高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)2.1函数的概念及其表示(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)2.1函数的概念及其表示(精讲)(原卷版+解析)，共18页。


【知识储备】
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
【题型精讲】
【题型一 函数的概念】
必备技巧 函数的概念
(1)函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．
(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．同一函数只需判断定义域和对应关系即可.
例1 (2023·湖南·高三课时练习）设集合，，那么下列四个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③D．②
例2 (2023·全国·高三专题练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．，
B．
C．，
D．，，0，，，，0，
【题型精练】
1. (2023·全国·高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（ ）
A．（1）（2）B．（1）（2）（3）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）
2．（2023·湖南·雅礼中学高三阶段练习）下列各组函数中，，是同一函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【题型二 函数的定义域】
必备技巧 函数的定义域
(1)根据具体的函数解析式求定义域的策略
已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．
(2)求抽象函数的定义域的策略
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．
例3 (2023·湖北省广水市实验高级中学高三阶段练习）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
例4 （1）(2023·北京·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
（2）(2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为______.
例5 (2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1．(2023·重庆巴蜀中学高三期末）已知函数的定义域为[1，10]，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，则a的范围是________．
【题型三 函数的解析式】
必备技巧 函数解析式的求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(4)方程思想：已知关于f(x)与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
例6 (2023·全国·高三专题练习）已知是一次函数，且，则的解析式为
A．或B．或
C．或D．或
例7 (2023·全国·高三专题练习）已知，则函数f(x)=_______，=_______．
例8 (2023·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数f(x)的解析式．
（1）已知f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)，则f(x)的解析式为________________．
（2）已知f(x)满足2f(x)+f()=3x，求f(x)的函数解析式．
（3）已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
2. (2023·全国·高三专题练习）已知为二次函数，，，求的解析式．
3. (2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·贵州安顺市月考）已知函数满足，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【题型四 分段函数】
必备技巧 分段函数
(1)分段函数的求值问题的解题思路
①求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路
依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．
例9 (2023·广东梅州·二模）设函数，则（ ）
A．2B．6C．8D．10
例10 (2023·广西广西·模拟预测（理））已知，若，则（ ）
A．2B．C．1D．0
例11 (2023·江西·景德镇一中高三期末）已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【题型精练】
1．(2023·山东潍坊·模拟预测）设函数，则（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·浙江·模拟预测）已知函数，则___________；若，则实数___________.
3. (2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.1 函数的概念及其表示
【题型解读】
【知识储备】
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
【题型精讲】
【题型一 函数的概念】
必备技巧 函数的概念
(1)函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．
(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．同一函数只需判断定义域和对应关系即可.
例1 (2023·湖南·高三课时练习）设集合，，那么下列四个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③D．②
答案：C
【解析】由题意，函数的定义域为，
对于①中，函数的定义域不是集合，所以不能构成集合到集合的函数关系；
对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，所以可以构成集合到集合的函数关系；
对于③中，函数的定义域为集合，值域为集合，所以可以构成集合到集合的函数关系；
对于④中，根据函数的定义，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以不正确.
故选：C
例2 (2023·全国·高三专题练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．，
B．
C．，
D．，，0，，，，0，
答案：D
【解析】对于A：的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
对于B：，，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
对于C：的定义域为，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
对于D：对应点的坐标为，，，对应点的坐标为，，，两个函数对应坐标相同，是同一函数，
故选：D．
【题型精练】
1. (2023·全国·高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（ ）
A．（1）（2）B．（1）（2）（3）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）
答案：C
【解析】根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有（2）不满足.
故选：C.
2．（2023·湖南·雅礼中学高三阶段练习）下列各组函数中，，是同一函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
答案：D
【解析】
解：对于A选项，的定义域为，的定义域为，故不满足；
对于B选项，的定义域为，的定义域为，故不满足；
对于C选项，的定义域为，的定义域为，故不满足；
对于D选项，，的定义域均为，对应关系均为，故是同一函数.
故选：D
【题型二 函数的定义域】
必备技巧 函数的定义域
(1)根据具体的函数解析式求定义域的策略
已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．
(2)求抽象函数的定义域的策略
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．
例3 (2023·湖北省广水市实验高级中学高三阶段练习）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】要使函数有意义，则有解得且.
所以函数的定义域为.
故选：B
例4 （1）(2023·北京·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
（2）(2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为______.
答案：（1）B （2）
【解析】（1）的定义域为，，即，
，解得：且，
的定义域为.
故选：.
（2）的定义域是，则，
即函数的定义域为，
令，解得.
则函数的定义域为.
故答案为：.
例5 (2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】∵的定义域为，
∴只需分母不为即可，即恒成立，
（1）当时，恒成立，满足题意，
（2）当时，，解得，
综上可得.
故选：B.
【题型精练】
1．(2023·重庆巴蜀中学高三期末）已知函数的定义域为[1，10]，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意可知，函数的定义域为[1，10]，则函数成立需要满足
，解得.
故选：B.
2. (2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由，得，
所以，所以．
故选：B．
3. (2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，则a的范围是________．
答案：
【解析】当时，，即定义域为R；
当，要使的定义域为R，则在上恒成立，
∴，解得，
综上，有，
故答案为：
【题型三 函数的解析式】
必备技巧 函数解析式的求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(4)方程思想：已知关于f(x)与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
例6 (2023·全国·高三专题练习）已知是一次函数，且，则的解析式为
A．或B．或
C．或D．或
答案：A
【解析】设，则，
即对任意的恒成立，
所以，解得：或，
所以的解析式为或，
故选：A
例7 (2023·全国·高三专题练习）已知，则函数f(x)=_______，=_______．
答案： 11
【解析】令，则，
所以，所以，
所以.
故答案为：；.
例8 (2023·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数f(x)的解析式．
（1）已知f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)，则f(x)的解析式为________________．
（2）已知f(x)满足2f(x)+f()=3x，求f(x)的函数解析式．
（3）已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．
【解】（1）方法一(换元法)：令eq \r(x)＋1＝t，则x＝(t－1)2，t≥1，
所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二(配凑法)：f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)＝x＋2eq \r(x)＋1－1＝(eq \r(x)＋1)2－1.
因为eq \r(x)＋1≥1，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
（2）将代入，得，因此，解得.
(3)令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y=，所以f(y)＝y2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1.
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】令，则 ，
所以，
所以，
故选：A.
2. (2023·全国·高三专题练习）已知为二次函数，，，求的解析式．
答案：
【解析】因为为二次函数，所以设，因为，所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，，，所以，，所以．
3. (2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】令为，则，
与联立可解得，．
故选：D．
4. (2023·贵州安顺市月考）已知函数满足，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】函数满足，
设，则，由知，
故原函数可转化为，，
即的解析式为.故选：A.
【题型四 分段函数】
必备技巧 分段函数
(1)分段函数的求值问题的解题思路
①求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路
依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．
例9 (2023·广东梅州·二模）设函数，则（ ）
A．2B．6C．8D．10
答案：B
【解析】因为，
所以，
所以.
故选：B.
例10 (2023·广西广西·模拟预测（理））已知，若，则（ ）
A．2B．C．1D．0
答案：B
【解析】∵，，
∴必有，
∴，
解得或（舍去），
∴.
故选：B.
例11 (2023·江西·景德镇一中高三期末）已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】函数，而函数是增函数，当时，，则当时，函数值域为，
因函数的值域为，因此，在当时，函数取尽一切负数，
当，即时，，不符合题意，当时，，也不符合题意，当时，为增函数，由可得，
则需，解得，
所以实数的取值范围是：.
故选：C
【题型精练】
1．(2023·山东潍坊·模拟预测）设函数，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为，则.
故选：C.
2. (2023·浙江·模拟预测）已知函数，则___________；若，则实数___________.
答案： 1
【解析】因为，所以.
，，
当时，， 当时，，
所以当即时，，不符合；
当即时，，符合；
当即时，，无解，不符合.
所以实数.
故答案为：1；
3. (2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】∵，又函数的值域为R，
则，解得．
故选：C．