作点，使；
(2)在图2中的边上求作点，使．
答案：(1)见解析
(2)见解析
分析：（1）连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM与DE的交点即为所求作；
（2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN并延长即可．
【详解】（1）连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM交DE于点G，则点G为所求作，如图1所示；
理由：
∵⊙O为正五边形的外接圆，
∴直线AO是正五边形ABCDE的一条对称轴，点B与点E、点C与点D分别是一对对称点．
∵点M在直线AO上，
∴射线BM与射线EF关于直线AO对称，从而点F与点G关于直线AO对称，
∴CF与DG关于直线AO对称．
∴DG=CF．
（2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN，如图2所示；
【点睛】本题考查了作图：无刻度直尺作图，考查了正五边形的对称性质，掌握正五边形的性质是解题的关键．
25．(2023春·九年级课时练习）如图，已知．
求作：的内接等边．
小丽同学的作法及证明过程如下：
作法：①作直径；
②作半径的垂直平分线，垂足为，交于两点；
③连接，．
所以即为的内接等边三角形．
∵在中，垂直平分
∴，
∵
∴（①）
∵
∴为等边三角形
∴
∴（②）
∴为的内接等边三角形．
（1）在小丽同学的证明过程中，①、②两处的推理依据分别是 ； ．
（2）请你再给出一种作图方法．（尺规作图，保留作图痕迹）
答案：（1）垂直平分线的性质；同弧所对圆周角相等；（2）见解析
分析：（1）根据前面的证明条件以及结论可以求得所用的推理依据；
（2）以圆周上一点为圆心，以圆的半径长为半径画圆弧，交圆于一点，再以此点为圆心，继续画圆弧，以此类推，将圆周六等分，连接不相邻的两个交点即可．
【详解】解：（1），，∴为的垂直平分线，因此，理论依据为：垂直平分线的性质；
和都是弦所对的圆周角，因此，理论依据为：同弧所对的圆周角相等；
（2）以圆周上一点为圆心，以圆的半径长为半径画圆弧，交圆于一点，再以点为圆心，保持半径不变，继续画圆弧，交圆于点，以此类推，依次得到点，则即为所求，如下图：
【点睛】此题考查了圆的有关性质，涉及了同弧所对的圆周角相等，熟练掌握并应用圆的有关性质是解题的关键．
26．（2023秋·江苏无锡·九年级无锡市天一实验学校校考期中）门环，在中国绵延了数千多年的，集实用、装饰和门第等级为一体的一种古建筑构件，也成为中国古建“门文化”中的一部分，现有一个门环的示意图如图所示，点O为正六边形 ABCDEF的中心．

（1）请用无刻度直尺与圆规，过点O作一个⊙P，使⊙P与直线AF和直线AB同时相切．（请保留作图痕迹）
（2）若正六边形 ABCDEF E的边长为18cm，试求（1）中⊙P的半径．（结果保留根号）
答案：（1）作图见解析；（2）⊙P的半径为．
分析：(1)先过点O作OM⊥AF交AF于点M(或延长EF、BA交于点H，作直线HO)，然后作∠HOA的角平分线OI交AF于点I，再过点I作IP//MO交OA于点P(或在KC上截取KL=MI)，最后以点P为圆心，PO长为半径作圆，⊙P即为所求；
(2)设OP=PI=r，由题意可得PA=，在Rt△API中，PA+PO=18，代入求解即可．
【详解】解：(1)第一步过点O作OM⊥AF交AF于点M(或延长EF、BA交于点H，作直线HO)
第二步作∠HOA的角平分线OI交AF于点I
第三步过点I作IP//MO交OA于点P(或在KC上截取KL=MI)
第四步以点P为圆心，PO长为半径作圆，⊙P即为所求．
(2)∵AF=18，
∴AO=18，∠AOM=∠API=30°(△OAF为等边三角形)，
设OP=PI=r，
PA=PI÷cs30°=，
在Rt△API中， =18 ，
解得r=．
【点睛】本题考查解直角三角形和正多边形与圆的关系，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
25．（2023·浙江·九年级期末）尺规作图：如图，为的直径．
（1）求作：的内接正六边形；（要求：在所给圆中作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）中已画出的图形上连接，已知的半径为4，求的长．晓敏的解法如下，请你完善解答过程中的两个空格的内容．
解：在中，连接．
∵正六边形内接于，
∴，
∴，
∴________（填推理的依据）．
∵为直径，
∴，
∵，
∴________．
答案：（1）见解析；（2）同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
分析：（1）用的半径去截圆周即可解决问题；
（2）连接，在中，解直角三角形即可解决问题．
【详解】解：（1）的内接正六边形如图所示；
（2）在中，连接．
正六边形内接于，
，
，
（同弧所对的圆周角是圆心角的一半），
为直径，
，
，
，
故答案为：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，．
【点睛】本题考查圆周角定理，解直角三角形，正多边形与圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
26．（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）尺规作图：如图，为⊙的直径
（1）求作：⊙的内接正六边形.（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）已知连接，⊙的半径为4，求的长.
小明的做法如下，请你帮助他完成解答过程.
在⊙中，连接.
∵正六边形内接于⊙
∴
∴
∴ （填推理依据）
∵为⊙直径
∴
∵
∴
答案：（1）详见解析；（2）一条弧所对的圆周角是圆心角的一半，
分析：（1）用⊙O的半径去截圆周即可解决问题；
（2）连接OF，在Rt△ADF中，解直角三角形即可解决问题.
【详解】（1）⊙O的内接正六边形ABCDEF如图所示:
（2）在⊙O中，连接OF．
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O
∴
∴∠AOF=60°
∴∠ADF=∠AOF=30°（一条弧所对的圆周角是圆心角的一半）
∵AD为⊙O直径
∴∠AFD=90°
∵cs30°=,
∴DF=
故答案为一条弧所对的圆周角是圆心角的一半，4
【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，正多边形与圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.
27.（2023春·四川凉山·九年级统考专题练习）如图，正三角形内接于，其边长为；则的内接正方形的边长为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：连接、、，作于，由正方形和圆的性质求得，结合正三角形的外接圆的性质得到，由此得到，求解即可．
【详解】解；连接、、，作于，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴是直径，，
∴，
∵是等边三角形，边长为，点是正三角形的外接圆圆心，
∴，
∴，
∴，
∴．
即的内接正方形的边长为．
故选：A．
【点睛】本题考查正多边形与圆，的圆周角所对的弦为直径，锐角三角函数，正方形的性质，等边三角形的性质等知识．解题的关键是熟练应用这些知识解决问题．
28．（2023秋·浙江嘉兴·九年级统考期末）如图，正六边形和正方形都内接于，连接，则弦所对圆周角的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
答案：C
分析：先求出正六边形和正方形的边所对的圆心角，求差可得弦所对得圆心角，再分别求出优弧和劣弧所对得圆周角即可．
【详解】如图，连接,,
∵四边形是正方形
∴
∵六边形是正六边形
∴
∴
∴弦所对圆周角的度数为或
故选C．
【点睛】本题考查正多边形和圆的关系，以及同弧所对圆周角是它所对圆心角得一半，注意有两个答案．
29．(2023秋·贵州黔西·九年级统考期中）已知四个正六边形按如图所示摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F均在上，连接．若两个大正六边形的边长均为4，两个小正六边形全等，则小正六边形的边长是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：在边长为4的大正六边形中，根据正六边形和圆的性质可求出和半径，进而得出小正六边形对应点的距离，再根据正六边形的性质求出半径，即边长即可．
【详解】解：∵连接交于，
∴点是圆心，
过点作于，连接，取的中点，连接，，
由对称性可知，，
由正六边形的性质可得，
，
，
由正六边形的性质可知，、、都是正三角形，
，
故选：B．
【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质是解决问题的关键．
30．(2023秋·北京东城·九年级北京二中校联考期末）如图，正六边形内接于，的半径为3，则这个正六边形的边心距的长为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：根据正六边形的性质求出，利用锐角的余弦计算即可．
【详解】解：连接，
∵六边形是内接正六边形，
故选：B
【点睛】本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式、熟记余弦的概念是解题的关键．
31．（2023春·九年级课时练习）用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：如图，①在上任取一点A，连接并延长交于点B；②以点B为圆心，为半径作圆弧分别交于C，D两点；③连接，并延长分别交于点E，F；④顺次连接，，，，，，得到六边形．连接，，交于点G，则下列结论错误的是（ ）
A．的内心与外心都是点GB．
C．点G是线段的三等分点D．
答案：D
分析：证明是等边三角形，，，可判断A；证明，可判断B；证明，可判断C；证明，可得结论．
【详解】解：在正六边形中，，
∵，
∴，，都是等边三角形，
∴，，
∴四边形，四边形都是菱形，
∴，，
∴的内心与外心都是点G，故A正确，
∵，，
∴，
∵，
∴，故B正确，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点G是线段F的三等分点，故C正确，
∵，，
∴，故D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形的内心，外心等知识，解题的关键是证明四边形，四边形都是菱形．
32．(2023秋·全国·九年级专题练习）如图，六边形ABCDEF是半径为2的圆的内接正六边形，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：利用正六边形的面积减去2个扇形的面积即可得出阴影部分的面积．
【详解】解：设圆心为O，连接OA，OB，
∵六边形ABCDEF是半径为2的圆的内接正六边形，
∴∠AOB＝60°，∠ABC＝120°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴S△AOB＝ ×22＝，
∴阴影部分的面积为S正六边形ABCDEF﹣S扇形AOC﹣S扇形DOF
＝6﹣
＝．
故选A．
【点睛】本题考查圆内阴影部分面积的问题．通过割补法，将阴影部分的面积转化为规则图形的面积是解题的关键．
41．(2023·山东济宁·二模）如图，的内接正六边形的边心距为，分别以、、为圆心，正六边形的半径画弧，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：如图，连接，，作于点，由题意知，是等边三角形，则，，由勾股定理得，解得，则，根据计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，，作于点，
由题意知．
∵，，
∴是等边三角形
∴，，
∴，
解得，
∴，
∴
．
故选A．
【点睛】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，扇形的面积等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
33．（2023秋·四川广元·九年级统考期末）如图，正六边形内接于，的半径为1，则边心距的长为______．
答案：##
分析：连接，根据正多边形的性质得出，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
六边形是内接正六边形，
，
，
故答案为．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，解直角三角形，掌握正多边形的性质是解题的关键．
34．（2023·新疆乌鲁木齐·乌市八中校考一模）如图，正五边形内接于，则的度数为________.
答案：##36度
分析：圆内接正五边形的顶点把圆五等分，连接，可求出，再根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：连接，如图，
∵五边形是正五边形，
∴正五边形的顶点把圆五等分，
∴
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了正多边形的计算，理解正五边形的顶点是圆的五等分点是关键．
35．（2023春·湖南长沙·九年级校考阶段练习）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他首次提出“割圆术”，利用圆内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆周率．如图，多边形A1A2A3…An是⊙O的内接正n边形．已知⊙O的半径为r，∠A1OA2的度数为，点O到A1A2的距离为d，△A1OA2的面积为S．下面四个推断中，
①当n变化时，随n的变化而变化，与n满足函数关系．
②若为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足正比例函数关系．
③无论n，r为何值，总有．
④若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足二次函数关系．
其中错误的是_______（填序号）．
答案：③
分析：分别表示出与n、d与r、S与r的关系式，进而判定得出结论．
【详解】解：①当n变化时，随n的变化而变化，与n满足函数关系，①正确；
②如图，
∵，∴，
∴，
∵为定值，∴为定值，
∴d与r满足正比例函数关系，②正确；
③当时，，，
∴，③错误；
④∵n为定值，，
∴为定值，
∵，
∴，
∴S与r满足二次函数关系． ④正确；
故答案为：③．
【点睛】本题考查了正多边形与圆的关系，解直角三角形，正比例函数，反比例函数，二次函数的定义等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
36．(2023秋·河北石家庄·九年级校联考期末）如图，如果、分别是圆O的内接正三角形和内接正方形的一条边，则__________，一定是圆O的内接正n边形的一条边，那么__________．
答案： 30 12
分析：利用正多边形与圆，分别计算圆O的内接正方形与内接正三角形的中心角得到，，则，然后计算即可得到n的值．
【详解】解：如图，
∵、分别为圆O的内接正方形与内接正三角形的一边，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：30，12．
【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念是关键．
37．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，正方形内接于，其边长为2，则的内接正三角形的边长为______．
答案：
分析：连接、、，作于M，先求出圆的半径，在中利用30度角的性质即可解决问题．
【详解】解；连接、、，作于M，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴是直径，，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
在中，
∵，，
∴，，
∴．
故答案为： ．
【点睛】本题考查正多边形与圆、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
38．(2023·四川绵阳·校考二模）如图，内切于正方形中，与边相切的点分别为，对角线交于点，连接，则的值是______．
答案：
分析：根据正方形的性质、圆周角定理以及正方形的内切圆的性质可得到，再构造含有角的直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数即可求解．
【详解】解：
如图，连接，
∵是正方形的内切圆，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵角不是特殊角，
∴要求的正切值，需要重新构造一个含角的，
如图2所示，则，，
在线段上取，则是等腰直角三角形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查切线的性质，正方形的性质，圆周角定理以及解直角三角形，掌握正方形的性质、圆周角定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
39．(2023秋·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，正方形和等边都内接于圆O，与别相交于点G，H．若，则的半径长为 _____；的长为 _____．
答案：
分析：连接正方形和等边都内接于，得证是的直径，，，，从而得，，得到，直线是线段的垂直平分线，从而得到，，得证，，从而得证，，，结合，确定，，根据计算即可．
【详解】如图，连接
∵正方形和等边都内接于，
∴是的直径，，，，
∴，，
∴，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
解得，故半径为，
∴，
∴=．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆的基本性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，圆的性质，等边三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
40．(2023秋·山东德州·九年级统考期末）如图，正五边形和正三角形都内接于，则的度数为________°．
答案：
分析：连接，，，，分别求出正五边形和正三角形的中心角，结合图形计算即可．
【详解】解：连接，，，，
∵五边形是正五边形，
∴，
∴，
∵是正三角形，
∴，
∴．
∴的度数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆心角和弧之间的关系，正多边形与圆的有关计算．掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．
41．(2023·四川成都·统考中考真题）如图，已知⊙是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是_________．
答案：
分析：如图，设OA=a，则OB=OC=a，根据正方形内接圆和外接圆的关系，求出大正方形、小正方形和圆的面积，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：如图，设OA=a，则OB=OC=a，
由正方形的性质可知∠AOB=90°，
，
由正方形的性质可得CD=CE=OC=a，
∴DE=2a，
S阴影=S圆-S小正方形=，
S大正方形=，
∴这个点取在阴影部分的概率是，
故答案为：
【点睛】本题考查了概率公式、正方形的性质、正方形外接圆和内切圆的特点、圆的面积计算，根据题意弄清楚图形之间的关系是解题的关键．
42．(2023秋·河北保定·九年级统考期末）如图，正六边形是半径为1的的内接六边形，连接并延长到点，过点，交的延长线于点．
(1)是___________（填“直角”“等腰”或“等边”）三角形；
(2)当___________时，直线与相切，此时通过计算比较线段和劣弧长度哪个更长；（参考数据：取3）
(3)已知是上的动点（点不与点A，重合）．
①连接，，求的度数；
②已知，过点作的切线，当切线与直线交于点时，请直接写出长的最小值．
答案：(1)等边
(2)
(3)①或，②
分析：（1）先证明为等边三角形，得出，再根据平行线的性质得出，即可得出结果；
（2）连接，根据切线性质得出，根据等边三角形的性质，得出，，利用三角函数求出，求出劣弧长度，进行比较即可；
（3）①根据圆周角定理，分两种情况求出结果即可；
②根据切线性质结合勾股定理得出，从而得出当的长度最短时，的长取得最小值，根据等边三角形的性质和勾股定理求出最小值即可．
【详解】（1）解：∵六边形是正六边形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形；
故答案为：等边；
（2）解：连接，
∵与与相切，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴在中，，
即当时，直线与相切；
∵取3，
∴，
∵，
∴，
∴线段的长度更长；
（3）解：①根据解析（1）可知，，
当点在优弧上时，，
当点在劣弧上时，，
综上所述，的度数为或；
②∵与相切，
∴，
∴，
当的长度最短时，的长取得最小值，
∴当时，的长取得最小值，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即长的最小值为．
【点睛】本题主要考查了圆内接正六边形，勾股定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本性质和定理．
43．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转n个，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：根据题意可知正六边形循环了８次，由可知和的坐标相同，即可求出结果．
【详解】解：由题意可知：正六边形绕点O顺时针旋转一圈，旋转了8个，
∵当时，，
的坐标与的坐标相同，
如图所示：过点于点H，过点D作轴于点F，
，，
，
∴在中，，
，
∴在中，，
，
，，
又，在中
，，
，，
又∵点在第三象限，
∴点的坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，坐标与图形的变化，解直角三角形，学会探究规律的方法，确定和是解决问题的关键．
44．（2023·全国·九年级专题练习）如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为）重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片六边形沿水平方向向左平移个单位长度，则上面正六边形纸片面积与折线扫过的面积（阴影部分面积）之比是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：求出正六边形和阴影部分的面积即可解决问题．
【详解】解：如下图，正六边形由六个等边三角形组成，过点作于点，于点，
根据题意，正六边形纸片边长为，即，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
同理，，
∴，
∴正六边形的面积，
∵将上面一张纸片六边形沿水平方向向左平移个单位长度，
又∵，
∴阴影部分的面积，
∴空白部分与阴影部分面积之比是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了多边形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、平移变换等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
45．(2023秋·广东广州·九年级统考期末）如图，将正六边形放置在直角坐标系内，，点B在原点，点P是正六边形的中心，现把正六边形沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转，经过2022次翻转之后，则点Р的坐标是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：分析出第一次翻转后的位置，连接，与y轴交于点Q，过点P作轴，垂足为G，利用正六边形的性质，求出点P的坐标变化情况，即可得到结果．
【详解】解：如图，由题意可知：
第一次翻转，中点P移动到点C的位置，点A移动到点P的位置，
连接，与y轴交于点Q，过点P作轴，垂足为G，
∵，
∴，
由正六边形可知：
，，，
∴是等边三角形，，，
∴，，，
∴第一次翻转，点P的横坐标增加2，纵坐标不变，
∴经过2022次翻转之后，点Р的坐标是，即，
故选C．
【点睛】本题考查了正六边形的性质、坐标与图形、翻转的性质、含30°角直角三角形的性质等知识；求出每次翻转后点P的坐标变化是解题的关键．
46.（2023春·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，将边长为6的正六边形沿折叠，点恰好落在边的中点上，延长交于点，则的长为（ ）
A．1B．1.2C．1.5D．1.8
答案：A
分析：过点作交的延长线于，如图所示，设，解直角三角形求出，利用相似三角形的性质求出，即可得到结论．
【详解】解：过点作交的延长线于，如图所示：
设，则，
∵六边形是正六边形，
∴，
∴，，
在中，，，
在中，，即，解得，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查正多边形与圆、翻折变换、勾股定理、解直角三角形、相似三角形等知识，解题的关键是学会添加常用条辅助线，构造直角三角形解决问题．
47．（2023·全国·九年级专题练习）把边长为2+的正方形沿过中心的一条直线折叠，两旁重叠部分恰为正八边形的一半，则这个正八边形的边EF的长为（ ）
A．1B．2C．D．2
答案：C
分析：重叠部分为正八边形的一半，则△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，设CG=x，则GF=x，B'F=x，从而BC=x+x+x=2+，即可解决问题．
【详解】解：如图，
∵重叠部分为正八边形的一半，
∴GF=EF=PE=HP，∠GFE=∠FEP=∠HPE=135°，
∴∠GFC=∠B'FE=∠DEP=∠A'PH=45°，
∴△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，
设CG=x，则GF=x，B'F=x，
∴BG=B'G=x+x，
∴BC=x+x+x=2+，
∴x=1，
∴GF=，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，正八边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质、折叠性质等知识，用参数x表示出BC的长是解题的关键．
48．(2023·宁夏银川·银川唐徕回民中学校考二模）如图，圆内接正八边形的边长为1，以正八边形的一边AB作正方形ABCD，将正方形ABCD绕点B顺时针旋转，使AB与正八边形的另一边重合，则正方形ABCD与正方形 重叠部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：先计算出正八边形的内角∠ABC′=135°，再利用旋转的性质得∠ABC=∠A′BC′=90°，∠BA′D′=∠BAD=90°，所以∠ABA′=135°-90°=45°，则延长BA′过点D，然后利用正方形ABCD与正方形A′BC′D′重叠部分的面积=S△BDC-S△DA′E进行计算．
【详解】解：正八边形的一个内角为：，
∵正方形绕点B顺时针旋转，使BC与正八边形的另一边重合，
，，
，
延长至点D，DC与相交于点E，如图所示：
，
，，
，
∴正方形与正方形重叠部分的面积为：
，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，把一个圆分成n等份，依次连接各点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，也考查了正方形和正八边形的性质．
49．（2023春·浙江金华·九年级浙江省义乌市后宅中学校考开学考试）如图，已知正方形的顶点A、B在上，顶点C、D在内，将正方形绕点A逆时针旋转，使点D落在上．若正方形的边长和的半径均为，则点D运动的路径长为 ___________．
答案：
分析：设圆心为O，连接，易证三角形是等边三角形，确定，再利用弧长公式计算即可．
【详解】解：设圆心为O，连接，
∵，
∴，
∴三角形是等边三角形，
∴，
同理：是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点D运动的路径长为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的运用以及弧长公式的运用，题目的综合性较强，解题的关键是正确的求出旋转角的度数．
50．（2023·河北·九年级专题练习）如图，如果边长为1的正六边形绕着顶点顺时针旋转后与正六边形重合．
（1）则的长是________；
（2）点在整个旋转过程中，所经过的路径长为________（结果保留）．
答案：
分析：（1）根据图形旋转的性质接可求出点B的对应点，再连接AE，过F点向AE作垂线，利用锐角三角函数的定义及直角三角形的性质可求出AE的长；
（2）利用弧长公式即可求出E在整个旋转过程中，所经过的路径长．
【详解】（1）∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴此六边形的各内角是120°，
∵正六边形ABCDEF绕着顶点A顺时针旋转60°后与正六边形AGHMNP重合，
∴B点只能与G点重合，
连接AE，过F点向AE作垂线，垂足为I，连接BD，
∵EF=AF=1，IF⊥AE，
∴AE=2EI，
∵∠AFE=120°，
∴∠EFI=60°，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）E点所经过的路线是以A为圆心，以AE为半径，圆心角为60度的一段弧，
∴E在整个旋转过程中，所经过的路径长．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是图形旋转的性质、正多边形和圆及弧长的计算、等腰三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键．
51．(2023秋·河北衡水·九年级校考期末）如图，边长为3的正方形ABCD在正六边形外部做顺时针方向的滚动运动，滚动一周回到初始位置时停止，点A在滚动过程中到出发点的最大距离是______．
答案：##
分析：如图，点A的运动轨迹是图中弧线，延长AE交弧线于H，线段AH的长即为点A在滚动过程中到出发点的最大距离．
【详解】解：如图，点A的运动轨迹是图中弧线，延长AE交弧线于H，线段AH的长即为点A在滚动过程中到出发点的最大距离．
∴，
在中，∵，，
∴，
∴，
∴点A在滚动过程中到出发点的最大距离是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转变换、正方形的性质、正六边形的性质、解直角三角形等，解题的关键是理解题意，找到点A的运动轨迹．
52．（2023·江苏常州·校联考一模）如图，⊙O的半径为2，圆心O在坐标原点，正方形ABCD的边长为2，点A、B在第二象限，点C、D在⊙O上，且点D的坐标为（0，2），现将正方形ABCD绕点C按逆时针方向旋转150°，点B运动到了⊙O上的点B1处，点A、D分别运动到了点A1、D1处，即得到正方形A1B1C1D1（点C1与C重合）；再将正方形A1B1C1D1绕点B1按逆时针方向旋转150°，点A1运动到了⊙O上的点A2处，点D1、C1分别运动到了点D2、C2处，即得到正方形A2B2C2D2（点B2与B1重合），…，按上述方法旋转2020次后，点A2020的坐标为 _____．
答案：（2，﹣1）
分析：由题意发现旋转12次一个循环，由2020÷12＝168余数为4，推出A2020的坐标与A4相同，由此即可解决问题
【详解】解：如图，由题意发现12次一个循环，
∵2020÷12＝168余数为4，
∴A2020的坐标与A4相同，
∵⊙O的半径为2，正方形ABCD的边长为2，
，，
又，
，
，
∴A4（2，﹣1），
∴A2020（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化——旋转，属于规律性问题，解决问题的关键是找到旋转的规律．
53．(2023春·河北保定·八年级统考期末）定义：如果几个全等的正边形依次有一边重合，排成一圈，中间可以围成一个正多边形，那么我们称作正边形的环状连接．如图1，我们可以看作正八边形的环状连接，中间围成一个正方形．
（1）若正六边形作环状连接，如图2，中间可以围成的正多边形的边数为______；
（2）若边长为的正边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的外轮廓长为_____．（用含的代数式表示）
答案： 6
分析：根据正多边形的内角和公式（n-2）•180°，可求出正多边形密铺时需要的正多边形的内角，继而可求出这个正多边形的边数．
【详解】解：（1）正六边形作环状连接，一个公共点处组成的角度为240°，
故如果要密铺，则需要一个内角为120°的正多边形，
而正六边形的内角为120°，
所以正六边形作环状连接，中间可以围的正多边形的边数为6；
（2）若边长为1的正n边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，
则一个公共点处组成的角度为360°-60°=300°，
所以正n边形的一个内角是150°，
所以（n-2）×180=150n，
解得n=12，
所以边长为a的正十二边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的外轮廓长为27a．
故答案为：6；27a．
【点睛】此题考查了平面密铺的知识，解答本题关键是求出在密铺条件下需要的正多边形的一个内角的度数，有一定难度．
题型2：弧长公式
类型-1 求弧长
（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）已知：如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的长为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：连接，则，根据折叠可知，，从而得到是等边三角形，进而得到，，再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：连接，则，
∵将扇形沿着过点B的直线折叠，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴的长；
故选：C．
【点睛】本题考查求弧长．熟练掌握折叠的性质，证明三角形是等边三角形，是解题的关键．
类型-2 求半径
（2023春·九年级课时练习）把长度为的一根铁丝弯成圆心角是的一条弧，那么这条弧所在圆的半径是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：C
分析：设半径为R，利用弧长公式构建方程求出R即可．
【详解】解：设半径为R．
由题意，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了弧长公式，解题的关键是记住弧长公式．
类型-3 求圆心角
（2023·河南安阳·统考一模）一个扇形的弧长是，半径是4，则该扇形的圆心角的度数是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：利用弧长公式求解即可．
【详解】解：设圆心角为，根据题意得：
，
解得：，
∴该扇形的圆心角的度数是，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式
类型-4 求动点的路径长
（2023秋·河北石家庄·九年级统考期末）如图，在中，，，，将绕点B旋转到的位置，此时C，B，在同一直线上，则点A经过的最短路径长为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根据三角形的内角和定理和锐角三角函数，得出，，再根据旋转的性质，结合角之间的数量关系，得出，再根据弧长公式计算，即可得出答案．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，，
∴，
又∵将绕点B旋转到的位置，此时C，B，在同一直线上，
∴，
∴点A经过的最短路径长为：．
故选：D
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、锐角三角函数、旋转的性质、弧长公式，解本题的关键在熟练掌握弧长公式．
综合训练
1．（2023·河北衡水·校考模拟预测）如图，的半径为9，、分别切于点A，B．若，则的长为（ ）
A．πB．πC．D．π
答案：C
分析：连接，，根据切线的性质得到，根据四边形的性质得到，根据弧长公式即可得到结论．
【详解】解：连接，，
∵直线、分别与相切于点A、B，
∴，
∵，
∴，
∵的半径为9，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，弧长的计算，正确的作出辅助线掌握弧长公式是解题的关键．
2．(2023秋·浙江衢州·九年级统考期末）已知圆的半径为6，的圆心角所对的弧长是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：根据弧长公式可进行求解．
【详解】解：由题意得：；
故选B．
【点睛】本题主要考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
3．（2023秋·山东德州·九年级统考期末）如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角是的扇形，则扇形中弧的长为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：连接，过O作交于点D，根据圆周角定理可得，根据垂径定理可得，，，即可得到，根据扇形可得，，可得是等边三角形，再结合扇形弧长公式即可得到答案；
【详解】解：连接，过O作交于点D，
∵，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故选D；
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，扇形弧长公式，解题的关键是作辅助线．
4．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图，A，B，C，D为上的点，且直线与夹角为．若，，的长分别为，和，则的半径是（ ）
A．4B．C．5D．
答案：A
分析：延长，与直线交于E，连接，设弧长为所对的圆周角为，根据题意得出，，利用三角形内角和定理求得，即可求得弧长为所对的圆心角为，代入弧长公式即可求得的半径．
【详解】解：延长，与直线交于E，连接，
，，的长分别为，和，
的长为，的长为，
设弧长为所对的圆周角为，则，，
，，
，
，
弧长为所对的圆心角为，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了弧长的计算，三角形内角和定理，求得弧长为所对的圆心角是解题的关键．
5．(2023秋·贵州黔西·九年级统考期中）小明同学在计算某扇形的面积和弧长时，分别写出如下式子：，，经核对，两个结果均正确，则下列说法正确的（ ）
A．该扇形的圆心角为，直径是4B．该扇形的圆心角为，直径是3
C．该扇形的圆心角为，直径是6D．该扇形的圆心角为，直径是4
答案：D
分析：根据，，可以写出和的形式，然后即可判断哪个选项是正确的，本题得以解决．
【详解】解：，，
，，
该扇形的圆心角为，直径是4，
故选：D．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、弧长的计算，解答本题的关键是明确扇形的和．
70．
．
6．（2023秋·陕西西安·七年级西安市五环中学校联考期末）若将一个圆分割成三个扇形，它们的面积比为，则最小的扇形的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的和为，再由三个圆心角的度数比为，可求出最小的圆心角度数．
【详解】解：由题意可得，三个圆心角的和为，
∵它们的面积之比为，
∴三个圆心角的度数比为，
∴最小扇形的圆心角度数为：，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆心角，解答此题的关键是由题意得出三个圆心角的和为．
7．（2023秋·甘肃金昌·九年级校考阶段练习）在半径为6 cm的圆中，长为2π cm的弧所对的圆周角的度数为 （ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
答案：A
分析：根据弧长公式，即可求出弧所对的圆心角的度数．
【详解】∵，
∴圆心角的度数为n=2×30°=60°．
∴长为2π cm的弧所对的圆周角的度数为，
故选A．
【点睛】本题考查了弧长的计算，牢记弧长公式是解题的关键．
8．（2023秋·湖北随州·九年级统考期末）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则点所经过的路径长为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：先根据勾股定理求出，再根据旋转的性质得出，，再利用弧长公式计算即可．
【详解】∵，，
∴，
由旋转性质得，，
∴点所经过的路径长为．
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的变换—旋转，等腰直角三角形的性质，弧长公式，熟练掌握旋转的性质，等腰直角三角形的性质，弧长公式是解决问题的关键．
9．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，等腰梯形的腰长为3，正方形的边长为1，它的一边在上，且顶点A与M重合．现将正方形在梯形的外面沿边进行翻滚，翻滚到有一个顶点与N重合即停止滚动，求正方形在翻滚过程中点A所经过的路线长（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：先根据点绕点翻滚，然后绕点翻滚，半径分别为1、，翻转角分别为、，据此画出图形．再结合总结的翻转角度和翻转半径，求出两端圆弧之和即可．
【详解】解：作图如图；
∵点绕点翻滚，然后绕点翻滚，半径分别为1、，翻转角分别为、，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了弧长的计算、旋转的性质，作出图形并掌握弧长公式解题的关键．
10．(2023秋·内蒙古鄂尔多斯·九年级统考期末）如图，半径为10的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：如图，圆心运动路径的长度弧的长，根据弧长公式计算即可．
【详解】如图所示：
圆心运动路径的长度弧的长
故选：A．
【点睛】本题考查了轨迹、圆的周长公式等知识，解题的关键是理清楚轨迹是什么图形，记住弧长公式，圆的周长公式是解题的关键．
11．（2023·浙江衢州·衢州巨化中学校考一模）如图，点A在半圆O上，BC为直径．若∠ABC=30°，BC=3，则的长是 ___________．
答案：
分析：根据圆周角与圆心角的关系可求出的度数，再根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴由弧长公式得，的长为
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、求弧长等知识，熟练掌握弧长公式是解题关键．
12．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）一个扇形的弧长是，圆心角是，则此扇形的半径是_______cm．
答案：6
分析：根据弧长公式可进行求解．
【详解】解：由题意得：
，
解得：；
故答案为6．
【点睛】本题主要考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
13．(2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）若扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为_____．
答案：3
分析：设扇形的半径为，由题意可得：，求解即可．
【详解】解：设扇形的半径为，由题意可得：
解得
故答案为：
【点睛】此题考查了扇形的弧长公式，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式，列出方程．
14．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）在一个圆中，如果的圆心角所对弧长为，那么这个圆的半径为___．
答案：3
分析：利用弧长公式求解．
【详解】解：设这个圆的半径为cm，
由题意可得：，
解得：．
故答案为：3．
【点睛】本题考查根据弧长求圆的半径，解题的关键是掌握弧长公式，的圆心角所对弧长为．
15．(2023秋·北京海淀·九年级北京市十一学校校考阶段练习）如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料，则此圆弧所在圆的半径为______mm．
答案：900
分析：由弧长公式得到R的方程，解方程即可．
【详解】解：根据题意得，，
解得：，
答：这段圆弧所在圆的半径R是．
故答案是：900．
【点睛】本题考查了弧长的计算公式，解题的关键是熟记弧长公式，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．
16．(2023秋·广东珠海·九年级统考期末）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动．若重物上升，则滑轮旋转的角度为______．
答案：270
分析：根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：，
即滑轮旋转的角度为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式，．
17．(2023秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）一个扇形的弧长是，半径是，则这个扇形的圆心角是______．
答案：
分析：根据弧长公式计算即可求解．
【详解】根据弧长公式，
解得.
故答案为：150.
【点睛】本题考查了弧长的计算，解题的关键是熟记公式：弧长公式.
18．(2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）已知扇形弧长是米，半径是米，那么扇形的圆心角是____．（ 取）
答案：
分析：直接根据弧长公式列方程解答即可．
【详解】解：设扇形的圆心角是
由题意可得：，解得：．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了运用弧长公式求扇形的公式，掌握扇形的弧长公式为（n为扇形的圆心角）是解答本题的关键．
19．（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，直角三角形中，，，将三角形的斜边放在定直线上，将点按顺时针方向在上转动两次，转动到的位置，设，，，则点所经过的路线长是_____．
答案：
分析：根据题目要求找出点所经过的路线分别为以为圆心，圆心角，为半径的圆弧，和以为圆心，圆心角为，为半径的圆弧，再利用弧长计算公式求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵如图，第一次转动是以为圆心，圆心角，为半径的圆弧，
第二次转动是以为圆心，圆心角为，为半径的圆弧，
∴点所经过的路线长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的弧长计算公式，正确找出点所经过的路线，及熟练应用弧长计算公式求弧长是解答本题的关键．
20．（2023·辽宁抚顺·统考一模）如图，将矩形绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转至图②位置，以此类推，这样连续旋转2022次．若，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为______．
答案：
分析：首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．
【详解】解：,
,
转动一次的路线长是：
转动第二次的路线长是：
转动第三次的路线长是：
转动第四次的路线长是：0，
以此类推，每四次循环，
故顶点转动四次经过的路线长为：
,
顶点转动四次经过的路线长为：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，掌握旋转变换的性质、灵活运用弧长的计算公式、发现规律是解决问题的关键．
21．（2023秋·广西防城港·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，．
(1)以点C为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的；
(2)在（1）的条件下，求点A旋转经过的路径的长度（结果保留π）．
答案：(1)见解析
(2)
分析：（1）根据旋转的定义作出点A、B绕点C逆时针旋转得到的对应点，再顺次连接可得；
（2）根据弧长公式列式计算即可．
【详解】（1）如图所示．
（2）∵，
∴点A旋转经过的路径的长度．
【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，根据旋转角度、旋转方向、旋转中心作出对应点是解题的关键．
22．(2023秋·上海·六年级校考阶段练习）如图，若，求圆心角x的度数．
答案：57.6°
分析：根据扇形面积公式直接列等式即可的得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，，
∵，
∴，
解得，
故答案为．
【点睛】本题考查求扇形的面积，解题关键是根据扇形面积公式列等式．
23．（2023春·江西南昌·九年级南昌市第三中学校考期中）如图所示，扇形从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③（由图②到图③的过程中，弧始终与射线相切，点的运动路径为一段线段），，．
(1)求点运动的路径长；
(2)求点走过路径与射线围成的面积．
答案：(1)点运动的路径长为；
(2)点走过路径与射线围成的面积为．
分析：（1）一共转动了三次，分析每一次转动的圆心角和半径，然后利用弧长公式即可求解；
（2）同（1）的方法，利用扇形面积公式的长方形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：如图，
运动路径第一段弧长，
第二段路径为线段长为，
第三段路径为，
即O在射线上运动路径为；
（2）解：围成面积，
，，，
．
【点睛】本题考查弧长公式、扇形面积公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．（2023·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、
(1)以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的．
(2)画出绕O点顺时针旋转后得到的．
(3)直接写出点B所经过的路径长 ．
答案：(1)见解析
(2)见解析
(3)
分析：（1）把点A、B、C的横纵坐标都乘以2得到的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B，C的对应点即可得到；
（3）先求出的长，再根据弧长公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；
（2）解：如图，△A2B2C2即为所求．
（3）解：根据题意得：，
所以点B所经过的路径长为．
故答案为：
【点睛】本题考查了作图——位似变换以及旋转变换，求弧长公式，正确掌握图形变换的性质是解题关键．
25．（2023秋·山东临沂·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
(1)请画出与关于原点对称的；
(2)将绕原点O顺时针旋转后得到，请画出；
(3)在（2）的条件下，点A经过的路径长______（结果保留根号π）．
答案：(1)见解析
(2)见解析
(3)
分析：(1)利用网格特点和关于原点对称的特点，画出点A、B、C的对应点即可；
(2)利用网格特点和旋转的性质，画出点A、B、C的对应点即可；
(3)先计算出的长，然后根据弧长公式计算点A在旋转过程中所经过的路径的长即可．
【详解】（1）解：关于原点对称的如下图：
（2）解：如图：即为所求，
（3）解：，
点A经过的路径长为：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了旋转变换以及中心对称变换，弧长公式应用，正确得出对应点的位置是解题关键．
26．(2023秋·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出把绕原点O旋转得到，并写出点的坐标（请使用铅笔和直尺画图）
(2)求出在旋转的过程中，点C经过的路径长（结果保留）
答案：(1)图见解析，
(2)
分析：（1）利用作中心对称的图像的方法作图，并由图像得出的坐标即可．
（2）由题意可知点运动轨迹为以点为圆心，为半径的半圆，求半圆弧的弧长即可．
【详解】（1）
（2）解：
【点睛】本题主要考查旋转图像的画法以及圆弧弧长的计算，熟练掌握弧长的计算是解决本题的关键．
27．(2023春·吉林松原·九年级校考阶段练习）如图，已知，半径为r的圆O从点A出发，沿方向滚动到点C时停止．请你根据题意，解答问题：
(1)在图上画出圆心O运动路径的示意图
(2)求出圆心O运动的路程是多少．
答案：(1)见解析
(2)圆心O运动的路程长为
分析：（1）根据题意画出对应的示意图即可；
（2）根据（1）可知圆心O运动的路程长，由此求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：圆心O运动的路程长
．
【点睛】本题主要考查了求弧长，正确画出圆心O的运动轨迹示意图是解题的关键．
题型3：与扇形有关的面积计算
类型1-求扇形面积
5．(2023春·河北邯郸·九年级校考阶段练习）如图，将边长为的正方形铁丝框，变形为以为圆心、为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形的面积为( )
A．B．C．D．
答案：D
分析：根据题意求得，进而根据扇形面积公式即可求解．
【详解】解：∵正方形的边长为，
∴弧的弧长，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了求扇形面积公式，正方形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
类型2-旋转图形扫过面积计算
(2023秋·四川泸州·九年级统考期末）如图，将绕点旋转得到，已知，，则线段扫过的图形面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根据图形可以得出AB扫过的图形的面积=，由旋转的性质就可以得出就可以得出AB扫过的图形的面积=求出其值即可．
【详解】解：∵△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴， ．
∵AB扫过的图形的面积=，
∴AB扫过的图形的面积=，
∴AB扫过的图形的面积=．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的性质求解是关键．
类型3-不规则图形面积计算
（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为的中点．以C为圆心，为半径作圆弧，再分别以E，F为圆心，为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
分析：连接，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形减去直角三角形的面积之差．
【详解】连接，如图，
∵正方形的边长为2，O为对角线的交点，
由题意可得：经过点O，且．
∵点E，F分别为的中点，
∴，
∴，．
∴弓形＝弓形．
∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积．
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，扇形面积的计算．通过添加适当的辅助线将不规则的阴影部分的面积转化成规则图形的面积的差是解题的关键．
综合训练
1．（2023春·山东泰安·六年级东平县实验中学校考阶段练习）在半径为1的圆中，60°圆心角所对的扇形的面积是（ ）
A．2πB．πC．D．3π
答案：C
分析：直接利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：扇形的面积为，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了扇形的面积公式：设圆心角是n°，圆的半径为r的扇形面积为S，则，熟记公式是解题的关键．
2．(2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：根据扇形的面积计算公式计算即可．
【详解】解：由题意得：
故选C．
【点睛】本题主要考查扇形的面积计算，熟练掌握扇形的面积计算公式是解决本题的关键．
3．（2023·广东佛山·统考一模）最近“羊了个羊”游戏非常火热，陈老师设计了一个数学版“羊了个羊”游戏，如图，一根长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊(羊只能在草地上活动)那么小羊在草地上的最大活动区域面积是( )
A． B．C．D．
答案：B
分析：根据题意画出图形，小羊在草地上的最大活动区域面积等于大扇形的面积加上小扇形的面积即可求解．
【详解】解：如图所示，
大扇形的圆心角是90度，半径是6，
所以面积=；
小扇形的圆心角是，半径是，
则面积，
则小羊在草地上的最大活动区域面积(m2)．
故选：B．
【点睛】本题考查了求扇形面积，根据题意画出图形是解题的关键．
4．(2023秋·云南红河·九年级统考期末）如图，在矩形中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：解直角三角形求出，推出，再利用扇形的面积公式求解．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查扇形的面积，度角直接三角形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是求出的度数．
5．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，扇形中，，，点为的中点，将扇形绕点顺时针旋转，得到扇形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：过点作于点，过点作交的延长线于点，设交于点，交于点，根据题意得出，进而根据即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作交的延长线于点，设交于点，交于点，
∵
则四边形是正方形，
，
∴，
，
，
，
在中，，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了求扇形面积，旋转的性质，正方形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
6．（2023·山西晋城·统考一模）如图，正六边形的边长为2，以点A为圆心，长为半径画，连接，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：利用正六边形的性质计算出的长度，再根据计算即可．
【详解】解：过B点作AC垂线，垂足为G，
∵正六边形的边长为2，
∴，
∴，
∴，，
∴，
同理：，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查正六边形的性质，求阴影部分的面积．熟练掌握正多边形的性质，扇形的面积公式，是解题的关键．
7．（2023·山东淄博·校考一模）如图，正方形的边长为1，以点O为圆心，为半径作扇形，弧与相交于点，设正方形与扇形之间的阴影部分的面积为；然后以为对角线作正方形，又以点O为圆心，为半径作扇形，弧与相交于点，设正方形与扇形之间的阴影部分面积为；按此规律继续作下去，设正方形与扇形之间的阴影部分面积为，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：分别求出和，找到阴影部分面积的变化规律，即可得到．
【详解】解：正方形的边长为1，
则正方形的面积为1， ，以O为圆心，为半径作扇形，得到，
以为对角线作正方形，又以O为圆心，为半径作扇形，得到，
以此类推得到﹣，
故．
故选：C．
【点睛】此题考查了正方形的性质、扇形面积公式等知识，找到图形面积的规律是解题的关键．
8．（2023·安徽池州·校联考一模）如图，，与的一边相切于点P，与另一边相交于B，C两点，且，，则扇形的面积为____________
答案：##
分析：连接，过O点作于点E，作于点F，利用垂径定理的内容得出，再证明四边形、四边形是矩形，即有，进而有，从而得出是等边三角形，即，利用扇形面积公式求出即可．
【详解】连接，过O点作于点E，作于点F，如图，
∵，，
∴，
∵与的一边相切于点P，
∴，
∵，，，
∴可得四边形、四边形是矩形，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定方法以及扇形的面积求法等知识，利用已知得出是解决问题的关键．
9．（2023秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，在中，E为的中点，以E为圆心，长为半径画弧交对角线于点F，若，，，则扇形的面积为______．
答案：
分析：根据三角形内角和、三角形的外角以及等腰三角形性质求出，然后根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵E为BC的中点，EB、EF为半径，
∴
∴，
∴，
∴扇形的面积．
【点睛】本题主要考查了扇形面积计算、三角形内角和定理、等腰三角形性质等知识点，掌握扇形面积计算公式是解题的关键．
10．（2023春·北京海淀·九年级清华附中校考阶段练习）如图，是的直径，C是上一点，，，则扇形（阴影部分）的面积为___．
答案：
分析：直接由圆周角定理得出的度数，再利用扇形面积求法得出答案．
【详解】∵，
∴，
∴扇形（阴影部分）的面积为： ，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理，扇形面积求法，正确记忆扇形面积公式是解题关键．
11．（2023春·四川成都·九年级四川省成都市第七中学初中学校校考阶段练习）一个窗户被装饰布挡住一部分，其中窗户的长与宽之比为，装饰布由一个半圆和两个四分之一圆组成，圆的直径都是，这个窗口末被遮挡部分的面积为__________．
答案：
分析：这个窗口未被遮挡部分的面积就是长方形的面积减半圆的面积减2个小扇形的面积．
【详解】解：这个窗口末被遮挡部分的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题的关键是由直径求出长方形的长和宽，然后按长方形，扇形的面积公式计算即可．
12．（2023春·九年级课时练习）如图，把一个含30°的直角三角板的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到位置．设，则顶点A运动到点的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是___________．
答案：
分析：在中，先得出，，顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积=扇形的面积+的面积+扇形的面积．根据扇形的面积和三角形的面积公式可以进行计算即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∴，
∵，，且直角三角板顺时针方向在l上转动两次，使它转到位置．
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了扇形的面积计算，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质的应用，本题的关键是弄清顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的图形的形状．
13．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考开学考试）如图，在矩形中，，，以为圆心为半径画弧交于点，以为直径画半圆交于点，则图中阴影部分的面积为______．
答案：
分析：设的中点为点O，连接，根据，，得到，，，，过点O作于点E，根据计算即可．
【详解】如图，设的中点为点O，连接，
∵，，
∴，，，，
过点O作于点E，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，扇形的面积公式，等边三角形的判定，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，扇形的面积公式是解题的关键．
14．(2023秋·上海·七年级专题练习）如图，在中，，，若把线段绕着点旋转，使得点落在直线上的处，旋转角度大于0度小于180度，那么线段扫过的面积等于_______．（结果保留）
答案：或
分析：根据扇形的面积公式代入，再求出即可．
【详解】若顺时针旋转120度，BC扫过的面积等于；
若逆时针旋转60度，BC扫过的面积为．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了扇形面积公式的应用，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的面积为．
15．(2023秋·新疆·九年级统考期中）如图，的个顶点都在的网格（每个小正方形的边长均为个单位长度）的格点上，将绕点顺时针旋转到的位置，且点、仍落在格点上，则线段扫过的图形面积是______平方单位（结果保留）．
答案：
分析：在中，由勾股定理求，观察图形可知，线段扫过的图形为扇形，旋转角为，根据扇形面积公式求解．
【详解】解：在中，由勾股定理，得，
由图形可知，线段扫过的图形为扇形，旋转角为，
线段扫过的图形面积．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，扇形面积公式的运用．关键是理解题意，明确线段扫过的图形是的扇形．
16．(2023秋·广西南宁·九年级南宁十四中校联考期中）如图，中，，，，将绕点O逆时针旋转至，点在的延长线上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为________．（结果保留）
答案：
分析：先在中利用特殊角求出、、，进而可求出，接着可以求出，则可以表示出、、，则阴影部分的面积可求．
【详解】在中，，，，
∴，
∴
∴，
根据旋转的性质可知，，，，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要是考查了旋转的性质、扇形面积的求解以及解含特殊角的直角三角形等知识，求出、、是解答本题的关键．
17．(2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，将矩形绕顶点旋转得到矩形，点恰好落在矩形的边上，则扫过的部分(即阴影部分)面积为 ___________．
答案：
分析：本题首先利用点恰好落在边上，可以求出，又因为可以得出为等腰直角三角形，即可以得出的大小，然后将阴影部分利用切割法分为两个部分来求，即面积和面积
【详解】如图，连接，
∵，，
∴矩形的面积为，,
∵,
∴,
∴，
∴扇形的面积为，
扇形的面积为，
面积；
面积，
∴阴影部分面积
故答案为：．
【点睛】熟练掌握面积的切割法和一些基本图形的面积的求法是本题解题的关键．
18．(2023秋·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为______．
答案：2π
分析：先在△ABC中利用勾股定理求出BC＝，再根据旋转的性质得出△ABC≌△A′B′C，然后根据阴影部分的面积＝（扇形CBB'的面积−△CA'B'的面积）＋（△ABC的面积−扇形CAA'的面积），代入数值解答即可．
【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴BC＝，
∵把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，
∴∠ACB＝∠A′C B′＝45°，A′C＝AC＝4，A′B′＝AB＝4，∠C A′B′＝∠CAB＝90°，
∴阴影部分的面积＝− ×4×4＋×4×4−＝2π，
故答案为2π．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理以及扇形面积公式的应用．
19．(2023春·九年级课时练习）如图，在中，，，，将三角形绕点按逆时针方向旋转（）后得到三角形，点经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是_________．
答案：
分析：把△ADE顺时针方向旋转60°到△ABC，要求的阴影部分的面积就是边长为5，角为60°的扇形面积．
【详解】圆形面积= =25π
扇形的面积= =
【点睛】此题考查了求阴影部分的面积，解题关键是把阴影的面积变成求扇形的面积．
20．(2023春·九年级课时练习）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC=3，BC=2，则=__________；线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________．
答案： ##
分析：根据弧长公式可求得的长；根据图形可以得出AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C，由旋转的性质就可以得出S△ABC=S△A′B′C就可以得出AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′-S扇形BCB′求出其值即可．
【详解】解：∵△ABC绕点C旋转120°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴S△ABC=S△A′B′C，∠BCB′=∠ACA′=120°．
∴的长为:2π；
∵AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C，
∴AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′-S扇形BCB′，
∴AB扫过的图形的面积= ．
故答案为：2π；．
【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，弧长公式以及扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的性质求解是关键．
21．（2023秋·浙江·九年级期末）如图，在中，，D为中点，以D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在弧上，则图中阴影面积为__________．
答案：##
分析：连接，证明，则，再求得扇形的面积，则阴影部分的面积即可求得．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴．
∵点D为的中点，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，扇形的面积等知识，是重要考点，难度一般．正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
22．（2023·河南安阳·统考一模）如图，扇形纸片的半径为2，沿折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为______．
答案：
分析：根据折叠的想找得到，推出四边形是菱形，连接交于D，根据等边三角形的性质得到，求得，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：沿折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，
∴，
∵，
∴四边形是菱形，
连接交于D，则，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求扇形的面积，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
23．（2023·河南南阳·校联考一模）如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点为点D．若，则图中阴影部分的面积为 _____．
答案：
分析：根据直角三角形角所对直角边等于斜边一半，即可得到扇形圆心角，结合旋转得到等腰三角形即可得到答案；
【详解】解：如图，作于点M，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形面积公式，旋转性质，直角三角形角所对直角边等于斜边一半，解题的关键是得到等腰三角形．
24．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，，，点为圆上一点，，将沿弦翻折，交于点，图中阴影部分的面积_______．
答案：
分析：如图，连接，将阴影部分沿翻折，点的对应点为，过点作于点，可求出的半径，由对称性可知，，，连接，根据特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】解：如图，连接，将阴影部分沿翻折，点的对应点为，过点作于点，
为的直径，，，
，
∵，，垂足为，
设的半径为，则，
∴，解得：或（舍去），
，即的半径是，
连接，则，
，
过点作于点，
∴，
∴，即，
即图中阴影部分的面积是：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查直角三角形的，圆，扇形面积的计算，折叠知识的综合，理解圆的基础知识，直角三角形的勾股定理，扇形面积的计算方法，折叠的性质是解题的关键．
25．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）如图，直径的半圆，绕B点顺时针旋转30°，此时点A到了点，则图中阴影部分的面积是______．
答案：
分析：利用，进行求解即可．
【详解】∵半圆绕B点顺时针旋转得到半圆，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查求阴影部分面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
26．(2023秋·重庆渝北·九年级统考期末）如图，在正方形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为________．（结果不取近似值）
答案：
分析：先求出，再根据扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵正方形，
，
S阴影 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形的面积的计算，综合掌握以上知识点并熟练运用是解题的关键．
27．（2023·广东佛山·校联考一模）如图，曲线和是两个半圆，，大半圆半径为4，则阴影部分的面积是______．
答案：
分析：连接、，则，阴影部分面积为扇形的面积半圆的面积三角形的面积．
【详解】解：如图，连接、，
是半圆的直径，
，且，
，，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了组合图形的面积计算，涉及到扇形面积、三角形面积、半圆的面积的计算，解题的关键是把不规则图形面积计算通过割补的方法转化为规则的已学过的图形面积的计算．
28．(2023·广东佛山·校考模拟预测）如图，在边长为的正方形内部，以各边为直径画四个半圆，则图中阴影部分的面积是_____．
答案：
分析：如图所示：作正方形的对角线，由图可知阴影部分的面积等于正方形面积的由此可得出结论．
【详解】解：如图所示：
故答案为：
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，利用割补法求面积是解答此题的关键．
29．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）解答题
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．
(1)画出向左平移5个单位后的图形，则点的坐标为______．
(2)画出绕顺时针旋转后的图形，则点的坐标为______．
(3)在（2）的条件下，求线段扫过的面积．
答案：(1)详见解析，
(2)详见解析，
(3)
分析：（1）分别确定的三个顶点、、向左平移5个单位后的对应点，，，再顺次连接，，即可，再根据的位置写出其坐标；
（2）分别确定，，绕顺时针旋转后的对应点，，，再顺次连接，，，再根据的位置写出坐标即可；
（3）线段扫过的面积是以为圆心，为半径的圆的面积的，计算可得答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，
由图形可知，；
（2）解：如图所示，即为所求，
由图形可知，；
（3）解：，
线段扫过的面积为：．
【点睛】本题考查了图形的平移和旋转，坐标与图形，扇形面积的计算，熟练掌握“绕非原点作旋转图形”的方法是解题的关键．
30．(2023秋·上海·七年级专题练习）如图，已知是直角三角形，其中．
(1)画出绕点A顺时针方向旋转90°后的；
(2)线段在旋转过程中所扫过部分的周长是 （保留π）；
(3)求线段在旋转过程中所扫过部分的面积（结果保留π）．
答案：(1)见解析
(2)
(3)36π
分析：（1）依据旋转的性质，即可画出绕点A顺时针方向旋转90°后的；
（2）根据旋转的性质得，，，再利用弧长公式计算出弧的长度，弧的长度，所以线段在旋转过程中所扫过部分的周长＝＋弧的长＋＋弧的长；
（3）由于，则，然后利用扇形面积公式和线段在旋转过程中所扫过部分的面积＝﹣进行计算即可．
【详解】（1）如图所示，即为所求．
（2）∵绕A顺时针方向旋转90°后得到，
∴，，，
∴弧的长度，弧的长度，
∴线段在旋转过程中所扫过部分的周长
＝＋弧的长＋＋弧的长
，
故答案为：；
（3）∵，
∴，
∵，
∴线段在旋转过程中所扫过部分的面积
＝﹣
＝﹣
＝36π．
【点睛】本题考查了弧长公式、扇形的面积公式以及旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决问题的关键是利用面积的和差计算不规则图形的面积．
31．（2023秋·广东揭阳·九年级校考阶段练习）如图，在边长为的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点的坐标分别是、绕点逆时针旋转后得到．
(1)画出，直接写出点的坐标；
(2)求在旋转过程中，线段所扫过的面积．
答案：(1)见解析，，
(2)
分析：（1）根据网格结构找出点A，B绕点O逆时针旋转90°后的对应点的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标；
（2）利用勾股定理列式求出，的长，再利用扇形面积公式列式计算即可得解．
【详解】（1）如图，即为所求三角形，，；
（2），，
，
，
则线段所扫过的面积为：
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，扇形的面积，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置和熟记扇形面积公式是解题的关键．
32．(2023秋·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，，，
(1)将绕点顺时针旋转，得△，则点的坐标为 ．
(2)将△向右平移6个单位得△，则点的坐标为 ．
(3)从到△能否看作是绕某一点作旋转变换？若能，则旋转中心坐标为 在旋转变换中所扫过的面积为 ．
答案：(1)
(2)
(3)，
分析：（1）画出旋转后的△，即可得到答案；
（2）根据平移的性质，可得的横坐标为，即可求解；
（3）根据的中垂线的方程与的中垂线，的交点的就是旋转中心，结合网格结构特点，得到答案，根据扇形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：绕点顺时针旋转，得△，如图所示：故的坐标为．
故答案为：；
（2）解：由（1）可知，的坐标为，向右平移6个单位得△，的横坐标向右平移6个单位，即的横坐标为，即点的坐标为．
故答案为：；
（3）解：连接，，的中垂线的方程与的中垂线，的交点的就是旋转中心，坐标为．
,,
,扫过的面积【点睛】本题主要考查坐标与图形，平移，旋转变换的性质，扇形面积公式，根据题意画出变换后的图形是关键．
33．(2023·广东梅州·统考一模）如图，在中，与分别相切于点E，F，平分，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径是2，求图中阴影部分的面积．
答案：(1)证明见解析
(2)
分析：（1）连接，过点O作于点G，如图，由切线的性质得到，再由角平分线的性质得到，由此即可证明是的切线；
（2）连接，过点O作于点G，如图，先证明四边形为正方形．得到．求出，即可求出．证明平分，进而推出，则．即可得到=10．
【详解】（1）证明：连接，过点O作于点G，如图，
∵为的切线，
∴．
∵平分，，
∴．
∴直线经过半径的外端G，且垂直于半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，过点O作于点G，如图，
∵与分别相切于点E，F，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形．
∴．
∵，
∴，
∴．
由（1）知：，
∴，
∵，
∴平分，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
∴，
∴．
∴=10．
【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，正方形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质与判定，求不规则图形面积得到，正确作出辅助线是解题的关键．
34．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交于点E，D为的下半圆弧的中点，连接交于F，若．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．
答案：(1)见解析
(2)
分析：（1）连接、，易得，证明，即可得证；
（2）连接，利用，进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接、，
∵D为弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴是切线；
（2）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴，
在中，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理的推论，切线的判定和性质，求阴影部分的面积．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
35．(2023·江西新余·新余市第一中学校考模拟预测）如图，为等腰三角形，，O是底边的中点，⊙O与腰相切于点D．
(1)求证：与⊙O相切；
(2)已知半径为，，求阴影部分的面积．
答案：(1)证明过程见解析
(2)
分析：（1）过点O作，根据等腰三角形的性质，角平分线的性质得出点O到的距离等于半径即可；
（2）根据正三角形的性质求出圆心角度数，再根据进行计算即可．
【详解】（1）证明：如图，连接、，过点O作，垂足为F，
与⊙O相切于点D，
，
，点O是的中点，
，
，
即点O到的距离等于半径，
是⊙O的切线；
（2）解：∵点O是的中点，，
，
在中，，，
，
，
同理，
，
在中，，，
，
，
答：阴影部分的面积．
【点睛】本题考查正多边形与圆，扇形面积的计算切线的判定和性质，特殊角的三角函数值，掌握切线的判定方法，扇形面积的计算方法以及正多边形与圆的性质是正确解答的前提．
题型4：与圆锥有关的计算
类型1-圆锥侧面积的相关计算
例1：（2023·广东汕头·校考一模）圆锥的底面直径是8，母线长是9，则该圆锥的全面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：圆锥的侧面积底面周长母线长，圆锥的底面积底面半径的平方，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：圆锥的侧面积，
圆锥的底面积，
∴圆锥的全面积，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求圆锥的全面积，熟知圆锥的侧面积和底面积的求法是解题的关键．
例2：（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）圆锥的底面半径为，母线长，则它的侧面展开图的圆心角度数是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：根据圆锥的底面半径求得圆锥的侧面展开扇形的弧长，再利用已知的母线长求得圆锥的侧面展开扇形的面积，再利用扇形的另一种面积的计算方法求得圆锥的侧面展开图的圆心角即可.
【详解】圆锥的底面半径为
圆锥的侧面展开扇形的弧长为
母线长
圆锥的侧面展开扇形的面积为
解得，
侧面展开图的圆心角度数为
故答案选A．
【点睛】本题考查圆锥的底面半径，侧面积，明确圆锥的侧面展开扇形与圆锥的侧面关系解题的关键．
例3：（2023·浙江舟山·校考一模）一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．3B．3.5C．4D．4.5
答案：A
分析：先求出扇形的弧长，再根据扇形的弧长是圆锥的底面周长即可求出答案．
【详解】圆锥的侧面展开图扇形的弧长，
可知圆锥的底面周长是．
设圆锥的底面半径为r，根据题意，得
，
解得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面展开图，掌握圆锥的底面周长是其侧面展开图扇形的弧长是解题的关键．
类型2-实际问题中的圆锥计算
(2023·广西贺州·统考中考真题）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：由圆锥的圆锥体底面半径是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根据园锥、圆柱体积公式可得液体的体积为63πcm3，圆锥的体积为72πcm3，设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：如图，作圆锥的高AC，在BC上取点E，过点E作DE⊥AC于点D，则AB=6cm，AC=6cm，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴CD=DE，
圆柱体内液体的体积为：
圆锥的体积为，
设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，
∴，
∴，
解得：x=3，
即此时“沙漏”中液体的高度3cm．
故选：B．
【点睛】本题考查圆柱体、圆锥体体积问题，解题的关键是掌握圆柱体、圆锥体体积公式，列出方程解决问题．
类型3-圆锥侧面上的最短路径
48．（2023春·九年级课时练习）如图，圆锥的底面半径R＝3，母线l＝5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB＝150°，D为VB上一点，VD＝．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A．3B．4C．D．2
答案：B
分析：易得弧BC的长，然后求得弧BC所对的圆心角的度数，从而得到直角三角形，利用勾股定理求得CD的长即可．
【详解】解：如图:
∵，
∴设弧所对的圆心角的度数为n，
∴，
解得，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．解题的关键是理解并掌握圆锥的弧长等于底面周长．
综合训练
1．（2023春·全国·九年级专题练习）已知圆锥的底面半径为，设圆锥的母线与高的夹角为（如图所示），且的值为，则侧面积为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
分析：由题意可知圆锥母线长为，求出底面圆周长，再由圆锥侧面展开图是一个扇形，利用扇形面积公式求解即可得到答案．
【详解】解：的值为，圆锥的底面半径为，
母线长为，
底面圆周长为，
圆锥的侧面积，
故选：C．
【点睛】本题考查求圆锥侧面积，涉及三角函数求边长、圆周长及扇形面积公式，熟记圆锥侧面展开图是一个扇形是解决问题的关键．
2．(2023秋·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期末）某圆锥的三视图如图所示，由图中数据可知，该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：根据三视图得出圆锥的高和底面圆的半径，再根据圆锥的体积公式计算即可．
【详解】解：观察三视图得：这个圆锥的高为，底面圆的半径为，
所以圆锥的母线长，
所以圆锥的侧面积，
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图以及圆锥体积公式的知识，三视图得出圆锥的高和底面圆的半径是解题的关键．
2．（2023秋·广西河池·九年级统考期末）如图所示的扇形纸片的半径为5，用它围成一个圆锥的侧面，若该圆锥的高为3，则该圆锥的底面周长是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：根据勾股定理求出圆锥的底面半径，再根据圆的周长公式计算，即可得到答案．
【详解】解：扇形纸片的半径为5，
圆锥的母线长为5，
圆锥的高为3，
圆锥的底面半径为：，
圆锥的底面周长为，
故选：A．
【点睛】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
4．（2023秋·云南昆明·九年级统考期末）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：根据圆锥底面圆的周长是侧面展开图扇形的弧长，列式计算即可．
【详解】解：设底面圆的半径为，母线长为，
由题意，得：，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查求圆锥的母线长．熟练掌握圆锥底面圆的周长是侧面展开图扇形的弧长，是解题的关键．
5．(2023春·九年级课时练习）已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，如果一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则最短路线长为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：把圆锥的侧面展开，易得展开图是一个半圆，在平面内求出线段BD的长，则此时便是最短路线长，这只要在直角三角形中应用勾股定理解决即可．
【详解】∵圆锥的底面周长为2π
∴圆锥的侧面展开后的扇形的圆心角为，如图
∴∠BAD=90゜
∵D为AC的中点
∴
在Rt△BAD中，由勾股定理得
即最短路线长为
故选：A
【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，扇形弧长公式，本题体现了空间问题平面化，这是一种重要的数学思想方法．
6．（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）一个圆锥的底面直径是，母线长为，则该圆锥的侧面积为__________（结果保留）．
答案：
分析：根据圆锥的侧面积公式，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算，解题的关键是牢记圆锥的侧面积的计算公式．
7．(2023秋·山西大同·九年级统考期末）若一个圆锥的主视图是边长为的等边三角形，则该圆锥的表面积（侧面加底面）是______．（结果保留π）
答案：
分析：根据视图的意义得到圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，然后根据圆锥的表面积=圆锥的侧面积+圆锥的底面积求解即可．
【详解】解：根据题意得圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，
所以这个圆锥的表面积．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
8．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）将一个底面直径为6cm，母线长为10cm的圆锥沿一条母线剪开，所得的侧面展开图的面积为_____cm2．
答案：
分析：根据圆锥的侧面积公式求解即可．
【详解】∵将一个底面直径为6cm，母线长为10cm的圆锥沿一条母线剪开，
∴圆锥侧面积为：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了圆锥的侧面积公式．掌握圆锥的侧面积=π×底面圆的半径×母线长是解题关键．
9．（2023·广西河池·校考模拟预测）小宇同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为，底面半径为3的圆锥模型，则此圆锥的母线长为_____．
答案：
分析：设此圆锥的母线长为l，利用扇形的面积公式得到，然后解方程即可得出答案．
【详解】解：设此圆锥的母线长为l，
根据题意得，
解得l＝10，
所以此圆锥的母线长为10．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确记忆圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题关键．
10．（2023春·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，是正五边形的外接圆，半径为5，若用扇形（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是______．
答案：2
分析：根据圆的内接正多边形的性质可得的长度为周长的，再根据的长度为圆锥底面周长，列出方程求解即可．
【详解】解：设这个圆锥底面圆的半径是r，
∵是正五边形的外接圆，
∴，
解得：．
∴这个圆锥底面圆的半径是2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了圆的内接正多边形，求圆锥底面半径，解题的关键是根据题意得出的长度为圆锥底面周长．
11．(2023春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）已知圆锥的母线长为4，其侧面积为，则它的底面圆的半径等于 _____．
答案：1.5
分析：根据圆锥侧面展开图的面积，再代入计算即可．
【详解】解：设底面半径为r，则底面周长，圆锥的底面周长等于扇形的弧长，即圆锥侧面积，
解得．
故答案为：1.5．
【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积，掌握圆锥的底面周长和扇形的弧长的关系是解题的关键．
12．(2023秋·山东淄博·九年级统考期末）已知圆锥的高为，母线长为，则圆锥侧面展开图的圆心角为__________．
答案：##216度
分析：设圆锥侧面展开图的圆心角为，先利用勾股定理计算出圆锥的底面圆的半径为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．则根据弧长公式得到，然后解关于的方程即可．
【详解】解：设圆锥侧面展开图的圆心角为，
圆锥的底面圆的半径，
根据题意得，
解得，
即圆锥侧面展开图的圆心角为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
13．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图是一顶由扇形纸板围成的圆锥形生日帽，阴影部分是扇形纸板重叠的部分（用于黏贴）．已知生日帽的母线长为25cm，高为24cm，长为，则原扇形纸板的圆心角度数为______°．
答案：108
分析：根据圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面周长计算．
【详解】解∶圆锥的底面半径为，底面周长为，
设原扇形纸板的圆心角度数为度，
解得．
故答案为∶108
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
14．(2023秋·云南红河·九年级统考期末）如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥形状帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为_________．
答案：##度
分析：设侧面展开扇形的圆心角为，则，代入数据即可求解．
【详解】设侧面展开扇形的圆心角为，则
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求圆锥侧面展开扇形的圆心角，掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．
15．（2023春·湖北省直辖县级单位·九年级统考阶段练习）已知圆锥底面圆的周长为，圆锥的母线为3，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为_____．
答案：##度
分析：根据圆锥底面圆周长是其展开图的扇形弧长进行求解即可
【详解】解：设该圆锥的侧面展开图的圆心角为，
由题意得，，
∴，
∴该圆锥的侧面展开图的圆心角为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求圆锥侧面展开图的圆心角度数，熟知圆锥底面圆周长是其展开图的扇形弧长是解题的关键．
16．（2023秋·内蒙古呼和浩特·九年级校考期末）已知圆锥的母线长为13，高为12，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为_______．（用含π的代数式表示），圆心角为______度．
答案： ，
分析：根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式求解．
【详解】解：设底面圆的半径为，
由勾股定理得：，
∴，
根据题意得，
解得，
即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
17．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，母线长，则侧面展开图的圆心角的度数为______．
答案：##90度
分析：先根据条件求出侧面展开图（扇形）的面积，在根据扇形面积公式求角度即可．
【详解】解：圆锥的侧面积公式为
将，代入公式得：
代入数据解得：
故答案为
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积与扇形各元素的关系，相关知识点有：圆锥的侧面积公式、扇形的面积公式，熟记公式是解题的关键．
18．（2023秋·湖北武汉·九年级武汉市卓刀泉中学校考阶段练习）如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为_____________．
答案：##
分析：先画出圆锥侧面展开图（见解析），再利用弧长公式求出圆心角的度数，然后利用等边三角形的判定与性质、勾股定理可得，最后根据两点之间线段最短即可得．
【详解】画出圆锥侧面展开图如下：
如图，连接、，
设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为，
因为圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于母线长，
所以，
解得，
则，
又，
是等边三角形，
点为的中点，
，，
在中，，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁爬行的最短路程为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图、弧长公式、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆锥侧面展开图是解题关键．
19．(2023秋·重庆·八年级校考期中）如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点，将圆锥沿母线剪开，其侧面展开图如图2所示，若，，则蚂蚁爬行的最短距离是____________．
答案：6
分析：连接，作于点，根据题意，结合两点之间线段最短，得出即为蚂蚁爬行的最短距离，再根据三角形的内角和定理，得出，再根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据勾股定理，得出，再根据三线合一的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，进而即可得出结果．
【详解】解：如图，连接，作于点，
∴即为蚂蚁爬行的最短距离，
∵，，
∴，
在中，
∵，，
∴，
∴，
在中，
∵，，
∴，
∴，
∴蚂蚁爬行的最短距离为．
故答案为：
【点睛】本题考查了圆锥侧面上最短路径问题、三角形的内角和定理、直角三角形的特征、勾股定理、三线合一的性质，解本题的关键在正确作出辅助线和熟练掌握相关的性质、定理．
20．(2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，已知圆锥的底面半径是，母线长是．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是________．
答案：18
分析：连接AC，过B作BD⊥AC于D，设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角∠ABC为n．利用弧长公式可求出n的值，根据两点间线段最短可得AC为这根绳子的最短长度，根据等腰三角形的性质，利用∠CBD的正弦值求出AC的长即可得答案．
【详解】如图，连接AC，过B作BD⊥AC于D，设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n．
∵两点间线段最短，
∴AC为这根绳子的最短长度，
∵圆锥的底面半径是，
∴，
∴=，
解得：，
∵BD⊥AC，BC=AB，
∴∠CBD=∠ABC=60°，CD=AC，
∴CD=BC·sin60°=×=9，
∴AC=2CD=18，
故答案为：18
【点睛】此题考查了圆锥的计算、等腰三角形的性质及特殊角的三角函数值，熟练掌握圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等并熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
21．(2023春·九年级课时练习）如图，圆锥的底面圆直径为，母线长为，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为________．
答案：
分析：将圆锥的侧面展开，是一个扇形，AC就是小虫爬行的最短路程，利用弧长与圆心角的公式，求展开图的圆心角，R=4，l=2πr=2π,可求出n的大小，由于n=90º，利用勾股定理可求AC的长即可．
【详解】把圆锥的侧面展开，弧长是2πr=2π，母线AS=4，
侧面展开的圆心角，n=90º即∠ASC=90º，
C为SD的中点SD=4，
线段AC是小虫爬行的最短距离，
在Rt△SAC中，由勾股定理的AC=，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆锥侧面的最短路径问题，掌握弧长公式，会利用弧长与圆锥底面圆的关系确定侧面展开图的圆心角，会用勾股定理求出最短路径是解题关键．
22．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装雷要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，，将扇形EAF围成圆锥时，AE，AF恰好重合，已知圆锥的底面圆直径，母线长．
(1)求这种加工材料的顶角的大小．
(2)求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留）
答案：(1)
(2)
分析：（1）设，根据圆锥侧面展开图的扇形面积公式，即可求解；
（2）分别求得和扇形的面积，进而即可求解．
【详解】（1）解：设，依题意，
∴，
∴；
（2）解：设加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积为，
∵，是等腰直角三角形，
∴，
∴,
∴
【点睛】本题考查了圆锥侧面积公式，扇形面积公式，掌握扇形面积公式是解题的关键．
23．(2023春·九年级课时练习）如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的半径为4m，高为3m．
(1)求这个圆锥的母线长；
(2)为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？（π取3.14，结果精确到1m2）
答案：(1)5m(2)63m2
分析：（1）如图，构造Rt，为圆锥的高，为圆锥底面圆的半径，为圆锥的母线长，根据勾股定理进而得出结论；
（2）先求出顶部圆锥的底面圆周长，再求出圆锥的侧面积即可求出所需油毡的面积．
【详解】（1）如图，圆锥的轴截面为，
为圆锥的高，为圆锥底面圆的半径，为圆锥的母线长，
由题意可知，m，m，
∴母线长m；
（2）顶部圆锥的底面圆周长为m，
∴圆锥的侧面积为m2，
∴所需油毡的面积至少是m2．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积和顶部圆锥的底面圆周长，正确掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．
24．（2023秋·九年级课时练习）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：），电镀时，如果每平方米用锌，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用多少锌？
答案：11.44πkg
分析：由图形可知，浮筒的表面积＝2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积，由题给图形的数据可分别求出圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，即可求得浮筒表面积，又已知每平方米用锌0.11kg，可求出一个浮筒需用锌量，即可求出100个这样的锚标浮筒需用锌量．
【详解】解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为400mm=0.4m，
圆锥的高为300mm=0.3m，
则圆锥的母线长为：＝0.5m．
∴圆锥的侧面积＝π×0.4×0.5＝0.2π（m2），
∵圆柱的高为800mm=0.8m．
圆柱的侧面积＝2π×0.4×0.8＝0.64π（m2），
∴浮筒的表面积＝＝2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积，＝1.04π（m2），
∵每平方米用锌0.11kg，
∴一个浮筒需用锌：1.04π×0.11kg，
∴100个这样的锚标浮筒需用锌：100×1.04π×0.11＝11.44π（kg）．
答：100个这样的锚标浮筒需用锌11.44πkg．
【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算和圆柱侧面积的计算在实际问题中的运用，解题的关键是了解几何体的构成，熟记侧面积公式．
25．（2023秋·九年级课时练习）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如果想用毛毡搭建20个底面积为，高为，外围高的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（取3.142，结果取整数）？
答案：
分析：先利用勾股定理计算出圆锥母线l的长，再计算圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，然后计算20个蒙古包所需毛毡的面积．
【详解】解：如图是一个蒙古包的示意图．
根据题意，下部圆柱的底面积为，高；上部圆锥的高．
圆柱的底面圆的半径，
侧面积为．
圆锥的母线长，
侧面展开扇形的弧长为，
圆锥的侧面积为．
因此，搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡．
【点睛】本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．注意在取近似值时需需面积应该用收尾法．
26．(2023秋·辽宁葫芦岛·九年级校考阶段练习）如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如．
(1) ， ，的取值范围是 ；
(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，）
答案：(1)
(2)20.7
分析：（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可；
（2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据的定义即可解答．
【详解】（1）解：如图1，
，则，
∴，
如图2，
，作于D，则，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：∵圆锥的底面直径，
∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为，
设扇形的圆心角为，
则，解得，
∵，
∴蚂蚁爬行的最短路径长为．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，掌握相关性质定理和的定义是解本题的关键．
27．(2023秋·江苏泰州·九年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为．
(1)求它的侧面展开图的圆心角；
(2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？
答案：(1)
(2)
分析：（1）根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解即可；
（2）画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可．
（1）
解：设它的侧面展开图的圆心角为，
根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得：
，
又∵．
，
解得：．
∴它的侧面展开图的圆心角是90°；
（2）
根据侧面展开图的圆心角是90°，画出展开图如下：
根据两点之间，线段最短可知AB为最短路径，
，B为的中点，
由（1）知
∴
∴它所走的最短路线长是．
【点睛】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键．
28．(2023春·全国·九年级专题练习）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4．
（1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数．
（2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬过的最短距离．
答案：（1）90°；（2）4
分析：（1）利用侧面展开图是以4为半径，2π为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角，进而即可求解；
（2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得蚂蚁爬行的最短距离为AC的距离，进而即可求解．
【详解】解：（1）设∠ABC的度数为n，底面圆的周长等于2π×1＝，解得n＝90°；
（2）连接AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD＝45°．
∴是等腰直角三角形，
∵AB＝4，
∴AD＝BD＝4÷=2，
∴AC＝2AD＝4，
即这只蚂蚁爬过的最短距离4．
【点睛】此题考查了圆锥的侧面展开图弧长的计算；得到圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解决本题的关键．