高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)2.8函数零点的6大题型(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)2.8函数零点的6大题型(精讲)(原卷版+解析)，共21页。


【知识储备】
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
【题型精讲】
【题型一 求函数的零点】
必备技巧 探究函数零点的两种求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点．
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
例1 (2023·历城二中高三月考)求函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x>0))的零点；
例2 (2023·全国高三专题练习）已知函数则函数的所有零点之和为___________.
【题型精练】
1.(2023·上海高三期末）已知函数，则该函数的零点是_________.
2.(2023·北京高三专题练习）函数的零点是_______.
【题型二 求函数零点所在的区间】
必备技巧 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
例3 (2023·黑龙江·双鸭山一中高三期末）函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
例4 (2023·北京清华附中高三月考）函数的零点一定位于区间（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1. (2023·新疆高三三模）函数的零点所在的区间为（ ）．
A．B．C．D．
2. (2023·全国高三专题练习）函数，则函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
【题型三 求函数零点的个数】
必备技巧 判断函数零点个数的常用方法
(1)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．
(2)转化成两个函数图象的交点个数问题．
例5 (2023·全国·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
例6 (2023·山东烟台市·高三二模）已知函数是定义在区间上的偶函数，且当时，，则方程根的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【题型精练】
1．(2023·福建省永泰县第一中学月考）已知，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2. (2023·江西高三模考）已知函数，则在上的零点个数为（ ）
A．6B．7
C．8D．9
3. (2023·重庆九龙坡·高三期末）若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点的个数为__________.
【题型四 复合函数的零点】
方法技巧 复合函数的零点
确定复合函数零点的个数或方程解的个数问题：关于复合函数y＝f(g(x))的零点的个数或方程解的个数问题，先换元解套，令t＝g(x)，则y＝f(t)，再作出y＝f(t)与t＝g(x)的图像．由y＝f(t)的图象观察有几个t的值满足条件，结合t的值观察t＝g(x)的图象，求出每一个t被几个x对应，将x的个数汇总后即为y＝f(g(x))的根的个数，即“从外到内”．此法称为双图象法(换元法＋数形结合)．
例7 (2023·全国高三专题练习）已知函数，则方程的根的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
例8 (2023·山东济南高三二模）已知定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2|x－1|－1，02，))则关于x的方程6f2(x)－f(x)－1＝0的实数根个数为( )
A． B． C． D．
【题型精练】
1. (2023·山东青岛高三二模）已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)的零点个数为________．
2．(2023·浙江省高三二模）已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋1，x≤0，,lg2x，x＞0，))，则下列关于函数y＝f(f(x))＋1的零点个数判断正确的是( )
A．当a>0时，有4个零点；当a<0时，有1个零点
B．当a>0时，有3个零点；当a<0时，有2个零点
C．无论a为何值，均有2个零点
D．无论a为何值，均有4个零点
【题型五 已知函数零点求参】
例9 (2023·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例10 (2023·河南高三月考）已知函数，若关于的方程有四个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例11 (2023·北京高三期末）已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|lg x|，x＞0，,2|x|，x≤0，))若关于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0有且只有3个不同的根，则实数a的值为( )
A．－2 B．1 C．2 D．3
【题型精练】
1. （多选）(2023·江苏省太湖高级中学高三阶段练习）函数的一个零点在区间内，则实数a的可能取值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
2. (2023·全国高三模拟）已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是___________.
3. 已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,4x)，x＞0，,x＋1，x≤0.))若方程g(f(x))－a＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是________．
【题型六 函数零点间的运算】
例12 (2023·贵州贵阳市高三期末）函数在区间上所有零点的和等于（ ）
A．2B．4C．6D．8
例13 (2023·安徽蚌埠·高三期末）已知函数有四个不同的零点，，，，若，，，则的值为（ ）
A．0B．2C．－1D．－2
【题型精练】
1. (2023·福建高三二模）已知函数则函数的所有零点之和为___________.
2. 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|lg3x|，03，))若方程f(x)＝m(m∈R)有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，且满足x1A．(0，4] B．(0，3) C．(3，4] D．(1，3)
2.8 函数零点的6大题型
【题型解读】
【知识储备】
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
【题型精讲】
【题型一 求函数的零点】
必备技巧 探究函数零点的两种求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点．
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
例1 (2023·历城二中高三月考)求函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x>0))的零点；
【解析】当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3(x＝1舍)；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
所以函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x>0))的零点为－3和e2.
例2 (2023·全国高三专题练习）已知函数则函数的所有零点之和为___________.
答案：
【解析】x≤0时，，，由，可得或，或；
时，，，由，可得或，或；
函数的所有零点为，，，，所以所有零点的和为
故答案为：．
【题型精练】
1.(2023·上海高三期末）已知函数，则该函数的零点是_________.
答案：
【解析】函数的零点即为相应方程的根，所以要求函数的零点，
即x2﹣2x＝0，解得x＝0或x＝2，又，所以舍去，＝0，又，可得x，
所以函数的零点为．故答案为：．
2.(2023·北京高三专题练习）函数的零点是_______.
答案：
【解析】解：，即，，
因为，所以，对两边取以3为底的对数得，，故答案为：
【题型二 求函数零点所在的区间】
必备技巧 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
例3 (2023·黑龙江·双鸭山一中高三期末）函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】 ,由对数函数和幂函数的性质可知，
函数在时为单调增函数，
， ，
， ，
因为在内是递增，故 ，
函数是连续函数，由零点判断定理知，的零点在区间内，
故选：B．
例4 (2023·北京清华附中高三月考）函数的零点一定位于区间（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意得为连续函数，且在单调递增，
，，，
根据零点存在性定理，，所以零点一定位于区间.故选：C
【题型精练】
1. (2023·新疆高三三模）函数的零点所在的区间为（ ）．
A．B．C．D．
答案：D
【解析】函数为上的增函数，
由，，
可得函数的零点所在的区间为．故选：D.
2. (2023·全国高三专题练习）函数，则函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为函数的图象在上连续，且函数在上单调递增，
因为，
，所以，，
，因此，函数的零点所在的区间为.故选：C.
【题型三 求函数零点的个数】
必备技巧 判断函数零点个数的常用方法
(1)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．
(2)转化成两个函数图象的交点个数问题．
例5 (2023·全国·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
答案：D
【解析】当时，，则；以此类推，当时，；…；
在平面直角坐标系中作出函数与的部分图象如图所示.
由图可知，与的图象有7个不同的交点
故选：D
例6 (2023·山东烟台市·高三二模）已知函数是定义在区间上的偶函数，且当时，，则方程根的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案：D
【解析】要求方程根的个数，即为求与的交点个数，
由题设知，在上的图象如下图示，
∴由图知：有3个交点，又由在上是偶函数，
∴在y轴左侧也有3个交点，故一共有6个交点.
故选：D.
【题型精练】
1．(2023·福建省永泰县第一中学月考）已知，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
【解析】函数的零点，即方程的解，即，即与的交点的横坐标，
因为，在同一平面直角坐标系画出函数图象如下所示：
由函数图象可知与有两个交点，故函数又2个零点
故选：B
2. (2023·江西高三模考）已知函数，则在上的零点个数为（ ）
A．6B．7
C．8D．9
答案：B
【解析】由题意，当时，作出函数与的图像.
由图可知，函数与在和内各有一个交点，
所以在上有2个零点.
由当时，，由函数周期性的性质可得
当时，上有2个零点,
当时，上有2个零点,
当时，上有1个零点,
所以在上有7零点个数
故选：B．
3. (2023·重庆九龙坡·高三期末）若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点的个数为__________.
答案：10
【解析】因为，所以，
所以函数是以2为周期的周期函数，
令，则，
在同一平面直角坐标系中作出函数的图像，如图所示，
由图可知函数有10个交点，
所以函数在区间内的零点有10个.
故答案为：10.
【题型四 复合函数的零点】
方法技巧 复合函数的零点
确定复合函数零点的个数或方程解的个数问题：关于复合函数y＝f(g(x))的零点的个数或方程解的个数问题，先换元解套，令t＝g(x)，则y＝f(t)，再作出y＝f(t)与t＝g(x)的图像．由y＝f(t)的图象观察有几个t的值满足条件，结合t的值观察t＝g(x)的图象，求出每一个t被几个x对应，将x的个数汇总后即为y＝f(g(x))的根的个数，即“从外到内”．此法称为双图象法(换元法＋数形结合)．
例7 (2023·全国高三专题练习）已知函数，则方程的根的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案：D
【解析】令，则方程化为，解得或，
作出函数的图象，
由图可知，方程的根的个数为6．故选：D.
例8 (2023·山东济南高三二模）已知定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2|x－1|－1，02，))则关于x的方程6f2(x)－f(x)－1＝0的实数根个数为( )
A． B． C． D．
答案：B
【解析】已知方程6f2(x)－f(x)－1＝0可解，得f1(x)＝eq \f(1,2)，f2(x)＝－eq \f(1,3)，只需统计y＝eq \f(1,2)，y＝－eq \f(1,3)与y＝f(x)的交点个数即可．由奇函数可先做出x>0的图像，x>2时，f(x)＝eq \f(1,2)f(x－2)，则x∈(2，4]的图像只需将x∈(0，2]的图像纵坐标缩为一半即可．正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像．通过数形结合可得共有7个交点．
在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间．
【题型精练】
1. (2023·山东青岛高三二模）已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)的零点个数为________．
答案： 5
【解析】令y＝2f2(x)－3f(x)＝0，则f(x)＝0或f(x)＝eq \f(3,2)．函数f(x)＝的图象如图所
示：由图可得，f(x)＝0有2个根，f(x)＝eq \f(3,2)有3个根，故函数y＝2f2(x)－3f(x)的零点个数为5．
2．(2023·浙江省高三二模）已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋1，x≤0，,lg2x，x＞0，))，则下列关于函数y＝f(f(x))＋1的零点个数判断正确的是( )
A．当a>0时，有4个零点；当a<0时，有1个零点
B．当a>0时，有3个零点；当a<0时，有2个零点
C．无论a为何值，均有2个零点
D．无论a为何值，均有4个零点
答案：A
【解析】所求函数的零点，即方程f(f(x))＝－1的解的个数，令t＝f(x)，先作出y＝f(t)的图像，
直线y＝ax＋1为过定点(0，1)的一条直线，但需要对a的符号进行分类讨论．当a>0时，如图1所示，先拆外层可得t1＝－eq \f(2,a)＜0，t2＝eq \f(1,2)，如图2所示，而t1有两个对应的x，t2也有两个对应的，共计4个；当a<0时，如图3所示，先拆外层可得t＝eq \f(1,2)，如图4所示，t＝eq \f(1,2)只有一个满足的x，所以共1个零点．结合选项，可判断出A正确．

【题型五 已知函数零点求参】
例9 (2023·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】∵和在上是增函数，
∴在上是增函数，
∴只需即可，即，解得.
故选：D.
例10 (2023·河南高三月考）已知函数，若关于的方程有四个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】画出的函数图象，
设，该直线恒过点，
结合函数图象，可知若方程有四个不同的实数根，
则且直线与曲线，，有两个不同的公共点，
所以在内有两个不等实根，
令，实数满足，
解得，又，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
例11 (2023·北京高三期末）已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|lg x|，x＞0，,2|x|，x≤0，))若关于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0有且只有3个不同的根，则实数a的值为( )
A．－2 B．1 C．2 D．3
答案：C
【解析】作出函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|lg x|，x＞0，,2|x|，x≤0))的图象(图略)，令f(x)＝t，关于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0等价于t2－at＋1＝0，因为t1·t2＝1，所以t1，t2同号，只有t1，t2同正时，方程才有根，假设t1＜t2，则0＜t1＜1，t2＞1，此时关于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0有5个不同的根，只有t1＝t2＝1，关于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0有且只有3个不同的根，此时a＝2，故选C．
【题型精练】
1. （多选）(2023·江苏省太湖高级中学高三阶段练习）函数的一个零点在区间内，则实数a的可能取值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：BC
【解析】因为函数在定义域上单调递增，
所以函数在上单调递增，
由函数的一个零点在区间内，
得，
解得,
故选：BC
2. (2023·全国高三模拟）已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是___________.
答案：
【解析】方程.
画出与的函数图象如图所示：
因为直线过，
联立得，由，得.
又过与两点的直线的斜率，
由图知：当直线过点时，为函数与有两个交点的临界点，此时，
由图可知，若关于的方程有且只有一个实数根，
则实数的取值范围为.
故答案为：
3. 已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,4x)，x＞0，,x＋1，x≤0.))若方程g(f(x))－a＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是________．
答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,4)))
【解析】令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t＜1)的图象如图，由图象可知，当1≤a＜eq \f(5,4)时，函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,4)))．
【题型六 函数零点间的运算】
例12 (2023·贵州贵阳市高三期末）函数在区间上所有零点的和等于（ ）
A．2B．4C．6D．8
答案：D
【解析】，
令，则，
则函数的零点就是和交点的横坐标，
可得和的函数图象都关于对称，则交点也关于对称，
画出两个函数的图象，
观察图象可知，和在有8个交点，
即有8个零点，且关于对称，故所有零点的和为.
故选：D.
例13 (2023·安徽蚌埠·高三期末）已知函数有四个不同的零点，，，，若，，，则的值为（ ）
A．0B．2C．－1D．－2
答案：D
【解析】函数有四个不同的零点，即方程有四个不同的解，
令，，即函数的图象与有四个不同的交点，
两函数图象在同一个直角坐标系下的图象如下图所示：
所以，
不妨设，
则，
所以.
故选：D
【题型精练】
1. (2023·福建高三二模）已知函数则函数的所有零点之和为___________.
答案：
【解析】x≤0时，，，由，可得或，或；
时，，，由，可得或，或；
函数的所有零点为，，，，所以所有零点的和为
故答案为：．
2. 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|lg3x|，03，))若方程f(x)＝m(m∈R)有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，且满足x1A．(0，4] B．(0，3) C．(3，4] D．(1，3)
答案：B
【解析】如图，作出函数f(x)的图象，显然，A(3，1)，又当0故由f(x3)＝f(x4)可得x3＋x4＝10．故eq \f(x3－3x4－3,x1x2)＝(x3－3)(x4－3)＝(x3－3)(7－x3)＝－xeq \\al(2,3)＋10x3－21＝－(x3－5)2＋4．记g(t)＝－(t－5)2＋4，由0