高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)1.5基本不等式8大题型(精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)1.5基本不等式8大题型(精练)(原卷版+解析)，共18页。


【题型一 基本不等式及其应用】
1. (2023·黑龙江·哈九中三模）已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2. （多选题）(2023·全国·高三专题练习）下列函数中最小值为6的是（ ）
A．B．
C．D．
3. （多选）(2023·重庆八中高三阶段练习）设，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4. (2023·山西运城·模拟预测）已知等比数列的公比为q，且，则下列选项不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【题型二 直接法求最值】
1. (2023·全国·模拟预测）若实数a，b满足，则ab的最大值为（ ）
A．2B．1C．D．
2. （多选题）(2023·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知，是两个正数，4是与的等比中项，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是1B．的最大值是1
C．的最小值是D．的最大值是
3. (2023·全国·高三专题练习）已知实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·广东河源·模拟预测）函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【题型三 凑配法求最值】
1. (2023·江苏省天一中学高三期末）设实数满足，则函数的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2. (2023·全国·高三专题练习）若，且，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
3. (2023·浙江·镇海中学模拟预测）已知，则的最小值为___________.
4. (2023·山西·怀仁市第一中学校二模）函数的最小值为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【题型四 “1”的代换法求最值】
1. (2023·安徽·高三阶段练习）已知，，，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．4D．6
2. （多选）(2023·河北保定·一模）下面描述正确的是（ ）
A．已知，，且，则
B．函数，若，且，则的最小值是
C．已知，则的最小值为
D．已知，则的最小值为
3. (2023·辽宁·模拟预测）已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．12
4. (2023·天津河北·一模）已知，，且，则的最大值为__________.
【题型五 消元法求最值】
1. (2023·全国·高三专题练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．6
2. (2023·全国·高三专题练习）若，且，则的最小值为_________
【题型六 二次商式求最值】
1. (2023·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值
（1）；
（2）.
2. (2023·江西南昌·高三期末）当时，函数的最小值为___________．
3．(2023·全国·高三专题练习）若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为（ ）
A．3B．2C．1D．-1
【题型七 基本不等式求参】
1. (2023·全国·高三专题练习）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B． C．D．
2. (2023·全国·高三专题练习）设，，且恒成立，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·甘肃·无高三期末）已知正实数a，b满足，若不等式对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·全国·高三专题练习）不等式对任意正数x，y，z恒成立，则a的最大值是__________．
【题型八 基本不等式的实际应用】
1. (2023·河南·模拟预测）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10黄金，售货员先将5的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为，则（ ）
A．B．C．D．以上都有可能
2. (2023·全国·高三课时练习）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2022年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．
(1)将该厂家2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；
(2)该厂家2022年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？
1.5 基本不等式8大题型
【题型解读】
【题型一 基本不等式及其应用】
1. (2023·黑龙江·哈九中三模）已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】x，y都是正数，
由基本不等式，，，，这三个不等式都是当且仅当时等号成立，而题中，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；
中当且仅当时取等号，如即可取等号，D中不等式不恒成立．
故选：D．
2. （多选题）(2023·全国·高三专题练习）下列函数中最小值为6的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：BC
【解析】对于A选项，当时，，此时，故A不正确.
对于B选项，，当且仅当，即时取“”，故B正确.
对于C选项，，当且仅当，即时取“”，故C正确.
对于D选项，，
当且仅当，即无解，故D不正确.
故选：BC.
3. （多选）(2023·重庆八中高三阶段练习）设，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：AB
【解析】对于A：因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以成立.故A正确；
对于B：因为，所以，当且仅当时取等号.
所以成立.故B正确；
对于C：因为，所以，所以.
记，则，所以，所以
，即.故C错误；
对于D：因为所以.故D错误.
故选：AB
4. (2023·山西运城·模拟预测）已知等比数列的公比为q，且，则下列选项不正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为等比数列的公比为q，且，所以，，，，
所以，当且仅当，即时取等号，故A正确；
所以，当时，故B错误；
，故C正确；
，故D正确；
故选：B
【题型二 直接法求最值】
1. (2023·全国·模拟预测）若实数a，b满足，则ab的最大值为（ ）
A．2B．1C．D．
答案：D
【解析】∵，，
∴，即，当且仅当时等号成立，
∴．
故选：D．
2. （多选题）(2023·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知，是两个正数，4是与的等比中项，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是1B．的最大值是1
C．的最小值是D．的最大值是
答案：BC
【解析】因为，所以，
所以，可得，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为1，故错误，B正确．
因为，
故的最小值为，无最大值，故C正确，D错误．
故选：BC
3. (2023·全国·高三专题练习）已知实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】若ab+c取最小值，则ab异号，c＜0，根据题意得：，
又由，即有，，
当，分别取时，等号成立，即 的最小值为-5，故选：D
4. (2023·广东河源·模拟预测）函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】（当且仅当，即时等号成立），
（当且仅当，即时等号成立）.
两个等号可以同时成立，的最小值为.故选：C.
【题型三 凑配法求最值】
1. (2023·江苏省天一中学高三期末）设实数满足，则函数的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案：A
【解析】，
函数，当且仅当，即时取等号．
因此函数的最小值为3．
故选：A．
2. (2023·全国·高三专题练习）若，且，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
答案：D
【解析】因，且，则，即有，同理，
由得：，
于是得，
当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为.
故选：D
3. (2023·浙江·镇海中学模拟预测）已知，则的最小值为___________.
答案：9
【解析】，
当且仅当时等号成立，取等条件满足，所以的最小值为9.
故答案为：9
4. (2023·山西·怀仁市第一中学校二模）函数的最小值为（ ）
A．8B．7C．6D．5
答案：D
【解析】因为，所以3x－1>0，
所以，
当且仅当，即x =1时等号成立，
故函数的最小值为5．
故选：D．
【题型四 “1”的代换法求最值】
1. (2023·安徽·高三阶段练习）已知，，，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．4D．6
答案：C
【解析】因为，，，所以，当且仅当，即，时取等号；
故选：C
2. （多选）(2023·河北保定·一模）下面描述正确的是（ ）
A．已知，，且，则
B．函数，若，且，则的最小值是
C．已知，则的最小值为
D．已知，则的最小值为
答案：AC
【解析】对于选项A，∵，，，∴，∴，当且仅当时取等号，∴，∴A正确；
对于选项B：因为，所以，又，所以由对勾函数的单调性可知函数在上单调递减，所以，即，故B不正确；
对于选项C，根据题意，已知，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，故C正确；
对于选项D，，令，所以，所以，此时无解，所以选项D不正确，
故选：AC．
3. (2023·辽宁·模拟预测）已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．12
答案：C
【解析】由，且，可得，
所以
，当且仅当，即，时取等号．
故选：C
4. (2023·天津河北·一模）已知，，且，则的最大值为__________.
答案：
【解析】
.
因为，，且，
所以
，当且仅当即时取等.
所以.，即的最大值为.
故答案为：.
【题型五 消元法求最值】
1. (2023·全国·高三专题练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．6
答案：B
【解析】由，得，
所以，
当且仅当，即取等号.
故选：B.
2. (2023·全国·高三专题练习）若，且，则的最小值为_________
答案：
【解析】令，则，
则，即，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
【题型六 二次商式求最值】
1. (2023·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值
（1）；
（2）.
答案：（1）3；（2）10.
【解析】（1）
∵（当且仅当，即x=1时取等号）
的最小值为3；
（2）令，则，

当且仅当即t=3时取等号
y的最小值为10
2. (2023·江西南昌·高三期末）当时，函数的最小值为___________．
答案：
【解析】因为，则，则，
当且仅当时，等号成立，
所以，当时，函数的最小值为.
故答案为：.
3．(2023·全国·高三专题练习）若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】解：因为，所以，当且仅当即时取等号，因为恒成立，所以，即；
故选：C
4. (2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为（ ）
A．3B．2C．1D．-1
答案：D
【解析】
，
当且仅当,即等号成立.
故选：D.
【题型七 基本不等式求参】
1. (2023·全国·高三专题练习）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B． C．D．
答案：A
【解析】因为，，且，
所以，
当且仅当时，等号成立；
又不等式恒成立，
所以只需，即，解得.
故选：A.
2. (2023·全国·高三专题练习）设，，且恒成立，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】解：等价于，
故得到则的最大值是4.
故选：C.
3. (2023·甘肃·无高三期末）已知正实数a，b满足，若不等式对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为，，，
所以，当且仅当，即，时取等号．
由题意，得，即对任意的实数x恒成立，又，所以，即．
故选：D．
4. (2023·全国·高三专题练习）不等式对任意正数x，y，z恒成立，则a的最大值是__________．
答案：1
【解析】因为，当时取等号，所以
的最大值是，即，
解得，所以a的最大值是1．
故答案为：
【题型八 基本不等式的实际应用】
1. (2023·河南·模拟预测）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10黄金，售货员先将5的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为，则（ ）
A．B．C．D．以上都有可能
答案：A
【解析】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则，
再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，
，，
，
当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即.
因此，顾客购得的黄金.
故选：A.
2. (2023·全国·高三课时练习）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2022年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．
(1)将该厂家2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；
(2)该厂家2022年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？
答案：（1）；（2）2022年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大
【解析】（1）由题意有，得
故
∴

（2）由（1）知：

当且仅当即时，有最大值.
答: 2022年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大.