高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)2.7函数的图象(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)2.7函数的图象(精讲)(原卷版+解析)，共24页。


【知识储备】
利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换：
y＝f(x)eq \(――――――――――――→,\s\up7(a>0，右移a个单位),\s\d5(a<0，左移|a|个单位))y＝f(x－a)；
y＝f(x)eq \(――――――――――――→,\s\up7(b>0，上移b个单位),\s\d5(b<0，下移|b|个单位))y＝f(x)＋b.
(2)伸缩变换：
f(ωx)．
y＝f(x)eq \(―――――――――――――――――――――→,\s\up7(A>1，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A倍),\s\d5(0(3)对称变换：
y＝f(x)eq \(―――――――→,\s\up7(关于x轴对称),\s\d5( ))y＝－f(x)；
y＝f(x)eq \(――――――――――――→,\s\up7(关于y轴对称),\s\d5( ))y＝f(－x)；
y＝f(x)eq \(―――――――――――――→,\s\up7(关于原点对称),\s\d5( ))y＝－f(－x)．
(4)翻折变换：
y＝f(x)eq \(――――――――――――→,\s\up7(去掉y轴左边图，保留y轴右边图),\s\d5(将y轴右边的图象翻折到左边去))y＝f(|x|)；
y＝f(x)eq \(―――――――――――――→,\s\up7(保留x轴上方图),\s\d5(将x轴下方的图象翻折到上方去))y＝|f(x)|.
【题型精讲】
【题型一 函数图象的画法】
必备技巧 图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象．
(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．
例1 (2023·济南市历城二中·月考）作出下列函数的图象：
(1)y＝2x＋1－1；
(2)y＝|lg(x－1)|；
(3)y＝x2－|x|－2.
【题型精练】
1．(2023·全国·高三课时练习）根据的图像，作出下列函数的图像：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
2．(2023·安徽·安庆市高三课时练习）作出下列函数的图象：
(1)y＝eq \f(2x－1,x－1)；
(2)y＝|x2－4x＋3|.
(3)y＝2－|x|；
(4)y＝sin|x|.
【题型二 函数图象的识别】
必备技巧 识别函数的图象的主要方法
(1)利用函数的性质．如奇偶性、单调性、定义域等判断．(2)利用函数的零点、极值点等判断．(3)利用特殊函数值判断．
例2 (2023·浙江镇海中学高三3月模拟）函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
例3 (2023·江苏苏州市·高三期末）在数学的研究性学习中，常利用函数的图象研究函数的性质，也利用函数的解析式研究函数的性质，下列函数的解析式（其中为自然对数的底数）与所给图象最契合的是（ ）
A．B．C．D．
例4 (2023·天津高三三模）意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型精练】
1. (2023·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
2. (2023·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为( )
A．B．
C．D．
3. (2023·全国·高三专题练习）如图，正△ABC的边长为2，点D为边AB的中点，点P沿着边AC，CB运动到点B，记∠ADP＝x．函数f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，则y＝f（x）的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【题型三 利用图象研究函数性质】
例5 (2023·河南·林州一中高三开学考试）已知函数，则（ ）
A．的最大值为3，最小值为1
B．的最大值为，无最小值
C．的最大值为，最小值为1
D．的最大值为3，最小值为-1
例6 (2023·全国高三专题练习）函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1. (2023·北京丰台·一模）已知函数无最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·甘肃省武威第一中学模拟预测）已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【题型四 利用图象解不等式】
例7 (2023·河北·高三阶段练习）已知函数，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
例8 (2023·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知函数，若不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【题型精练】
1．(2023·北京·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
2. （2023·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A．B．
C．D．
【题型五 利用图象求参】
例9 (2023·安徽·巢湖市第一中学高三期中（理））已知函数，若函数有4个零点，则实数k的取值范围为_______________.
【题型精练】
1．(2023·山西·灵丘县第一中学校高三阶段练习）已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·山西临汾·二模）已知函数有2个不同的零点，则k的取值范围是____________．
2.7 函数的图象
【题型解读】
【知识储备】
利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换：
y＝f(x)eq \(――――――――――――→,\s\up7(a>0，右移a个单位),\s\d5(a<0，左移|a|个单位))y＝f(x－a)；
y＝f(x)eq \(――――――――――――→,\s\up7(b>0，上移b个单位),\s\d5(b<0，下移|b|个单位))y＝f(x)＋b.
(2)伸缩变换：
f(ωx)．
y＝f(x)eq \(―――――――――――――――――――――→,\s\up7(A>1，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A倍),\s\d5(0(3)对称变换：
y＝f(x)eq \(―――――――→,\s\up7(关于x轴对称),\s\d5( ))y＝－f(x)；
y＝f(x)eq \(――――――――――――→,\s\up7(关于y轴对称),\s\d5( ))y＝f(－x)；
y＝f(x)eq \(―――――――――――――→,\s\up7(关于原点对称),\s\d5( ))y＝－f(－x)．
(4)翻折变换：
y＝f(x)eq \(――――――――――――→,\s\up7(去掉y轴左边图，保留y轴右边图),\s\d5(将y轴右边的图象翻折到左边去))y＝f(|x|)；
y＝f(x)eq \(―――――――――――――→,\s\up7(保留x轴上方图),\s\d5(将x轴下方的图象翻折到上方去))y＝|f(x)|.
【题型精讲】
【题型一 函数图象的画法】
必备技巧 图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象．
(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．
例1 (2023·济南市历城二中·月考）作出下列函数的图象：
(1)y＝2x＋1－1；
(2)y＝|lg(x－1)|；
(3)y＝x2－|x|－2.
【解析】(1)将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图①所示．
(2)首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg(x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg(x－1)|的图象，如图②所示(实线部分)．
(3)y＝x2－|x|－2＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－x－2，x≥0，,x2＋x－2，x<0，))函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，其图象如图③所示．
【题型精练】
1．(2023·全国·高三课时练习）根据的图像，作出下列函数的图像：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【解析】(1)
作出函数关于纵轴对称的图像，连同函数的图像，就是该函数的图像，如下图所示：
(2)
把函数的图像中纵轴下面的部分，做关于横轴对称，擦掉纵轴下面的部分，
函数图像如下图所示：
(3)
作出函数关于纵轴对称的图像，连同函数的图像一起向右平移一个单位即可，如下图所示：
(4)
把函数的图像中纵轴下面的部分，做关于横轴对称，擦掉纵轴下面的部分，然后再向右平移一个单位，如下图所示：
2．(2023·安徽·安庆市高三课时练习）作出下列函数的图象：
(1)y＝eq \f(2x－1,x－1)；
(2)y＝|x2－4x＋3|.
(3)y＝2－|x|；
(4)y＝sin|x|.
【解析】(1)y＝eq \f(2x－1,x－1)＝2＋eq \f(1,x－1)，故函数的图象可由y＝eq \f(1,x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图①所示．
(2)先用描点法作出函数y＝x2－4x＋3的图象，再把x轴下方的图象沿x轴向上翻折，x轴上方的图象不变，如图②实线部分所示．
(3)先作出y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象，保留y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x图象中x≥0的部分，再作出y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|的图象，如图①实线部分．
图① 图②
(4)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图②.
【题型二 函数图象的识别】
必备技巧 识别函数的图象的主要方法
(1)利用函数的性质．如奇偶性、单调性、定义域等判断．(2)利用函数的零点、极值点等判断．(3)利用特殊函数值判断．
例2 (2023·浙江镇海中学高三3月模拟）函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】由于，所以的定义域为，
因为
所以为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除A，B
因为，
，
所以排除C
故选：D
例3 (2023·江苏苏州市·高三期末）在数学的研究性学习中，常利用函数的图象研究函数的性质，也利用函数的解析式研究函数的性质，下列函数的解析式（其中为自然对数的底数）与所给图象最契合的是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】对于A选项，当时，，与题中函数图象不符；
对于B选项，设，该函数的定义域为，
，函数为奇函数，
当时，，，
由，可得；由，可得或.
所以，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为，
与题中函数图象相符；
对于C选项，，
所以，函数为上的增函数，与题中函数图象不符；
对于D选项，对于函数，，可得，该函数的定义域为，
与题中函数图象不符.
故选：B.
例4 (2023·天津高三三模）意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】令，则该函数的定义域为，，
所以，函数为偶函数，排除B选项.
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以，函数的最小值为，排除AD选项.
故选：C.
【题型精练】
1. (2023·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】因为的定义域为，又因为，所以不是奇函数，排除A，B.
，所以排除C.
故选：D.
2. (2023·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为( )
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】对于A，，故为偶函数，图象应该关于y轴对称，与已知图象不符；
对于C，也为偶函数，故排除AC；
对于D，，与已知图象不符，故排除D．
对于B，，故f(x)关于x=1对称，f(0)=0，均与已知图象符合，故B正确．
故选：B．
3. (2023·全国·高三专题练习）如图，正△ABC的边长为2，点D为边AB的中点，点P沿着边AC，CB运动到点B，记∠ADP＝x．函数f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，则y＝f（x）的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】根据题意，f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，∠ADP＝x．
在区间（0，）上，P在边AC上，|PB|＞|PA|，则f（x）＞0，排除C；
在区间（，π）上，P在边BC上，|PB|＜|PA|，则f（x）＜0，排除B，
又由当x1+x2＝π时，有f（x1）＝﹣f（x2），f（x）的图象关于点（，0）对称，排除D，
故选：A
【题型三 利用图象研究函数性质】
例5 (2023·河南·林州一中高三开学考试）已知函数，则（ ）
A．的最大值为3，最小值为1
B．的最大值为，无最小值
C．的最大值为，最小值为1
D．的最大值为3，最小值为-1
答案：B
【解析】，
由与，
解得；
解得；
所以与的交点坐标为，，
因为，所以，
所以的图象如下图所示：
由图象，可知最大值为，无最小值，
故选：B．
例6 (2023·全国高三专题练习）函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
令,画出与的图象,
平移直线,当直线经过时只有一个交点,此时,向右平移,不再符合条件,故
故选：A
【题型精练】
1. (2023·北京丰台·一模）已知函数无最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】对于函数，
可得，
由，得或，由，得，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴函数在时有极大值2，在时有极小值，
作出函数与直线的图象，
由图可知，当时，函数有最小值，当时，函数没有最小值.
故选：D.
2．(2023·甘肃省武威第一中学模拟预测）已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（ ）
A．且B．且
C．且D．且
答案：C
【解析】令，作出函数的图象如下图所示：
由于方程至多两个实根，设为和，
由图象可知，直线与函数图象的交点个数可能为0､2､3､4，
由于关于x的方程有7个不同实数解，
则关于u的二次方程的一根为，则，
则方程的另一根为，
直线与函数图象的交点个数必为4，则，解得.
所以且.
故选：C.
【题型四 利用图象解不等式】
例7 (2023·河北·高三阶段练习）已知函数，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】作出函数与的图象，如图，
当时，，作出函数与的图象，
由图象可知，此时解得；
当时，，作出函数与的图象，
它们的交点坐标为、，结合图象知此时.
所以不等式的解集为.
故选：C
例8 (2023·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知函数，若不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】不等式的解集为,等价于在上恒成立.
当时,此时在上单调递增,
当则当时,,故在上单调递减.
当与相切时,设切点为,所以,解得,,此时切线方程为,该切线与轴的交点为,同理可得当与相切时,切线与轴的交点为,
又因为与轴的交点为
要使在上恒成立,则点在之间移动即可.故,解得
故选:D
【题型精练】
1．(2023·北京·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】不等式，
分别画出函数和的图象，
由图象可知和有两个交点，分别是和，
由图象可知的解集是
即不等式的解集是.
故选：B
2. （2023·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：
两函数图象的交点坐标为，
不等式的解为或.
所以不等式的解集为：.
故选：D.
【题型五 利用图象求参】
例9 (2023·安徽·巢湖市第一中学高三期中（理））已知函数，若函数有4个零点，则实数k的取值范围为_______________.
答案：
【解析】
因为有4个零点，
所以方程有4个实数根，
画出的图像，以及，
则两函数的图象有4个公共点．其中直线经过定点，斜率为
当直线与相切时，联立，，可求出，由图可知，当时，方程有4个交点，故的取值范围为
故答案为.
【题型精练】
1．(2023·山西·灵丘县第一中学校高三阶段练习）已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】设与相切于点，
则，解得，此时，
由得，由可得，此时切点为，
作出函数与的图象如图，
由图象可知，当或时，直线与有三个不同的交点，
故选：C
2. (2023·山西临汾·二模）已知函数有2个不同的零点，则k的取值范围是____________．
答案：
【解析】因为函数有2个不同的零点，
所以关于的方程在区间内有两个不等的实根，
即曲线（圆的上半部分）与经过定点的直线有两个不同的交点，如图
过作圆的切线，则点到切线的距离，
解得（舍去）或，
所以，得，
即k的取值范围是，
故答案为：