高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.1空间几何体结构特征及计算(精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.1空间几何体结构特征及计算(精练)(原卷版+解析)，共19页。


【题型一 简单几何体的概念】
1. (2023·全国·高三专题练习）给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是（ ）
A. B. C. D.
2. (2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（ ）
A. 经过三点确定一个平面B. 各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥
C. 各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱D. 一个三棱锥的四个面可以都为直角三角形
3. (2023·山东省东明县第一中学高三阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B. 过空间内不同的三点，有且只有一个平面
C. 棱锥的所有侧面都是三角形
D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
【题型二 简单几何体的表面积】
1. (2023·青海高三模拟）以边长为4的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周 ，所得圆柱的侧面积为（ ）
A．B．C．32D．16
2. (2023·陕西西安高三模拟）一个直角三角形的两条直角边长分别为2和，将该三角形的斜边旋转一周得到的几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·全国·高三专题练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上），求此圆锥侧面积和球表面积之比（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·宁夏石嘴山·一模）过圆锥的顶点作圆锥的截面，交底面圆于，两点，已知圆的半径为，，，则圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
5. (2023·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知.底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积是（ ）
A．B．C．D．
6. (2023·天津高三模拟）已知四棱锥底面为边长为2的正方形，顶点在底面的投影为底面的中心，若该四棱锥的体积为，则它的表面积为（ ）
A．8B．12C．D．20
7. (2023·全国高三模拟）已知长方体木块中，，从该木块中挖去一个圆锥，使得圆锥的顶点为正方形的中心，底面圆为正方形的内切圆，则剩余部分的表面积为_____________．
【题型三 简单几何体的体积】
1. (2023·江苏高三模拟）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·湖北武汉·高三开学考试）2022年7月，台风“暹芭”登陆我国.某兴趣小组为了解台风“暹芭”对本市降雨量的影响，在下雨时，用一个圆台形的容器接雨水.已知该容器上底直径为56cm，下底直径为24cm，容器深18cm，若容器中积水深9cm，则平地降雨量是（ ）（注：平地降雨量等于容器中积水体积除以容器的上底面积）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
3. (2023·全国·高三专题练习）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点，满足面ABC，，若，则该“鞠”的体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论错误的是（ ）
A．直线与为异面直线
B．平面
C．三棱锥的表面积为
D．三棱锥的体积为
5. (2023·江苏南通市·高三模拟）中国气象局规定：一天里的降雨的深度当作日降水量，通常用毫米表示降水量的单位，的降水量是指单位面积上水深.如图，这是一个雨量筒，其下部是直径为､高为的圆柱，上部承水口的直径为.某同学将该雨量筒放在雨中，雨水从圆形容器口进入容器中，后，测得容器中水深，则该同学测得的降水量约为（ ）
A．B．C．D．
6. (2023·福建高三三模）（多选）已知正四棱锥的侧面积为，当该棱锥的体积最大时，以下结论正确的是（ ）
A．棱锥的高与底面边长的比为
B．侧棱与底面所成的角为
C．棱锥的每一个侧面都是等边三角形
D．棱锥的内切球的表面积为
【题型四 有关球的计算】
1. (2023·甘肃省武威第一中学高三月考）如图，半径为4的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的表面积之差为（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·全国·高三专题练习）圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆柱的体积为_______
3. (2023·天津·耀华中学二模）一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·全国·高三专题练习）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点，将分别沿BE，CE折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面CDE⊥平面BCE，则所得几何体ABCDE的外接球的体积为______．
7.1 空间几何体结构特征及计算
【题型解读】

【题型一 简单几何体的概念】
1. (2023·全国·高三专题练习）给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
【解析】①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；
②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；
③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.
故选：A.
2. (2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（ ）
A. 经过三点确定一个平面B. 各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥
C. 各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱D. 一个三棱锥的四个面可以都为直角三角形
答案：D
【解析】A.错误，经过不共线的三点确定一个平面；
B.错误，正八面体的八个面也都是正三角形；
C.错误，侧面都是正方形，但底面如果不是正多边形，也不是正棱柱，比如侧面是正方形，但底面是菱形的柱体不是正四棱柱；
D.正确，底面是直角三角形，一条侧棱和底面垂直，并且垂直落在非直角顶点处的三棱锥，即可满足条件.
故选：D
3. (2023·山东省东明县第一中学高三阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B. 过空间内不同的三点，有且只有一个平面
C. 棱锥的所有侧面都是三角形
D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
答案：C
【解析】对：根据棱柱的定义知，有两个面平行，其余各面都是四边形，
且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，所以错误，反例如图：
对：若这三点共线，则可以确定无数个平面，故错误；
对：棱锥的底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，故正确；
对：只有用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故错误，
故选：.
【题型二 简单几何体的表面积】
1. (2023·青海高三模拟）以边长为4的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周 ，所得圆柱的侧面积为（ ）
A．B．C．32D．16
答案：A
【解析】以边长为4的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱，其底面半径，高，故其侧面积．故选：A
2. (2023·陕西西安高三模拟）一个直角三角形的两条直角边长分别为2和，将该三角形的斜边旋转一周得到的几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】如图所示，在直角中，，可得，
可得，即旋转体的底面圆的半径为，所以该旋转体的表面积为：
.故选：A.
3. (2023·全国·高三专题练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上），求此圆锥侧面积和球表面积之比（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设直角圆锥底面半径为，则其侧棱为，
所以顶点到底面圆圆心的距离为：，
所以底面圆的圆心即为外接球的球心，所以外接球半径为，
所以.故选：A.
4. (2023·宁夏石嘴山·一模）过圆锥的顶点作圆锥的截面，交底面圆于，两点，已知圆的半径为，，，则圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
如图所示，在中
因为且所以为正三角形所以
所以圆锥的侧面积故选：B
5. (2023·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知.底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意可得圆锥体的母线长为，
所以圆锥体的侧面积为，
圆柱体的侧面积为，圆柱的底面面积为，
所以此陀螺的表面积为（），故选：C
6. (2023·天津高三模拟）已知四棱锥底面为边长为2的正方形，顶点在底面的投影为底面的中心，若该四棱锥的体积为，则它的表面积为（ ）
A．8B．12C．D．20
答案：B
【解析】如图，设底面中心为，
则，可得，
因为底面为正方形，则，，
则的边边上的高为，
则该四棱锥的表面积为.
故选：B.
7. (2023·全国高三模拟）已知长方体木块中，，从该木块中挖去一个圆锥，使得圆锥的顶点为正方形的中心，底面圆为正方形的内切圆，则剩余部分的表面积为_____________．
答案：
【解析】剩余部分的表面积为长方体木块的表面积减去一个半径为的圆的面积，再加上一个底面半径为，高为的圆锥的侧面积，即．
故答案为：
【题型三 简单几何体的体积】
1. (2023·江苏高三模拟）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以，
又，则，所以，所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高，所以.故选：C.
2. (2023·湖北武汉·高三开学考试）2022年7月，台风“暹芭”登陆我国.某兴趣小组为了解台风“暹芭”对本市降雨量的影响，在下雨时，用一个圆台形的容器接雨水.已知该容器上底直径为56cm，下底直径为24cm，容器深18cm，若容器中积水深9cm，则平地降雨量是（ ）（注：平地降雨量等于容器中积水体积除以容器的上底面积）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
答案：B
【解析】根据题意可得，容器下底面面积为，上底面面积为,
因为容器中积水高度为容器高度的，则积水上底面恰为容器的中截面，
所以积水上底直径为cm，积水上底面面积为，
所以积水体积为，
则平地降雨量是cm.故选：B.
3. (2023·全国·高三专题练习）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点，满足面ABC，，若，则该“鞠”的体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】取中点为,过作,且,因为平面ABC,所以平面.由于,故,进而可知,所以是球心,为球的半径.
由,又,当且仅当,等号成立,故此时,所以球半径,故,体积最小值为故选:C
4．(2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论错误的是（ ）
A．直线与为异面直线
B．平面
C．三棱锥的表面积为
D．三棱锥的体积为
答案：D
【解析】因为平面,平面,平面,,所以直线与为异面直线,故A对.平面，平面，平面，故B对.
,,所以三棱锥的表面积为，故C对.,故D 错.故选:D
5. (2023·江苏南通市·高三模拟）中国气象局规定：一天里的降雨的深度当作日降水量，通常用毫米表示降水量的单位，的降水量是指单位面积上水深.如图，这是一个雨量筒，其下部是直径为､高为的圆柱，上部承水口的直径为.某同学将该雨量筒放在雨中，雨水从圆形容器口进入容器中，后，测得容器中水深，则该同学测得的降水量约为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意，水的体积，
容器口的面积.
∴降雨量.
∴该同学测得的降水量约为.
故选：C.
6. (2023·福建高三三模）（多选）已知正四棱锥的侧面积为，当该棱锥的体积最大时，以下结论正确的是（ ）
A．棱锥的高与底面边长的比为
B．侧棱与底面所成的角为
C．棱锥的每一个侧面都是等边三角形
D．棱锥的内切球的表面积为
答案：ACD
【解析】设底面边长为，侧棱长为，则，即，
而，又，
故，
设，则，
易知函数在单调递增，在单调递减，
∴当时，取得最大值，此时棱锥的体积最大，且，
∴底面边长为2，侧棱长为2，，，
∴棱锥的高与底面边长的比为，选项A正确；
侧棱与底面所成的角为，而，则，选项B错误；
由于底面边长与侧棱长均为2，故侧面为等边三角形，选项C正确；
设内切球的半径为，由于，，
∴，
∴，选项D正确.
故选：ACD.
【题型四 有关球的计算】
1. (2023·甘肃省武威第一中学高三月考）如图，半径为4的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的表面积之差为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】如图.
设圆柱底面半径为，球的半径与圆柱底面夹角为，则，，
圆柱的高，
圆柱的侧面积为，
当且仅当时，，圆柱的侧面积最大，为，
球的表面积与圆柱的表面积之差为.故选：D．
2. (2023·全国·高三专题练习）圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆柱的体积为_______
答案：
【解析】球的半径为，，解得，圆柱的高为：．可得．
故答案为：．
3. (2023·天津·耀华中学二模）一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥的高为，内切球的半径为，其轴截面如图所示，设为内切球球心，
因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，
所以，得，即，
所以，
所以，
因为∽，所以,
所以，得，
所以圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为
，
故选：A
4. (2023·全国·高三专题练习）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点，将分别沿BE，CE折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面CDE⊥平面BCE，则所得几何体ABCDE的外接球的体积为______．
答案：
【解析】由题可得均为等腰直角三角形，如图，
设的中点为，
连接，则，
因为平面平面，平面平面，
所以平面平面，
易得，
则几何体的外接球的球心为，半径，
所以几何体的外接球的体积为．
故答案为：