高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)1.3复数(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)1.3复数(精讲)(原卷版+解析)，共20页。


【知识储备】
1．复数的有关概念
(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．
(2)分类：
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)模：向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
3．复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即eq \(OZ,\s\up6(→))＝eq \(OZ1,\s\up6(—→))＋eq \(OZ2,\s\up6(—→))，eq \(Z1Z2,\s\up6(—→))＝eq \(OZ2,\s\up6(—→))－eq \(OZ1,\s\up6(—→)).
4．复数的三角形式
如图的复平面中，r＝eq \r(a2＋b2)，cs θ＝eq \f(a,r)，sin θ＝eq \f(b,r)，tan θ＝eq \f(b,a)(a≠0)．
任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成z＝r(cs θ＋isin θ)的形式．我们把r(cs θ＋isin θ)叫做复数的三角形式．
对应于复数的三角形式，把z＝a＋bi叫做复数的代数形式．
复数乘、除运算的三角表示：已知复数z1＝r1(cs θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cs θ2＋isin θ2)，则
z1·z2＝r1r2[cs(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．eq \f(z1,z2)＝eq \f(r1,r2)[cs(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
【题型精讲】
【题型一 复数的有关概念】
必备技巧 解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
例1 (2023·安徽淮北·一模）若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．的虚部为B．在复平面内对应的点在第四象限
C．D．的共轭复数为
例2 (2023·安徽黄山·二模）已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．
C．D．
例3 (2023·辽宁·二模）设（i为虚数单位），若为实数，则a的值为（ ）
A．2B．C．1D．
【题型精练】
1. (2023·浙江省义乌中学模拟预测）已知复数，其中是虚数单位，，下列选项中正确的是（ ）
A．若是纯虚数，则这个纯虚数为
B．若为实数，则
C．若在复平面内对应的点在第一象限，则
D．当时，
2．(2023·广东茂名·二模）（多选）已知复数，，若为实数，则下列说法中正确的有（ ）
A．B．
C．为纯虚数D．对应的点位于第三象限
3．(2023·江西鹰潭·一模）已知复数满足 （其中为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A．1B．C．2D．
4. (2023·内蒙古赤峰·三模）若复数满足，则（ ）
A．
B．是纯虚数
C．复数在复平面内对应的点在第二象限
D．若复数在复平面内对应的点在角的终边上，则
【题型二 复数的四则运算】
必备技巧 复数的四则运算
(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
例4 (2023·陕西·西安中学二模）若复数，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
例5 (2023·河北·高三阶段练习）已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
例6 (2023·江苏连云港·模拟预测）已知复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1．(2023·上海民办南模中学高三阶段练习）在复数范围内，下列命题中为真命题的序号是______．
①； ②若，则；
③若，则； ④；
⑤，则； ⑥；
⑦两个共轭复数的差是纯虚数；⑧若，则z必为实数．
2. （2023·北京·高考真题）在复平面内，复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·江苏·新沂市第一中学模拟预测）复数（ ）
A．B．C．1D．
4. (2023·全国·高三专题练习）已知a，，i是虚数单位.若，则（ ）
A．B．C．D．
【题型三 复数的几何意义】
必备技巧 复数的几何意义
(1)复数z、复平面上的点Z及向量eq \(OZ,\s\up7(―→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq \(OZ,\s\up7(―→))；
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
例7 (2023·河南·洛宁县第一高级中学高三阶段练习）复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
例8 (2023江西省景德镇一中月考）在复平面内，平行四边形的三个顶点，A，B，C对应的复数分别为，，(为虚数单位)，则点D对应的复数为（ ）
A. B. C. D.
例9 (2023·贵州毕节·三模）已知复数在复平面内对应的点与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则复数的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1．(2023·全国·江西科技学院附属中学高三阶段练习）如图所示，在复平面内，复数对应的点为，则（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·全国·模拟预测）已知点，，，复数，在复平面内对应的向量分别是，，则复数（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·宁夏·石嘴山市第一中学三模）设复数，若复数对应的点在直线上， 则的最小值为___________
【题型四 复数的模】
必备技巧 复数的模
1.复数的模：设eq \(OZ,\s\up6(→))对应的复数为z＝a＋bi，则向量eq \(OZ,\s\up6(→))的长度叫做复数z＝a＋bi的模，|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2).
2.两个复数的差的模的几何意义
两个复数的差的模的几何意义是∶复平面内与这两复数对应的两点之间的距离.即设复数在复平面内对应的点分别是，则=
例10 (2023·北京市十一学校高三阶段练习）若复数z满足，则（ ）
A．1B．2C．D．
例11 (2023·河南开封·高三阶段练习）已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
例12 (2023·全国·高三专题练习）若复数z满足，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．5D．6
【题型精练】
1．(2023·陕西西安·三模）已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·广东·金山中学高三阶段练习）已知复数z满足，若z在复平面内对应的点为，则（ ）
A．B．
C．D．
3. (2023·全国·高三专题练习）若z是复数，|z+2-2i|＝2，则|z+1-i|+|z|的最大值是（ ）
A．B．C．D．
满足条件(a，b为实数)
复数的分类
a＋bi为实数⇔b＝0
a＋bi为虚数⇔b≠0
a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0
1.3 复数
【题型解读】
【知识储备】
1．复数的有关概念
(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．
(2)分类：
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)模：向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
3．复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即eq \(OZ,\s\up6(→))＝eq \(OZ1,\s\up6(—→))＋eq \(OZ2,\s\up6(—→))，eq \(Z1Z2,\s\up6(—→))＝eq \(OZ2,\s\up6(—→))－eq \(OZ1,\s\up6(—→)).
4．复数的三角形式
如图的复平面中，r＝eq \r(a2＋b2)，cs θ＝eq \f(a,r)，sin θ＝eq \f(b,r)，tan θ＝eq \f(b,a)(a≠0)．
任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成z＝r(cs θ＋isin θ)的形式．我们把r(cs θ＋isin θ)叫做复数的三角形式．
对应于复数的三角形式，把z＝a＋bi叫做复数的代数形式．
复数乘、除运算的三角表示：已知复数z1＝r1(cs θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cs θ2＋isin θ2)，则
z1·z2＝r1r2[cs(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．eq \f(z1,z2)＝eq \f(r1,r2)[cs(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
【题型精讲】
【题型一 复数的有关概念】
必备技巧 解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
例1 (2023·安徽淮北·一模）若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．的虚部为B．在复平面内对应的点在第四象限
C．D．的共轭复数为
答案：D
【解析】.
的虚部为，故A错误；
在复平面内对应的点在第一象限，故B错误；
，故C错误；
的共轭复数为，故D正确.
故选：D.
例2 (2023·安徽黄山·二模）已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】，，
，故复数的虚部为.
故选：A
例3 (2023·辽宁·二模）设（i为虚数单位），若为实数，则a的值为（ ）
A．2B．C．1D．
答案：A
【解析】，
因为为实数，所以，解得.故选：A.
【题型精练】
1. (2023·浙江省义乌中学模拟预测）已知复数，其中是虚数单位，，下列选项中正确的是（ ）
A．若是纯虚数，则这个纯虚数为
B．若为实数，则
C．若在复平面内对应的点在第一象限，则
D．当时，
答案：D
【解析】，
对于A：当是纯虚数时，则且，解得，此时这个纯虚数为，故A不正确；
对于B：当为实数时，则，解得，故B不正确；
对于C：当在复平面内对应的点在第一象限，则，解得，故C不正确；
对于D：当时，，所以，故D正确，故选：D.
2．(2023·广东茂名·二模）（多选）已知复数，，若为实数，则下列说法中正确的有（ ）
A．B．
C．为纯虚数D．对应的点位于第三象限
答案：AC
【解析】因为为实数，所以，解得，
所以，，所以，故A正确，
，故B错误，
因为，所以，故C正确，
因为，所以，其对应的点在第四象限，故D错误．
故选:AC．
3．(2023·江西鹰潭·一模）已知复数满足 （其中为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A．1B．C．2D．
答案：C
【解析】依题意，
，
所以的虚部为.
故选：C
4. (2023·内蒙古赤峰·三模）若复数满足，则（ ）
A．
B．是纯虚数
C．复数在复平面内对应的点在第二象限
D．若复数在复平面内对应的点在角的终边上，则
答案：D
【解析】由题设，且对应点在第一象限，A、C错误；
不是纯虚数，B错误；由在复平面内对应的点为，所以，D正确.
故选：D
【题型二 复数的四则运算】
必备技巧 复数的四则运算
(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
例4 (2023·陕西·西安中学二模）若复数，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为
.
所以，故的虚部为.
故选：A
例5 (2023·河北·高三阶段练习）已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】，故选：C．
例6 (2023·江苏连云港·模拟预测）已知复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题意， ， ，
；
故选：D.
【题型精练】
1．(2023·上海民办南模中学高三阶段练习）在复数范围内，下列命题中为真命题的序号是______．
①； ②若，则；
③若，则； ④；
⑤，则； ⑥；
⑦两个共轭复数的差是纯虚数；⑧若，则z必为实数．
答案：①⑤⑧
【解析】①设，则，
所以①正确
②设，
，但与不能比较大小
所以②不正确
③设，，
则
所以③不正确
④设，
则，
所以④不正确
⑤设，
则，
⑥当，时，，
所以⑥不正确
⑦如果两个复数是实数，差值也是实数，
所以⑦不正确
⑧设（，），则，
所以⑧正确
故答案为：①⑤⑧
2. （2023·北京·高考真题）在复平面内，复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题意可得：.
故选：D.
3. (2023·江苏·新沂市第一中学模拟预测）复数（ ）
A．B．C．1D．
答案：D
【解析】因为，所以故选：D
4. (2023·全国·高三专题练习）已知a，，i是虚数单位.若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因，a，，则有，
所以.
故选：B
【题型三 复数的几何意义】
必备技巧 复数的几何意义
(1)复数z、复平面上的点Z及向量eq \(OZ,\s\up7(―→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq \(OZ,\s\up7(―→))；
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
例7 (2023·河南·洛宁县第一高级中学高三阶段练习）复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：D
【解析】，，
，
，则对应的点为，位于第四象限.
故选：D.
例8 (2023江西省景德镇一中月考）在复平面内，平行四边形的三个顶点，A，B，C对应的复数分别为，，(为虚数单位)，则点D对应的复数为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
【解析】由题知，，，，设.
则，.
因为为平行四边形，所以.
由，解得，
所以点对应的复数为.
故选：A.
例9 (2023·贵州毕节·三模）已知复数在复平面内对应的点与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则复数的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】复数在复平面内对应的点为，关于虚轴对称的点为，
所以，复数在复平面内对应的点为，即，
所以，.
故选：D
【题型精练】
1．(2023·全国·江西科技学院附属中学高三阶段练习）如图所示，在复平面内，复数对应的点为，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】依题意，得，
则.
故选：A.
2. (2023·全国·模拟预测）已知点，，，复数，在复平面内对应的向量分别是，，则复数（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】依题意知，，于是，
故选：C.
3. (2023·宁夏·石嘴山市第一中学三模）设复数，若复数对应的点在直线上， 则的最小值为___________
答案：9
【解析】
故复数对应的点的坐标为 ，又因为点在直线
，整理得：
当且仅当 时，即 时等号成立，即的最小值为9
故答案为：9
【题型四 复数的模】
必备技巧 复数的模
1.复数的模：设eq \(OZ,\s\up6(→))对应的复数为z＝a＋bi，则向量eq \(OZ,\s\up6(→))的长度叫做复数z＝a＋bi的模，|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2).
2.两个复数的差的模的几何意义
两个复数的差的模的几何意义是∶复平面内与这两复数对应的两点之间的距离.即设复数在复平面内对应的点分别是，则=
例10 (2023·北京市十一学校高三阶段练习）若复数z满足，则（ ）
A．1B．2C．D．
答案：D
【解析】设，则，∴解得∴.
故选：D
例11 (2023·河南开封·高三阶段练习）已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】，表示点，
故复数的轨迹是以为圆心，半径为1的圆.
故选：C
例12 (2023·全国·高三专题练习）若复数z满足，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．5D．6
答案：C
【解析】设.则表示复平面点到点的距离为3.
则的最大值为点到的距离加上3.即.故选：C.
【题型精练】
1．(2023·陕西西安·三模）已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由，
所以，
故选：B
2. (2023·广东·金山中学高三阶段练习）已知复数z满足，若z在复平面内对应的点为，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】因为复数z满足，所以，
即，化简得：，
故选：C
3. (2023·全国·高三专题练习）若z是复数，|z+2-2i|＝2，则|z+1-i|+|z|的最大值是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】设z＝x+yi(x，y∈R)，
由|z+2-2i|＝2知，动点的轨迹可看作以为圆心，2为半径的圆，
|z+1-i|+|z|可看作点P到和的距离之和，
而|CO|＝，|CA|＝，
易知当P，A，O三点共线时，|z+1-i|+|z|取得最大值时，
且最大值为|PA|+|PO|＝(|CA|+2)+(|CO|+2)＝，
故选：D．
满足条件(a，b为实数)
复数的分类
a＋bi为实数⇔b＝0
a＋bi为虚数⇔b≠0
a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0