高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.1直线方程(精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.1直线方程(精练)(原卷版+解析)，共15页。


【题型一 直线的倾斜角与斜率】
1.(2023·全国·高三专题练习））直线的倾斜角的大小为（ ）
A．B．C．D．
2.(2023·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习）））设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3. (2023·青岛高三月考）直线2xcs α－y－3＝0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的倾斜角的变化范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(2π,3)))
4. (2023·济南高三期末）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，______.
【题型二 求直线的方程】
1.(2023·青岛高三模拟）过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
2.(2023·山东日照高三模拟））经过点，且方向向量为的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
3. (2023·浙江高三专题练习）直线，当变化时，所得直线都通过的定点是（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·全国高三模拟）已知A(－1,1)，B(3,1)，C(1,3)，则△ABC的边BC上的高所在的直线方程为( )
A．x＋y＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y＋2＝0 D．x－y＝0
5. (2023·浙江高三模拟）过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为______________．
【题型三 直线的位置关系】
1.(2023·全国高三专题练习）直线，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2.(2023·广东深圳市·高三二模）若直线与直线互相垂直，则实数等于（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·全国·高三专题练习）设，则“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4. (2023·全国·高三专题练习）“”是“直线与直线互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5. (2023·杭州模拟)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0(a∈R)，则“ea＝eq \f(1,e)”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6. (2023·荆门模拟)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点A(2,0)，B(1,2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为( )
A．x－2y－4＝0 B．2x＋y－4＝0
C．4x＋2y＋1＝0 D．2x－4y＋1＝0
【题型四 两直线的交点与距离问题】
1. (2023·浙江高三专题练习）点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
2.(2023·全国·高三专题练习）若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______．
3. 已知，满足，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A．0B．1C．D．
4. (2023·山东青岛·二模）已知点P与点的距离不大于1，则点P到直线的距离最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
5. 两条平行直线2x－y＋3＝0和ax＋3y－4＝0间的距离为d，则a，d的值分别为( )
A．a＝6，d＝eq \f(\r(6),3) B．a＝－6，d＝eq \f(\r(5),3)
C．a＝6，d＝eq \f(\r(5),3) D．a＝－6，d＝eq \f(\r(6),3)
【题型五 对称问题】
1. (2023·南京市大厂高级中学高三月考）已知直线，直线与关于直线对称，则直线的方程为
A．B．
C．D．
2. (2023·全国高三专题练习）已知直线过定点，则点关于对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·山东青岛·二模）若直线与直线关于点对称，则直线一定过定点（ ）
A．B．C．D．
4. 在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图所示)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为( )
A．2 B．1 C.eq \f(8,3) D.eq \f(4,3)
5. 已知三角形的一个顶点A(4，－1)，它的两条角平分线所在的直线方程分别为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为________．
8.1 直线方程
【题型解读】

【题型一 直线的倾斜角与斜率】
1.(2023·全国·高三专题练习））直线的倾斜角的大小为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由可得，所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
因为，所以，
故选：D.
2.(2023·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习）））设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】当时，方程变为，其倾斜角为，
当时，由直线方程可得斜率，
且，
，即，
又，，
由上知，倾斜角的范围是．
故选：C．
3. (2023·青岛高三月考）直线2xcs α－y－3＝0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的倾斜角的变化范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(2π,3)))
答案：B
【解析】直线2xcs α－y－3＝0的斜率k＝2cs α.
由于α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))，
所以eq \f(1,2)≤cs α≤eq \f(\r(3),2)，
因此k＝2cs α∈[1，eq \r(3)]．
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，eq \r(3)]．
由于θ∈[0，π)，
所以θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))，即倾斜角的变化范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3))).
4. (2023·济南高三期末）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，______.
答案：eq \f(1,3) －3
【解析】如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2，由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，
故kOA＝tan(θ－45°)＝eq \f(tan θ－tan 45°,1＋tan θtan 45°)
＝eq \f(2－1,1＋2)＝eq \f(1,3)，
kOC＝tan(θ＋45°)＝eq \f(tan θ＋tan 45°,1－tan θtan 45°)＝eq \f(2＋1,1－2)＝－3.
【题型二 求直线的方程】
1.(2023·青岛高三模拟）过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
所以直线方程为，即，
故选：D
2.(2023·山东日照高三模拟））经过点，且方向向量为的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】直线的方向向量为，直线的斜率，
直线的方程为，即.
故选：A.
3. (2023·浙江高三专题练习）直线，当变化时，所得直线都通过的定点是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由变形得：，
由，解得，直线恒过定点.
故选：C.
4. (2023·全国高三模拟）已知A(－1,1)，B(3,1)，C(1,3)，则△ABC的边BC上的高所在的直线方程为( )
A．x＋y＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y＋2＝0 D．x－y＝0
答案：B
【解析】因为B(3,1)，C(1,3)，所以kBC＝eq \f(3－1,1－3)＝－1，故BC边上的高所在直线的斜率k＝1，又高线经过点A(－1,1)，所以其所在的直线方程为x－y＋2＝0.
2．
5. (2023·浙江高三模拟）过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为______________．
答案：x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0
【解析】由题意可设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1.
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝6，,\f(2,a)＋\f(1,b)＝1，))
解得a＝b＝3或a＝4，b＝2.故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.
【题型三 直线的位置关系】
1.(2023·全国高三专题练习）直线，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】当时，直线，，，所以，故充分；
当时，，解得或，故不必要；
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
2.(2023·广东深圳市·高三二模）若直线与直线互相垂直，则实数等于（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由已知条件可得，解得.
故选：B.
3．(2023·全国·高三专题练习）设，则“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】由题知，当时，直线的方程为，斜率，直线的方程为，斜率．因为，所以两直线垂直，故充分性成立；若直线与垂直，则有，解得或，故必要性不成立.
故选：A．
4. (2023·全国·高三专题练习）“”是“直线与直线互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】若，则直线和直线互相垂直，是充分条件；
若直线与直线互相垂直，则，因为m取任意实数都成立，故不是必要条件；故选：A．
5. (2023·杭州模拟)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0(a∈R)，则“ea＝eq \f(1,e)”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】当l1∥l2时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－a＋2＝0，,2a－1≠0，))
解得a＝－1或a＝2.
而由ea＝eq \f(1,e)，解得a＝－1，
所以“ea＝eq \f(1,e)”是“l1∥l2”的充分不必要条件．
6. (2023·荆门模拟)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点A(2,0)，B(1,2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为( )
A．x－2y－4＝0 B．2x＋y－4＝0
C．4x＋2y＋1＝0 D．2x－4y＋1＝0
答案：D
【解析】由题设，可得kAB＝eq \f(2－0,1－2)＝－2，
且AB的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，1))，
∴AB垂直平分线的斜率k＝－eq \f(1,kAB)＝eq \f(1,2)，
故AB的垂直平分线方程为y＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))＋1＝eq \f(x,2)＋eq \f(1,4)，
∵AC＝BC，则△ABC的外心、重心、垂心都在AB的垂直平分线上，
∴△ABC的欧拉线的方程为2x－4y＋1＝0.
【题型四 两直线的交点与距离问题】
1. (2023·浙江高三专题练习）点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】根据距离公式可得：点到直线的距离，故选：B.
2.(2023·全国·高三专题练习）若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______．
答案：
【解析】∵直线与平行，∴，解得，
∴直线：，直线：，
∴直线与之间的距离．故答案为：
3. 已知，满足，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A．0B．1C．D．
答案：C
【解析】将代入直线方程，得，所以直线必过定点，
故点到直线的距离的最大值为.
故选:C
4. (2023·山东青岛·二模）已知点P与点的距离不大于1，则点P到直线的距离最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
答案：B
【解析】设点，则，
圆心到的距离为
则点P到直线的距离最小值为
故选：B
5. 两条平行直线2x－y＋3＝0和ax＋3y－4＝0间的距离为d，则a，d的值分别为( )
A．a＝6，d＝eq \f(\r(6),3) B．a＝－6，d＝eq \f(\r(5),3)
C．a＝6，d＝eq \f(\r(5),3) D．a＝－6，d＝eq \f(\r(6),3)
答案：B
【解析】由题知2×3＝－a，解得a＝－6，
又－6x＋3y－4＝0可化为2x－y＋eq \f(4,3)＝0，
∴d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3－\f(4,3))),\r(5))＝eq \f(\r(5),3).
【题型五 对称问题】
1. (2023·南京市大厂高级中学高三月考）已知直线，直线与关于直线对称，则直线的方程为
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】在上任取一点，设关于直线的对称点为，
所以，解得，
代入，
得：，
所以直线的方程为.
故选：A
2. (2023·全国高三专题练习）已知直线过定点，则点关于对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】直线即，故，
设点关于的对称点坐标为．
则解得．
点关于的对称点坐标为．
故选：A．
3. (2023·山东青岛·二模）若直线与直线关于点对称，则直线一定过定点（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】∵＝k（x﹣1）+1，
∴l1：y＝kx﹣k+1过定点（1，1），
设定点（1，1）关于点（3，3）对称的点的坐标为（x，y），
则，得，即直线l2恒过定点
故选：C
4. 在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图所示)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为( )
A．2 B．1 C.eq \f(8,3) D.eq \f(4,3)
答案：D
【解析】以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0,0)，则直线BC的方程为x＋y－4＝0.设P(t，0)(0(－t，0)，根据反射定律可知直线P1P2就是光线RQ所在的直线，由P1，P2两点的坐标可得直线P1P2的方程为y＝eq \f(4－t,4＋t)·(x＋t)．设△ABC的重心为G，易知Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3))).因为重心Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3)))在光线RQ上，所以eq \f(4,3)＝eq \f(4－t,4＋t)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)＋t))，得t＝eq \f(4,3)(t＝0舍去)，即|AP|＝eq \f(4,3).
5. 已知三角形的一个顶点A(4，－1)，它的两条角平分线所在的直线方程分别为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为________．
答案：2x－y＋3＝0
【解析】易得A不在l1和l2上，因此l1，l2为∠B，∠C的平分线，所以点A关于l1，l2的对称点在BC边所在的直线上，
设点A关于l1的对称点为A1(x1，y1)，点A关于l2的对称点为A2(x2，y2)．
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4＋x1,2)－\f(y1－1,2)－1＝0，,\f(y1＋1,x1－4)·1＝－1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝0，,y1＝3，))
所以A1(0,3)，又易得点A关于l2的对称点A2的坐标为(－2，－1)，
所以BC边所在直线的方程为eq \f(y－3,－1－3)＝eq \f(x－0,－2－0)，
即2x－y＋3＝0.