高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)4.9三角形中的最值、范围问题(精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)4.9三角形中的最值、范围问题(精练)(原卷版+解析)，共20页。

【题型一 与角有关的最值、范围问题】
1.(2023·全国·高三课时练习）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2csin C＝(a＋b)(sin B－sin A)，则当角C取得最大值时，B＝（ ）
A．B．C．D．
2.(2023·全国·高三专题练习）在∆ABC中，内角A、B、C的对应边分别为a、b、c.已知acsB−bsinB=c.
（1）若B=30°，求A. （2）求sinA+sinB的取值范围.
3．(2023·全国高三单元测试）已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则的最大值为______．
4．(2023·合肥百花中学高三期末）在中，，若，则的最大值是____________．
5．(2023·全国高三课时练习）在∆ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∆ABC的面积记为S∆ABC，满足
a2+b2−c2=433S∆ABC．
（1）求∠C；
（2）若c=3，求2a−4sinB的取值范围．
6．(2023·山东潍坊高三期末）已知锐角∆ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b2+c2−a2=2bcsin(A+π6)
（1）求角A的大小； （2）求sinB∙csC的取值范围
【题型二 与边有关的最值、范围问题】
1.(2023·广西河池·高三期末）在中，，是线段上的点，，若的面积为，则的最大值是（ ）
A．B．C．1D．
2.(2023·山东青岛·高三期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
3．(2023·河南·高三期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，．
（1）若，求c的值；
（2）求的最大值．
4．(2023·甘肃兰州·高三期中）在中，若，，则的最大值为（ ）
A．7B．C．D．
5. (2023·四川资阳市高三月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角B的大小. （2）若a+c=1，求b的取值范围.
【题型三 与周长有关的最值、范围问题】
1.(2023·河南·高三阶段练习）已知中，、分别是线段、的中点，与交于点，且，若，则周长的最大值为__________
2.(2023·山东济南市高三月考）在中，分别为内角的对边，若.
(1)求；
(2)若，求周长的取值范围.
3．(2023·陕西高三期中）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求B；
（2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值．
4．(2023·绵阳南山中学实验学校月考）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为________.
5. (2023·济南省实验月考）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cs2A＝sin2B＋cs2C＋sinAsinB．
（1）求角C的大小；
（2）若c＝eq \r(3)，求△ABC周长的取值范围．
【题型四 与面积有关的最值、范围问题】
1.(2023·贵州金沙·高三阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设．
(1)求角A；
(2)若，且AD＝2，求△ABC面积的最大值．
2.(2023·湖南益阳·高三期末）设锐角的内角的对边分别为，已知，，则面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·山东省济宁市高三月考）在中，内角A，B，C所对的边长分别为.
（1）求角C；
（2）若，求面积的最大值.
4.(2023·湖南益阳月考）在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积，若，则的取值范围是________．
5.(2023·昆明市官渡区第一中学高三月考）在中，角，，所对的边分别为，，，．
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值．
4.9 三角形中的最值、范围问题
【题型解读】
【题型一 与角有关的最值、范围问题】
1.(2023·全国·高三课时练习）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2csin C＝(a＋b)(sin B－sin A)，则当角C取得最大值时，B＝（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由正弦定理得2c2＝(a＋b)(b－a)，即b2－a2＝2c2．
又cs C＝＝≥＝.
当且仅当3a2＝b2，即b＝a时，cs C取到最小值，从而角C取到最大值.
当b＝a时，3a2－a2＝2c2，则a＝c．
所以A＝C＝，从而B＝π－A－C＝π．
故选：.
2.(2023·全国·高三专题练习）在∆ABC中，内角A、B、C的对应边分别为a、b、c.已知acsB−bsinB=c.
（1）若B=30°，求A. （2）求sinA+sinB的取值范围.
答案：（1）A=120° （2）1,2
【解析】（1）由正弦定理得：sinAcsB−sin2B=sinC，
∵sinC=sinπ−A+B=sinA+B，
∴sinAcsB−sin2B=sinA+B，
即sinAcsB−sin2B=sinAcsB+csAsinB，
∴csAsinB=−sin2B，∵sinB≠0，∴csA=−sinB=−sin30°=−12，
∵0