高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)6.2等比数列5大题型(精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)6.2等比数列5大题型(精练)(原卷版+解析)，共18页。

【题型一 等比数列基本量的运算】
1.(2023·广东·梅州市梅江区梅州中学高三阶段练习）已知为等比数列，为其前项和，若，，则（ ）
A. B. C. D.
2.(2023·河南信阳市高三模拟）已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则________．
3. (2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列的前n项和为，且满足，则公比（ ）
A. B. 2C. D.
4. (2023·安徽·合肥一中模拟预测）等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（ ）
A．B．C．3D．
5. (2023·江西·新余四中模拟）已知是等比数列的前项和，若，，则数列的公比是（ ）
A．8B．4C．3D．2
6. (2023·四川成都市模拟）已知等比数列的前项和为，若，，则数列的公比为（ ）
A．B．C．D．
【题型二 等比数列的性质及应用】
1.(2023·河南省浚县第一中学模拟预测）在等比数列中，若，则（ ）
A．5B．10C．15D．20
2．(2023·贵州·贵阳一中高三阶段练习）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（ ）
A．B．1C．2D．4
3．(2023·四川遂宁市·高三三模）在递增的数列中，，若，且前项和，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
4. (2023·湖北荆州市模拟）设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·全国高三专题练习）(多选)在正项等比数列{an}中，已知，，则（ ）
A．B．
C．D．n＝14
6. (2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A．B．2C．D．
【题型三 等比数列的判定与证明】
1. (2023·浙江金华市·高三三模）已知数列{an}满足，，，成等差数列，证明:数列是等比数列，并求{an}的通项公式；
2. （多选）(2023·全国课时练习）已知数列是公比为的等比数列，则以下一定是等比数列的是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·云南民族大学附属中学高三月考）已知数列满足，，求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
4．(2023·全国·高三专题练习）设数列满足，其中.证明：是等比数列；
5. (2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记数列的前项和为，证明：．
【题型四 等比数列的最值问题】
1. (2023·青海西宁模拟）已知等比数列，，的最小值为（ ）
A．70B．90C．135D．150
2. (2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比为q，前n项和为，若，则的最小值是______．
3. (2023·辽宁丹东市·高三月考）等比数列的公比为，前项积，若 ，，，则
A．B．
C．是的最大值D．使的的最大值是4040
4. (2023·安徽芜湖市·高三二模）已知无穷等比数列满足，其前项和为，则（ ）
A．数列为递增数列B．数列为递减数列
C．数列有最小项D．数列有最大项
【题型五 生活中的等比数列】
1.(2023·江苏·沭阳如东中学模拟预测）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ）
A．6里B．5里C．4里D．3里
2.(2023·江苏南通·模拟预测）（多选）学校食坣每天中都会提供两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天诜择套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记某同学第天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.一个月（30天）后，记甲､乙､丙3位同学选择套餐的人数为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．数列是等比数列
C．D．
3. (2023·全国·高三专题练习）为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”.某摊主2020年4月初向银行借了免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年3月底该摊主的年所得收入为（ ）
（取，）
A．24000元B．26000元C．30000元D．32000元
4. (2023·四川宜宾市·高三一模）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的3倍，则的值为（ ）(结果精确到0.1，参考数据：，)
A．2.2B．2.4C．2.6D．2.8
6.2 等比数列5大题型
【题型解读】
【题型一 等比数列基本量的运算】
1.(2023·广东·梅州市梅江区梅州中学高三阶段练习）已知为等比数列，为其前项和，若，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
【解析】
分析：设等比数列的公比为，根据已知条件求出、的值，再利用等比数列的求和公式可求得的值.
【详解】设等比数列的公比为，则，则，所以，，
因为，即，，解得，
因此，.
故选：C.
2.(2023·河南信阳市高三模拟）已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则________．
答案：
【解析】因为，，成等比数列 ，即 解得 或（舍）
故答案为：
3. (2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列的前n项和为，且满足，则公比（ ）
A. B. 2C. D.
答案：B
【解析】
分析：根据等比数列的通项公式列出方程求解即可.
【详解】，
∴，即，
解得或（舍）．
故选：B
4. (2023·安徽·合肥一中模拟预测）等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（ ）
A．B．C．3D．
答案：D
【解析】设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，
所以，化为：，解得．故选：D
5. (2023·江西·新余四中模拟）已知是等比数列的前项和，若，，则数列的公比是（ ）
A．8B．4C．3D．2
答案：D
【解析】由，所以，.故选：D.
6. (2023·四川成都市模拟）已知等比数列的前项和为，若，，则数列的公比为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】设等比数列公比为，
若，则，不合题意，；
，；
，，解得：，
，解得：.故选：C.
【题型二 等比数列的性质及应用】
1.(2023·河南省浚县第一中学模拟预测）在等比数列中，若，则（ ）
A．5B．10C．15D．20
答案：C
【解析】因为，所以，
所以；故选：C.
2．(2023·贵州·贵阳一中高三阶段练习）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（ ）
A．B．1C．2D．4
答案：B
【解析】由等差中项的性质可得，由等比中项的性质可得，因此，.故选：B.
3．(2023·四川遂宁市·高三三模）在递增的数列中，，若，且前项和，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案：B
【解析】因为在递增的数列中，，所以数列是单调递增的等比数列，
因为，所以，
所以，解得 或(舍)，
所以，即，————①
又因为，即，———————②
①②联立，解得，.
故选：B.
4. (2023·湖北荆州市模拟）设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】是等比数列，也称等比数列，
，设，
则，，则，
.
故选：D.
5．(2023·全国高三专题练习）(多选)在正项等比数列{an}中，已知，，则（ ）
A．B．
C．D．n＝14
答案：BD
【解析】设数列的公比为q，
由，可得，
又由，所以A、C不正确；
因为，可得，
所以，解得，所以B、D正确.
故选：BD.
6. (2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A．B．2C．D．
答案：C
【解析】当时，，又，
即前10项分别为，
所以数列的前10项中，，所以，
故选：C．
【题型三 等比数列的判定与证明】
1. (2023·浙江金华市·高三三模）已知数列{an}满足，，，成等差数列，证明:数列是等比数列，并求{an}的通项公式；
答案：证明见解析，；
【解析】由已知得4an+1=3an+anan+1,
∵a1≠0，∴由递推关系可得an≠0恒成立，∴,∴，即,
又∵,∴数列是首项为，公比为的等比数列，
，,；
2. （多选）(2023·全国课时练习）已知数列是公比为的等比数列，则以下一定是等比数列的是（ ）
A．B．C．D．
答案：BC
【解析】因为数列是公比为的等比数列,则,
对于选项A,,因为不是常数,故A错误；
对于选项B,,因为为常数,故B正确；
对于选项C,,因为为常数,故C正确；
对于选项D,若,即时,该数列不是等比数列,故D错误.
故答案为:BC
3．(2023·云南民族大学附属中学高三月考）已知数列满足，，求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
答案：证明见解析，；
【解析】证明：∵，，∴，，又，
∴，故数列为首项为1，公比为的等比数列，
∴，故.
4．(2023·全国·高三专题练习）设数列满足，其中.证明：是等比数列；
【解析】证明：因为，
所以，
又，
∴是首项为，公比为2的等比数列；
5. (2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记数列的前项和为，证明：．
【解析】(1)因为，所以，
所以，
因为，所以，，
故数列为等比数列，首项为，公比为2；
(2)由（1）可知，所以，
所以．
【题型四 等比数列的最值问题】
1. (2023·青海西宁模拟）已知等比数列，，的最小值为（ ）
A．70B．90C．135D．150
答案：B
【解析】设的公比为，由等比数列的知识可知，，
结合可得，.
由基本不等式及等比数列的性质可得，
当且仅当，时等号成立，故的最小值为.故选：B
2. (2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比为q，前n项和为，若，则的最小值是______．
答案：
【解析】由题知，，
又，则，当且仅当时，等号成立.
即的最小值是故答案为：
3. (2023·辽宁丹东市·高三月考）等比数列的公比为，前项积，若 ，，，则
A．B．
C．是的最大值D．使的的最大值是4040
答案：AD
【解析】根据条件可得，则， ,又
选项A. ，所以
若，则，
所以与条件 矛盾.
所以，所以选项A正确.
选项B. 由, ，可得等比数列单调递减.
又，可得 ，
，所以选项B不正确.
选项C . 由，，可得等比数列单调递减.
可得，，即数列 的前项大于1，当时，
所以是的最大值，所以选项C不正确.
选项D.
，由上可知 ，可得，由此类推可得当时，
，
由，可得，由此类推可得可得当 时，
所以使的的最大值是4040，所以选项D正确
故选：AD
4. (2023·安徽芜湖市·高三二模）已知无穷等比数列满足，其前项和为，则（ ）
A．数列为递增数列B．数列为递减数列
C．数列有最小项D．数列有最大项
答案：C
【解析】因为无穷等比数列满足，所以，即，
由，所以，又，所以
所以
当时，，递减，单调递增，所以有最小项；
当时，，不具有单调性，不单调，但，，，且，所以有最小项；
故选：C
【题型五 生活中的等比数列】
1.(2023·江苏·沭阳如东中学模拟预测）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ）
A．6里B．5里C．4里D．3里
答案：A
【解析】记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，
由，得，解得：，.故选：A．
2.(2023·江苏南通·模拟预测）（多选）学校食坣每天中都会提供两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天诜择套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记某同学第天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.一个月（30天）后，记甲､乙､丙3位同学选择套餐的人数为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．数列是等比数列
C．D．
答案：ABC
【解析】由于每人每次只能选择两种套餐中的一种，所以，故A正确；
依题意，，则.
又时，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确
所以，
当时，，
所以，所以C正确，错误.
故选：ABC.
3. (2023·全国·高三专题练习）为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”.某摊主2020年4月初向银行借了免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年3月底该摊主的年所得收入为（ ）
（取，）
A．24000元B．26000元C．30000元D．32000元
答案：D
【解析】设，从4月份起每月底用于下月进借货的资金依次记为，
，、
同理可得，所以，而，
所以数列是等比数列，公比为，
所以，，
总利润为．
故选：D．
4. (2023·四川宜宾市·高三一模）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的3倍，则的值为（ ）(结果精确到0.1，参考数据：，)
A．2.2B．2.4C．2.6D．2.8
答案：C
【解析】设大老鼠每天打洞的进度形成数列，小老鼠每天打洞的进度形成数列，
则由题可得数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以第天后大老鼠打洞的总进度为，
数列是首项为1，公比为的等比数列，
所以第天后小老鼠打洞的总进度为，
则由题可得，整理可得，
解得或，即（舍去）或，
.
故选：C.