高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)4.7解三角形中的内切圆、外接圆问题(精讲)(原卷版+解析)

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【知识储备】
一．外接圆问题
过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆．其圆心叫做三角形的外心．
外接圆半径的计算：R＝eq \f(a, 2sinA)＝eq \f(b, 2sinB)＝eq \f(c, 2sinC)．
外接圆半径与三角形面积的关系：S△ABC＝eq \f(abc,4R)＝(R为△ABC外接圆半径)．

二．内切圆问题
与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆．其圆心叫做三角形的内心．
内切圆半径与三角形面积的关系：S△ABC＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)·r(r为△ABC内切圆半径)，并可由此计算r．
【题型精讲】
【题型一 三角形中的外接圆问题】
例1 (2023·全国·高三课时练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为S，且a＝1，4S＝b2＋c2－1，则△ABC外接圆的面积为( )
A．4π B．2π C．π D．eq \f(π,2)
例2 (2023·全国·高三专题练习）△ABC的内角，，的对边分别为，，，且满足：.
（1）求；
（2）若△ABC面积为，外接圆直径为4，求△ABC的周长.
【题型精练】
1．(2023·全国高三单元测试）在△ABC中，D为边AC上一点，AB＝AC＝6，AD＝4，若△ABC的外心恰在线段BD上，则BC＝_____．
2．(2023·合肥百花中学高三期末）锐角△ABC中，角所对的边分别为，若且.
（1）求△ABC的外接圆直径；
（2）求的取值范围.
3．(2023·全国高三课时练习）已知△ABC的外接圆半径为R，且满足2R(sin2A－sin2C)＝(eq \r(2)a－b)·sinB，则△ABC面积的最大值为________．
4．(2023·山东潍坊高三期末）在中，角，，所对的边分别为，，，，
（1）求证：；
（2）若，的外接圆面积为，求的周长．
【题型二 解三角形中的内切圆问题】
例3 (2023·广西河池·高三期末）已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．
例4 (2023·山东济南·高三期末）．在中，分别为角的对边，且.
（1）求角；
（2）若的内切圆面积为，求面积的最小值.
【题型精练】
1．(2023·河南·高三期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，，求的内切圆半径.
2．(2023·甘肃兰州·高三期中）在中，内角所对的边分别为，且满足.
（1）求的值;
（2）设的内切圆半径为，若求的面积取最大值时的值.
3. (2023·四川资阳市高三月考）已知中，角，，所对的边分别是，，，，且满足.
（1）求；
（2）若，求的内切圆半径.
4.7 解三角形中的内切圆、外接圆问题
【题型解读】
【知识储备】
一．外接圆问题
过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆．其圆心叫做三角形的外心．
外接圆半径的计算：R＝eq \f(a, 2sinA)＝eq \f(b, 2sinB)＝eq \f(c, 2sinC)．
外接圆半径与三角形面积的关系：S△ABC＝eq \f(abc,4R)＝(R为△ABC外接圆半径)．

二．内切圆问题
与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆．其圆心叫做三角形的内心．
内切圆半径与三角形面积的关系：S△ABC＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)·r(r为△ABC内切圆半径)，并可由此计算r．
【题型精讲】
【题型一 三角形中的外接圆问题】
例1 (2023·全国·高三课时练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为S，且a＝1，4S＝b2＋c2－1，则△ABC外接圆的面积为( )
A．4π B．2π C．π D．eq \f(π,2)
答案：D
【解析】由余弦定理得，b2＋c2－a2＝2bccs A，a＝1，所以b2＋c2－1＝2bccsA，又S＝eq \f(1,2)bcsinA，4S＝b2＋c2－1，所以4×eq \f(1,2)bcsinA＝2bccsA，即sinA＝csA，所以A＝eq \f(π,4)，由正弦定理得，eq \f(1,sin\f(π,4))＝2R，得R＝eq \f(\r(2),2)，所以△ABC外接圆的面积为eq \f(π,2)．
例2 (2023·全国·高三专题练习）△ABC的内角，，的对边分别为，，，且满足：.
（1）求；
（2）若△ABC面积为，外接圆直径为4，求△ABC的周长.
答案：（1）；（2）.
【解析】（1），
得，

∴.
（2）△ABC的面积，
由正弦定理可知，
由，
则，∴△ABC的周长为.
【题型精练】
1．(2023·全国高三单元测试）在△ABC中，D为边AC上一点，AB＝AC＝6，AD＝4，若△ABC的外心恰在线段BD上，则BC＝_____．
答案：3eq \r(6)
答案：解法1 如图1，设△ABC的外心为O，连结AO，则AO是∠BAC的平分线，所以eq \f(BO,OD)＝eq \f(AB,AD)＝eq \f(3,2)，所以eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,5)eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,5)(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))，即eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,5)eq \(AD,\s\up6(→))，两边同时点乘eq \(AB,\s\up6(→))得eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)(eq \(AB,\s\up6(→)))2＋eq \f(3,5)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))，即18＝eq \f(2,5)×36＋eq \f(3,5)×6×4cs∠BAC，所以cs∠BAC＝eq \f(1,4)，则BC＝eq \r(36＋36－2×62×\f(1,4))＝3eq \r(6)．(说明：两边同时点乘eq \(AD,\s\up6(→))也是一样的)

图1 图2 图3
解法2 如图2，设∠BAC＝2α，外接圆的半径为R，由S△ABO＋S△ADO＝S△ABD，得eq \f(1,2)·6Rsinα＋eq \f(1,2)·4Rsinα＝eq \f(1,2)·6·4sin2α，化简得24csα＝5R．在Rt△AFO中，Rcsα＝3，联立解得R＝eq \f(6,5)eq \r(10)，csα＝eq \r(\f(5,8))，所以sinα＝eq \r(\f(3,8))，所以BC＝2BE＝2ABsinα＝12×eq \r(\f(3,8))＝3eq \r(6)．
解法3 如图3，延长AO交BC于点E，过点D作BC的垂线，垂足为F，则eq \f(BO,OD)＝eq \f(AB,AD)＝eq \f(3,2)，eq \f(OE,DF)＝eq \f(BO,BD)＝eq \f(3,5)．又DF∥AE，则eq \f(DF,AE)＝eq \f(CD,CA)＝eq \f(1,3)，所以eq \f(OE,AE)＝eq \f(1,5)．设OE＝x，则AE＝5x，所以OB＝OA＝4x，所以BE＝eq \r(15)x．又因为25x2＋15x2＝36，所以x＝3eq \r(\f(1,10))，所以BC＝2BE＝3eq \r(6)．
2．(2023·合肥百花中学高三期末）锐角△ABC中，角所对的边分别为，若且.
（1）求△ABC的外接圆直径；
（2）求的取值范围.
答案：（1）1；（2）.
【解析】（1）因为，
由正弦定理可得，，
即，所以，
因为，故，
又，故，
由正弦定理得，即的外接圆直径为；
（2）由正弦定理可得，，
∴，
又由题意可得，解得，所以，
∴，∴.
3．(2023·全国高三课时练习）已知△ABC的外接圆半径为R，且满足2R(sin2A－sin2C)＝(eq \r(2)a－b)·sinB，则△ABC面积的最大值为________．
答案：eq \f(\r(2)＋1,2)R2
【解析】由正弦定理得a2－c2＝(eq \r(2)a－b)b，即a2＋b2－c2＝eq \r(2)ab．由余弦定理得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(2)ab,2ab)＝eq \f(\r(2),2)，∵C∈(0，π)，∴C＝eq \f(π,4)．∴S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×2Rsin A·2Rsin B·eq \f(\r(2),2)＝eq \r(2)R2sin Asin B＝eq \r(2)R2sin Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－A))＝eq \r(2)R2sin Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)cs A＋\f(\r(2),2)sin A))＝R2(sin Acs A＋sin2A)＝R2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin 2A＋\f(1－cs 2A,2)))＝R2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A－\f(π,4)))＋\f(1,2)))，∵A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4)))，∴2A－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(5π,4)))，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A－\f(π,4)))∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，1))，∴S∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2)＋1,2)R2))，∴面积S的最大值为eq \f(\r(2)＋1,2)R2．
4．(2023·山东潍坊高三期末）在中，角，，所对的边分别为，，，，
（1）求证：；
（2）若，的外接圆面积为，求的周长．
答案：(1)见证明；(2) .
【解析】（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∴在中，，
（2）设的外接圆半径为，由已知得，∴，
∵，，∴，
∴，
∵，∴，
由得，解得，
∴，∴的周长为.
【题型二 解三角形中的内切圆问题】
例3 (2023·广西河池·高三期末）已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．
答案：eq \f(27π,5)
【解析】不妨设a＝6，b＝c＝12，由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(122＋122－62,2×12×12)＝eq \f(7,8)，∴sinA＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))2)＝eq \f(\r(15),8)．由eq \f(1,2)(a＋b＋c)r＝eq \f(1,2)bcsin A，得r＝eq \f(3\r(15),5)．∴S内切圆＝πr2＝eq \f(27π,5)．
例4 (2023·山东济南·高三期末）．在中，分别为角的对边，且.
（1）求角；
（2）若的内切圆面积为，求面积的最小值.
答案：(1) (2)
【解析】（1）因为
所以
即，所以，即，
；
（2）由题意知内切圆的半径为，
如图，内切圆的圆心为，为切点，
则，
从而，
由余弦定理得，
整理得，
解得或（舍去），
从而，
即面积的最小值为.
【题型精练】
1．(2023·河南·高三期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，，求的内切圆半径.
答案：（1）；（2）.
【解析】（1）根据题意，且，
∴，，
由正弦定理得，
因为，故，即，
∵，，∴，即，.
（2）由题意可得：，解得：，
设内切圆半径为，∴，
又，解得，∴内切圆半径.
2．(2023·甘肃兰州·高三期中）在中，内角所对的边分别为，且满足.
（1）求的值;
（2）设的内切圆半径为，若求的面积取最大值时的值.
答案：（1）；（2）.
【解析】因为
故
整理得.
由正弦定理得
故
因为
故
即
由知，
所以，且
因为
由余弦定理得
所以
由基本不等式得
即当且仅当时，等号成立，
故的面积取得最大值时，
此时.
又的周长为
设的内切圆的半径为圆心为
则
解得
故的面积取最大值时其内切圆半径为.
3. (2023·四川资阳市高三月考）已知中，角，，所对的边分别是，，，，且满足.
（1）求；
（2）若，求的内切圆半径.
答案：（1）；（2）.
【解析】（1）由
得，又，所以
又∴，故三角形是以为斜边的直角三角形，
所以.
（2）因为，由（1）易知，，
设内切圆半径为，
由得，
即.