
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高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)4.2三角函数恒等变换(精讲)(原卷版+解析)
展开【知识必备】
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α+β)=sin αcs β+cs αsin β (S(α+β))
sin(α-β)=sin αcs β-cs αsin β (S(α-β))
cs(α+β)=cs αcs β-sin αsin β (C(α+β))
cs(α-β)=cs αcs β+sin αsin β (C(α-β))
tan(α+β)=eq \f(tan α+tan β,1-tan αtan β) (T(α+β))
tan(α-β)=eq \f(tan α-tan β,1+tan αtan β) (T(α-β))
2.二倍角公式
sin 2α=2sin αcs α (S2α)
cs 2α=cs2α-sin2α=2cs2α-1=1-2sin2α (C2α)
tan 2α=eq \f(2tan α,1-tan2α) (T2α)
3.公式的变形和逆用
在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等.常见变形如下:
降幂公式:cs2α=eq \f(1+cs 2α,2),sin2α=eq \f(1-cs 2α,2),
升幂公式:1+cs 2α=2 cs2α,1-cs 2α=2sin2α
1+cs α=2cs2eq \f(α,2),1-cs α=2sin2eq \f(α,2).
正切和差公式变形:
tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β),
tan αtan β=1-eq \f(tan α+tan β,tanα+β)=eq \f(tan α-tan β,tanα-β)-1.
配方变形:1+sin α=(sineq \f(α,2)+cseq \f(α,2))2,
1-sin α=(sineq \f(α,2)-cseq \f(α,2))2.
4.辅助角公式
asin α+bcs α =eq \r(a2+b2)sin(α+φ),其中tan φ=eq \f(b,a).
【题型精讲】
【题型一 两角和与差公式】
必备技巧 两角和差公式常见题型及解法
(1)两特殊角和差的题型,利用两角和差公式直接展开求解.
(2)含有常数的式子,先将系数转化为特殊角的三角函数值,再利用两角和差公式求解.
(3)求非特殊角的三角函数值,把非特殊角转化为两个特殊角的和差,然后利用两角和差公式求解.
例1 (1)(2023·四川省岳池中学)( )
A.B.C.D.
(2)(2023·江苏省前黄高级中学高一阶段练习)( )
A.B.C.D.
(3)(2023·四川凉山·高三期中)_________.
(4)(2023·山西应县一中高三期中)的值为( )
A.B.C.D.
例2 (2023·江西省铜鼓中学高三期末)已知,,则的值为( )
A.B.C.D.
例3 (2023·全国·高三专题练习)已知,,且,,则( )
A.B.C.D.
【跟踪精练】
1.(2023·安徽蚌埠·高三期末)求值:( )
A.B.C.D.
2. (2023·甘肃)_______.
3.(2023·江苏·华罗庚中学高三阶段练习)已知,,均为锐角,则( )
A.B.C.D.
【题型二 二倍角公式】
必备技巧 二倍角公式的应用
(1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
例4 (2023·全国高三课时练习)(多选)下列三角式中,值为1的是( )
A.B.
C.D.
例5 (2023·全国高三二模)已知,则
【跟踪精练】
1.(2023·山东·模拟预测)若,,则( )
A.B.C.D.
2. (2023·合肥市第八中学高三)已知,则的值是( )
A.B.C.D.
【题型三 辅助角公式的应用】
例6(2023·全国·高三课时练习)将下列各式化成的形式
(1); (2);
(3); (4).
【跟踪精练】
1. (2023·江西九江·三模)已知,则( )
A.B.C.D.
【题型四 给值求值】
方法技巧 给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,即拆角与凑角.
(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有:
①α=(α-β)+β;
②α=eq \f(α+β,2)+eq \f(α-β,2);
③2α=(α+β)+(α-β);
④2β=(α+β)-(α-β).
例7 (1)(2023·商丘市第一高级中学高三期末)已知,,则( )
A.B.3C.13D.
(2)(2023·湖南娄星·娄底一中高三期末)已知为锐角,且,则( )
A.B.C.D.
(3)(2023·河南林州一中高三月考)若,,,,则( )
A.B.C.D.
【题型精练】
1.(2023·江西省铜鼓中学高三期末)已知,,则的值为( )
A.B.C.D.
2.(2023·阜新市第二高级中学高三期末)已知,则__________.
3.(2023·四川眉山市·仁寿一中高三开学考试)已知,.
(1)求;
(2)已知,.求.
【题型五 给值求角】
方法技巧 已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围.
(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
提醒:由三角函数值求角时,易忽视角的范围,而得到错误答案.
例8 (2023·辽宁沈阳·高三期中)已知为锐角,为钝角且,,则的值为( )
A.B.C.D.
例9 (2023·湖北东西湖·华中师大一附中高三月考)若,,,,则角的值为( )
A.B.C.D.
【题型精练】
1.(2023·全国高三课时练习)已知,其中,求角的值.
2.(2023·江苏南师大二附中高三月考)已知,均为锐角,且,.
(1)求的值;
(2)求的值.
【题型六 恒等变换】
方法技巧 三角函数式化简的常用方法:
(1)异角化同角:善于发现角之间的差别与联系,合理对角拆分,恰当选择三角公式,能求值的求出值,减少角的个数;
(2)异名化同名:统一三角函数名称,利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一;
(3)异次化同次:统一三角函数的次数,一般利用降幂公式化高次为低次
例10 (1)(2023·安徽相山·淮北一中月考)( )
A.1B.C.D.
(2)(2023·山西应县一中高三期中)的值为( )
A.1B.2C.1D.2
【题型精练】
1.(2023·福建高三期末)__________.
2.(2023·全国专题练习)_______.
4.2 三角函数恒等变换
【题型解读】
【知识必备】
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α+β)=sin αcs β+cs αsin β (S(α+β))
sin(α-β)=sin αcs β-cs αsin β (S(α-β))
cs(α+β)=cs αcs β-sin αsin β (C(α+β))
cs(α-β)=cs αcs β+sin αsin β (C(α-β))
tan(α+β)=eq \f(tan α+tan β,1-tan αtan β) (T(α+β))
tan(α-β)=eq \f(tan α-tan β,1+tan αtan β) (T(α-β))
2.二倍角公式
sin 2α=2sin αcs α (S2α)
cs 2α=cs2α-sin2α=2cs2α-1=1-2sin2α (C2α)
tan 2α=eq \f(2tan α,1-tan2α) (T2α)
3.公式的变形和逆用
在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等.常见变形如下:
降幂公式:cs2α=eq \f(1+cs 2α,2),sin2α=eq \f(1-cs 2α,2),
升幂公式:1+cs 2α=2 cs2α,1-cs 2α=2sin2α
1+cs α=2cs2eq \f(α,2),1-cs α=2sin2eq \f(α,2).
正切和差公式变形:
tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β),
tan αtan β=1-eq \f(tan α+tan β,tanα+β)=eq \f(tan α-tan β,tanα-β)-1.
配方变形:1+sin α=(sineq \f(α,2)+cseq \f(α,2))2,
1-sin α=(sineq \f(α,2)-cseq \f(α,2))2.
4.辅助角公式
asin α+bcs α =eq \r(a2+b2)sin(α+φ),其中tan φ=eq \f(b,a).
【题型精讲】
【题型一 两角和与差公式】
必备技巧 两角和差公式常见题型及解法
(1)两特殊角和差的题型,利用两角和差公式直接展开求解.
(2)含有常数的式子,先将系数转化为特殊角的三角函数值,再利用两角和差公式求解.
(3)求非特殊角的三角函数值,把非特殊角转化为两个特殊角的和差,然后利用两角和差公式求解.
例1 (1)(2023·四川省岳池中学)( )
A.B.C.D.
答案:A
【解析】故选:A
(2)(2023·江苏省前黄高级中学高一阶段练习)( )
A.B.C.D.
答案:C
【解析】
,由两角和的正弦公式,可知
故答案为:C
(3)(2023·四川凉山·高三期中)_________.
答案:
【解析】由题意得:
由两角和的正切公式,可令
,可得
故答案为:
(4)(2023·山西应县一中高三期中)的值为( )
A.B.C.D.
答案:A
【解析】由题意,得
,故选A.
例2 (2023·江西省铜鼓中学高三期末)已知,,则的值为( )
A.B.C.D.
答案:B
【解析】由,,
.
故选:B
例3 (2023·全国·高三专题练习)已知,,且,,则( )
A.B.C.D.
答案:A
【解析】且,,.
又,,.
当时,
,
,,不合题意,舍去;
当,同理可求得,符合题意.
综上所述:.
故选:.
【跟踪精练】
1.(2023·安徽蚌埠·高三期末)求值:( )
A.B.C.D.
答案:C
【解析】解:,故选:C.
2. (2023·甘肃)_______.
答案:
【解析】由题,,
,
故原式可化为,故答案为:
3.(2023·江苏·华罗庚中学高三阶段练习)已知,,均为锐角,则( )
A.B.C.D.
答案:C
【详解】
均为锐角,即,,
,又,
,
又,.
故选:C.
【题型二 二倍角公式】
必备技巧 二倍角公式的应用
(1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
例4 (2023·全国高三课时练习)(多选)下列三角式中,值为1的是( )
A.B.
C.D.
答案:ABC
【解析】A选项,,故正确.
B选项,,故正确.
C选项,,故正确.
D选项,,故错误
故选:ABC
例5 (2023·全国高三二模)已知,则
答案:
【解析】.
【跟踪精练】
1.(2023·山东·模拟预测)若,,则( )
A.B.C.D.
答案:D
【解析】因为,,所以,
所以.故选:D
2. (2023·合肥市第八中学高三)已知,则的值是( )
A.B.C.D.
答案:A
【解析】令,则,,
故,故选:A.
【题型三 辅助角公式的应用】
例6(2023·全国·高三课时练习)将下列各式化成的形式
(1); (2);
(3); (4).
【解析】
(1);
(2);
(3) ;
(4)
【跟踪精练】
1. (2023·江西九江·三模)已知,则( )
A.B.C.D.
答案:B
【解析】,即,
故选:B
【题型四 给值求值】
方法技巧 给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,即拆角与凑角.
(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有:
①α=(α-β)+β;
②α=eq \f(α+β,2)+eq \f(α-β,2);
③2α=(α+β)+(α-β);
④2β=(α+β)-(α-β).
例7 (1)(2023·商丘市第一高级中学高三期末)已知,,则( )
A.B.3C.13D.
(2)(2023·湖南娄星·娄底一中高三期末)已知为锐角,且,则( )
A.B.C.D.
(3)(2023·河南林州一中高三月考)若,,,,则( )
A.B.C.D.
答案:(1)D(2)B(3)D
【解析】(1),,,,
.故选:D
(2)∵cs(α)(α为锐角),∴α为锐角,∴sin(α),
∴sinα=sin[(α)]=sin(α)cscs(α)sin
,故选B.
(3),,则,,
,,
因此,.故选:D.
【题型精练】
1.(2023·江西省铜鼓中学高三期末)已知,,则的值为( )
A.B.C.D.
答案:B
【解析】由,,
.
故选:B
2.(2023·阜新市第二高级中学高三期末)已知,则__________.
答案:
【解析】∵,∴,∴.
又,∴.
∴
.答案:
3.(2023·四川眉山市·仁寿一中高三开学考试)已知,.
(1)求;
(2)已知,.求.
答案:(1);(2).
【解析】(1),,
(2)
,
【题型五 给值求角】
方法技巧 已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围.
(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
提醒:由三角函数值求角时,易忽视角的范围,而得到错误答案.
例8 (2023·辽宁沈阳·高三期中)已知为锐角,为钝角且,,则的值为( )
A.B.C.D.
答案:A
【解析】由为锐角且,得,则,
则,又,则,得.故选:A.
例9 (2023·湖北东西湖·华中师大一附中高三月考)若,,,,则角的值为( )
A.B.C.D.
答案:B
【解析】,均为锐角,,
由,,得,,若, 则,
与矛盾,故,则,
又,.故选:B.
【题型精练】
1.(2023·全国高三课时练习)已知,其中,求角的值.
答案:
【解析】因为,所以.
因为,所以.
由已知可得,,
则
.
因为,所以.
2.(2023·江苏南师大二附中高三月考)已知,均为锐角,且,.
(1)求的值;
(2)求的值.
答案:(1);(2).
【解析】(1)由,则.
所以,.
(2)因为,为锐角,则,所以
.
所以,.
又,所以.
【题型六 恒等变换】
方法技巧 三角函数式化简的常用方法:
(1)异角化同角:善于发现角之间的差别与联系,合理对角拆分,恰当选择三角公式,能求值的求出值,减少角的个数;
(2)异名化同名:统一三角函数名称,利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一;
(3)异次化同次:统一三角函数的次数,一般利用降幂公式化高次为低次
例10 (1)(2023·安徽相山·淮北一中月考)( )
A.1B.C.D.
(2)(2023·山西应县一中高三期中)的值为( )
A.1B.2C.1D.2
答案:(1)C(2)D
【解析】(1)
.
故选:C
(2).故选D.
【题型精练】
1.(2023·福建高三期末)__________.
答案:
【解析】
.
故答案为:.
2.(2023·全国专题练习)_______.
答案:
【解析】原式
.故答案为:.
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