高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.3空间几何体截面、轨迹问题(精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.3空间几何体截面、轨迹问题(精练)(原卷版+解析)，共29页。

【题型一 截面形状判断】
1.(2023·陕西安康·高三期末）已知正四面体及其内切球，经过该四面体的棱及底面上的高作截面，交于点，则截面图形正确的是
A．B．
C．D．
2.(2023·海原县高三模拟）如图，正方体的棱长为1，，分别为棱，上的点，下列说法正确的是 ．（填上所有正确命题的序号）
①平面；
②在平面内总存在与平面平行的直线；
③△在侧面上的正投影是面积为定值的三角形；
④当，为中点时，平面截该正方体所得的截面图形是五边形．
【题型二 截面面积求解】
1.(2023·山西·太原五中高一阶段练习）如图，直线平面，垂足为，正四面体的棱长为4，在平面内，是直线上的动点，则当到的距离为最大时，正四面体在平面上的射影面积为
A．B．C．4D．
2.(2023·河南·高三阶段练习）某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为
A．2B．C．D．1
3. (2023·安徽·合肥市第六中学高一期中）已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为
A．B．C．D．
4. (2023·全国高三模拟）已知球为棱长为1的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为 ．
5. (2023•运城期末）已知正方体的边长为3，为边上靠近的三等分点，过且垂直于直线的平面被正方体所截的截面面积为
A．B．C．D．
6. 已知底面是正方形的长方体的底面边长，侧棱长，它的外接球的球心为，点是的中点，点是球上任意一点，有以下判断：
①长的最大值是9；
②三棱锥体积最大值是；
③存在过点的平面，截球的截面面积是；
④是球上另一点，，则四面体体积的最大值为56；
⑤过点的平面截球所得截面面积最大时，垂直于该截面．
其中判断正确的序号是 ．
【题型三 平行、垂直有关的轨迹问题】
1. （多选题）(2023·重庆南开中学模拟预测）已知正四棱锥的侧面是边长为6的正三角形，点M在棱PD上，且，点Q在底面及其边界上运动，且面，则下列说法正确的是（ ）
A．点Q的轨迹为线段
B．与CD所成角的范围为
C．的最小值为
D．二面角的正切值为
2.（2023·全国·高三专题练习）已知正方体的棱长为分别是棱､的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ ）
A．2B．C．D．
3．（多选题）(2023·湖北孝感·高二期末）如图，已知正方体ABCD—的棱长为1，P为正方形底面ABCD内一动点，则下列结论正确的有（ ）
A．三棱锥-的体积为定值
B．存在点P，使得
C．若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹是线段AC
D．若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面α垂直于平面，则平面α截正方体的截面周长为3
4. (2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面ABM的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【题型四 距离、角度有关的轨迹问题】
1.(2023·山东·模拟预测）如图，已知棱长为2的正方体A′B′C′D′－ABCD，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D内（包括边界）的动点，满足PM=PD，则点P的轨迹长度为______．
2.(2023·福建·三明一中模拟预测）已知正方体的棱长为3，点P在的内部及其边界上运动，且，则点P的轨迹长度为( )
A． B． C． D．
3. （多选）如图，若正方体的棱长为，点是正方体的侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．沿正方体的表面从点到点的最短路程为
B．若保持，则点在侧面内运动路径的长度为
C．三棱锥的体积最大值为
D．若点满足，则点的轨迹为线段
4. 在长方体中，点M是棱AD的中点，，点P在侧面的边界及其内部运动，则（ ）
A．直线MP与直线所成角的最大值为90°
B．若，则点P的轨迹为椭圆的一部分
C．不存在点P，使得∥平面
D．若平面与平面ABCD和平面与平面所成的锐二面角相等，则点P的轨迹长度为
【题型五 翻折中的轨迹问题】
1.(2023·江西萍乡·三模）如图，在长方形ABCD中，，，E为BC的中点，将△沿AE向上翻折到的位置，连接PC，PD，在翻折的过程中，以下结论错误的是（ ）
A．四棱锥体积的最大值为
B．PD的中点F的轨迹长度为
C．EP，CD与平面PAD所成的角相等
D．三棱锥外接球的表面积有最小值
2. (2023·四川高三模拟）已知矩形ABCD中，，点M，N分别为线段AB，CD的中点，现将△ADM沿DM翻转，直到与△NDM首次重合，则此过程中，点A的运动轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
7.3 空间几何体截面、轨迹问题
【题型解读】

【题型一 截面形状判断】
1.(2023·陕西安康·高三期末）已知正四面体及其内切球，经过该四面体的棱及底面上的高作截面，交于点，则截面图形正确的是
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】画出图形，如图所示；
正四面体及其内切球，经过该四面体的棱及底面上的高作截面，交于点，
则截面所表示的图形是：
故选：．
2.(2023·海原县高三模拟）如图，正方体的棱长为1，，分别为棱，上的点，下列说法正确的是 ．（填上所有正确命题的序号）
①平面；
②在平面内总存在与平面平行的直线；
③△在侧面上的正投影是面积为定值的三角形；
④当，为中点时，平面截该正方体所得的截面图形是五边形．
答案：②③④
【解析】对于①平面，不一定成立，因为平面，而两个平面与面不一定平行．
对于②在平面内总存在与平面平行的直线，此两平面相交，一个面内平行于两个平面的交线一定平行于另一个平面，此结论正确；
对于③△在侧面上 的正投影是面积为定值的三角形，此是一个正确的结论，因为其投影三角形的一边是棱，而点在面上的投影到此棱的距离是定值，故正确；
对于④，当，为中点时平面截该正方体所得的截面图形是五边形，
故答案为：②③④
【题型二 截面面积求解】
1.(2023·山西·太原五中高一阶段练习）如图，直线平面，垂足为，正四面体的棱长为4，在平面内，是直线上的动点，则当到的距离为最大时，正四面体在平面上的射影面积为
A．B．C．4D．
答案：A
【解析】由题意，直线与动点的空间关系：点是以为直径的球面上的点，所以到的距离为四面体上以为直径的球面上的点到的距离，最大距离为到球心的距离（即与的公垂线）半径．
再考虑取得最大距离时四面体的投影情况，此时我们注意到垂直平面，且平行平面，故其投影是以为底，到 的距离投影，即为高的等腰三角形，其面积．
故选：．
2.(2023·河南·高三阶段练习）某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为
A．2B．C．D．1
答案：A
【解析】如图所示，截面为，为的中点，设，，
所以，，
故，
所以当时，，此时的截面面积最大．
故选：．
3. (2023·安徽·合肥市第六中学高一期中）已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为
A．B．C．D．
答案：A
【解析】解：设圆心到截面距离为，截面半径为，
由，即，
，
，
故，又，
，
所以截面的面积为，
故选：．
4. (2023·全国高三模拟）已知球为棱长为1的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为 ．
答案：
【解析】如图，
正方体的内切球切正方体的六个面于各面的中心，
则平面截球的截面为正三角形的内切圆，
正方体的棱长为1，正三角形的边长为，
设其内切圆的半径为，则，即．
平面截球的截面面积为．
故答案为：．
5. (2023•运城期末）已知正方体的边长为3，为边上靠近的三等分点，过且垂直于直线的平面被正方体所截的截面面积为
A．B．C．D．
答案：A
【解析】解：直线是正方体的体对角线，
所以平面，
因为过点的平面与直线垂直，
所以平面平面，
因为为边上靠近的三等分点，
所以平面截正方体所得截面的面积，
因为正方体的边长为3，
所以，
所以过且垂直于直线的平面被正方体所截的截面面积为．
故选：．
6. 已知底面是正方形的长方体的底面边长，侧棱长，它的外接球的球心为，点是的中点，点是球上任意一点，有以下判断：
①长的最大值是9；
②三棱锥体积最大值是；
③存在过点的平面，截球的截面面积是；
④是球上另一点，，则四面体体积的最大值为56；
⑤过点的平面截球所得截面面积最大时，垂直于该截面．
其中判断正确的序号是 ．
答案：①②④
【解析】解：①底面是正方形的长方体的底面边长，侧棱长，外接球的直径为，半径为5，点是的中点，，长的最大值是，故正确；
②到平面的最大值为，的面积为9，三棱锥体积最大值是，故正确；
③过点的平面，截球的截面面积最小是，故不正确；
④当中点与中点重合，且垂直于平面时，则四面体体积为56，故正确；
⑤过侧面是矩形，不垂直，不可能垂直于，故不正确．
故答案为：①②④．
【题型三 平行、垂直有关的轨迹问题】
1. （多选题）(2023·重庆南开中学模拟预测）已知正四棱锥的侧面是边长为6的正三角形，点M在棱PD上，且，点Q在底面及其边界上运动，且面，则下列说法正确的是（ ）
A．点Q的轨迹为线段
B．与CD所成角的范围为
C．的最小值为
D．二面角的正切值为
答案：ACD
【解析】对于A，取点,，使得，，连接,，如图，
由线段成比例可得，平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
又平面，，所以平面平面，
故当点时，总有面，所以点Q的轨迹为线段，故A正确；
对于B，由知与CD所成角即为与NE所成角，在中，，由余弦定理可得，由，可知，即运动到点时，异面直线所成的角小于，故B错误；
对于C，当时，最小，此时，故C正确；
对于D，二面角即平面与底面所成的锐角，连接相交于，连接，取点H，使得，连接MH，过H作于G，连接，如图，
由正四棱锥可知，面，由，知，
，由可得，
，面，，又，，平面，，即为二面角的平面角，，故D正确.
故选：ACD
2.（2023·全国·高三专题练习）已知正方体的棱长为分别是棱､的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ ）
A．2B．C．D．
答案：B
【解析】取的中点，连接，如图所示：
分别是棱､的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
因为，，所以四边形为平行四边形，
所以.
又因为平面，平面，所以平面.
因为，所以平面平面.
因为点为底面四边形内（包括边界）的一动点，直线与平面无公共点，
所以的轨迹为线段，则.
故选：B
3．（多选题）(2023·湖北孝感·高二期末）如图，已知正方体ABCD—的棱长为1，P为正方形底面ABCD内一动点，则下列结论正确的有（ ）
A．三棱锥-的体积为定值
B．存在点P，使得
C．若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹是线段AC
D．若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面α垂直于平面，则平面α截正方体的截面周长为3
答案：ACD
【解析】对于A，P为正方形底面ABCD时，三棱锥的高不变，底面积也不变，所以体积为定值，所以A正确；
对于B，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，；
若，则，即，与题意矛盾，所以B不正确；
对于C，，由得，所以的轨迹就是线段，所以C正确；
对于D，因为，所以平面；
因为平面平面，所以平面；
以为参照线作出平面与正方体各个侧面的交线，如图，易知每个侧面的交线均相等，长度为，所以截面周长为，所以D正确.
故选：ACD.
4. (2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面ABM的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】取AB中点P，连接PC，C1N，如图，
因为PC⊥AB，PN⊥AB，
且PN∩PC=P，所以AB⊥平面，AB平面ABM ,
所以平面ABM⊥平面，平面ABM∩平面= PM，
过N作NO⊥PM，NO平面，所以NO⊥平面ABM，
当点M从点C运动到点C1时，点是以PN为直径的圆 (部分)，如图，
当M运动到点时，点到最高点，此时，
所以，从而，
所以弧长，即点的轨迹长度为.
故选: B
【题型四 距离、角度有关的轨迹问题】
1.(2023·山东·模拟预测）如图，已知棱长为2的正方体A′B′C′D′－ABCD，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D内（包括边界）的动点，满足PM=PD，则点P的轨迹长度为______．
答案：
【解析】如图建立空间直角坐标系，则
设平面的法向量
则有，令，则
则
设，则
∵，则
又∵PM=PD，则
整理得：
联立方程，则
可得，可得
当时，，当时，
在空间中，满足PM=PD的P为过MD的中点且与MD垂直的平面
两个平面的公共部分为直线，即点P的轨迹为平面A′C′D，则
故答案为：．
2.(2023·福建·三明一中模拟预测）已知正方体的棱长为3，点P在的内部及其边界上运动，且，则点P的轨迹长度为( )
A． B． C． D．
答案：A
【解析】连接、、，
则，，，
∴⊥平面，∴，
同理，∴平面．
设，连接BE交于O，
由△BOD∽△且BD=可知OD=，则，
连接OP，则，∴，
可得点P的轨迹为以点O为圆心，为半径的圆在内部及其边界上的部分，
OB=2OE，E为中点，及△为等边三角形可知O为△中心，
OE=，如图：
，，，
则∠OFE=∠=，∴OF∥，同理易知OG∥，
故四边形是菱形，则
∴的长度为，故点P的轨迹长度为．
故选：A．
3. （多选）如图，若正方体的棱长为，点是正方体的侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．沿正方体的表面从点到点的最短路程为
B．若保持，则点在侧面内运动路径的长度为
C．三棱锥的体积最大值为
D．若点满足，则点的轨迹为线段
答案：BD
【解析】对于A，将侧面和侧面沿棱展开，可得展开图如下图所示，
此时从点到点的最短路程为；
将底面和侧面沿棱展开，可得展开图如下图所示，
此时从点到点的最短路程为；
，从点到点的最短路程为，A错误；
对于B，取中点，连接，
分别为中点，，又平面，
平面，即为在平面内的投影；
，，，
点的运动路径是以为圆心，为半径的圆与侧面的交线，即，如下图所示，
，，的长度为，
即点在侧面内运动路径的长度为，B正确；
对于C，是边长为的等边三角形，；
设点到平面的距离为，则，
即当最大时，最大；当与重合时，取得最大值，
，C错误；
对于D，作，，垂足分别为，
平面，平面，，
；
设，，，
则，，，
，
又，，
整理可得：，即，即，
则为满足的线段上的点，即点的轨迹为线段，D正确.
故选：BD.
4. 在长方体中，点M是棱AD的中点，，点P在侧面的边界及其内部运动，则（ ）
A．直线MP与直线所成角的最大值为90°
B．若，则点P的轨迹为椭圆的一部分
C．不存在点P，使得∥平面
D．若平面与平面ABCD和平面与平面所成的锐二面角相等，则点P的轨迹长度为
答案：ACD
【解析】
对于A，取中点，易得，则平面，又，平面，
则直线MP与直线为异面直线，则直线MP与直线所成角的范围为， 平面，又在上时，
平面，则，此时直线MP与直线所成角为90°，则直线MP与直线所成角的最大值为90°，A正确；
对于B，满足的动点的轨迹是以为轴，半顶角为的圆锥面，又轴∥平面，
则圆锥面与平面的交线为双曲线的一部分，即点P的轨迹为双曲线的一部分，B错误；
对于C，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，易得，设，其中，
则，设平面的法向量为，则，
取，则，要使∥平面，则，即，
又，显然无解，即不存在点P，使得∥平面，故C正确；
对于D，由C选项知，平面的法向量，易得平面ABCD的法向量为，平面的法向量为，
由锐二面角相等，可得，化简得，即（舍去）或；
画出平面的平面图，易得与的交点为，与的交点为，则，
即点P的轨迹长度为，D正确.
故选：ACD.
【题型五 翻折中的轨迹问题】
1.(2023·江西萍乡·三模）如图，在长方形ABCD中，，，E为BC的中点，将△沿AE向上翻折到的位置，连接PC，PD，在翻折的过程中，以下结论错误的是（ ）
A．四棱锥体积的最大值为
B．PD的中点F的轨迹长度为
C．EP，CD与平面PAD所成的角相等
D．三棱锥外接球的表面积有最小值
答案：B
【解析】由已知条件可知，梯形AECD的面积为6，，直角斜边AE上的高为，当平面平面AECD时，四棱锥的体积取得最大值，
即，则正确；
取的中点，连接，，，则且，
∴四边形ECFG是平行四边形，
∴点的轨迹与点的轨迹形状完全相同．过作AE的垂线，垂足为H，G的轨迹是以为圆心，为半径的半圆弧，从而PD的中点的轨迹长度为，
则错误；
由四边形ECFG是平行四边形，知，则平面PAD，
则E，C到平面PAD的距离相等，
故PE，CD与平面PAD所成角的正弦值之比为，则正确；
△外接圆的半径为，为的中点，直角△外接圆的半径为，为的中点，是圆与圆的公共弦，,
设三棱锥外接球的球心为，半径为，
则,
因为，所以，所以球表面积的最小值为，
则正确,
故选：.
2. (2023·四川高三模拟）已知矩形ABCD中，，点M，N分别为线段AB，CD的中点，现将△ADM沿DM翻转，直到与△NDM首次重合，则此过程中，点A的运动轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】解：如图，连接,相交于点,
由题得四边形是边长为3的正方形，,
现将△ADM沿DM翻转，直到与△NDM首次重合，
则此过程中，点A的运动轨迹是以点为圆心，以为半径的半圆，
所以点A的运动轨迹长度为.
故选：B