中考数学一轮大单元复习专题4.5相似三角形重难点题型讲练(7大题型，100题)(讲练)(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮大单元复习专题4.5相似三角形重难点题型讲练(7大题型，100题)(讲练)(原卷版+解析)，共180页。
类型1-相似多边形的判定
（2023秋·江西宜春·九年级校考期末）甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对
类型2-相似多边形的性质
(2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形．
(1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由．
(2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式．
综合训练
1．(2023秋·河北邢台·九年级校考阶段练习）甲说：“将三角形各边向内平移1个单位长度并适当缩短，得到如图1所示的图形，变化前后的两个三角形相似．”
乙说：“将菱形各边向内平移1个单位长度并适当缩短，得到如图2所示的图形，变化前后的两个菱形相似．”
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对
2．（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，有三个矩形，其中是相似图形的是（ ）
A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．甲、乙和丙
3．（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）两个大小不一的五边形和五边形如图所示放置，点F在线段上，点H在线段上，对应连接并延长刚好交于一点O，则这两个五边形的关系是（ ）
A．一定相似B．一定不相似C．不一定相似D．不能确定
4．（2023秋·河北张家口·九年级校考阶段练习）将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则新图形与原图形相似的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．(2023秋·贵州铜仁·九年级校考期中）下列说法错误的是（ ）
A．任意两个正方形一定相似B．任意两个等边三角形一定相似
C．任意两个菱形一定相似D．任意两个等腰直角三角形一定相似
6．（2023秋·宁夏银川·九年级银川市第三中学校考期末）将等边三角形，菱形，矩形，正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的4组图形，变化前后的两个多边形一定相似的有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
7．(2023春·广东河源·九年级校考期末）若如图所示的两个四边形相似，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，中，，于，矩形、矩形的顶点分别在、的三边上，且矩形矩形．已知下列某个选项中的线段之比可求两矩形的相似比，则这个选项是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）一个大矩形按如图方式分割成五个小矩形后仍是中心对称图形，且矩形矩形．设矩形与矩形的面积分别为m和n，则这个大矩形的面积一定可以表示为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，在平行四边形中，点分别在边上，，四边形四边形，相似比，则下列一定能求出面积的条件（ ）

A．四边形和四边形的面积之差B．四边形和四边形的面积之差
C．四边形和四边形的面积之差D．四边形和四边形的面积之差
11．(2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，梯形中，E、F分别为、两腰上的点，且．若，，且梯形与梯形相似，则与的比值为（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·河北衡水·校考二模）将边长为2的正六边形按照如图所示的方式向外扩张，得到新的六边形，它们的对应边的距离均为．
（1）新的六边形与原六边形_____；（填“相似”或“不相似”）
（2）扩张后六边形的周长比原来增加了______．
13．(2023秋·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考期末）如图，矩形中，，剪去一个矩形后，余下的矩形矩形，则的长为___________．
14．(2023秋·浙江·九年级专题练习）矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶
(1)若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？
(2)若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存在，请求出的值，并判断E点在边上位置的特殊性；若不存在，试说明理由．
15．（2023·陕西西安·校考一模）如图1，矩形的一边落在矩形的一边上，并且矩形矩形，其相似比为，矩形的边，．
(1)矩形的面积是 ；
(2)将图1中的矩形绕点逆时针旋转90°，若旋转过程中与夹角（图2中的）的正切的值为，两个矩形重叠部分的面积为，求与的函数关系式；
(3)将图1中的矩形绕点逆时针旋转一周，连接、，的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．
题型2：相似三角形的判定
类型1 添加条件证明三角形相似
（2023秋·江苏宿迁·九年级统考期末）如图，要使，还需要添加一个条件，你添加的条件是____________（只写一种情况即可）．
类型2证明三角形相似
(2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）如图，点为边上一点，连接，，，．
求证：．
类型3网格图中的三角形相似
(2023秋·浙江杭州·九年级杭州市十三中教育集团（总校）校联考期末）如图，的顶点均为网格中的格点．
(1)选择合适的格点（包括边界）为点D和点E，请画出一个，使（相似比不为1）．
(2)证明：．
综合训练
1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·安徽蚌埠·九年级校考阶段练习）如图，在和中，，要使与相似，还需要添加一个条件，这个条件是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E．
下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学：；
乙同学：若，则；
丙同学：当时，D为的中点．
则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲同学正确B．乙和丙同学都正确
C．甲和丙同学正确D．三个同学都正确
4．(2023秋·贵州贵阳·九年级统考期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
5．(2023秋·福建宁德·九年级统考阶段练习）如图，点P是的边上一点，连接，以下条件中，不能判定的是（）
A．B．
C．D．
6．(2023秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，、分别是、上两点，与相交于点，下列条件中不能使和相似的是（ ）
A．B．
C．，D．
7．（2023秋·河北保定·九年级校考期末）如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023秋·广西贺州·九年级统考期末）如图，在四边形中，与相交于点O，则下列三角形中，与一定相似的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023秋·四川乐山·九年级统考期末）如图，在中，是斜边上的高，于点．除自身外，图中与相似的三角形的个数是___________．
10．(2023·广东汕头·一模）如图所示，在正方形中，是上的点，且，是的中点．
(1)与是否相似？为什么？
(2)试问：与有什么关系？
11．（2023·江苏宿迁·统考一模）如图，是的内接三角形，点D是的中点，弦交于点E．与相似吗？为什么？
12．（2023秋·广东河源·九年级校考期末）如图，，与交于点E.
(1)
(2)若，，，求的长；
13．(2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）如图，已知，，且，将边反向延长至点D，使，连接．
(1)求证：；
(2)求的长．
14．（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）如图，四边形ABCD中，，，．
(1)尺规作图：在上求作一点E，使得；（保留作图的迹，不写作去）
(2)在（1）的条件下，连接DE．求证：．
15. （2023秋·江苏徐州·九年级统考期末）如图，在中，C、D为边上的两个动点，．

(1)若，则与相似吗?为什么?
(2)若（即C、D重合），则_______°时，；
(3)当和满足怎样的数量关系时，?请说明理由．
题型3：相似三角形的性质
(2023秋·陕西西安·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且．
(1)直接写出___________，___________
(2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标．
综合训练
1．(2023·辽宁营口·一模）如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若， ，则_____．
2．（2023春·辽宁本溪·九年级统考开学考试）如图，点，，点是第一象限内一动点，且，若与相似，则的长为______．
3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，点为边的中点，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点．求证：．
4．(2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）如图，是的内接三角形，是的中点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
5．（2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）如图1，为等边三角形，，点D为边上的动点（点D不与点B，C重合），且，交边于点E．
(1)求证：；
(2)如图2，当D运动到的中点时，求线段的值；
6．（2023·安徽淮北·校联考一模）如图，四边形中，对角线，相交于点，且，．
(1)若，求证：；
(2)求证：；
(3)若平分，，，求的长．
题型4：与相似三角形有关的动点问题
类型1-双动点问题
（2023·山东青岛·统考一模）如图，在矩形中，，，动点P从点D出发沿向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线向终点C运动．过点P作，交于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为，解答下列问题：
(1)当E、Q重合时，求t的值；
(2)设四边形的面积为S，当线段在点Q右侧时，求出S与t之间的函数关系式；
(3)当时，求t的值；
(4)是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．
类型2-动图问题
（2023秋·四川乐山·九年级统考期末）如图，正方形的边与矩形的边重合，将正方形以秒的速度沿方向移动，移动开始前点与点重合．已知正方形的边长为，，，设正方形移动的时间为秒，且．
(1)当______秒时，；
(2)若以、、为顶点的三角形同相似，求的值；
(3)过点作交于点，连接．
①若的面积为，的面积为，则的值会发生变化吗？请说明理由；
②当线段所在直线与正方形的对角线垂直时，求线段的长．
综合训练
1．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）如图，中，，，．点P从点C出发沿折线CA-AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，点1从点B出发沿BC-CA-AB以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达点B时停止运动，另一点也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（）．
发现：
(1)___________；
(2)当点P，Q相遇时，相遇点在哪条边上？并求出此时AP的长．
探究：
(3)当时，的面积为___________；
(4)点P，Q分别在AC，BC上时，的面积能否是面积的一半？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
拓展：
(5)当时，求出此时t的值．
2．（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒3个单位的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接，，．设运动时间为t秒（）．
(1)点P的坐标为______，点Q的坐标为______（用含t的代数式表示）；
(2)请判断四边形的面积是否会随时间t的变化而变化，并说明理由；
(3)若以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，请直接写出t的值．
3．(2023·河北保定·保定十三中校考二模）如图，中，，，．动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿方向绕行一周，与垂直的动直线从开始．以每秒1个单位长度的速度向右平移，分别交，于，两点．当点运动到点时，直线也停止运动，设点的运动时间为秒．
(1)当点P在上运动时，过点作于F，
①当时，求证：；
②设的面积为S，用含t的代数式表示S，并求当t为何值时，S有最大值；
(2)当直线l等分的面积时求t的值，并判断此时点P落在的哪条边上；
(3)直接写出时t的值．
4．（2023·全国·九年级专题练习）如图1，，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向点运动，点同时从点出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．
(1)求的长．
(2)当以点、、为顶点的三角形与相似时，求的值．
(3)如图2，将本题改为点从点出发以每秒3个单位长度的速度在上向点运动，点同时从点出发向点运动，其速度是每秒2个单位长度，其它条件不变，求当为何值时，为等腰三角形．
5．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图1，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿边以每秒2个单位的速度向点B运动，同时，动点Q从点B出发，沿匀速向终点D运动，点P、Q同时到达终点，与交于点E．过点B作于点F．设点P、Q的运动时间为t秒．
(1)求点Q的运动速度．
(2)如图2，当点Q与点C重合时，求的长．
(3)在点P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得以B、E、F为顶点的三角形与相似？若存在，求运动时间t的值；若不存在，请说明理由．
6．(2023秋·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图1，在中，，，点P、Q分别在射线、上（点P不与C，B重合），且保持．
(1)若P在线段上，求证：；
(2)设、，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)如图2，正方形的边长为4，点P、Q分别在直线、上（点P不与C，B重合），且保持，当时，直接写出的长．
7．(2023·广东东莞·东莞市横沥中学统考一模）如图甲，在中．．．．如果点由点出发沿方向向点匀速运动．同时点由点出发沿方向向点匀速运动．它们的速度均为每秒钟1个单位长度．连接，设运动时间为秒钟．
(1)设的面积为，当实数为何值时，取得最大值？的最大值是多少？
(2)在（1）的前提下．当取得最大值时．把此时的沿射线以每秒钟1个单位长度的速度平移，当点平移至与点重合时停止，写出平移过程中，与的重叠部分面积与平移时间的函数解析式，并写出对应的的取值范围；
(3)如图乙，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，求实数的值．
8．(2023秋·陕西西安·九年级校考期中）综合与探究：已知：如图①，在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；连接．若设运动的时间为，解答下列问题：
(1)当时，求的值；
(2)点，同时出发，为何值时，以，，为顶点的三角形与相似；
(3)如图②，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，直接写出此时的值；若不存在，说明理由，（不写求解过程）
9．(2023秋·河北邯郸·九年级邯郸市第二十三中学校考期末）如图（1），在四边形中，，，，，动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为，．
(1)用含的代数式表示；
(2)当以点、、为顶点的三角形与相似时，求的值；
(3)如图（2），延长、，两延长线相交于点，当为直角三角形时，直接写出的值．
题型5：用相似三角形性质解决实际问题
（2023秋·河北邯郸·九年级校考期末）某数学兴趣小组的名同学利用课余时间想要测量学校里两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们合作完成了以下工作：
(1)测得一根长为米的竹竿的影长为米，甲树的影长为米（如图1）．
(2)测量的乙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图2），测得落在地面上的影长为米，一级台阶高为米，落在第一级台阶的影子长为米，
①甲树的高度为______米，
②图3为图2的示意图，请利用图3求出乙树的高度．
综合训练
1．（2023·河北秦皇岛·模拟预测）九章算术记载“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方有几何？”意思是：如图，点、点分别是正方形的边、的中点，，，过点，且步，步，则正方形的边长为( )
A．步B．步C．步D．步
2．（2023春·辽宁本溪·九年级统考开学考试）《海岛算经》是我国最早的一部测量数学专著，书中第一个问题的大意是：如图，要测量海岛上一座山峰的高度，立两根长度相等的标杆和，两杆之间的距离步，，，共线；从到走123步，此时A，，三点共线；从到走127步，此时A，，三点共线．计算山峰的高度及的长．若设步，所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）可测量零件的内孔直径．如果，且量得，则零件的厚度x为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·广东佛山·统考一模）如图，周一某校升国旗时，甲、乙两名同学分别站在、的位置时，乙的影子刚好在甲的影子里边，已知甲身高为米，乙身高为米，甲的影长是6米，则甲、乙同学相距______米．
5．（2023秋·湖北随州·九年级统考期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高为______．
6．（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，数学实践课上，老师布置任务如下：让小明站在B点处去观测外的位于D点处的一棵大树，所用工具为一个平面镜P和必要的长度测量工具（点B，P，D在同一条直线上）．已知小明眼睛距地面，大树高，当小明与平面镜相距______m时，恰好能从平面镜里观测到大树的顶端．
7．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）《海岛算经》中记载：“今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何．”其大意是：如图，为了求海岛上的山峰的高度，在处和处树立高都是3丈丈步）的标杆和，，相隔1000步，并且，和在同一平面内，从处后退123步到处时，，，在一条直线上；从处后退127步到处时，，，在一条直线上，则山峰的高度为 _____步．
8．（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考开学考试）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为米，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为______米．
9．(2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图1是一个家用折叠梯子，使用时四个踏板都是平行于地面且全等的矩形，已知踏板宽，，将踏板往上收起时（如图2），点A与点F重合，此时，踏板可以看作与支架重合，将梯子垂直摆放时，点A离地面的高度为____________．图3是图1的简略视图，若点H恰好在点A的正下方，此时点A到地面的高度是____________．
10．（2023·陕西西安·西北大学附中校考三模）小延想要测量学校教学楼的高度，他站在N点处时，视线通过旗杆的顶端与顶楼的窗子下沿C重合，他向前走到点G处时，视线通过旗杆的顶端与楼顶A重合，已知小延的眼睛与地面的距离米，米，米，米，米，、、、均与地面垂直，且在同一平面内，请你根据以上数据计算教学楼的高度．
11．（2023·陕西宝鸡·统考一模）小明和小华利用学过的知识测量操场旗杆的高度，测量时，小明让小华站在点B处，此时，小华影子的顶端E与旗杆的影子C顶端重合，且的长为2米；小明又让小华沿着射线的方向走15.2米到达旗杆的另一侧N处，此时，小华观测到旗杆顶端C的仰角为，已知小华的身高为1.8米，请你根据相关测量信息，计算旗杆的高度．
12．（2023春·广东揭阳·九年级普宁二中实验学校校考阶段练习）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高，如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为米，的影长为米，小明的影长为米，其中、、、、五点在同一直线上，、、三点在同一直线上，且，，已知小明的身高为米，求旗杆的高．
13．（2023·陕西西安·统考一模）某数学兴趣小组决定利用所学知识测量一古建筑的高度．如图2，古建筑的高度为，在地面上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且古建筑，标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到D处（即），从D处观察A点，A、F、D三点成一线；从标杆后退到C处（即），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出该古建筑的高度．
14．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图，道路l的正上方挂有一盏路灯M，把路灯M看成一个点光源，路灯M到道路l的距离为，晚上，一名身高为的小女孩沿着道路l散步，从A处径直向前走到达C处．已知小女孩在A处影子的长为，在C处影子的长为，求小女孩的身高．
15．（2023秋·河北唐山·九年级校考期末）某校九年级一班的一节数学活动课安排了测量操场上竖直的悬挂国旗的旗杆的高度．甲、乙、丙三个学习小组设计的测量方案如图所示：甲组测得图中米，米，米；乙组测得图中，米，同一时刻影长米，米；丙组测得图中，，，米，米，人的臂长为0.6米，请你任选两种方案，利用实验数据求出该校旗杆的高度．
题型6：位似图形
类型1 与图形位似有关的计算
（2023秋·四川眉山·九年级统考期末）如图，与位似，点为位似中心，已知，的面积为2，则的面积为______．
类型2 位似图形的作图
(2023秋·山东济宁·九年级统考期末）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，为平面直角坐标系的原点，矩形的4个顶点均在格点上，连接对角线．
(1)在平面直角坐标系内，以原点为位似中心，把缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与的相似比等于；
(2)在（1）的条件下，若是边上任意一点，则变换后点P的对应点的坐标为 ．
例10.（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE=DF，连接AE、AF、EF．
(1)求证△ABE≌△ADF；
(2)若AE=5，请求出EF的长．
综合训练
1．（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）如图，平面直角坐标系中，与关于原点位似，，若四边形的面积为4，则四边形的面积为（ ）
2．(2023春·黑龙江大庆·八年级大庆市第六十九中学校考期中）如图，在中，三个顶点的坐标分别是，，．以点C为位似中心，在x轴下方作的位似图形，并把的边长放大为原来的2倍，那么点的坐标为_______．
3．（2023秋·海南海口·九年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，是的边上一点．
(1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为，并分别写出点、的对应点、的坐标；
(2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，并写出点、的对应点、的坐标；
(3)判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标．
4．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，，O，A，C三点在同一直线上，，则点C的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点的坐标为，若点、、的坐标分别是、、．则点的对应点的坐标是（ ）
6．（2023春·湖南长沙·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，将扩大为原来的4倍，则点A的对应点的坐标是（ ）
A．B．
C．或D．或
7．(2023秋·四川成都·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A．B．C．或D．或
8．（2023秋·贵州六盘水·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（ ）
A．B．C．D．
9．(2023秋·重庆北碚·九年级西南大学附中校考开学考试）在平面直角坐标系中，点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A．B．C．或D．或
10．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）如图，平面直角坐标系中点是的边上的任意一点．
(1)以点为位似中心，在M点的右侧把△按放大得，画出；直接写出的边上与点的对应点的坐标．
(2)将绕逆时针转90º得，画出，求旋转过程中线段在平面上扫过部分的面积（用表示）
11．（2023秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知与位似，的顶点坐标分别是，，，的顶点坐标分别是，，．
(1)若位似中心为，请写出点的坐标为______；
(2)以点为位似中心，作的位似图形，使与的相似比为．请在图中画出符合要求的的图像并写出的坐标．
12．（2023·安徽合肥·校考一模）在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
(1)作关于点C成中心对称的；
(2)以为位似中心，在图中画出将面积放大4倍后的，计算的面积并直接写出点的坐标．
13．(2023秋·安徽蚌埠·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)以原点O为位似中心，位似比为，在第二象限画出放大后的图形，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标；
(2)点是线段BC上的一点，请直接写出点D经过（1）的变化后对应点的坐标．
14．（2023·四川成都·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）．
(1)将先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到，请在平面直角坐标系中画出平移后的．
(2)请以O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（__________，__________）；点的坐标为（__________，__________）．
15．（2023秋·吉林长春·九年级统考期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．
(1)在图①中的线段上找一点D，线段上找一点E，连接，使是的中位线，并直接写出线段的长．
(2)在图②中，以点A为位似中心，作的位似，使与的面积比为．
题型7：相似三角形的性质与判定的综合应用
(2023秋·浙江·九年级期末）在中，，点D在直线上，连结，以为边作等腰直角（点E在直线右侧），连结．
（1）如图1，若，且点D在边上，求证：；
（2）如图2，若，且，，求的长；
（3）如图3，若点D在的延长线上，，相交于点F，设的面积为，的面积为，的面积为，则，请说明理由．
综合训练
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）如图1，已知：内接于圆O，，连接并延长，交于点D．
(1)求证：
(2)如图2，过点B作于点E，交圆O于点F，交于点G，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接DE，，，求DE的长．
2．（2023秋·河北承德·九年级统考期末）如图，某水果的横断面是以为直径的半圆，其中水面截线，嘉琪在处测得垂直站立于处的爸爸头顶的仰角为，点的俯角行为，已知爸爸的身高为1.7m
(1)求大小及的长；
(2)图中线段表示最大水深，并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：取4，取4.1）
3．(2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）【基础探究】（1）如图①，在中，为上一点，，交延长线于点，若，求的长．
【拓展延伸】（2）如图②，在中，为上一点，，交延长线于点，，， ，则 ．
【拓展延伸】（3）如图③，点为四边形内部一点，且有，，于点，为上一点，，若，，则的面积为 ．
4．(2023·安徽·九年级专题练习）如图，在中，，为上一点，经过点的分别交，于点，，与相切于点，连接，相交于点．
(1)求证：平分；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
5．(2023·重庆·模拟预测）在等腰直角中，，，外有一点D满足，BD与AC相交于点E，连接CD．
(1)如图1，若，，求BD的长；
(2)如图2，点F为BD上一点，连接CF，点G为CF的中点，连接DG，若，猜想BF与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，在（2）问条件下，当F为BD的中点时，将沿直线AB翻折至所在平面内，得，连接、，AG，请直接写出的比值．
6．(2023春·全国·九年级期末）如图，四边形ABCD是矩形．
(1)如图1，E、F分别是AD、CD上的点，BF⊥CE，垂足为G，连接AG．
①求证：＝．
②若G为CE的中点，求证：sin∠AGB＝；
(2)如图2，将矩形ABCD沿MN折叠，点A落在点R处，点B落在CD边的点S处，连接BS交MN于点P，Q是RS的中点．若AB=2，BC=3，求PS+PQ的最小值．
7．（2023秋·福建漳州·九年级福建省诏安第一中学校考期中）如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，，交BD于点F．
(1)如图1，直按写出的值_______；
(2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为，当为何值时EA=ED?请在图3或备用图中画出图形并求出的值．
8．(2023春·全国·九年级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，弦AD平分∠BAC，过点D作射线AC的垂线，垂足为M，点E为线段AB上的动点．
(1)求证：MD是⊙O的切线；
(2)若∠B＝30°，AB＝8，在点E运动过程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由；
(3)若点E恰好运动到∠ACB的角平分线上，连接CE并延长，交⊙O于点F，交AD于点P，连接AF，CP＝3，EF＝4，求AF的长．
9．(2023秋·湖南永州·九年级统考期中）如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结，当与相似时，求的长．
10．（2023·安徽·九年级专题练习）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）求证EG2＝GF•AF；
（3）若AG＝3，EG＝，求BE的长．
11．(2023秋·江苏泰州·九年级靖江市靖城中学校联考阶段练习）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折至的位置．
（1）如图1，当点F落在矩形ABCD内部时，连接CF并延长，交AD于点G，若，，，则GF的长度为________________；
（2）如图2，当点C恰好落在AD边上点F处时，若，且，求BC的长；
（3）如图3，当点C恰好落在AD边上点F处时，延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值．
12．（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．
（1）矩形 垂等四边形（填 “是”或“不是”）；
（2）如图1，在正方形中，点、、分别在、、上，四边形是垂等四边形，且，．
①求证：；
②若，求的值；
（3）如图2，在中，， 以为对角线，作垂等四边形．过点作的延长线的垂线，垂足为，且与相似，则四边形的面积是 ．
13．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知中，AB=AC=m，BC=n，，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a，得线段PD，E、F分别是CB、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：
（1）填空：
【问题发现】
小明研究了时，如图1，求出了___________，___________；
小红研究了时，如图2，求出了___________，___________；
【类比探究】
他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了；
【归纳总结】
最后他们终于共同探究得出规律：__________(用含m、n的式子表示)；___________ (用含α的式子表示)．
（2）求出时的值和的度数．
专题4.5 相似三角形重难点题型讲练
题型1：相似多边形的性质和判定
类型1-相似多边形的判定
（2023秋·江西宜春·九年级校考期末）甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对
答案：C
分析：甲：根据题意得：，，，即可证得，，可得；
乙：根据题意得：，，则，，则可得，即新矩形与原矩形不相似．
【详解】解：如图,
甲：根据题意得：，，，
∴，，
∴，
∴甲说法正确；
乙：∵根据题意得：，，则，，
∴，，
∴，
∴新矩形与原矩形不相似．
∴乙说法不正确．
故选：C．
【点睛】此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
类型2-相似多边形的性质
(2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形．
(1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由．
(2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式．
答案：(1)不相似；证明过程见详解
(2)
分析：（1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论；
（2）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式．
【详解】（1）解：不相似．理由如下：
∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例，
∴每个小矩形与原矩形不相似．
（2）∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵每个小矩形与原矩形相似，
∴
∴，即．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据两矩形相似得到比例式．
综合训练
1．(2023秋·河北邢台·九年级校考阶段练习）甲说：“将三角形各边向内平移1个单位长度并适当缩短，得到如图1所示的图形，变化前后的两个三角形相似．”
乙说：“将菱形各边向内平移1个单位长度并适当缩短，得到如图2所示的图形，变化前后的两个菱形相似．”
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对
答案：A
分析：利用相似图形的判定方法：对应角相等，对应边成比例的图形相似，进而判断即可．
【详解】解：∵三角形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等
∴变化前后的两个三角形相似
∵菱形四条边均相等，边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等
∴变化前后的两个菱形相似
故选：A
【点睛】本题考查了相似图形的判定，解题关键是正确掌握相似图形的判定方法．
2．（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，有三个矩形，其中是相似图形的是（ ）
A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．甲、乙和丙
答案：B
分析：根据对应角相等且对应边成比例的两个多边形相似即可判断．
【详解】解：∵，
∴是相似形的是甲和丙
故选B．
【点睛】本题主要考查了相似多边形的判定，熟知相似多边形对应边成比例是解题的关键．
3．（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）两个大小不一的五边形和五边形如图所示放置，点F在线段上，点H在线段上，对应连接并延长刚好交于一点O，则这两个五边形的关系是（ ）
A．一定相似B．一定不相似C．不一定相似D．不能确定
答案：B
分析：根据相似多边形的定义即可解答．
【详解】解：∵两个大小不一的五边形和五边形对应边不成比例
∴五边形和五边形一定不相似．
故选B．
【点睛】本题考查了相似多边形的定义，掌握对应边成比例的多边形是相似三角形成为解答本题的关键．
4．（2023秋·河北张家口·九年级校考阶段练习）将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则新图形与原图形相似的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
答案：C
分析：利用相似三角形和相似多边形的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：如图1，可知：，
∴，，
∴；
如图2，∵正方形的边长由4变为6，对应边比值相等，对应角相等，
∴新图形与原图形相似；
如图3，∵，，
则，，
∴，
∴新矩形与原矩形不相似．
综上：新图形与原图形相似的有2个；
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，相似多边形的判定．熟练掌握相似三角形和多边形的判定方法，是解题的关键．
5．(2023秋·贵州铜仁·九年级校考期中）下列说法错误的是（ ）
A．任意两个正方形一定相似B．任意两个等边三角形一定相似
C．任意两个菱形一定相似D．任意两个等腰直角三角形一定相似
答案：C
分析：根据相似图形的判定，正方形、等边三角形、菱形的性质、等腰直角三角形，即可．
【详解】∵如果两个边数相同的多边形的角对应相等，边对应成比例，则这两个多边形相似
A、正方形的四个角都是直角，各边都相等，
∴任意两个正方形一定相似，不合题意；
B、等边三角形三个角都是，三边得相等，
∴任意两个等边三角形一定相似，不合题意；
C、菱形四条边相等，但是四个角不一定相等，
∴任意两个菱形不一定相似，符合题意；
D、等腰直角三角形中，两个角为，一个角为，且边长满足勾股定理，
∴任意两个等腰直角三角形一定相似，不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查相似图形的判定，解题的关键是掌握相似图形的判定，正方形、等边三角形、菱形的性质、等腰直角三角形的性质．
6．（2023秋·宁夏银川·九年级银川市第三中学校考期末）将等边三角形，菱形，矩形，正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的4组图形，变化前后的两个多边形一定相似的有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
答案：C
分析：根据相似多边形的判定条件求解即可．
【详解】解：∵等边三角形，正方形，菱形的边长都相等，
∴经过平移后，等边三角形，正方形，菱形的对应边成比例，对应角相等，
∴等边三角形，正方形，菱形变化前后的两个多边形一定相似，
矩形变化前后虽然对应角相等，但是对应边不一定成比例，即矩形变化前后两个多边形不一定相似，
∴变化前后的两个多边形一定相似的有3组，
故选C．
【点睛】本题主要考查了相似图形的判定，熟知对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似是解题的关键．
7．(2023春·广东河源·九年级校考期末）若如图所示的两个四边形相似，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：根据相似多边形的对应角相等求出∠1的度数，根据四边形内角和等于计算即可．
【详解】解：∵两个四边形相似，
∴，
∵四边形的内角和等于，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应角相等是解题的关键．
8．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，中，，于，矩形、矩形的顶点分别在、的三边上，且矩形矩形．已知下列某个选项中的线段之比可求两矩形的相似比，则这个选项是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：先证明，可得，，再由矩形矩形，可得两矩形的相似比等于，连接，证明，可得，可证得，从而得到，故D选项符合题意；，故A选项不符合题意；再证明， 可得，，故B，C选项不符合题意，即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，，
如图，连接，
∵矩形矩形，
∴两矩形的相似比等于，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故D选项符合题意；
∴，故A选项不符合题意；
在矩形、矩形中，
，，
∴，，
∴，
∴，，故B，C选项不符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
9．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）一个大矩形按如图方式分割成五个小矩形后仍是中心对称图形，且矩形矩形．设矩形与矩形的面积分别为m和n，则这个大矩形的面积一定可以表示为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：设，根据题意得到，由矩形矩形可得，代入整理可得，最后表示出大长方形的周长，代入化简即可求得．
【详解】解：设，
则，
依题意得：
，
矩形矩形，
，
，
整理得，
这个大矩形的面积为：
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形相似的性质和矩形面积；解题的关键是利用相似的性质找到等量关系．
10．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，在平行四边形中，点分别在边上，，四边形四边形，相似比，则下列一定能求出面积的条件（ ）

A．四边形和四边形的面积之差B．四边形和四边形的面积之差
C．四边形和四边形的面积之差D．四边形和四边形的面积之差
答案：C
分析：分别过点，作的平行线，根据相似比，找出对应相似图形的面积关系，然后找出符合的选项即可．
【详解】解：如图，分别过点，作的平行线交于点，交于点，
四边形四边形，相似比，
，，，相似比，
则，，
，
，选项C符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了根据相似比求面积关系，平行四边形性质，相似三角形性质等知识，适当添加辅助线，找出对应面积关系，采用面积作差方法是解题关键．
11．(2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，梯形中，E、F分别为、两腰上的点，且．若，，且梯形与梯形相似，则与的比值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：根据两个梯形相似，则对应边的比相等，即可求解．
【详解】解：∵梯形∽梯形，且，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了相似多边形的性质，正确理解性质得出是解题关键．
12．（2023·河北衡水·校考二模）将边长为2的正六边形按照如图所示的方式向外扩张，得到新的六边形，它们的对应边的距离均为．
（1）新的六边形与原六边形_____；（填“相似”或“不相似”）
（2）扩张后六边形的周长比原来增加了______．
答案： 相似 12
分析：（1）根据相似多边形的判定方法和正六边形的性质求解即可；
（2）作交于点B，根据三角函数求出，然后求出原正六边形和新正六边形的周长，进而求解即可．
【详解】解：（1）∵正六边形的内角都等于，
∴原正六边形和新正六边形的内角都对应相等，
∵正六边形的边长都相等，
∴原正六边形和新正六边形的边长都对应成比例，
∴新的六边形与原六边形相似；
（2）如图所示，作交于点B，作交于点F，
由正六边形的性质可得，，，
∴，
由题意可得，，，
∴，
∴新六边形的周长为，
∵原六边形的边长，
∴，
∴扩张后六边形的周长比原来增加了12．
【点睛】此题考查了相似多边形的判定，正多边形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
13．(2023秋·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考期末）如图，矩形中，，剪去一个矩形后，余下的矩形矩形，则的长为___________．
答案：
分析：根据相似多边形的性质得，即，然后利用比例性质求出即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵余下的矩形矩形，
∴，
即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解决本题的关键是掌握如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比．
14．(2023秋·浙江·九年级专题练习）矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶
(1)若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？
(2)若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存在，请求出的值，并判断E点在边上位置的特殊性；若不存在，试说明理由．
答案：(1)
(2)存在， 或，E刚好是边的两个黄金分割点
分析：（1）先根据矩形矩形可得出两矩形的对应边成比例，再，把的值代入关系式即可得出x的值，进而可求出的值；
（2）假设存在矩形与矩形相似，则必与对应，必与对应，由相似多边形的对应边成比例即可得出的长，进而可得出的长，进而可得出结论．
【详解】（1）解：∵矩形矩形，
∴，
又∵，
可设，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：假设存在矩形与矩形相似；
则必与对应，必与对应，
∴，
∴，
又∵
∴
∴，
而，
依据对称性考虑，必定存在当时，使矩形与矩形相似的情形，
综上所述：当或时，在剪开所得到的小矩形纸片中必存在与原矩形相似；
且该两种情形中，E刚好是边的两个黄金分割点．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．
15．（2023·陕西西安·校考一模）如图1，矩形的一边落在矩形的一边上，并且矩形矩形，其相似比为，矩形的边，．
(1)矩形的面积是 ；
(2)将图1中的矩形绕点逆时针旋转90°，若旋转过程中与夹角（图2中的）的正切的值为，两个矩形重叠部分的面积为，求与的函数关系式；
(3)将图1中的矩形绕点逆时针旋转一周，连接、，的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．
答案：(1)
(2)
(3)存在，最大值为，最小值为
分析：（1）根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解即可得出答案；
（2）先求出矩形的边长为、，再分①当时，重叠部分是直角三角形和②当时，重叠部分是四边形，矩形剩余部分是直角三角形两种情况求解；
（3）旋转一周，点E的轨迹是以点O为圆心以2为半径的圆，所以的边上的高就是点到的距离，也就是到圆上的点的距离，最大值为点O到的距离与圆的半径的和，最小值为点O到的距离与圆的半径的差，再利用三角形的面积公式求解即可得出答案．
【详解】（1）矩形矩形，其相似比为，
（2）矩形矩形，其相似比为，矩形的边，
，
①当时，重叠部分是直角三角形，如图
；
②当时，重叠部分是四边形，如图
，
（3）存在
，
点E的轨迹是以点O为圆心以2为半径的圆，
设点O到AC的距离为h，
解得
当点E到的距离为时，的面积有最大值，
当点E到的距离为时，的面积有最小值，
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，分情况讨论的思想，勾股定理，圆上的点到直线的距离的取值范围，熟练掌握性质是解题的关键．
题型2：相似三角形的判定
类型1 添加条件证明三角形相似
（2023秋·江苏宿迁·九年级统考期末）如图，要使，还需要添加一个条件，你添加的条件是____________（只写一种情况即可）．
答案：（答案不唯一）
分析：根据相似三角形的判定条件进行求解即可．
【详解】解：添加条件：，理由如下：
∵，，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知两个角对应相等的三角形相似是解题的关键．
类型2证明三角形相似
(2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）如图，点为边上一点，连接，，，．
求证：．
答案：见解析
分析：根据题意得出，公共角，即可证明．
【详解】证明：∵，，
∴，
∴，，即，
又∵，
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
类型3网格图中的三角形相似
(2023秋·浙江杭州·九年级杭州市十三中教育集团（总校）校联考期末）如图，的顶点均为网格中的格点．
(1)选择合适的格点（包括边界）为点D和点E，请画出一个，使（相似比不为1）．
(2)证明：．
答案：(1)图见解析
(2)见解析
分析：（1）根据要求，画出一个，即可；
（2）利用勾股定理求出各边长，利用三组对应边对应成比例，证明即可．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求，理由见（小问2）；
（2）证明：设小正方形的边长为：1，由图可知：，
由勾股定理，得：，，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．
综合训练
1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：利用相似三角形的判定一次判断即可求解．
【详解】解：，
，
A、若，且，可判定，故选项A不符合题意；
B、若，且，无法判定，故选项B符合题意；
C、若，且，可判定，故选项C不符合题意；
D、若，且，可判定，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练的运用相似三角形的判定是本题的关键．
2．（2023春·安徽蚌埠·九年级校考阶段练习）如图，在和中，，要使与相似，还需要添加一个条件，这个条件是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：本题中已知，则对应的夹角相等即可使与相似，结合各选项即可得问题答案．
【详解】解：∵，
∴添加．则
故选B．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，熟记各种判定相似三角形的方法是解题关键．
3．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E．
下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学：；
乙同学：若，则；
丙同学：当时，D为的中点．
则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲同学正确B．乙和丙同学都正确
C．甲和丙同学正确D．三个同学都正确
答案：D
分析：在中，依据三角形外角及已知可得，结合等腰三角形易证；结合，易证，得到；当时，结合已知求得，易证，依据等腰三角形“三线合一”得
【详解】解：在中，
，
，
，，
，
，
甲同学正确；
，，，
，
，
乙同学正确；
当时，
，
，
，
，
，
，
D为的中点，
丙同学正确；
综上所述：三个同学都正确
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形外角、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质；解题的关键是通过“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”得到．
4．(2023秋·贵州贵阳·九年级统考期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：根据相似三角形的判定定理逐项判断即可；
【详解】在中，，，，
A、剪下的阴影与原三角形相似，因为阴影部分三角形与原三角形有两个角对应相等；
B、剪下的阴影与原三角形相似，因为阴影部分三角形与原三角形有两个角对应相等；
C、剪下的阴影与原三角形相似，因为阴影部分三角形与原三角形的两边对应成比例，且夹角相等；
D、剪下的阴影与原三角形不相似，因为它们的夹角相等但两条边不对应成比例；
故选：D
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．
5．(2023秋·福建宁德·九年级统考阶段练习）如图，点P是的边上一点，连接，以下条件中，不能判定的是（）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：通过题图发现是公共角，利用相似三角形的判定方法，逐个判断得结论．
【详解】解：与有公共角，
当添加条件或，
都满足“两角对应相等的两个三角形相似”的判定方法，
故添加条件A、B能判断；
由于都是夹着的边，当添加条件时，
满足“两边对应成比例，夹角相等”的判定方法，
故添加条件C能判断；
当添加条件时，不满足相似三角形的判定方法，
故添加条件D不能判断．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解决本题的关键．
6．(2023秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，、分别是、上两点，与相交于点，下列条件中不能使和相似的是（ ）
A．B．
C．，D．
答案：C
分析：根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【详解】解：A. ∵，，
∴，不合题意，
B. ∵，，
∴，不合题意，
C. ，，不能判定，符合题意，
D. ，即，又，和相似，
∴，不合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，①有两个对应角相等的三角形相似； ②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似； ③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．掌握以上知识是解题的关键．
7．（2023秋·河北保定·九年级校考期末）如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
分析：根据相似三角形的判定定理：有两角对应相等的两个三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可．
【详解】A、有两边对应边成比例但是夹角不相等，故两三角形不相似，符合题意，
B、，，，两三角形有两边对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意，
C、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，
D、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，，故两三角形相似，不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似．
8．（2023秋·广西贺州·九年级统考期末）如图，在四边形中，与相交于点O，则下列三角形中，与一定相似的是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：根据平行线内错角相等即可证明两个三角形相似．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形相似的判定，数量掌握几种判定定理是解题关键．
9．（2023秋·四川乐山·九年级统考期末）如图，在中，是斜边上的高，于点．除自身外，图中与相似的三角形的个数是___________．
答案：
分析：根据是斜边上的高，于点，得，，再根据相似三角形的判定，即可．
【详解】∵是斜边上的高，于点，
∴，，
在和中，
∵，
∴；
在和中，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
∴图中与相似的三角形有个．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
10．(2023·广东汕头·一模）如图所示，在正方形中，是上的点，且，是的中点．
(1)与是否相似？为什么？
(2)试问：与有什么关系？
答案：(1)，理由见解析
(2)，且
分析：（1）在所要求证的两个三角形中，已知的等量条件为：，若证明两三角形相似，可证两个三角形的对应直角边成比例；
（2），且．根据相似三角形的对应边成比例即可求得与的数量关系；根据相似三角形的对应角相等即可证得与的位置关系．
【详解】（1）解：证明：四边形是正方形，
，；
又是中点，
；
，
，
，
又，
；
（2），且．理由如下：
由（1）知，，，
则，
；
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．相似三角形的对应边成比例、对应角相等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
11．（2023·江苏宿迁·统考一模）如图，是的内接三角形，点D是的中点，弦交于点E．与相似吗？为什么？
答案：相似，理由见解析
分析：根据圆周角定理，得到，再根据，即可得证．
【详解】解：相似，理由如下：
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定．熟练掌握等弧所对的圆周角相等，是解题的关键．
12．（2023秋·广东河源·九年级校考期末）如图，，与交于点E.
(1)
(2)若，，，求的长；
答案：(1)见解析
(2)12
分析：（1）根据平行线得到，，即可证明；
（2）求出，根据，得到，从而求解．
【详解】（1）解：，
，，
；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据相似三角形的判定证明．
13．(2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）如图，已知，，且，将边反向延长至点D，使，连接．
(1)求证：；
(2)求的长．
答案：(1)见解析
(2)
分析：（1）由等腰三角形的性质及，可得，结合，利用有两个角分别相等的三角形相似可得结论；
（2）由已知线段的长得利用得出比例式，从而解得的值，根据（1）可知，则可求得的值．
【详解】（1）证明：∵，
∴∠
∵是的外角，
∴∠
又
∴∠
又
∴
（2）∵∠
∴
∵
∴
∵
∴
解得，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，数形结合并熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
14．（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）如图，四边形ABCD中，，，．
(1)尺规作图：在上求作一点E，使得；（保留作图的迹，不写作去）
(2)在（1）的条件下，连接DE．求证：．
答案：(1)见解析
(2)见解析
分析：（1）以A为圆满心，为半径画弧，交于点E，连接即可；
（2）先求出，再利用等腰三角形的性质证，平行线的性质得，从而得，，即可由相似三角形的判定定理得出结论．
【详解】（1）解：如图，点E即为所求的点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：连接
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
由作图得，，
∴，
∵，
∴
又∵，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查尺规作图，相似三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
15. （2023秋·江苏徐州·九年级统考期末）如图，在中，C、D为边上的两个动点，．

(1)若，则与相似吗?为什么?
(2)若（即C、D重合），则_______°时，；
(3)当和满足怎样的数量关系时，?请说明理由．
答案：(1)，理由见解析；
(2)90；
(3)，理由见解析．
分析：（1）由条件可证明为等边三角形，结合可得到，可证明；
（2）由，知，则，当时，，进而可知，即可得结论；
（3）由，知，可得，则当时，，则，再结合三角形内角和可找到和之间的数量关系．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，，
则为等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，则，
当时，，
∴，
∴，
故答案为：90；
（3）当和满足时，，理由如下：
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴，
则，
又∵。
∴
即：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
题型3：相似三角形的性质
(2023秋·陕西西安·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且．
(1)直接写出___________，___________
(2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标．
答案：(1)2，3
(2)
分析：（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得；
（2）先求出的长，再根据相似三角形的性质即可得．
【详解】（1）解：，
因式分解，得，
解得或，
的值是关于的一元二次方程的两个根，且，
，
故答案为：2，3．
（2）解：由（1）可知，，
，
，
，，
，
解得，
又，且点在轴上，
．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、相似三角形的性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
综合训练
1．(2023·辽宁营口·一模）如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若， ，则_____．
答案：9
分析：根据平行的性质可知，进而可证得，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得结论．
【详解】解：∵等边三角形沿边上的高线平移到，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的面积记为，，
∴，
解得．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了平移的性质，相似三角形的性质，解题的关键是根据平移的性质证得阴影三角形与原来的三角形相似．
2．（2023春·辽宁本溪·九年级统考开学考试）如图，点，，点是第一象限内一动点，且，若与相似，则的长为______．
答案：或
分析：分两种情况：当时，当时，结合相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
当时，，
∴，
解得：；
当时，，
∴，
解得：；
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键，注意分类讨论．
3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，点为边的中点，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点．求证：．
答案：证明见解析
分析：过点作的平行线，根据同位角相等，内错角相等，公共角得出，进而得出，由为中点，得出，然后由对顶角得出，得出对应边，由于，，得出，根据得出即可得出结论．
【详解】证明：过点作，交于点，
∴，
又∵为公共角，
∴，
∴，
∵点为边的中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，即,
∵，
∴，即，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，全等三角形的判定，找准对边作平行线构造相似三角形是解题的关键．
4．(2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）如图，是的内接三角形，是的中点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
答案：(1)见解析
(2)2
分析：（1）根据是的中点，得出，得出，又因为即可得出结论．
（2）由（1）得出对应线段成比例得出，已知，得出，所以即可得出结论．
【详解】（1）∵是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定以及相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．
5．（2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）如图1，为等边三角形，，点D为边上的动点（点D不与点B，C重合），且，交边于点E．
(1)求证：；
(2)如图2，当D运动到的中点时，求线段的值；
答案：(1)见解析
(2)5
分析：（1）利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得到，再利用两角相等的三角形相似求解．
（2）由题意易得，，然后可得，进而根据含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】（1）证明：三角形是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：是等边三角形，点是中点，
，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定、等边三角形的性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定、等边三角形的性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．
6．（2023·安徽淮北·校联考一模）如图，四边形中，对角线，相交于点，且，．
(1)若，求证：；
(2)求证：；
(3)若平分，，，求的长．
答案：(1)见解析
(2)见解析
(3)
分析：（1）由三角形内角和定理可以得出，根据可以得出，由等角对等边可知，即可证明；
（2）取的中点，连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得出点，，，在以点为圆心，以为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角相等得，，可证；
（3）根据同弧所对的圆周角相等得，因为平分，所以，等量代换得，根据同圆中，相等的圆周角所对的弦也相等可得，继而求出的长，证明，可得，即可求出的长．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴．
（2）解：取的中点，连接，，
∵，
∴，同理，
∴，
∴点，，，在以点为圆心，以为半径的圆上，
∴，，
∴．
（3）解：由（2）点，，，在以点为圆心，以为半径的圆上，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定、相似三角形的判定和性质、圆周角定理等，熟练掌握相关知识点并根据题目得出点，，，在以点为圆心，以为半径的圆上是解答本题的关键．
题型4：与相似三角形有关的动点问题
类型1-双动点问题
（2023·山东青岛·统考一模）如图，在矩形中，，，动点P从点D出发沿向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线向终点C运动．过点P作，交于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为，解答下列问题：
(1)当E、Q重合时，求t的值；
(2)设四边形的面积为S，当线段在点Q右侧时，求出S与t之间的函数关系式；
(3)当时，求t的值；
(4)是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．
答案：(1)
(2)
(3)0或
(4)存在；或或或
分析：（1）根据运动的特点有：，，，当E、Q重合时，由，可得，即有，解方程即可求解；
（2）过Q点作于M点，作于N点，延长交于点F，
（3）根据运动的特点，矩形的性质以及平行线分线段成比例的知识，可表示出，，，，，，，，根据，，，，，结合，问题得解；
（4）在（1）、（2）中得出：，，，，进而可得，，第一大类：当点在点Q右侧时，分当时；当时，过P点作于T点；当时，过P点作于G点，三种情况讨论；第二大类：当点在点Q左侧时，此时是钝角三角形，则只有一种情况，由，，可得，即有，解得；问题得解．
【详解】（1）在矩形中，，，，
则有：，
根据运动的特点有：，，
∴，
当E、Q重合时，如图，
∵，
∴，
∴，解得：，
即当E、Q重合时，；
（2）过Q点作于M点，作于N点，延长交于点F，如图，
根据运动的特点有：，，
即，
在矩形中，由可得：四边形、四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
即：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
同理可得：，，
∵，，，，，
∴，，，，，
∵，
∴代入整理，可得：，
∵线段在点Q右侧，
∵在（1）中求得当E、Q重合时，，
∴，
即：；
（3）当时，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
在矩形中，有，
∴，
∴，
∴，
∵在（2）中得到，，
∴，
解得：，或者，
经检验，是方程的增根，舍去；
当时，此时点Q与A点重合，P点与D点重合，
则有E点与C点重合，
∴此时有：；
综上：当时，，或者；
（4）在（1）、（2）中得出：，，，，
∴，
∴，
第一大类：当点在点Q右侧时，
当时，
即有：，
解得：；
当时，过P点作于T点，如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的根，
即此时；
当时，过P点作于G点，如图，
∵，，
∴，即G点为中点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：；
第二大类：当点在点Q左侧时，此时是钝角三角形，
则只有一种情况，如图，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
解得，
此时存在；
综上所述：的值可以为：或或或．
【点睛】此题属于相似三角形的综合题，涉及的知识有：二次函数，锐角三角函数，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质以及等腰三角形的性质，利用了数形结合及分类讨论的数学思想，分类讨论时要做到不重不漏，考虑问题要全面．
类型2-动图问题
（2023秋·四川乐山·九年级统考期末）如图，正方形的边与矩形的边重合，将正方形以秒的速度沿方向移动，移动开始前点与点重合．已知正方形的边长为，，，设正方形移动的时间为秒，且．
(1)当______秒时，；
(2)若以、、为顶点的三角形同相似，求的值；
(3)过点作交于点，连接．
①若的面积为，的面积为，则的值会发生变化吗？请说明理由；
②当线段所在直线与正方形的对角线垂直时，求线段的长．
答案：(1)
(2)或
(3)①不会，见解析，②
分析：（1）根据，；根据三角形的面积为：，即可；
（2）根据题意得，，，分类讨论，和相似，即可；
（3）根据，得；根据相似三角形的判定，得，推出；再根据，，即可；根据线段所在直线与正方形的对角线垂直，得点在对角线所在的直线上，得是等腰直角三角形，根据，求出；再根据，即可得到的值．
【详解】（1）由题意得，，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）由题意的，，，
∵，
∴当，
∴，
解得：；
当，
∴，
解得：，
经检验：经经验，和满足条件．
∴当或时，以、、为顶点的三角形同相似．
（3）①结论：的值不会发生变化，
理由如下：
∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴的值不会发生变化．
如图：所示
∵线段所在直线与正方形的对角线垂直，
∴点在对角线所在的直线上，
∴点、、三点共线，
∴是等腰直角三角形，
∴，
化简得：，
解得，，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，动点运动的轨迹，勾股定理的运用．
综合训练
1．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）如图，中，，，．点P从点C出发沿折线CA-AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，点1从点B出发沿BC-CA-AB以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达点B时停止运动，另一点也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（）．
发现：
(1)___________；
(2)当点P，Q相遇时，相遇点在哪条边上？并求出此时AP的长．
探究：
(3)当时，的面积为___________；
(4)点P，Q分别在AC，BC上时，的面积能否是面积的一半？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
拓展：
(5)当时，求出此时t的值．
答案：(1)5
(2)相遇点在边上，1
(3)1
(4)不能，见解析
(5)
分析：（1）利用勾股定理直接求解即可；
（2）分类讨论点的位置对应不同的时间，直接计算即可；
（3）直接求出边长来求面积即可；
（4）解方程时通过求根公式来说明不能取到值；
（5）先画出图形，然后利用平行线间的线段比列方程求值．
【详解】（1）在中，
∴；
（2）点P运动到B需要：s
点Q运动到B点需要：s
当点相遇时，有．解得．
∴相遇点在边上，
此时．
（3）当时，，即
∴
故答案为1；
（4）不能
理由：若的面积是面积的一半，
即，化为．
∵，
∴方程没有实数根，
即的面积不能是面积的一半． …………………………
（5）由题可知，点先到达边，当点还在边上时，存在，如图所示．
这时，．
∵，，
∴．
解得，
即当时，．
【点睛】此题考查动点问题以及平行线的线段比，解题关键是将点的路程表示出来找到等量关系，以及平行线中线段成比例列方程．
2．（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒3个单位的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接，，．设运动时间为t秒（）．
(1)点P的坐标为______，点Q的坐标为______（用含t的代数式表示）；
(2)请判断四边形的面积是否会随时间t的变化而变化，并说明理由；
(3)若以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，请直接写出t的值．
答案：(1)，；
(2)不会，理由见解析；
(3)或．
分析：（1）设运动时间为t秒，则，，结合题意即可得到点P、点Q的坐标；
（2）依据代入计算即可求解；
（3）当时，得到即，求解即可； 当时，得到即，求解即可；
【详解】（1）解：设运动时间为t秒，
则，，
， ，
故答案为：，；
（2）四边形的面积不会随时间t的变化而变化，
理由：四边形的面积
．
（3）当时，
，
即，
解得：，
当时，
，
即，
解得：或（不合题意，舍去），
综上所述：或．
【点睛】本题考查了与矩形有关的动点问题，求不规则图形的面积，相似三角形的性质；解题的关键是依据题意表示出相关线段．
3．(2023·河北保定·保定十三中校考二模）如图，中，，，．动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿方向绕行一周，与垂直的动直线从开始．以每秒1个单位长度的速度向右平移，分别交，于，两点．当点运动到点时，直线也停止运动，设点的运动时间为秒．
(1)当点P在上运动时，过点作于F，
①当时，求证：；
②设的面积为S，用含t的代数式表示S，并求当t为何值时，S有最大值；
(2)当直线l等分的面积时求t的值，并判断此时点P落在的哪条边上；
(3)直接写出时t的值．
答案：(1)①见解析，②t=1时，S有最大值
(2)BC边上
(3)或
分析：（1）①由，，，即可证明；
②由，可得，求出，则，再由求的最大值即可；
（2）分别求出，，再由题意可得，求出的值即可；
（3）分两种情况讨论：当点在上时，过点作交于，由，可得方程，解得；当点在上时，过点作交于，由，可得方程，解得．
【详解】（1）解：①证明：，
，
，
，
，
∴；
②解：点在上运动，，
，
由题意可知，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
时，有最大值；
（2）解：由②可知，，，
，，
直线等分的面积，
，
解得或，
，
，
，
点在边上；
（3）解：当点在上时，，
过点作交于，如图所示：
，
，
，
，
解得；
当点在上时，过点作交于，
，
，
，
，
，
，
解得；
综上所述：的值为或．
【点睛】本题是三角形的综合题，熟练掌握直角三角形的性质，平行线的性质是解题是关键．
4．（2023·全国·九年级专题练习）如图1，，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向点运动，点同时从点出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．
(1)求的长．
(2)当以点、、为顶点的三角形与相似时，求的值．
(3)如图2，将本题改为点从点出发以每秒3个单位长度的速度在上向点运动，点同时从点出发向点运动，其速度是每秒2个单位长度，其它条件不变，求当为何值时，为等腰三角形．
答案：(1)10；
(2)当秒或秒时，以点M、C、N为顶点的三角形与相似；
(3)当t的值为2秒或秒或秒时，能成为等腰三角形．
分析：（1）根据三角函数解得即可；
（2）分①当时和②当时，两种情况利用相似三角形的性质解答即可；
（3）分类讨论：①当时，②当时，③当时，三种情况，利用等腰三角形的性质得出比例解答即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴；
（2）解：①当时，
∴，
即，
解得：；
②当时，
∴，
即，
解得：，
综上所述，当秒或秒时，以点M、C、N为顶点的三角形与相似；
（3）解：①如图3，当时，，
解得：，
②如图4，当时，过点M作于D，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：；
③如图5，当时，过点N作于D，
则，，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
综上所述，当t的值为2秒或秒或秒时，能成为等腰三角形．
【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
5．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图1，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿边以每秒2个单位的速度向点B运动，同时，动点Q从点B出发，沿匀速向终点D运动，点P、Q同时到达终点，与交于点E．过点B作于点F．设点P、Q的运动时间为t秒．
(1)求点Q的运动速度．
(2)如图2，当点Q与点C重合时，求的长．
(3)在点P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得以B、E、F为顶点的三角形与相似？若存在，求运动时间t的值；若不存在，请说明理由．
答案：(1)点Q的运动速度是每秒3单位
(2)
(3)1或或
分析：（1）求出点P运动的时间即Q运动的时间计算解题即可；
（2）当点Q与点C重合时，求出长，利用解题即可；
（3）分①点Q在边上，②点Q在边上，点Q在P的右侧时，③点Q在边上，点Q在P的左侧时三种情况利用三角形相似解题即可．
【详解】（1）解：由题可知点P运动的时间为，
点Q运动的速度为：，
（2）如图，当点Q与点C重合时，
∴
∴，
在中，
，
∵
∴
∴
即
解得：
（3）解：∵
∴，
当时，则
∴不符合题意，
当时，
∴,
当点Q在边上
∴
过点Q作交于点H，
则,
∴
∴,
∴，
解得：，
在中，
即(,
解得：或(舍去)
当点Q在边上，点Q在P的右侧时，
如图，过Q作交于点H、M，
则，
∵，
∴，
∴
∴
即
解得，
∴，
∵
∴
∴
即，
解得
∴
在中，
即
解得或(舍去)；
如图，当点Q在P的左侧时，过Q作交于点H、M，
则
∴，，
∴
在中，
即
解得
综上所述，当或或时，以B、E、F为顶点的三角形与相似
【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形，一元二次方程，运用方程解决动点问题是解题的关键．
6．(2023秋·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图1，在中，，，点P、Q分别在射线、上（点P不与C，B重合），且保持．
(1)若P在线段上，求证：；
(2)设、，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)如图2，正方形的边长为4，点P、Q分别在直线、上（点P不与C，B重合），且保持，当时，直接写出的长．
答案：(1)见解析
(2)或
(3)2或或
分析：(1)根据，证明即可．
(2)根据，结合，，分P在线段和的延长线上两种情况计算．
(3)分点P在线段、的延长线上，的延长线上；点Q在直线的上方和下方计算即可．
【详解】（1）如图，∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）当点P在线段上时，
∵，，，、，
∴，，
∴，
解得；
当点P在的延长线上时，如图2，
∵，，，、，
∴，，
∴，
解得．
（3）如图3，设，
∵正方形的边长为4， ， ，
∴，，
∴．
∴，
∴，
解得；
如图4，设，
∵正方形的边长为4， ， ，
∴，，
∴．
∴，
∴，
解得（舍去）；
如图5，设，
∵正方形的边长为4， ， ，
∴，，
∴．
∴，
∴，
解得（舍去）；
综上所述，的长为2或或．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，列二次函数关系式，分类讨论是解题的关键．
7．(2023·广东东莞·东莞市横沥中学统考一模）如图甲，在中．．．．如果点由点出发沿方向向点匀速运动．同时点由点出发沿方向向点匀速运动．它们的速度均为每秒钟1个单位长度．连接，设运动时间为秒钟．
(1)设的面积为，当实数为何值时，取得最大值？的最大值是多少？
(2)在（1）的前提下．当取得最大值时．把此时的沿射线以每秒钟1个单位长度的速度平移，当点平移至与点重合时停止，写出平移过程中，与的重叠部分面积与平移时间的函数解析式，并写出对应的的取值范围；
(3)如图乙，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，求实数的值．
答案：(1)当实数为何值时，取得最大值，的最大值是
(2)
(3)
分析：过点P作于点H，可证明，再由相似三角形的性质，即可求解；
（2）由（1）得，此时，可得，过点P作于点D，则，再由，可得：，，然后分三种情况：当时，此时点Q在线段上，点A在线段上，点P在的内部；当时，此时点A在线段上，点Q在的延长线上，点P在的内部；当时，点A在线段上，点Q在的延长线上，点P在的外部，结合相似三角形的判定和性质，即可求解；
（3）根据菱形的性质可得四边形为菱形，可得，，再根据，可得，从而得到，再由，可得到关于t的方程，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点P作于点H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴当实数为何值时，取得最大值，的最大值是；
（2）解：由（1）得，此时，
∴，
如图，过点P作于点D，则，
∴，
∴，即，
解得：，，
当时，此时点Q在线段上，点A在线段上，点P在的内部，有，
当时，此时点A在线段上，点Q在的延长线上，点P在的内部，设交于点E，则，，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴；
当时，点A在线段上，点Q在的延长线上，点P在的外部，则，，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
综上所述，与的重叠部分面积与平移时间的函数解析式；
（3）解：如图，连接，设交于点E，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴当四边形为菱形时，实数的值为．
【点睛】此题主要考查了四边形综合题，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式以及二次函数的最值问题，关键是根据题意作出辅助线，利用数形结合思想进行解答．
8．(2023秋·陕西西安·九年级校考期中）综合与探究：已知：如图①，在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；连接．若设运动的时间为，解答下列问题：
(1)当时，求的值；
(2)点，同时出发，为何值时，以，，为顶点的三角形与相似；
(3)如图②，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，直接写出此时的值；若不存在，说明理由，（不写求解过程）
答案：(1)
(2)或
(3)存在，
分析：（1）利用勾股定理求出，再结合以及两点的速度列出方程，解之即可；
（2）利用勾股定理求出，再根据题意知：，，当，则，利用其对应边成比例即可求得，当，则，利用其对应边成比例即可求得．
（3）过点作、，分别交于、交于，则四边形是矩形，证明，得出比例式，由题意得出方程，解方程求出的值即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）由题意知：，，
当，则，
，
，
，；
当，则，
，
，
，
当或时，以、、为顶点的三角形与相似，
故答案为：或；
（3）过点作、，分别交于、交于，如图所示：
，
四边形是矩形，
当时，即时，为等腰三角形，
此时把沿翻折得到四边形是菱形，
，
，
，
即，
解得：，
，
，
解得：，
当时，四边形是菱形．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过三角形相似才能得出结果．
9．(2023秋·河北邯郸·九年级邯郸市第二十三中学校考期末）如图（1），在四边形中，，，，，动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为，．
(1)用含的代数式表示；
(2)当以点、、为顶点的三角形与相似时，求的值；
(3)如图（2），延长、，两延长线相交于点，当为直角三角形时，直接写出的值．
答案：(1)
(2)或
(3)或
分析：（1）作于H，得矩形，则，，，由勾股定理可求得的长，从而可得；
（2）分两种相似情况加以考虑，根据对应边成比例即可完成；
（3）分和两种情况考虑即可，再由相似三角形的性质即可求得t的值．
【详解】（1）如图，作于H
则四边形是矩形
∴，
∴
在中，
由勾股定理得
∵
∴
（2）①当时
则有
∴
解得：
②当时
则有
∴
解得：
综上所述，当或时，以点、、为顶点的三角形与相似；
（3）①当时，为直角三角形
如图，过点P作于N，于H
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
即
∵
∴
∴，
∴，
∴
由得：
解得：
②当时，为直角三角形，如图
则
∴
∴
∴
即
解得：
综上所述，当或时，是直角三角形．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形的综合应用，矩形的性质等知识，解题的关键是注意分类讨论的应用．
题型5：用相似三角形性质解决实际问题
（2023秋·河北邯郸·九年级校考期末）某数学兴趣小组的名同学利用课余时间想要测量学校里两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们合作完成了以下工作：
(1)测得一根长为米的竹竿的影长为米，甲树的影长为米（如图1）．
(2)测量的乙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图2），测得落在地面上的影长为米，一级台阶高为米，落在第一级台阶的影子长为米，
①甲树的高度为______米，
②图3为图2的示意图，请利用图3求出乙树的高度．
答案：(1)
(2)米
分析：（1）根据同一时间竹竿的高度与影长之比等于树的长度与树的影长之比即可求得；
（2）根据相似三角形的判定和性质即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲树的高度为米
根据题意得：
解得：
故答案为：
（2）解：连接并延长交的延长线于，延长交于，连接，
∵米，米，米
∴（米）
∴
∴
∴（米）
∴（米）
答：乙树的高度为米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形列出比例式是解题的关键．
综合训练
1．（2023·河北秦皇岛·模拟预测）九章算术记载“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方有几何？”意思是：如图，点、点分别是正方形的边、的中点，，，过点，且步，步，则正方形的边长为( )
A．步B．步C．步D．步
答案：C
分析：根据题意，可知，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形的边长．
【详解】解：设正方形的边长为步，
点、点分别是正方形的边、的中点，
，，
，
由题意可得，，
∴
∴，
，
即，
解得：，
步；
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的应用、正方形的性质，解题的关键利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答．
2．（2023春·辽宁本溪·九年级统考开学考试）《海岛算经》是我国最早的一部测量数学专著，书中第一个问题的大意是：如图，要测量海岛上一座山峰的高度，立两根长度相等的标杆和，两杆之间的距离步，，，共线；从到走123步，此时A，，三点共线；从到走127步，此时A，，三点共线．计算山峰的高度及的长．若设步，所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：证明，得到，由得到，根据已知条件代入即可得到结论．
【详解】解：由题意可得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D
【点睛】此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）可测量零件的内孔直径．如果，且量得，则零件的厚度x为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：求出和相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出，再根据外径的长度解答．
【详解】解：：：，，
，
：，
：，
（），
外径为，
，
（）．
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出的长．
4．（2023·广东佛山·统考一模）如图，周一某校升国旗时，甲、乙两名同学分别站在、的位置时，乙的影子刚好在甲的影子里边，已知甲身高为米，乙身高为米，甲的影长是6米，则甲、乙同学相距______米．
答案：
分析：根据甲的身高与影长构成的三角形与乙的身高和影长构成的三角形相似，列出比例式解答．
【详解】解：设两个同学相距米，
∵，，
∴，
，
，
，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据身高与影长的比例不变，得出三角形相似，运用相似比即可解答．
5．（2023秋·湖北随州·九年级统考期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高为______．
答案：6.5
分析：根据已知得出，利用相似三角形的对应边成比例可得；然后将相关数据代入上式求出的长，再结合树高即可得出答案
【详解】解：
，，，，
米，
米
树高为米．
故答案为：．
【点睛】本题的考点是相似三角形的应用.方法是由已知条件得出两个相似三角形，再利用相似三角形的性质解答.
6．（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，数学实践课上，老师布置任务如下：让小明站在B点处去观测外的位于D点处的一棵大树，所用工具为一个平面镜P和必要的长度测量工具（点B，P，D在同一条直线上）．已知小明眼睛距地面，大树高，当小明与平面镜相距______m时，恰好能从平面镜里观测到大树的顶端．
答案：2
分析：根据平面镜的反射原理：入射角等于入射角证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：由题意，得，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得，
故小明与平面镜相距时，恰好能从平面镜里观测到大树的顶端．
故答案为：2．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，理解题意，掌握平面镜得原理，会利用相似三角形的性质解决实际问题是解答的关键．
7．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）《海岛算经》中记载：“今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何．”其大意是：如图，为了求海岛上的山峰的高度，在处和处树立高都是3丈丈步）的标杆和，，相隔1000步，并且，和在同一平面内，从处后退123步到处时，，，在一条直线上；从处后退127步到处时，，，在一条直线上，则山峰的高度为 _____步．
答案：1255
分析：先证明，利用相似比得到①，再证明得到，即②，所以，接着利用比例的性质求出，然后计算的长．
【详解】解：根据题意得步，步，步，步，
，
，
，即①，
，
，
，即②，
由①②得，
即，
，
，
，
，
（步），
即山峰的高度为1255步．
故答案为：1255．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等计算相应线段的长．
8．（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考开学考试）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为米，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为______米．
答案：##
分析：过点P作于点Q，交于点M，设米，可得米，再由，即可求解．
【详解】解∶如图，过点P作于点Q，交于点M，
设米，
∵，
∴米，
根据题意得：四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴米，
即车宽的长度为米．
故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质以及矩形的性质是正确解答的前提．
9．(2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图1是一个家用折叠梯子，使用时四个踏板都是平行于地面且全等的矩形，已知踏板宽，，将踏板往上收起时（如图2），点A与点F重合，此时，踏板可以看作与支架重合，将梯子垂直摆放时，点A离地面的高度为____________．图3是图1的简略视图，若点H恰好在点A的正下方，此时点A到地面的高度是____________．
答案： 120
分析：由点A与点F重合能够得出的长，从而可以求出点A离地面的高度．连接并延长，交于点Q，得到直角三角形，又由使用时四个踏板都是平行于地面且全等的矩形，得到，得到，利用相似三角形的性质可以求出的长，进而利用勾股定理可以求出点A到地面的高度．
【详解】∵将踏板往上收起时（如图2），点A与点F重合，
∴．
∴，
即点A离地面的高度为120 ．
如图，连接并延长，交于点Q，则．
∵使用时四个踏板都是平行于地面且全等的矩形，
∴，，
∴，
∴，
即，
解得．
在中，由勾股定理，得
，
即点A到地面的高度是．
故答案为：120，．
【点睛】本题是一道实际应用题，主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，正确理解题意，能够将实际问题转化成数学问题是解题的关键．
10．（2023·陕西西安·西北大学附中校考三模）小延想要测量学校教学楼的高度，他站在N点处时，视线通过旗杆的顶端与顶楼的窗子下沿C重合，他向前走到点G处时，视线通过旗杆的顶端与楼顶A重合，已知小延的眼睛与地面的距离米，米，米，米，米，、、、均与地面垂直，且在同一平面内，请你根据以上数据计算教学楼的高度．
答案：22.6米
分析：连接并延长交分别于H、P两点，则由题意可证、，可得、，代入数据解方程即可．
【详解】如图所示，连接并延长交分别于H、P两点，则由题意可知，设教学楼高为h米，则
∵、、、均与地面垂直
∴
∴
∴
∴
∴
∴
又∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
解得
故教学楼的高22．6米．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质、解一元一次方程等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
11．（2023·陕西宝鸡·统考一模）小明和小华利用学过的知识测量操场旗杆的高度，测量时，小明让小华站在点B处，此时，小华影子的顶端E与旗杆的影子C顶端重合，且的长为2米；小明又让小华沿着射线的方向走15.2米到达旗杆的另一侧N处，此时，小华观测到旗杆顶端C的仰角为，已知小华的身高为1.8米，请你根据相关测量信息，计算旗杆的高度．
答案：旗杆的高度为．
分析：由题意可知点E，A，C在同一条直线上．连接，过点作于点F．根据矩形的性质结合题意可知，．设，则，由题意可知，则，进而可求出．又易证，得出，代入数据，解出x的值即可．
【详解】∵小华影子的顶端E与旗杆的影子C顶端重合，
∴点E，A，C在同一条直线上．
如图，连接，过点作于点F．
∴四边形为矩形，
∴，.
∵，
∴.
设，则，
由题意可知，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
解得：．
答：旗杆的高度为．
【点睛】本题考查矩形的性质，三角形相似的应用．正确作出辅助线是解题关键．
12．（2023春·广东揭阳·九年级普宁二中实验学校校考阶段练习）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高，如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为米，的影长为米，小明的影长为米，其中、、、、五点在同一直线上，、、三点在同一直线上，且，，已知小明的身高为米，求旗杆的高．
答案：3米
分析：根据相似求出边的数量关系直接列方程求解即可．
【详解】，
，
，
∽，
，即，
，
同理得∽，
，即，
，
米，
答：旗杆的高是米．
【点睛】此题考查相似三角形的应用，解题关键是通过证明相似得到对应边成比例．
13．（2023·陕西西安·统考一模）某数学兴趣小组决定利用所学知识测量一古建筑的高度．如图2，古建筑的高度为，在地面上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且古建筑，标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到D处（即），从D处观察A点，A、F、D三点成一线；从标杆后退到C处（即），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出该古建筑的高度．
答案：
分析：设，则，证明，得到，即，同理得到，则可建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
同理可证，
∴，即，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
∴，
∴该古建筑的高度为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用举例，证明，得到，同理得到，进而建立方程是解题的关键．
14．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图，道路l的正上方挂有一盏路灯M，把路灯M看成一个点光源，路灯M到道路l的距离为，晚上，一名身高为的小女孩沿着道路l散步，从A处径直向前走到达C处．已知小女孩在A处影子的长为，在C处影子的长为，求小女孩的身高．
答案：
分析：根据相似三角形的判定和性质得出，，再由等量代换得出，求解确定，然后代入原式中求解即可．
【详解】解：根据题意得，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
代入求解得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴小女孩的身高为．
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质即应用举例，理解题意，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
15．（2023秋·河北唐山·九年级校考期末）某校九年级一班的一节数学活动课安排了测量操场上竖直的悬挂国旗的旗杆的高度．甲、乙、丙三个学习小组设计的测量方案如图所示：甲组测得图中米，米，米；乙组测得图中，米，同一时刻影长米，米；丙组测得图中，，，米，米，人的臂长为0.6米，请你任选两种方案，利用实验数据求出该校旗杆的高度．
答案：30米
分析：此题三种方案均为把实际问题抽象成三角形相似的问题，解题方法都是利用相似三角形对应边成比例求出结果．采用甲组方案，证明，根据相似三角形对应边成比例列出，然后求出该校旗杆的高度即可；采用乙方案，连接，则，，根据，可得，即可求解；采用丙方案，根据，可得，再由，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：采用甲组方案，
在和中，
∵，，
∴，
∴，即，
解得米，
即该校旗杆的高度为30米．
采用乙方案，
如图，连接，则，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：米，
即该校旗杆的高度为30米．
采用丙方案，
如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：米，
即该校旗杆的高度为30米．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是构建相似三角形，根据相似三角形的性质列式求解．
题型6：位似图形
类型1 与图形位似有关的计算
（2023秋·四川眉山·九年级统考期末）如图，与位似，点为位似中心，已知，的面积为2，则的面积为______．
答案：18
分析：利用位似的性质得到，，所以，然后根据相似三角形的性质求解．
【详解】解：与位似，点为位似中心，
，，
，
，
，
．
故答案为：18．
【点睛】本题考查了位似变换：位似的两图形两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）．
类型2 位似图形的作图
(2023秋·山东济宁·九年级统考期末）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，为平面直角坐标系的原点，矩形的4个顶点均在格点上，连接对角线．
(1)在平面直角坐标系内，以原点为位似中心，把缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与的相似比等于；
(2)在（1）的条件下，若是边上任意一点，则变换后点P的对应点的坐标为 ．
答案：(1)见解析
(2)或
分析：（1）利用位似变换的性质分两种情形分别画出图形即可；
（2）根据位似图形的坐标特点写出点P的对应点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图，或即为所求．
（2）解：若是边上任意一点，则变换后点P的对应点的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查画位似图形、扇形面积，熟记扇形面积公式，注意画位似图形要全，解题关键是看清位似比．
例10.（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE=DF，连接AE、AF、EF．
(1)求证△ABE≌△ADF；
(2)若AE=5，请求出EF的长．
综合训练
1．（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）如图，平面直角坐标系中，与关于原点位似，，若四边形的面积为4，则四边形的面积为（ ）
A．B．1C．D．2
答案：B
分析：直接利用位似图形的性质得出与的面积比，得出四边形与四边形的位似比，推出四边形与四边形的面积比，即可得出答案．
【详解】∵与关于原点位似，，
∴与的相似比为：，
∵，
∴与的相似比为：，与的相似比为：，
∵，，
∴四边形与四边形的位似比为：，
∴四边形与四边形的面积比为：，
∵四边形的面积为4，
∴四边形的面积为1
故选：B
【点睛】此题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的相关知识是解题的关键．
2．(2023春·黑龙江大庆·八年级大庆市第六十九中学校考期中）如图，在中，三个顶点的坐标分别是，，．以点C为位似中心，在x轴下方作的位似图形，并把的边长放大为原来的2倍，那么点的坐标为_______．
答案：
分析：根据平面直角坐标系内位似图形的性质和坐标规律即可求解．
【详解】解：由题意可得：，且相似比为，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的位似三角形，解题关键是掌握位似三角形的性质和坐标规律．
3．（2023秋·海南海口·九年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，是的边上一点．
(1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为，并分别写出点、的对应点、的坐标；
(2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，并写出点、的对应点、的坐标；
(3)判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标．
答案：(1)图见解析，，
(2)图见解析，，
(3)与，是关于点为位似中心的位似图形
分析：（1）利用位似图形的性质得出对应点坐标，进而得出答案；
（2）点平移的坐标变化规律：左减右加纵不变，上加下减横不变．利用平移变换规律得出对应点坐标，进而得出答案；
（3）连接，，并延长，它们交于一点，则可判定是位似图形，交点即为位似中心，进而得出答案．．
【详解】（1）解：如图所示，，．
（2）如图所示，，
（3）如图所示，与是关于点为位似中心的位似图形．
【点睛】此题主要考查了位似变换以及平移变换，根据图形变换的性质得出对应点坐标是解题关键．
4．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，，O，A，C三点在同一直线上，，则点C的坐标为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：根据题意可得和是位似图形，位似中心为原点，再由位似图形的性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵O，A，C三点在同一直线上，
∴和是位似图形，位似中心为原点，
∵，
∴点C的横纵坐标均等于点A的横纵坐标的3倍，
∵，
∴点C的坐标为．
故选：C
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，根据题意得到和是位似图形是解题的关键．
5．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点的坐标为，若点、、的坐标分别是、、．则点的对应点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：先根据A、C的坐标得到和的相似比为，则对应的坐标也是，据此求解即可．
【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，
∴，
∵，
∴和的相似比为，
∵，
∴点B的横坐标为，纵坐标为，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查位似图形的性质，注意位似比与坐标比的关系是解题的关键．．
6．（2023春·湖南长沙·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，将扩大为原来的4倍，则点A的对应点的坐标是（ ）
A．B．
C．或D．或
答案：D
分析：直接利用位似图形的性质得出对应点坐标即可．
【详解】解：∵点，以原点O为位似中心，将扩大为原来的4倍，
∴点A的对应点的坐标是：或，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题的关键．
7．(2023秋·四川成都·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A．B．C．或D．或
答案：C
分析：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此求解即可得．
【详解】解：以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，点P的坐标为，
则点P的对应点的坐标为或，
即或，
故选：C．
【点睛】本题考查了位似变换，解题的关键是掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．
8．（2023秋·贵州六盘水·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：根据位似图形的定义，画出位似中心，即可得出结果．
【详解】解：∵与是位似图形，
连接并延长，交于点，则点即为位似中心，如图所示：
由图可知：；
故选B．
【点睛】本题考查坐标系下求位似中心的坐标．熟练掌握位似图形的定义，确定位似中心的位置，是解题的关键．
9．(2023秋·重庆北碚·九年级西南大学附中校考开学考试）在平面直角坐标系中，点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A．B．C．或D．或
答案：D
分析：根据已知得出位似图形对应坐标与位似比的关系进而得出结果．
【详解】解：∵点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，
∴点A的对应点的坐标为或，
即或，
故选：D．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．
10．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）如图，平面直角坐标系中点是的边上的任意一点．
(1)以点为位似中心，在M点的右侧把△按放大得，画出；直接写出的边上与点的对应点的坐标．
(2)将绕逆时针转90º得，画出，求旋转过程中线段在平面上扫过部分的面积（用表示）
答案：(1)画图见解析，
(2)
分析：（1）根据位似图形的性质，先确定A、B、C对应点的位置，然后顺次连接，再根据位似图形对应点坐标之间的关系求出的坐标即可；
（2）先确定A、B、C对应点的位置，然后顺次连接，再根据旋转过程中线段在平面上扫过部分的面积进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
由位似图形的性质可得点的对应点的横坐标为，纵坐标为，
∴；
（2）解：如图所示，即为所求；
由旋转的性质得到，，
∴旋转过程中线段在平面上扫过部分的面积
．
【点睛】本题主要考查了画位似图形，画旋转图形，求位似图形对应点坐标，扇形面积，正确画出图形利用数形结合的思想求解是解题的关键．
11．（2023秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知与位似，的顶点坐标分别是，，，的顶点坐标分别是，，．
(1)若位似中心为，请写出点的坐标为______；
(2)以点为位似中心，作的位似图形，使与的相似比为．请在图中画出符合要求的的图像并写出的坐标．
答案：(1)
(2)图见解析，的坐标为或
分析：（1）根据位似图形的性质即可求出位似中心点的坐标；
（2）直接利用位似图形的性质进而得到对应点的坐标即可得到答案；
【详解】（1）如图所示：
根据位似图形的性质，位似中心点的坐标为
（2）图像如图所示，的坐标为或
【点睛】本题主要考查位似变换，正确利用位似图形的性质得到对应点的位置是解题的关键．
12．（2023·安徽合肥·校考一模）在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
(1)作关于点C成中心对称的；
(2)以为位似中心，在图中画出将面积放大4倍后的，计算的面积并直接写出点的坐标．
答案：(1)见解析
(2)画图见解析，的面积为，或
分析：（1）根据中心的对称的性质找到关于点的对称轴点，顺次连接即可求解；
（2）根据位似的性质，将延长至，使得，连接，则即为所求，根据坐标系写出点的坐标，根据正方形减去3个三角形的面积得出的面积，再乘以4即可求的面积．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求，或
的面积为；
∴的面积为．
【点睛】本题考查了画中心对称图形，坐标系中画位似图形，写出点的坐标，掌握位似图形的性质，中心对称图形的性质是解题的关键．
13．(2023秋·安徽蚌埠·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)以原点O为位似中心，位似比为，在第二象限画出放大后的图形，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标；
(2)点是线段BC上的一点，请直接写出点D经过（1）的变化后对应点的坐标．
答案：(1)见解析，的坐标为
(2)
分析：（1）连接并延长，截取，连接并延长，截取，连接OC并延长，截取，确定出，并求出点坐标即可；
（2）根据A与坐标，B与坐标，以及C与坐标的关系，确定出变化后点D的对应点坐标即可．
【详解】（1）根据题意画出图形，如图所示：
则点的坐标为；
（2）变化后D的对应点的坐标为：．
【点睛】此题考查了作图−位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
14．（2023·四川成都·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）．
(1)将先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到，请在平面直角坐标系中画出平移后的．
(2)请以O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（__________，__________）；点的坐标为（__________，__________）．
答案：(1)见解析
(2)图见解析，2，4，6，2
分析：（1）直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
；
（2）解：如图，即为所求，
，
点的坐标为；点的坐标为．
【点睛】本题主要考查了位似变换、平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
15．（2023秋·吉林长春·九年级统考期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．
(1)在图①中的线段上找一点D，线段上找一点E，连接，使是的中位线，并直接写出线段的长．
(2)在图②中，以点A为位似中心，作的位似，使与的面积比为．
答案：(1)图见解析，线段的长为2
(2)见解析
分析：（1）如图可知，A到的距离为4个单位，将A向下移动2个单位得到点F，过点F作的平行线，分别交于，连接，为所求，由中位线的性质得到可求解；
（2）如图，将A向下移动2个单位得到点D，向下移动5个单位得到点E，连接，过点D分别作的平行线，分别交于，连接，为所求．
【详解】（1）解：如图可知，A到的距离为4个单位，将A向下移动2个单位得到点F，过点F作的平行线，分别交于，连接，为所求．
作图如下，
，
是的中位线，
，
故线段的长为2 ；
（2）如图，将A向下移动2个单位得到点D，向下移动5个单位得到点E，
连接，
与的面积比为，
与的相似比为，
过点D分别作的平行线，
分别交于，
连接，
则，，
故为所求．
【点睛】本题考查了网格作图，中位线的性质，位似的性质及作图；解题的关键是数量掌握中位线及位似图形的性质．
题型7：相似三角形的性质与判定的综合应用
(2023秋·浙江·九年级期末）在中，，点D在直线上，连结，以为边作等腰直角（点E在直线右侧），连结．
（1）如图1，若，且点D在边上，求证：；
（2）如图2，若，且，，求的长；
（3）如图3，若点D在的延长线上，，相交于点F，设的面积为，的面积为，的面积为，则，请说明理由．
答案：（1）见解析；（2）；（3）见解析
分析：（1）根据可得是等腰直角三角形，根据角的和差得出，根据等腰直角三角形的性质可得，即可判定；
（2）点在线段上时，过点作于，作，交的延长线于点，设、交于点，易得，，可推出，，可得四边形是正方形，设，证明，得出，即，求出，即可得的长，同理，可得出点在线段的延长线上时，的长；
（3）作交于点，则是等腰直角三角形，证明，可得，即，即可得出结论．
【详解】解：（1）证明：，，
，是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，，
，即，，
；
（2）点在线段上时，过点作于，作，交的延长线于点，设、交于点，
，是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，
，
，，，
四边形是正方形，，
，
在和中，
，
，
，
设，
，，
，解得：，
在中，，
；
同理，点在线段的延长线上时，；
（3）作交于点，
，
是等腰直角三角形，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，即，，
，
，即，
．
【点睛】此题属于相似形综合题综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
综合训练
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）如图1，已知：内接于圆O，，连接并延长，交于点D．
(1)求证：
(2)如图2，过点B作于点E，交圆O于点F，交于点G，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接DE，，，求DE的长．
答案：(1)见详解
(2)见详解
(3)
分析：（1）连接、，证明是线段的垂直平分线，问题得证；
（2）先证明，进而证明，即可证明；
（3）连接，先求出，，再证明，得到，设，则，分别得到，，，证明，得到
，求出，从而得到，根据，即可求出．
【详解】（1）证明：如图，连接、，
∵，，
∴点都在线段的垂直平分线上，
∴是线段的垂直平分线，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，，
∴是线段的垂直平分线，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，则，
∴，
在中，，
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
整理得，
解得（不合题意，舍去），
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题为圆的综合题，考查了线段的垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，一元二次方程的应用，直角三角形的性质等知识，综合性强，第（3）问难度较大，熟知相关性质，并根据题目中已知条件灵活应用是解题关键．
2．（2023秋·河北承德·九年级统考期末）如图，某水果的横断面是以为直径的半圆，其中水面截线，嘉琪在处测得垂直站立于处的爸爸头顶的仰角为，点的俯角行为，已知爸爸的身高为1.7m
(1)求大小及的长；
(2)图中线段表示最大水深，并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：取4，取4.1）
答案：(1)，（m）
(2)约2.6米
分析：（1）由水面截线可得，从而可求得，利用锐角三角形的正切值即可求解；
（2）过点O作，交于D点，交半圆于H点，连接，过点作于点，水面截线，即可得即为所求，由圆周角定理可得，进而可得，利用相似三角形的性质可得，利用勾股定理即可求得的值，从而可求解．
【详解】（1）解：水面截线，
，
，
，
在中，，，
，
解得（m）；
（2）如下图所示，连接，过点作于点，水面截线，，
，
，
，且，
，
，即，即，
在中，，，
，即，
解得，
，
最大水深约为2.6米．
【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的正切值、圆周角定理、相似三角形的判定及性质、平行线的性质和勾股定理，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键．
3．(2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）【基础探究】（1）如图①，在中，为上一点，，交延长线于点，若，求的长．
【拓展延伸】（2）如图②，在中，为上一点，，交延长线于点，，， ，则 ．
【拓展延伸】（3）如图③，点为四边形内部一点，且有，，于点，为上一点，，若，，则的面积为 ．
答案：（1）；（2）；（3）
分析：（1）根据，可得，，证明，利用相似的性质得到，代入数据即可得到结论；
（2）根据，可得，，证明，利用相似的性质得到，从而求出，，最后利用三角函数可得出结论；
（3）过点作交延长线于点，先证明，结合已知并利用相似的性质可得到，，再根据证明，从而求得，最后利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∴的长为．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
在中，，
∴．
故答案为：．
（3）如图，过点作交延长线于点，
∴，，
∴，
∴，
即：
∵，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
即，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题属于相似三角形的综合题，考查了三角形相似的判定和性质，三角函数，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，三角形的面积计算等知识．解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的．
4．(2023·安徽·九年级专题练习）如图，在中，，为上一点，经过点的分别交，于点，，与相切于点，连接，相交于点．
(1)求证：平分；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
答案：(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
分析：（1）连接OD，证明OD∥AC，得到∠ODA＝∠CAD，根据圆的半径相等得到∠OAD＝∠ODA，即可得到∠OAD＝∠CAD，问题得证；
（2）连接DF，EF．先证明∠B＝∠ADF，进而证明△ABD∽△ADF，得到，问题得证；
（3）设⊙O的半径为R，则OA＝OD＝OE＝R，OB＝8＋R．根据，求得R＝5，即可得到AE＝10，AB=18，解Rt△AFE得到，根据AD2＝AB·AF即可求解．
(1)
证明：如图1，连接OD，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ODB＝90°＝∠C，
∴ODAC，
∴∠ODA＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
(2)
证明：如图2，连接DF，EF．
∵AE是⊙O的直径，
∴∠AFE＝90°＝∠C．
∴EFBC，
∴∠B＝∠AEF．
∵∠AEF＝∠ADF，
∴∠B＝∠ADF，
由（1）知∠BAD＝∠DAF，
∴△ABD∽△ADF，
∴，
∴AD2＝AB·AF；
(3)
解：设⊙O的半径为R，则OA＝OD＝OE＝R．
∵BE＝8，
∴OB＝BE＋OE＝8＋R．
在Rt△BDO中，，
∴，
∴R＝5，
∴AE＝2OE＝10，AB＝BE＋2OE＝18，
由（2）知∠AEF＝∠B，∠AFE＝90°，
∴．
在Rt△AFE中，，
∴，
由（2）知AD2＝AB·AF，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，综合性较强，熟知相关定理，根据题意添加辅助线是解题关键．
5．(2023·重庆·模拟预测）在等腰直角中，，，外有一点D满足，BD与AC相交于点E，连接CD．
(1)如图1，若，，求BD的长；
(2)如图2，点F为BD上一点，连接CF，点G为CF的中点，连接DG，若，猜想BF与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，在（2）问条件下，当F为BD的中点时，将沿直线AB翻折至所在平面内，得，连接、，AG，请直接写出的比值．
答案：(1)
(2)，理由见解析
(3)
分析：（1）证明得到，得到 ，设，，在中，由勾股定理求解即可；
（2）延长至使得，连接，证明四边形DFHC为平行四边形，得到DC=FH，DH=2DG，再由已知BC=AC=2DG，进而得到BC=DH；过点C作CM⊥BD于M，过点H作HN⊥BD于N，先证明△HND≌△CMB推出DM=BN，即可证明△DMC≌△BNH得到CD=HF=HB，证明A、B、C、D四点共圆，得到∠BDC=∠BAC=45°，从而推出∠FHB=90°，则；
（3）如图3，以C为坐标原点，CB为x轴正半轴，CA为y轴正半轴建立坐标系，设DG与y轴交点为M，过点C作CN⊥BD，先证明CD=CF，∠DCF=90°，设CD=CF=2，则，，求出点A的坐标为（0，），点B的坐标为（，0），先推出，得到，，由△ADE∽△BCE，求出，，设点D的坐标为（m，n），由两点距离公式可得 ，从而求出点D的坐标为（，），则点F的坐标为（，），点G的坐标为（，），再求出，则，求出点M的坐标为，得到，则，再由，得到，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：如下图所示：
，，
，
，且
，
，，
，
设，则，
，
在中，由勾股定理可知：，代入数据：
即，
解得或(舍)，
．
（2）解：如图，延长至使得，连接，
∵G为CF的中点，
∴GF=GC，
在△GFD和△GCH中：
，
∴△GFD≌△GCH(SAS)，
∴DF=CH，∠FDG=∠CHG，
∴DF∥CH，
∴四边形DFHC为平行四边形，
∴DC=FH，DH=2DG，
∵已知BC=AC=2DG，且2DG=DH，
∴BC=DH，
过点C作CM⊥BD于M，过点H作HN⊥BD于N，
∴∠HMB=∠HND=90°
∵BD∥CH，
∴CM=HN，
又∵BC=DH，
∴△HND≌△CMB（HL），
∴DN=BM，
∴DM=BN，
∴△DMC≌△BNH（SAS），
∴CD=HF=HB，
∵∠ADB=∠ACB=90°，△ABC是等腰直角三角形，
∴A、B、C、D四点共圆，∠CAB=45°，
∴∠BDC=∠BAC=45°，
∵CD∥FH，
∴∠HFB=∠HBF=∠CDF=45°，
∴∠FHB=90°，
∴；
（3）解：如图3，以C为坐标原点，CB为x轴正半轴，CA为y轴正半轴建立坐标系，设DG与y轴交点为M，过点C作CN⊥BD，
由（2）可知，
∵F是BD的中点，
∴，
∵∠CDF=45°，
∴若过点C作CP⊥CD交BD于P，那么，即点P与F点重合，
∴CD=CF，∠DCF=90°，
设CD=CF=2，则，，
∴，
∴，
∴，点A的坐标为（0，），点B的坐标为（，0）
∵，
∴，
∴，，
∵△ADE∽△BCE，
∴，
∴，
∴
设点D的坐标为（m，n），
∴ ，
解得或（此时E在x轴下方，不符合题意，舍去），
∴点D的坐标为（，），
∴点F的坐标为（，），
∴点G的坐标为（，），
由折叠的性质可知，，
∴，
∴，
∴，，
∵点G的坐标为（，），点D的坐标为（，），
∴DG的中点坐标为 ，即点M的坐标为，
∴，
，
∵，
∴，
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定，三角形全等的性质及判定，四点共圆，解直角三角形，一次函数与几何综合，两点距离公式等等，属于难题，熟练掌握各图形的性质及判定是解决本类题的关键．
6．(2023春·全国·九年级期末）如图，四边形ABCD是矩形．
(1)如图1，E、F分别是AD、CD上的点，BF⊥CE，垂足为G，连接AG．
①求证：＝．
②若G为CE的中点，求证：sin∠AGB＝；
(2)如图2，将矩形ABCD沿MN折叠，点A落在点R处，点B落在CD边的点S处，连接BS交MN于点P，Q是RS的中点．若AB=2，BC=3，求PS+PQ的最小值．
答案：(1)①见解析；②见解析
(2)
分析：（1）①证明△FBC∽△ECD可得结论．
②连接BE，GD，证明△ADG≌△BCG，得到∠DAG=∠CBG，从而推出∠AEB=∠AGB，可得sin∠AGB=sin∠AEB=；
（2）如图2中，取AB的中点T，连接PT，CP．因为四边形MNSR与四边形MNBA关于MN对称，T是AB中点，Q是SR中点，所以PT=PQ，MN垂直平分线段BS，推出BP=PS，由∠BCS=90°，推出PC=PS=PB，推出PQ+PS=PT+PC，当T，P，C共线时，PQ+PS的值最小．
【详解】（1）解：①证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CDE=∠BCF=90°，
∵BF⊥CE，
∴∠BGC=90°，
∴∠BCG+∠FBC=∠BCG+∠ECD=90°，
∴∠FBC=∠ECD，
∴△FBC∽△ECD，
∴；
②证明：如图1中，连接BE，GD．
∵BF⊥CE，EG=CG，
∴BF垂直平分线段EC，
∴BE=CB，∠EBG=∠CBG，
∵DG=CG，
∴∠CDG=∠GCD，
∵∠ADG+∠CDG=90°，∠BCG+∠ECD=90°，
∴∠ADG=∠BCG，
∵AD=BC，
∴△ADG≌△BCG（SAS），
∴∠DAG=∠CBG，
∴∠DAG=∠EBG，
∴∠AEB=∠AGB，
∴sin∠AGB=sin∠AEB=；
（2）如图2中，取AB的中点T，连接PT，CP．
∵四边形MNSR与四边形MNBA关于MN对称，T是AB中点，Q是SR中点，
∴PT=PQ，MN垂直平分线段BS，
∴BP=PS，
∵∠BCS=90°，
∴PC=PS=PB，
∴PQ+PS=PT+PC，
当T，P，C共线时，PQ+PS的值最小，最小值=，
∴PQ+PS的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
7．（2023秋·福建漳州·九年级福建省诏安第一中学校考期中）如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，，交BD于点F．
(1)如图1，直按写出的值_______；
(2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为，当为何值时EA=ED?请在图3或备用图中画出图形并求出的值．
答案：(1)
(2)，证明见解析
(3)画图见解析，α的值为30°或150°，
分析：由是正方形ABCD的对角线，可知∠ABD=45°，由垂直可知，，则可求出边相等，进而可知，根据边之间的等量关系可知，故可知；
由（1）知，，，，进而可知边之间的比例关系，由旋转知，，故可证明，根据相似比可证明边之间的等量关系；
（3）连接DE，CE根据边相等的条件，以及角相等的条件可知AE=DE，BE=CE，由四边形ABCD是正方形，可知，AB=BC，进而可得△BCE是等边三角形，，进而可证，即：，同理，也可证明△BCE是等边三角形，，即：．
（1）
是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD=45°，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）
，
理由：由（1）知，，，，
，
由旋转知，，
，
，
；
（3）
如图3，连接DE，CE
∵EA=ED，
∴点E在AD的中垂线上，
∴AE=DE，BE=CE，
∵四边形ABCD是正方形，
，AB=BC，
，
∴△BCE是等边三角形，
，
，即：，
如图4，同理，△BCE是等边三角形，
，即：，
故答案为：30°或150°．
【点睛】本题考查图形的旋转变换，相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，等边三角形的性质，能够根据题意将变换后的图像画出来并构造适合的辅助线是解决本题的关键．
8．(2023春·全国·九年级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，弦AD平分∠BAC，过点D作射线AC的垂线，垂足为M，点E为线段AB上的动点．
(1)求证：MD是⊙O的切线；
(2)若∠B＝30°，AB＝8，在点E运动过程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由；
(3)若点E恰好运动到∠ACB的角平分线上，连接CE并延长，交⊙O于点F，交AD于点P，连接AF，CP＝3，EF＝4，求AF的长．
答案：(1)证明见解析
(2)存在，EC+EM的最小值为，理由见解析
(3)6
分析：（1）连接OD，交BC于点N，通过证明四边形CNDM为矩形得出，利用切线的判定定理即可得出结论．
（2）过点C作，并延长交⊙O于点F，连接MF，交AB于点E，连接EC，利用将军饮马模型可知此时EC+EM的值最小，由题意可得FD为圆的直径，在中，利用勾股定理即可求得结论．
（3）利用角平分线的定义和三角形的外角的性质可以判定为等腰三角形，证明，利用相似三角形的性质得出比例式，解关于AF的方程即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，连接OD，交BC于点N，
AB为直径
弦AD平分∠BAC，
四边形CNDM为矩形
OD为圆的半径
MD是⊙O的切线
（2）解：在点E运动过程中，EC+EM存在最小值，理由如下：
过点C作，并延长交⊙O于点F，连接MF，交AB于点E，连接EC，则此时EC+EM的值最小
弦AD平分∠BAC，
与的度数为
AB是直径
，AB是直径
为半圆
FD为圆的直径
由（1）知：MD是⊙O的切线
由题意得：AB垂直平分FC
由（1）知：四边形CNDM为矩形
在中
在中
EC+EM的最小值为．
（3）解：如图
FC平分，
AD平分，
解得或（不合题意，舍去）
【点睛】本题是一道圆的综合题，此题考查了圆的切线的判定与性质，圆周角定理及其推论，轴对称的性质，角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值，连接半径OD和利用轴对称中的将军饮马模型找出EC+EM存在最小值是解题的关键．
9．(2023秋·湖南永州·九年级统考期中）如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结，当与相似时，求的长．
答案：（1）见解析；（2）y＝(0＜x≤9)；（3）3或．
分析：（1）由AD∥BC知，，结合DB=DC=15，DE=DF=5知，从而得，据此可得答案；
（2）作DP⊥BC，NQ⊥AD，求得BP=CP=9，DP=12，由知BG=CH=2x，BH=18+2x，根据得，即DN＝，再根据知NQ＝，由三角形的面积公式可得答案；
（3）分∠ADN=∠FGH和∠ADN=∠GFH两种情况分别求解可得．
【详解】解：（1）∵AD∥BC，
∴，．
∵DB=DC=15，DE=DF=5，
∴，
∴，
∴BG=CH．
（2）过点D作DP⊥BC，过点N作NQ⊥AD，垂足分别为点P、Q．
∵DB=DC=15，BC=18，
∴BP=CP=9，DP=12．
∵，
∴BG=CH=2x，
∴BH=18+2x．
∵AD∥BC，
∴，
∴，
∴，
∴DN＝．
∵AD∥BC，
∴∠ADN=∠DBC，
∴sin∠ADN=sin∠DBC，
∴，
∴NQ＝．
∴y＝AD•NQ＝x•(0＜x≤9)．
（3）∵AD∥BC，
∴∠DAN=∠FHG．
（i）当∠ADN=∠FGH时，
∵∠ADN=∠DBC，
∴∠DBC=∠FGH，
∴BD∥FG，
∴，
∴，
∴BG=6，
∴AD=3．
（ii）当∠ADN=∠GFH时，
∵∠ADN=∠DBC=∠DCB，
又∵∠AND=∠FGH，
∴△ADN∽△FCG．
∴，
∴x•(18−2x)＝ •10，整理得x2-3x-29=0，
解得x＝，或x＝（舍去）．
综上所述，当△HFG与△ADN相似时，AD的长为3或．
【点睛】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质、分类讨论思想的运用等知识点．
10．（2023·安徽·九年级专题练习）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）求证EG2＝GF•AF；
（3）若AG＝3，EG＝，求BE的长．
答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
分析：（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；
（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；
（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD-GH求解即可．
【详解】（1）证明：∵GE∥DF，
∴∠EGF=∠DFG．
∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，
∴∠DGF=∠DFG．
∴GD=DF．
∴DG=GE=DF=EF．
∴四边形EFDG为菱形．
（2）证明：如图1所示：连接DE，交AF于点O．
∵四边形EFDG为菱形，
∴GF⊥DE，，
∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴，即DF2=FO•AF．
∵，
∴；
（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．
∵，
∴，整理得：FG2+3FG-10=0．
解得：FG=2，FG=-5（舍去）．
∵
∴
∵GH⊥DC，AD⊥DC，
∴GH∥AD．
∴△FGH∽△FAD．
∴，即，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键．
11．(2023秋·江苏泰州·九年级靖江市靖城中学校联考阶段练习）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折至的位置．
（1）如图1，当点F落在矩形ABCD内部时，连接CF并延长，交AD于点G，若，，，则GF的长度为________________；
（2）如图2，当点C恰好落在AD边上点F处时，若，且，求BC的长；
（3）如图3，当点C恰好落在AD边上点F处时，延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值．
答案：（1）；（2）；（3）
分析：（1）设CF交BE于点H，利用勾股定理求得，证，利用相似三角形的性质求出的长，由翻折得，求得，最后；
（2）由翻折和矩形的性质证出，利用相似三角形的性质运算求出的长，由线段的数量关系得到，利用勾股定理求得的长，再由计算即可；
（3）过点作于点，证出，，利用相似三角形的比值关系和角平分线的性质分别用含和的式子表示出，，的长，利用勾股定理可得到，代入后可得到与的数量关系，即可用含的式子表示出，再利用比值关系进行比较即可．
【详解】（1）设CF交BE于点H，

∵四边形为矩形
∴，
∴
由翻折可得：，
∴为的中垂线
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
由翻折得
∴
∴
故答案为：
（2）∵将沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处
∴，
又∵矩形ABCD中，
∴，
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
（3）过点作于点
∵
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴，设
∵平分，，
∴，，设，则
∵
∴
解得
∴
∴
【点睛】本题主要考查了矩形的翻折综合，其中涉及到了相似三角形的性质及判定，勾股定理，角平分线的性质，熟悉利用相似三角形的比值关系进行列式运算是解题的关键．
12．（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．
（1）矩形 垂等四边形（填 “是”或“不是”）；
（2）如图1，在正方形中，点、、分别在、、上，四边形是垂等四边形，且，．
①求证：；
②若，求的值；
（3）如图2，在中，， 以为对角线，作垂等四边形．过点作的延长线的垂线，垂足为，且与相似，则四边形的面积是 ．
答案：（1）是；（2）①见解析；②；（3）或
分析：（1）根据“垂等四边形”的定义进行分析；
（2）①通过的性质推知；然后根据四边形是垂等四边形的性质知；最后由等量代换证得结论；
②如图1，过点作，垂足为，首先证明为等腰直角三角形，则；然后证得为等腰直角三角形；再次，根据等腰直角三角形的性质和已知条件得到：，．代入求值即可；
（3）如图2，过点作，垂足为，构造矩形．在中，利用勾股定理求得，．再由垂等四边形四边形的性质知．
分两种情况：当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果；
当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果．
【详解】解：（1）矩形有一组邻边垂直且对角线相等，故矩形是垂等四边形．
故答案为：是；
（2）①证明：四边形为正方形，
，．
又，
，
．
四边形是垂等四边形，
，
；
②如图1，过点作，垂足为，
四边形为矩形，
．
由①知，
．
由题意知，，，
，
即，
为等腰直角三角形，
．
又，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，．
，
；
（3）如图2，过点作，垂足为，
四边形为矩形．
，
．
在中，，
根据勾股定理得，，即，
，．
四边形为垂等四边形，
．
第一种情况：
当时，
，
设，则，
．
在中，根据勾股定理得，，
即，
解得，（舍去），
，，
；
第二种情况：
当时，
，
设，则，
．
在中，根据勾股定理得，，
即，
解得，（舍去），
，，
．
综上所述，四边形的面积为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了相似综合题，综合运用相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识点解题，解题的关键是掌握“垂等四边形”的定义，另外解题过程中，注意方程思想的应用．难度较大．
13．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知中，AB=AC=m，BC=n，，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a，得线段PD，E、F分别是CB、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：
（1）填空：
【问题发现】
小明研究了时，如图1，求出了___________，___________；
小红研究了时，如图2，求出了___________，___________；
【类比探究】
他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了；
【归纳总结】
最后他们终于共同探究得出规律：__________(用含m、n的式子表示)；___________ (用含α的式子表示)．
（2）求出时的值和的度数．
答案：（1）【问题发现】，60°；，45°；【类比探究】见（2）题的解析；【归纳总结】，；（2），30°
分析：（1）当时，△ABC和△PDC都是等边三角形，可证△ACP∽△ECF，从而有，∠Q＝＝∠ACB＝60°；当时，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形，同理可证△ACP∽△ECF即可解决，依此可得出规律；
（2）当，可证，，从而有，由∠ECF＝∠ACP，可得△PCA∽△FCE即可解决问题．
【详解】（1）[问题发现]如图1，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，
当时，△ABC和△PDC都是等边三角形，
∴∠PCD＝∠ACB＝60°，PC＝CD，AC＝CB，
∵F、E分别是CD、BC的中点，
∴，，
∴，
又∵∠ACP＝∠ECF，
∴△ACP∽△ECF，
∴，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝＝∠ACB＝60°，
当时，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形，
如图2，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，
∴∠PCD＝∠ACB＝45°，PC＝CD，AC＝CB，
∵F、E分别是CD、BC的中点，
∴，，
∴，
又∵∠ACP＝∠ECF，
∴△ACP∽△ECF，
∴，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝＝∠ACB＝45°，
[归纳总结]
由此，可归纳出，＝∠ACB＝；
（2）当，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，
∵AB＝AC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，∠CAE＝60°
∴sin60°＝，
同理可得：，
∴，
∴，
又∵∠ECF＝∠ACP，
∴△PCA∽△FCE，
∴，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝＝∠ACB＝30°．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定与性质，通过解决本题感受到：图形在变化但解决问题的方法不变，体会“变中不变”的思想．