高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)1.4不等式的性质及一元二次不等式(精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)1.4不等式的性质及一元二次不等式(精练)(原卷版+解析)，共21页。


【题型一 不等式性质的应用】
1. (2023·安徽黄山·二模）设实数、满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·全国·高三专题练习）若实数，，满足，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·山西·模拟预测）若，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·河南·模拟预测）设则（ ）
A．B．
C．D．
5. （多选）（2023·山东潍坊·模拟预测）16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6. （多选题）(2023·广东汕头·二模）已知a，b，c满足cA．ac（a-c）>0B．c（b-a）<0C．D．
7. (2023·安徽亳州·高三期末）设，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型二 比较数（式）的大小】
1. (2023·山东·模拟预测）已知非零实数m，n满足，则下列关系式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2. (2023·全国·高三练习）（1）试比较与的大小；
（2）已知，，求证：．
3. (2023·四川凉山·二模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【题型三 不等式性质的应用】
1. (2023·全国·江西科技学院附属中学模拟预测）已知实数、满足，，则的取值范围为______．
2. (2023·全国·高三专题练习）若满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·全国·高三专题练习）已知函数，当时，恒成立，则____________．
4. (2023·全国·高三专题练习）设x，y为实数，满足，，则的最小值是______.
5. (2023·全国·高三专题练习）已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求a－b与的取值范围.
【题型四 一元二次不等式的解法】
1. (2023·河南·信阳高中高三期末）设集合，N=x∈Zx2−12x−5≤0，则（ ）
A．B．
C．D．
2. (2023·新疆乌鲁木齐·二模）不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．或
3. (2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式：，当时解不等式．
4. (2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，求在上的值域；
(2)当时，解关于的不等式．
5. (2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式：.
【题型五 一元二次不等式成立求参】
1. (2023·海南·嘉积中学）对任意的，恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2.(2023·全国·高三专题练习）不等式对一切实数恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3.(2023·浙江·高三专题练习）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4.(2023·全国·高三专题练习）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5. (2023·全国·高三专题练习）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6. (2023·全国·高三专题练习）已知时，不等式恒成立，则的取值范围为
A．(-∞，2)∪(3，+∞)B．(-∞，1)∪(2，+∞)
C．(-∞，1)∪(3，+∞)D．(1，3)
7. (2023·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型六 一元二次方程根的分布】
1. (2023·浙江·高三专题练习）若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·全国·高三专题练习）若一元二次方程的两个实根都大于，则的取值范围____
3. (2023·重庆一中高三阶段练习）若方程的两实根中一个小于，另一个大于2，则 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为_______
5. (2023·全国·高三专题练习）设，若，求证：
(Ⅰ) 且；
(Ⅱ)方程在内有两个实根.
1.4 不等式的性质及一元二次不等式
【题型解读】
【题型一 不等式性质的应用】
1. (2023·安徽黄山·二模）设实数、满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】对于A：当，时不成立，故A错误；
对于B：当，，所以，，即，故C错误；
对于C：当时不成立，故C错误；
对于D：因为，所以，又，
所以（等号成立的条件是），故D正确.
故选：D.
2. (2023·全国·高三专题练习）若实数，，满足，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】实数，，满足，
所以对于：当，，时，不成立，故错误；
对于：当，，时，，故错误；
对于：由于，所以，故，故正确；
对于：当，，时，无意义，故错误．故选：．
3. (2023·山西·模拟预测）若，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】∵，∴，∴，故A错误；
∵，∴，∴．
∵，∴，故B正确；
∵，∴．故C错误；
令，此时．故D错误．
故选：B．
4. (2023·河南·模拟预测）设则（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】又，即，则
，，又，由于，所以，故，即，综上：
故选：A
5. （多选）（2023·山东潍坊·模拟预测）16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：AC
【解析】解：对于A，由，可得，故A正确；
对于B，由，当时，可得，故B错误；
对于C，由，当时，可得，，可得，当，时，可得，当时，，可得，故C正确；
对于D，当，时，，，故D错误．
故选：AC．
6. （多选题）(2023·广东汕头·二模）已知a，b，c满足cA．ac（a-c）>0B．c（b-a）<0C．D．
答案：BCD
【解析】因为a，b，c满足c所以，
所以ac（a-c）<0 ，c（b-a）<0，，，
故选：BCD
7. (2023·安徽亳州·高三期末）设，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】因为，所以，所以，故A错误；
因为，当时，，故B错误；
由，且时，，
所以，故C错误；
因为，所以
所以 ，故D正确.
故选：D.
【题型二 比较数（式）的大小】
1. (2023·山东·模拟预测）已知非零实数m，n满足，则下列关系式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】因为，所以.
取，，得，故A选项不正确；
取，，得，所以，故B选项不正确；取，，得，故C选项不正确；
当时，则，所以，所以，
当时，则，，所以，
当时，，所以，综上得D选项正确，
故选：D.
2. (2023·全国·高三练习）（1）试比较与的大小；
（2）已知，，求证：．
答案：（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由题意，
，
所以．
（2）证明：因为，所以，即，
而，所以，则．得证．
3. (2023·四川凉山·二模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为，所以；
令，，所以在上单调递增，
因为，所以，即，
所以，所以；
同理，所以，即，也即，
所以，所以.综上，，
故选：D.
4. (2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】，即，∵，∴综上，.
故选：B
【题型三 不等式性质的应用】
1. (2023·全国·江西科技学院附属中学模拟预测）已知实数、满足，，则的取值范围为______．
答案：
【解析】解：设，则，解得，
所以，
因为，，
所以，，
所以，
故答案为：.
2. (2023·全国·高三专题练习）若满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由，可得，
又由，可得，
因为，可得，
所以，即的取值范围是.
故选：A.
3. (2023·全国·高三专题练习）已知函数，当时，恒成立，则____________．
答案：-3
【解析】当时，恒成立，则对任意恒成立，
则时，恒成立
①
②
③
④
①+②
③+④
，
代入①
代入③
，
，
﹒
证明满足题意：
，则，
由表可知，|f(x)|≤1在[-1，1]上恒成立满足题意﹒
故答案为：-3.
4. (2023·全国·高三专题练习）设x，y为实数，满足，，则的最小值是______.
答案：
【解析】设
即
所以，解得
所以
因为，，
所以
由不等式性质可知
即，当且仅当时取等号，解得.
综上可知，的最小值为.
故答案为：.
5. (2023·全国·高三专题练习）已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求a－b与的取值范围.
答案：－7＜a－b＜2；＜＜2.
【解析】因为1＜a＜4，2＜b＜8，
所以－8＜－b＜－2.
所以1－8＜a－b＜4－2，
即－7＜a－b＜2.
因为2＜b＜8，
所以＜＜，
所以＜＜＝2，
即＜＜2.
【题型四 一元二次不等式的解法】
1. (2023·河南·信阳高中高三期末）设集合，N=x∈Zx2−12x−5≤0，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
，即，解得：，故
解得：，又，故，故.
故选：C
2. (2023·新疆乌鲁木齐·二模）不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．或
答案：D
【解析】由解得，或，
所以不等式的解集为或，
故选：D.
3. (2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式：，当时解不等式．
答案：答案不唯一，具体见解析
【解析】原不等式可变形为：，
当时，，所以，即原不等式的解集为；
当时，，所以，即原不等式的解集为；
当时，，令，所以，
若时，，所以原不等式的解集为，
若时，，所以原不等式的解集为，
若时，，所以原不等式的解集为，
综上可知：时，原不等式的解集为；
时，原不等式的解集为；
时，原不等式的解集为；
时，原不等式的解集为．
4. (2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，求在上的值域；
(2)当时，解关于的不等式．
答案：(1)
(2)答案见解析
【解析】(1)当时，是开口向上，对称轴为的二次函数，又，
所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；
所以，
又，，因此在上的值域为.
(2)∵．
①当时，，即解集为；
②当时，且开口方向向下，
所以的解集为
③当时，若，即时，原不等式的解集为；
若，即，原不等式的解集为
若，即，原不等式的解集为
综上，当时，的解集为；
当时，的解集为；
当时，的解集为
当时，的解集为；
当时，的解集为．
5. (2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式：.
【解析】由得，
∵，
当，即时，不等式的解为或.
当，即时，不等式的解为或，
当，即时，不等式的解，
所以当时原不等式的解集为，
当时原不等式的解集为，
当时不等式的解集为.
【题型五 一元二次不等式成立求参】
1. (2023·海南·嘉积中学）对任意的，恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】当时，由得：，（当且仅当，即时取等号），，解得：，即的取值范围为.选：D.
2.(2023·全国·高三专题练习）不等式对一切实数恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】当，即时，可化为，即不等式恒成立；
当，即时，因为对一切实数恒成立，所以，
解得；综上所述，.故选：C.
3.(2023·浙江·高三专题练习）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】若不等式对一切恒成立，则，即
，在单调递增，，所以.故选：C
4.(2023·全国·高三专题练习）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为对任意的恒成立，所以任意的恒成立，
因为当，，所以，，即m的取值范围是故选：A
5. (2023·全国·高三专题练习）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】令，对一切均大于0恒成立，
所以 ，或，或，
解得或，，或，综上，实数的取值范围是，或.故选：A.
6. (2023·全国·高三专题练习）已知时，不等式恒成立，则的取值范围为
A．(-∞，2)∪(3，+∞)B．(-∞，1)∪(2，+∞)
C．(-∞，1)∪(3，+∞)D．(1，3)
答案：C
【解析】由题意，因为时，不等式恒成立，
可转化为关于的函数，则对应任意恒成立，
则满足，解得：或，即的取值范围为.选：C
7. (2023·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】，即函数的最小值小于0即可，，故，解得：
故选：D
【题型六 一元二次方程根的分布】
1. (2023·浙江·高三专题练习）若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为关于的方程有两个不同的正根，
所以，解得，故实数的取值范围是.故选：C
2. (2023·全国·高三专题练习）若一元二次方程的两个实根都大于，则的取值范围____
答案：或.
【解析】由题意得应满足解得：或.
故答案为：或.
3. (2023·重庆一中高三阶段练习）若方程的两实根中一个小于，另一个大于2，则 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为方程有两根，一个大于,另一个小于，所以
函数 有两零点，一个大于，另一个小于，由二次函数的图像可知，
，即:
解得:
故选:A.
4. (2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为_______
答案：
【解析】解：由题意得：关于的不等式在区间上有解，等价于不等式在区间上有解，
设，则函数在上单调递增，所以，
所以实数的取值范围为.
5. (2023·全国·高三专题练习）设，若，求证：
(Ⅰ) 且；
(Ⅱ)方程在内有两个实根.
答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.
【解析】
分析：
（Ⅰ）先由条件求得的符号，结合条件可得；
（Ⅱ）根据的符号可得.
【详解】
（Ⅰ）因为，所以.
由条件，消去，得；
由条件，消去，得，.
故.
（Ⅱ）函数的顶点坐标为，
在的两边乘以，得.
又因为而
又因为在上单调递减，在上单调递增，
所以方程在区间与内分别各有一实根.
1
↗
极大值：1
↘
极小值：
↗
1