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    高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)5.4三角形四心和奔驰定理(精练)(原卷版+解析)

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    高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)5.4三角形四心和奔驰定理(精练)(原卷版+解析)

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    这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)5.4三角形四心和奔驰定理(精练)(原卷版+解析),共16页。

    【题型一 三角形的重心】
    1.(2023·河南高三月考)设O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足,,则P的轨迹一定通过的( )
    A.外心B.内心C.重心D.垂心
    2.(2023·陕西·交大附中模拟预测)已知的内角、、的对边分别为、、,为内一点,若分别满足下列四个条件:
    ①,②,
    ③,④
    则点分别为的
    A.外心、内心、垂心、重心 B.内心、外心、垂心、重心
    C.垂心、内心、重心、外心 D.内心、垂心、外心、重心
    3. (2023·山东·山师附中模拟预测)在△ABC中,,O为△ABC的重心,若,则△ABC外接圆的半径为( )
    A.B.C.D.
    4. (2023·云南玉溪·高三月考)在△ABC中,AB=1,∠ABC=60°,·=-1,若O是△ABC的重心,则·=________.
    【题型二 三角形的内心】
    1.(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟预测)中,a、b、c分别是BC、AC、AB的长度,若,则O是的( )
    A.外心B.内心C.重心D.垂心
    2.(2023·福建泉州·模拟预测)已知所在的平面上的动点满足,则直线一定经过的
    A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心
    3. (2023·全国·高三课时练习)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.△ABC内一点M满足:,则M一定为△ABC的( )
    A.外心B.重心C.垂心D.内心
    4. (2023·江苏姑苏·苏州中学高三月考)设的角、、的对边长分别为,,,是所在平面上的一点,,则点是的
    A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心
    5. (2023·济南中学高三月考)已知O是所在平面上的一点,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,若(其中P是所在平面内任意一点),则O点是的( )
    A.外心B.内心C.重心D.垂心
    【题型三 三角形外心】
    1.(2023·甘肃·高台县第一中学模拟预测)点是平面上一定点,、、是平面上的三个顶点,以下命题正确的是________.(把你认为正确的序号全部写上).①②③④⑤
    ①动点满足,则的重心一定在满足条件的点集合中;
    ②动点满足,则的内心一定在满足条件的点集合中;
    ③动点满足,则的重心一定在满足条件的点集合中;
    ④动点满足,则的垂心一定在满足条件的点集合中;
    ⑤动点满足,则的外心一定在满足条件的点集合中.
    2.(2023·山东日照市·高三二模)在中,,为的外心,则( )
    A.-4B.4C.-6D.6
    3.(2023·河北武强中学高三月考)著名数学家欧拉提出了如下定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线,该定理则被称为欧拉线定理.设点O,H分别是的外心、垂心,且为中点,则
    A. B.
    C. D.
    4. (2023·全国福建省漳州市高三期末) 设为的外心,,,分别为角,,的对边,若,,则( )
    A.B.C.D.
    【题型四 三角形的垂心】
    1.(2023·全国·高三专题练习)三角形所在平面内一点P满足,那么点P是三角形的( )
    A.重心B.垂心C.外心D.内心
    2.(2023·海南海口·二模)已知是所在平面内一点,且满足,则点
    A.在边的高所在的直线上 B.在平分线所在的直线上
    C.在边的中线所在的直线上 D.是的外心
    3. (2023•南通期末)在中,,,为的垂心,且满足,则___________.
    4. (2023•济南期末)已知为所在平面内一点,且满足,则点的轨迹一定通过的
    A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
    【题型五 奔驰定理】
    1.(2023·全国·高三专题练习)在平面四边形中,已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立,则的最小值为( )
    A.1B.2C.3D.4
    2.(2023·海南海口·二模)在△ABC中,D为△ABC所在平面内一点,且eq \(AD,\s\up6(→))=eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→)),则eq \f(S△BCD,S△ABD)等于( )
    A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
    3. (2023•南通期末)已知点为正所在平面上一点,且满足,若的面积与的面积比值为,则的值为( )
    A.B.
    C.2D.3
    4. (2023•济南期末)点O为△ABC内一点,若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=4∶3∶2,设eq \(AO,\s\up6(→))=λeq \(AB,\s\up6(→))+μeq \(AC,\s\up6(→)),则实数λ和μ的值分别为( )
    A.eq \f(2,9),eq \f(4,9) B.eq \f(4,9),eq \f(2,9) C.eq \f(1,9),eq \f(2,9) D.eq \f(2,9),eq \f(1,9)
    5.4 三角形四心和奔驰定理
    【题型解读】
    【题型一 三角形的重心】
    1.(2023·河南高三月考)设O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足,,则P的轨迹一定通过的( )
    A.外心B.内心C.重心D.垂心
    答案:C
    【解析】因为,所以,记BC中点为D,则,因为,所以点P的轨迹为射线AD,所以P的轨迹一定通过的重心.
    故选:C
    2.(2023·陕西·交大附中模拟预测)已知的内角、、的对边分别为、、,为内一点,若分别满足下列四个条件:
    ①,②,
    ③,④
    则点分别为的
    A.外心、内心、垂心、重心 B.内心、外心、垂心、重心
    C.垂心、内心、重心、外心 D.内心、垂心、外心、重心
    答案:D
    3. (2023·山东·山师附中模拟预测)在△ABC中,,O为△ABC的重心,若,则△ABC外接圆的半径为( )
    A.B.C.D.
    答案:B
    【解析】因为,
    所以,即.
    因为O为△ABC的重心,且,
    所以△ABC为等边三角形.
    因为,
    所以.
    因为,
    所以△ABC外接圆的半径为.
    故选:B
    4. (2023·云南玉溪·高三月考)在△ABC中,AB=1,∠ABC=60°,·=-1,若O是△ABC的重心,则·=________.
    答案:5
    【解析】如图所示,以B为坐标原点,BC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.
    ∵AB=1,∠ABC=60°,
    ∴.设C(a,0).∵·=-1,所以,解得a=4.
    ∵O是△ABC的重心,延长BO交AC于点D,所以
    .
    故答案为:5.
    【题型二 三角形的内心】
    1.(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟预测)中,a、b、c分别是BC、AC、AB的长度,若,则O是的( )
    A.外心B.内心C.重心D.垂心
    答案:B
    【解析】




    在的角平分线上,同理在的角平分线上,
    点为三角形的角平分线的交点
    故点是三角形的内心.
    故选:B.
    2.(2023·福建泉州·模拟预测)已知所在的平面上的动点满足,则直线一定经过的
    A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心
    答案:C
    【解析】,根据平行四边形法则知表示的向量在三角形角的平分线上,而向量与共线,点的轨迹过的内心,故选C.
    3. (2023·全国·高三课时练习)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.△ABC内一点M满足:,则M一定为△ABC的( )
    A.外心B.重心C.垂心D.内心
    答案:D
    【解析】由题意可设,,,
    其中,,分别为,,方向上的单位向量,
    ∵,
    ∴,
    则,
    ∴=.
    ∴M在∠BAC的角分线上,同理M在∠ABC与∠ACB的角分线上.
    ∴M为△ABC的内心.
    故选:D.
    4. (2023·江苏姑苏·苏州中学高三月考)设的角、、的对边长分别为,,,是所在平面上的一点,,则点是的
    A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心
    答案:C
    【解析】因为,所以,,所以,,所以,,所以,,所以是的平分线,是的平分线,所以点是的内心,故选C.
    5. (2023·济南中学高三月考)已知O是所在平面上的一点,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,若(其中P是所在平面内任意一点),则O点是的( )
    A.外心B.内心C.重心D.垂心
    答案:B
    【解析】因为
    则,即
    移项可得


    因为
    所以
    化简可得,即
    设为方向上的单位向量,为方向上的单位向量
    所以,

    所以
    则在的角平分线上
    同理可知 在的角平分线上
    因而为的内心
    故选:B
    【题型三 三角形外心】
    1.(2023·甘肃·高台县第一中学模拟预测)点是平面上一定点,、、是平面上的三个顶点,以下命题正确的是________.(把你认为正确的序号全部写上).①②③④⑤
    ①动点满足,则的重心一定在满足条件的点集合中;
    ②动点满足,则的内心一定在满足条件的点集合中;
    ③动点满足,则的重心一定在满足条件的点集合中;
    ④动点满足,则的垂心一定在满足条件的点集合中;
    ⑤动点满足,则的外心一定在满足条件的点集合中.
    答案:①②③④⑤
    【解析】对于①,动点满足,,则点是的心,故①正确;对于②,动点满足,,又在的平分线上,与的平分线所在向量共线,的内心在满足条件的点集合中,②正确;对于③,动点满足,,,过点作,垂足为,则,,向量与边的中线共线,因此的重心一定在满足条件的点集合中,③正确;对于④,动点满足,,,,的垂心一定在满足条件的点集合中,④正确;对于⑤,动点满足,设,则,由④知,,,点的轨迹为过的的垂线,即的中垂线;的外心一定在满足条件的点集合,⑤正确.故正确的命题是①②③④⑤.
    2.(2023·山东日照市·高三二模)在中,,为的外心,则( )
    A.-4B.4C.-6D.6
    答案:C
    【解析】设的外接圆半径为r,.
    由余弦定理得:,即,所以
    ,即,所以.
    所以
    因为,,
    所以.
    故选:C.
    3.(2023·河北武强中学高三月考)著名数学家欧拉提出了如下定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线,该定理则被称为欧拉线定理.设点O,H分别是的外心、垂心,且为中点,则
    A. B.
    C. D.
    答案:D
    【解析】如图所示的,其中角为直角,则垂心与重合,为的外心,,即为斜边的中点,又为中点,,为中点, .故选D.

    4. (2023·全国福建省漳州市高三期末) 设为的外心,,,分别为角,,的对边,若,,则( )
    A.B.C.D.
    答案:A
    【解析】如图所示,因为为的外心,过点作,,
    则点分别为的中点,
    可得,
    同理可得,
    又由,
    因为,,可得.
    故选:A.
    【题型四 三角形的垂心】
    1.(2023·全国·高三专题练习)三角形所在平面内一点P满足,那么点P是三角形的( )
    A.重心B.垂心C.外心D.内心
    答案:B
    【解析】由于三角形所在平面内一点P满足,

    即有,
    即有,
    则点P为三角形的垂心.
    故选:B.
    2.(2023·海南海口·二模)已知是所在平面内一点,且满足,则点
    A.在边的高所在的直线上 B.在平分线所在的直线上
    C.在边的中线所在的直线上 D.是的外心
    答案:A
    【解析】取的中点,则,,,,,点在边的高所在的直线上,故选A.
    3. (2023•南通期末)在中,,,为的垂心,且满足,则___________.
    答案:
    【解析】如图所示,为的中点,不妨设,则.因为,则,则,,由此可得.
    故答案为:.
    4. (2023•济南期末)已知为所在平面内一点,且满足,则点的轨迹一定通过的
    A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
    答案:D
    【解析】,、,由,得,,即,,则,,.是的垂心.故选D.
    【题型五 奔驰定理】
    1.(2023·全国·高三专题练习)在平面四边形中,已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立,则的最小值为( )
    A.1B.2C.3D.4
    答案:A
    【解析】如图,设与交于点,
    由的面积是的面积的2倍,可得,
    所以,
    又三点共线,即共线,
    所以存在实数使得,
    因为,
    所以,消去k,可得,
    又因为,
    所以,
    当且仅当,即时等号成立.
    所以的最小值为1.
    故选:A.
    2.(2023·海南海口·二模)在△ABC中,D为△ABC所在平面内一点,且eq \(AD,\s\up6(→))=eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→)),则eq \f(S△BCD,S△ABD)等于( )
    A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
    答案:B
    【解析】由eq \(AD,\s\up7(→))=eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(→))+eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up7(→))得,eq \(DA,\s\up6(→))+2eq \(DB,\s\up6(→))+3eq \(DC,\s\up6(→))=0,根据奔驰定理得,S△BCD∶S△ABD=1∶3.
    3. (2023•南通期末)已知点为正所在平面上一点,且满足,若的面积与的面积比值为,则的值为( )
    A.B.
    C.2D.3
    答案:B
    【解析】,

    如图,,分别是对应边的中点,
    由平行四边形法则知,,
    故,
    在正三角形中,


    且三角形与三角形的底边相等,面积之比为,
    所以,得.
    故选:B
    4. (2023•济南期末)点O为△ABC内一点,若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=4∶3∶2,设eq \(AO,\s\up6(→))=λeq \(AB,\s\up6(→))+μeq \(AC,\s\up6(→)),则实数λ和μ的值分别为( )
    A.eq \f(2,9),eq \f(4,9) B.eq \f(4,9),eq \f(2,9) C.eq \f(1,9),eq \f(2,9) D.eq \f(2,9),eq \f(1,9)
    答案:A
    【解析】根据奔驰定理,得3eq \(OA,\s\up6(→))+2eq \(OB,\s\up6(→))+4eq \(OC,\s\up6(→))=0,即3eq \(OA,\s\up6(→))+2(eq \(OA,\s\up6(→))+eq \(AB,\s\up6(→)))+4(eq \(OA,\s\up6(→))+eq \(AC,\s\up6(→)))=0,整理得eq \(AO,\s\up6(→))=eq \f(2,9)eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(4,9)eq \(AC,\s\up6(→)),故选A.

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