高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)2.3函数的奇偶性、周期性、对称性(精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)2.3函数的奇偶性、周期性、对称性(精练)(原卷版+解析)，共19页。


【题型一 判断函数奇偶性的两种方法】
1. （多选）(2023·海南高三二模）下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
2.(2023·北京东城区·高三期末）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·甘肃高三一模）已知函数，则（ ）
A．是奇函数，且在单调递减B．是奇函数，且在单调递增
C．是偶函数，且在单调递减D．是偶函数，且在单调递增
4(2023·全国高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数，递增区间是 B．是偶函数，递减区间是
C．是奇函数，递减区间是 D．是奇函数，递增区间是
【题型二 函数奇偶性的四种应用】
1. (2023·江苏南通·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（ ）
A．1B．2C．D．
2. (2023·山东菏泽·高三期末）设函数，的定义域分别为F，G，且.若对任意的，都有，则称为在G上的一个“延拓函数”.已知函数，若为在上的一个延拓函数，且是偶函数，则函数的解析式是（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·上海高三月考）已知函数是定义域为R的偶函数，当时，则当时__________．
4. (2023·湖南·一模）已知是奇函数，且，若，则___．
5. (2023·全国·高三阶段练习（文））已知函数为偶函数，则______．
6. (2023·北京·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，且当时，.
(1)求和的值；
(2)求在上的解析式.
7. （多选）(2023·全国高三专题练习）设函数是定义在区间上的奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
8. (2023·河南高三月考）已知函数是定义在上的偶函数，当时，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
9. (2023·云南丽江·高三期末）已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
10. (2023·福建省福州第一中学高三期末）若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）
A．4B．8C．12D．16
【题型三 函数周期性的应用】
1. (2023·广东汕头·高三期末）已知函数是奇函数，且满足，若当时，，则________.
2. （多选）(2023·江苏·涟水县第一中学高三期中）已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为4B．
C．D．
3. (2023·全国高三月考）定义在上的偶函数满足，且当时，，则（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义域为R的偶函数，且周期为2，当时，，则当时，________.
5. （多选）(2023·河北·模拟预测）若函数（）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．2是函数的一个周期
C．
D．
【题型四 函数对称性的应用】
1. (2023·北京101中学高三）下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是
A．B．C．D．
2. (2023·山西太原·二模）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．的图象关于直线x=1对称D．的图象关于点对称
3. (2023·全国·高三专题练习）已知函数满足：①；②在上是减函数；③.请写出一个满足以上条件的___________.
4. （2023·江西·景德镇一中高二期末）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．2B．C．4D．
5. (2023·黑龙江大庆市·铁人中学高三三模）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【题型五 函数性质的综合应用】
1. (2023·四川凉山·二模）定义在上的奇函数，满足，当时，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2. （多选）(2023·江苏连云港市·高三月考）函数的定义域为，且与都为奇函数，则（ ）
A．为奇函数B．为周期函数
C．为奇函数D．为偶函数
3. （2023·全国·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
4. （多选）(2023·全国高三专题练习）已知为奇函数，且，当时，，则（ ）
A． 的图象关于对称B．的图象关于对称
C． D．
2.3 函数的奇偶性、周期性、对称性
【题型解读】
【题型一 判断函数奇偶性的两种方法】
1. （多选）(2023·海南高三二模）下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：AD
【解析】A，因为，是偶函数，在区间上为增函数，符合题意；
B，因为，是奇函数，且在区间上为减函数，不符合题意；
C，因为，是偶函数，当时，单调递减，不符合题意；
D，因为，是偶函数，且在区间上为增函数，符合题意.
故选：AD
2.(2023·北京东城区·高三期末）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】对于A选项，设，定义域为，该函数为非奇非偶函数，故A不正确；
对于B选项，函数的定义域为，不关于原点对称，该函数为非奇非偶函数，且该函数在区间上为增函数，故B不正确；
对于C选项，设，定义域为，关于原点对称，该函数为奇函数，但函数在区间上为减函数，故C不正确；
对于D选项，设，定义域为，关于原点对称，且，该函数为奇函数，
又在区间上为增函数，则该函数在区间上单调递增，故D正确.
故选：D.
3. (2023·甘肃高三一模）已知函数，则（ ）
A．是奇函数，且在单调递减B．是奇函数，且在单调递增
C．是偶函数，且在单调递减D．是偶函数，且在单调递增
答案：D
【解析】因为，,定义域关于原点对称，
且，
所以是偶函数，
当时，，
所以在单调递增，
故选：D
4(2023·全国高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数，递增区间是 B．是偶函数，递减区间是
C．是奇函数，递减区间是 D．是奇函数，递增区间是
答案：C
【解析】将函数去掉绝对值得，
画出函数的图象，如图，观察图象可知，
函数的图象关于原点对称，
故函数为奇函数，且在上单调递减，
故选：C
【题型二 函数奇偶性的四种应用】
1. (2023·江苏南通·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（ ）
A．1B．2C．D．
答案：D
【解析】由为奇函数，
所以，
所以，可得，
解得，
当时，的定义域为，符合题意，
当时，的定义域为符合题意，
故选：D
2. (2023·山东菏泽·高三期末）设函数，的定义域分别为F，G，且.若对任意的，都有，则称为在G上的一个“延拓函数”.已知函数，若为在上的一个延拓函数，且是偶函数，则函数的解析式是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】是偶函数
定义域关于原点对称
对于选项A：是偶函数，当时，，则不满足条件，A错误；
对于选项B：当时，无意义，则定义域不满足条件，B错误；
对于选项C：是偶函数，当时，，满足条件，C正确；
对于选项D：当时，无意义，则定义域不满足条件，D错误；
故选：C
3. (2023·上海高三月考）已知函数是定义域为R的偶函数，当时，则当时__________．
答案：
【解析】设，则，由时，，所以，
又函数为偶函数，即，所以.故答案为：
4. (2023·湖南·一模）已知是奇函数，且，若，则___．
答案：1
【解析】是奇函数，
∴h(1)＋h(－1)＝0
即f(1)＋1＋f(－1)＋1＝0，
∵f(1)＝－1，
∴f(－1)＝－1，
∴g(－1)＝f(－1)＋2＝1.
故答案为：1.
5. (2023·全国·高三阶段练习（文））已知函数为偶函数，则______．
答案：1
【解析】由题设，，
所以.
故答案为：1
6. (2023·北京·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，且当时，.
(1)求和的值；
(2)求在上的解析式.
【解】(1)满足，
，
.
(2)由题意知，.当时，.
由是奇函数，
，
综上，在上，
7. （多选）(2023·全国高三专题练习）设函数是定义在区间上的奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：AC
【解析】根据题意，函数是定义在区间上的奇函数，
则，
即，则，
解可得或（舍），
即，则，解可得，
故，即的取值范围为，故选：AC.
8. (2023·河南高三月考）已知函数是定义在上的偶函数，当时，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】当时，，
所以在上单调递增.
又因为函数是定义在上的偶函数，
所以函数的图象关于直线对称.
所以在上单调递减.
因为，，，
所以.
故选：D.
9. (2023·云南丽江·高三期末）已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】的定义域为，，所以为奇函数，
在上递增，
由得，
∴，，
解得.
故选：B
10. (2023·福建省福州第一中学高三期末）若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）
A．4B．8C．12D．16
答案：B
【解析】
由题设，且，
∴，则，
∴为奇函数，令，
∴，即是奇函数，
∴在上的最小、最大值的和为0，即，
∴.
故选：B
【题型三 函数周期性的应用】
1. (2023·广东汕头·高三期末）已知函数是奇函数，且满足，若当时，，则________.
答案：
【解析】因为，所以奇函数的周期为.
所以
故答案为:
2. （多选）(2023·江苏·涟水县第一中学高三期中）已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为4B．
C．D．
答案：BCD
【解析】因为是偶函数， 所以，
又因为是奇函数，所以，所以，
所以，
所以，所以的周期为，故A错误；
又当时，，
所以，选项B正确；
，选项C正确；
，选项D正确.
故选：BCD.
3. (2023·全国高三月考）定义在上的偶函数满足，且当时，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由满足，得，
所以函数的最小正周期，且当时，为偶函数，
所以.故选：A.
4. (2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义域为R的偶函数，且周期为2，当时，，则当时，________.
答案：
【解析】当时，，
则，
因为是定义域为R的偶函数，所以；
当时，，则，
又的周期为2，所以；
故答案为：.
5. （多选）(2023·河北·模拟预测）若函数（）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．2是函数的一个周期
C．
D．
答案：AC
【解析】函数是奇函数，，函数图象关于点对称，故A正确；
函数是周期为2，所以的周期为4，故B错误；
函数是周期为2的奇函数， ，故C正确；
，无法判断的值，故D错误.
故选：AC.
【题型四 函数对称性的应用】
1. (2023·北京101中学高三）下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是
A．B．C．D．
答案：B
【解析】函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有过此点．
故选项B正确
2. (2023·山西太原·二模）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．的图象关于直线x=1对称D．的图象关于点对称
答案：C
【解析】因为，，
所以，所以A不正确；
因为，，
所以，故B不正确；
因为，
所以的图象关于直线x=1对称，故C正确；
在的图象上取一点，则其关于点的点为，
因为，所以点不在函数的图象上，故的图象不关于点对称，故D不正确.
故选：C
3. (2023·全国·高三专题练习）已知函数满足：①；②在上是减函数；③.请写出一个满足以上条件的___________.
答案：
【解析】由可得关于对称，
所以开口向下，对称轴为，且过原点的二次函数满足题目中的三个条件，
故答案为：
4. （2023·江西·景德镇一中高二期末）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．2B．C．4D．
答案：B
【解析】因为为奇函数，所以有，故
，
故选:B.
5. (2023·黑龙江大庆市·铁人中学高三三模）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】当时，，则，
所以，函数为上的增函数，
由于函数是偶函数，可得，
，
，因此，.故选：A.
【题型五 函数性质的综合应用】
1. (2023·四川凉山·二模）定义在上的奇函数，满足，当时，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由题意，函数满足，可得，
所以函数是周期为4的函数，
又由为上的奇函数，可得，
所以，可得函数的图象关于对称，
因为当时，
可函数的图象，如图所示，
当时，令，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：C.
2. （多选）(2023·江苏连云港市·高三月考）函数的定义域为，且与都为奇函数，则（ ）
A．为奇函数B．为周期函数
C．为奇函数D．为偶函数
答案：ABC
【解析】由题意知：且，
∴，即，可得，
∴是周期为2的函数，且、为奇函数，故A、B正确，D错误；
由上知：，即为奇函数，C正确.
故选：ABC.
3. （2023·全国·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
4. （多选）(2023·全国高三专题练习）已知为奇函数，且，当时，，则（ ）
A． 的图象关于对称B．的图象关于对称
C． D．
答案：ABD
【解析】因为为奇函数，所以
即，，所以的图象关于对称．
故选项B正确，
由可得，
由可得，
所以，可得，
所以，所以周期为，
所以的图象关于对称，故选项A正确，
.故选项D正确，选项C不正确，
故选: ABD．