高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)6.1等差数列6大题型(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)6.1等差数列6大题型(精讲)(原卷版+解析)，共25页。


【知识储备】
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．
(2)等差中项
若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝eq \f(a＋b,2).
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(n(n－1),2)d或Sn＝eq \f(n(a1＋an),2).
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为等差数列．
【题型精讲】
【题型一 等差数列基本量的运算】
必备技巧 等差数列中的基本计算
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
例1 (2023·四川遂宁市高三期末）已知等差数列满足，则它的前8项的和（ ）
A．70B．C．D．105
例2 (2023·全国高三模拟）已知等差数列的前项和为，若，则的通项公式为_____________
例3 (2023·江西高三模拟）设等差数列的前项和为，，则（ ）
A．56B．63C．67D．72
例4 (2023·山东高三模拟）在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为( )
A．2 B．10 C.eq \f(5,2) D.eq \f(5,4)
【题型精练】
1. (2023·广东潮州·高三期末）等差数列的前n项和，若的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2. (2023·江苏苏州·高三期末）记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·河南高三模拟）已知等差数列的前项和为，若，，则的公差为（ ）
A．4B．3C．2D．1
4. (2023·广东汕头市·高三二模）已知数列中各项为非负数，，，若数列为等差数列，则（ ）
A．169B．144C．12D．13
【题型二 等差数列的性质及应用】
必备技巧 等差数列的性质
1.在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
2．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也是等差数列，且公差为eq \f(d,2).
3．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.
4．若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(an＋1,an).
5．若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(n,n＋1).
例5 (2023·黑龙江哈尔滨市模拟）是等差数列的前项和，，，则（ ）
A．9B．16C．20D．27
例6 (2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．8B．12C．14D．20
例7 (2023·全国·高三专题练习）等差数列的前项和为，若且，则( )
A．B．
C．D．
例8 (2023·全国·高三专题练习）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则______．
【题型精练】
1．(2023·山西临汾市一模）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．28B．34C．40D．44
2. (2023·江苏高三专题练习）已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为．若，则（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·全国·高三专题练习）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，则数列公差为___________.
【题型三 等差数列的判定与证明】
必备技巧 判断等差数列的方法
(1)定义法
an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列.
(2)等差中项法
2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列．
(3)通项公式法
数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列．
例9 (2023·黑龙江大庆市）在数列中，，是1与的等差中项，求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
[题型精练]
1．(2023·湖北荆州·高三期末）在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项．
(1)求证：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an－1)))是等差数列，并求eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的通项公式；
(2)求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,n2an)))的前n项和Sn.
2. (2023·江苏南通市）已知数列的前项和为，且满足，数列满足且，求证：数列成等差数列，并求和的通项公式；
3. (2023·河北路南·唐山一中月考）已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝3an＋3n＋1－2n，设bn＝eq \f(an－2n,3n)，求证：数列{bn}为等差数列，并求{an}的通项公式．
【题型四 等差数列的前n项和及其最值】
必备技巧 等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，
当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥0，,an＋1≤0))确定；
当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤0，,an＋1≥0))确定．
(2)Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．
例10 (2023·北京模拟）设等差数列的前n项和为，若，，则当取最大值n等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
例11 (2023·江西赣州·二模）已知等差数列的前项和为，若，，则使得前项和取得最大值时的值为（ ）
A．2022B．2021C．1012D．1011
【题型精练】
1.(2023·陕西省洛南中学高三月考）已知数列中，则数列的前项和最大时，的值为（ ）
A．8B．7或8C．8或9D．9
2. (2023·全国·高三专题练习（理））已知等差数列的前项和为，且，，则下面结论错误的是（ ）
A．B．C．D．与均为的最小值
3. (2023·浙江省浦江中学高三期末）设等差数列的公差为d，其前n项和为，且，，则使得的正整数n的最小值为（ ）
A．16B．17C．18D．19
【题型五 含绝对值的求和问题】
必备技巧 含绝对值的求和问题
已知等差数列{an}，求绝对值数列{|an|}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．
例12 (2023·河南淇滨·鹤壁高中高三月考）已知两个等差数列、，其中，，，记前项和为，．
（1）求数列与的通项公式；
（2）记，设，求．
[题型精练]
1．(2023·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校高三三模）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为，
（1）求等差数列的通项公式；
（2）若公差，求数列的前项和.
2．(2023·山西大同·高三月考）若等差数列的前项和为，已知，且，则________.
【题型六 等差数列的应用】
例13 （2023·全国·高二单元测试）数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的正整数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则满足的正整数的最小值为（ ）
A．132B．135C．136D．138
例14 (2023·广东江门模拟）（多选）已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列B．
C．当，或17时，取得最大值D．
[题型精练]
1．(2023·福建·莆田华侨中学模拟预测）2022年4月26日下午，神州十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（ ）
A．10秒B．13秒C．15秒D．19秒
2．(2023·全国·高三专题练习）（多选）设等差数列的前项和为，公差为.已知，，，则（ ）
A．数列的最小项为第项B．
C．D．时，的最大值为
6.1 等差数列6大题型
【题型解读】
【知识储备】
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．
(2)等差中项
若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝eq \f(a＋b,2).
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(n(n－1),2)d或Sn＝eq \f(n(a1＋an),2).
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为等差数列．
【题型精讲】
【题型一 等差数列基本量的运算】
必备技巧 等差数列中的基本计算
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
例1 (2023·四川遂宁市高三期末）已知等差数列满足，则它的前8项的和（ ）
A．70B．C．D．105
答案：C
【解析】设等差数列的首项为，公差为．由，得，解得，．
所以．故选：．
例2 (2023·全国高三模拟）已知等差数列的前项和为，若，则的通项公式为_____________
答案：
【解析】设等差数列的公差为，
因为，
所以，解得，
所以，
故答案为：
例3 (2023·江西高三模拟）设等差数列的前项和为，，则（ ）
A．56B．63C．67D．72
答案：B
【解析】设的公差为，则，所以，所以.故选：B
例4 (2023·山东高三模拟）在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为( )
A．2 B．10 C.eq \f(5,2) D.eq \f(5,4)
答案： C
【解析】 由2an＋1＝1＋2an得an＋1－an＝eq \f(1,2)，所以数列{an}是首项为－2，公差为eq \f(1,2)的等差数列，
所以S10＝10×(－2)＋eq \f(10×10－1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(5,2).
【题型精练】
1. (2023·广东潮州·高三期末）等差数列的前n项和，若的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
分析：
根据，即可得出答案.
【解析】
解：因为，
所以.
故选：B.
2. (2023·江苏苏州·高三期末）记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
利用等差数列的前项和公式，将进行化简,可得，然后利用通项公式将展开，并将代入，化简可得答案.
【详解】
，
则，
故选：C．
3. (2023·河南高三模拟）已知等差数列的前项和为，若，，则的公差为（ ）
A．4B．3C．2D．1
答案：B
【解析】由，得.又，所以.故选：B
4. (2023·广东汕头市·高三二模）已知数列中各项为非负数，，，若数列为等差数列，则（ ）
A．169B．144C．12D．13
答案：B
【解析】由题意，，又因为数列是等差数列，
所以，且满足各项为非负数，则有，
可得故选：B
【题型二 等差数列的性质及应用】
必备技巧 等差数列的性质
1.在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
2．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也是等差数列，且公差为eq \f(d,2).
3．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.
4．若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(an＋1,an).
5．若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(n,n＋1).
例5 (2023·黑龙江哈尔滨市模拟）是等差数列的前项和，，，则（ ）
A．9B．16C．20D．27
答案：D
【解析】由得，则，
由得，则，
所以故选：D
例6 (2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．8B．12C．14D．20
答案：D
【解析】等差数列的前n项和为，，
则，，，构成首项为2，公差为2的等差数列
则+()+ ()+ ()=2+4+6+8=20故选：D
例7 (2023·全国·高三专题练习）等差数列的前项和为，若且，则( )
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】设的公差为d，∵∴，
即{}为等差数列，公差为，由知，故故选：A﹒
例8 (2023·全国·高三专题练习）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则______．
答案：
【解析】因为为等差数列，所以，所以.故答案为：
【题型精练】
1．(2023·山西临汾市一模）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．28B．34C．40D．44
答案：D
【解析】因为，所以由，可得所以，
所以，故选：D
2. (2023·江苏高三专题练习）已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为．若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】∵ 是等差数列的前项和，∴ ，即，
∵ 是等差数列的前项和，∴ ，即，
∴ ，故选：B.
3. (2023·全国·高三专题练习）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意，.故选：C.
4. (2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，则数列公差为___________.
答案：4
【解析】由等差数列性质可知，又，∴,
解得，故答案为：4
【题型三 等差数列的判定与证明】
必备技巧 判断等差数列的方法
(1)定义法
an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列.
(2)等差中项法
2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列．
(3)通项公式法
数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列．
例9 (2023·黑龙江大庆市）在数列中，，是1与的等差中项，求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
答案：证明见解析，；
【解析】由题意知是1与的等差中项，可得，
可得，则，可得，
又由，可得，
所以数列是首项和公差均为1的等差数列，
可得，解得，
即的通项公式.
[题型精练]
1．(2023·湖北荆州·高三期末）在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项．
(1)求证：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an－1)))是等差数列，并求eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的通项公式；
(2)求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,n2an)))的前n项和Sn.
【解析】 (1)∵an是1与anan＋1的等差中项，∴2an＝1＋anan＋1，∴an＋1＝eq \f(2an－1,an)，
∴an＋1－1＝eq \f(2an－1,an)－1＝eq \f(an－1,an)，∴eq \f(1,an＋1－1)＝eq \f(an,an－1)＝1＋eq \f(1,an－1)，
∵eq \f(1,a1－1)＝1，∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an－1)))是首项为1，公差为1的等差数列，
∴eq \f(1,an－1)＝1＋(n－1)＝n，∴an＝eq \f(n＋1,n).
(2)由(1)得eq \f(1,n2an)＝eq \f(1,nn＋1)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，
∴Sn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝1－eq \f(1,n＋1)＝eq \f(n,n＋1).
2. (2023·江苏南通市）已知数列的前项和为，且满足，数列满足且，求证：数列成等差数列，并求和的通项公式；
答案：（1）证明见解析，，
【解析】因，则，
所以为首项为1，公差为2的等差数列，
有，；
又，则时，，相减得，，
则有，而，即，即为首项为-1，公比为2的等比数列，
所以.
3. (2023·河北路南·唐山一中月考）已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝3an＋3n＋1－2n，设bn＝eq \f(an－2n,3n)，求证：数列{bn}为等差数列，并求{an}的通项公式．
【解析】 因为bn＋1－bn＝eq \f(an＋1－2n＋1,3n＋1)－eq \f(an－2n,3n)＝eq \f(3an＋3n＋1－2n－2n＋1,3n＋1)－eq \f(3an－3·2n,3n＋1)＝1，
所以{bn}为等差数列，又b1＝eq \f(a1－2,3)＝0，所以bn＝n－1，所以an＝(n－1)·3n＋2n.
【题型四 等差数列的前n项和及其最值】
必备技巧 等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，
当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥0，,an＋1≤0))确定；
当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤0，,an＋1≥0))确定．
(2)Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．
例10 (2023·北京模拟）设等差数列的前n项和为，若，，则当取最大值n等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
答案：B
【解析】设公差为则，
因此，所以当时，取最大值故选：B
例11 (2023·江西赣州·二模）已知等差数列的前项和为，若，，则使得前项和取得最大值时的值为（ ）
A．2022B．2021C．1012D．1011
答案：D
【解析】因为等差数列的前项和为，，，
所以，
所以，，
所以，，即等差数列的公差，
所以，时，；时，，
所以，使得前项和取得最大值时的值为.故选：D
【题型精练】
1.(2023·陕西省洛南中学高三月考）已知数列中，则数列的前项和最大时，的值为（ ）
A．8B．7或8C．8或9D．9
答案： C
【解析】 ，数列是等差数列，并且公差为，
，
对称轴是，，所以当或时，取得最大值.故选：C
2. (2023·全国·高三专题练习（理））已知等差数列的前项和为，且，，则下面结论错误的是（ ）
A．B．C．D．与均为的最小值
答案：C
【解析】对于A选项，由可得，A选项正确；
对于C选项，由可得，∴，C选项错误；
对于D选项，由可得，且，，，
所以，当且时，，且，则与均为的最小值，D选项正确；
对于B选项，∵，，当时，，
所以，，B选项正确．故选：C．
3. (2023·浙江省浦江中学高三期末）设等差数列的公差为d，其前n项和为，且，，则使得的正整数n的最小值为（ ）
A．16B．17C．18D．19
答案：D
【解析】由，得，
因为是等差数列，所以，，，
，，，
所以，
使得的正整数n的最小值为.故选: D.
【题型五 含绝对值的求和问题】
必备技巧 含绝对值的求和问题
已知等差数列{an}，求绝对值数列{|an|}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．
例12 (2023·河南淇滨·鹤壁高中高三月考）已知两个等差数列、，其中，，，记前项和为，．
（1）求数列与的通项公式；
（2）记，设，求．
答案：（1），；（2）.
【解析】（1），当时，，
满足，.
设等差数列的公差为，则，
；
（2）由（1）知，，．
当时，；
当时，．
综上所述，.
[题型精练]
1．(2023·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校高三三模）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为，
（1）求等差数列的通项公式；
（2）若公差，求数列的前项和.
答案：（1）或（2）
【解析】（1）设等差数列的的公差为
由，得所以
又得，即
所以，或
即或
（2）当公差时，
1）当时，，
设数列的前项和为，则
2）当时，
当时，也满足，
当时，也满足，
所以数列的前项和
2．(2023·山西大同·高三月考）若等差数列的前项和为，已知，且，则________.
答案：
【解析】∵等差数列的前项和为，，且，
，
，
，
∴当时，；
当时，
，
.
故答案为：.
【题型六 等差数列的应用】
例13 （2023·全国·高二单元测试）数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的正整数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则满足的正整数的最小值为（ ）
A．132B．135C．136D．138
答案：C
【解析】由题意归纳可知，数列为8，23，38，…，即所求数列是首项为8公差为15的等差数列，
故，令，解得，
所以的最小值为136.故选：C
例14 (2023·广东江门模拟）（多选）已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列B．
C．当，或17时，取得最大值D．
答案：BC
【解析】因为，所以两式相减得，
当时，适合上式，所以，
因为，所以数列是递减数列，由，解得，且
所以当或17时，取得最大值，
所以，
.故选：BC
[题型精练]
1．(2023·福建·莆田华侨中学模拟预测）2022年4月26日下午，神州十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（ ）
A．10秒B．13秒C．15秒D．19秒
答案：D
【解析】设每秒钟通过的路程构成数列，则是首项为2，公差为2的等差数列，
由求和公式有，解得．故选：D.
2．(2023·全国·高三专题练习）（多选）设等差数列的前项和为，公差为.已知，，，则（ ）
A．数列的最小项为第项B．
C．D．时，的最大值为
答案：ABC
【解析】对于C选项，由且，可知，故C正确；
对于B选项，由 ，可得 ，故B正确；
对于D选项，因为，，
所以，满足的的最大值为，故D错误；
对于A选项，由上述分析可知，当且时， ；
当且时，，
所以，当且时，，
当且时，，
当且时，.
由题意可知单调递减，
所以当且时，，
由题意可知单调递减，即有，
所以，
由不等式的性质可得，
从而可得，
因此，数列的最小项为第 项，故A正确.
故选：ABC.