高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.1直线方程(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.1直线方程(精讲)(原卷版+解析)，共19页。


【知识必备】
1．直线的方向向量
设A，B是直线上的两点，则eq \(AB,\s\up6(→))就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
4．直线方程的五种形式
5．两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表：
6.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②结论：|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
必备技巧
1．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
2．五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
【题型精讲】
【题型一 直线的倾斜角与斜率】
必备技巧 倾斜角和斜率的变化
直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))两种情况讨论．
例1 (2023·全国·高三专题练习）已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是( )
A．k≥eq \f(1,2) B．k≤－2
C．k≥eq \f(1,2)或k≤－2 D．－2≤k≤eq \f(1,2)
例2 (2023·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习）直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
【跟踪精练】
1. (2023·青岛高三月考）直线的倾斜角的大小为（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·济南高三期末）设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【题型二 求直线的方程】
必备技巧 求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．
例3 (2023·青岛高三模拟）(1)已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为( )
A．y－3＝－eq \f(3,2)(x＋4)B．y＋3＝eq \f(3,2)(x－4)
C．y－3＝eq \f(3,2)(x＋4)D．y＋3＝－eq \f(3,2)(x－4)
(2)(多选)过点(－3,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能是( )
A．x＋3y＝0 B．x＋y＋2＝0
C．x－y＋2＝0 D．x－3y＝0
例4(2023·山东日照高三模拟）已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
【跟踪精练】
1. 经过点且在轴上的截距是在轴上截距的倍，则该直线的方程为________．
2. (2023·全国高三模拟）已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )
A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
3. (2023·浙江高三模拟）已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
【题型三 直线的位置关系】
方法技巧 判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况．
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论
例5 (2023·全国高三专题练习）已知，，直线，，且，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．D．
例6 (2023·广东深圳市·高三二模）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2. (2023·全国·高三专题练习）已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(2,3))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(2,3)，\f(4,3)))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－\f(2,3))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))
【题型四 两直线的交点与距离问题】
方法技巧 利用距离公式应注意的点
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.
(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．
例7 （1）（2023·湖南高考真题）点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
（2）（2023·浙江高三专题练习）已知直线，直线，则与之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
例8 (2023·全国·高三专题练习）若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A.eq \f(9,5) B.eq \f(18,5)
C.eq \f(29,10) D.eq \f(29,5)
【题型精练】
1. 设直线l：与直线平行，则点到l的距离的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
2. (2023·山东青岛·二模）直线l1经过点(3,0)，直线l2经过点(0,4)，且l1∥l2，d表示l1和l2之间的距离，则d的取值范围是________．
【题型五 对称问题】
方法技巧 对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．
例9 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．
【题型精练】
1. 已知直线，则点P(2，2)关于对称的点的坐标为（ ）
A．(1，3)B．(-1，-1)C．(-1，5)D．(-2，-2)
2. (2023·山东青岛·二模）直线关于对称的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)
不含直线x＝x1和直线y＝y1
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
位置关系
法向量满足的条件
l1，l2满足的条件
l3，l4满足的条件
平行
v1∥v2
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0且
A1C2－A2C1≠0
垂直
v1⊥v2
k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
相交
v1与v2
不共线
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
8.1 直线方程
【题型解读】

【知识必备】
1．直线的方向向量
设A，B是直线上的两点，则eq \(AB,\s\up6(→))就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
4．直线方程的五种形式
5．两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表：
6.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②结论：|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
必备技巧
1．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
2．五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
【题型精讲】
【题型一 直线的倾斜角与斜率】
必备技巧 倾斜角和斜率的变化
直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))两种情况讨论．
例1 (2023·全国·高三专题练习）已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是( )
A．k≥eq \f(1,2) B．k≤－2
C．k≥eq \f(1,2)或k≤－2 D．－2≤k≤eq \f(1,2)
答案：D
【解析】直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2,1)，
∵kPA＝eq \f(3－1,1－2)＝－2，kPB＝eq \f(－1－1,－2－2)＝eq \f(1,2)，
又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，
∴－2≤k≤eq \f(1,2).
例2 (2023·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习）直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
答案：B
【解析】依题意，直线的斜率k＝－eq \f(1,a2＋1)∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
【跟踪精练】
1. (2023·青岛高三月考）直线的倾斜角的大小为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由可得，所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
因为，所以，
故选：D.
2. (2023·济南高三期末）设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】当时，方程变为，其倾斜角为，
当时，由直线方程可得斜率，
且，
，即，
又，，
由上知，倾斜角的范围是．
故选：C．
【题型二 求直线的方程】
必备技巧 求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．
例3 (2023·青岛高三模拟）(1)已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为( )
A．y－3＝－eq \f(3,2)(x＋4)B．y＋3＝eq \f(3,2)(x－4)
C．y－3＝eq \f(3,2)(x＋4)D．y＋3＝－eq \f(3,2)(x－4)
答案：C
【解析】因为直线l的一个方向向量为
n＝(2,3)，
所以直线l的斜率k＝eq \f(3,2)，
故直线l的方程为y－3＝eq \f(3,2)(x＋4)．
(2)(多选)过点(－3,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能是( )
A．x＋3y＝0 B．x＋y＋2＝0
C．x－y＋2＝0 D．x－3y＝0
答案：AB
【解析】当截距均为0时，设直线的方程为y＝kx，将点(－3,1)的坐标代入得k＝－eq \f(1,3)，此时直线的方程为x＋3y＝0；当截距均不为0时，设直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，将点(－3,1)的坐标代入得a＝－2，此时直线的方程为x＋y＋2＝0.
例4(2023·山东日照高三模拟）已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
【解析】方法一 设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，
则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,k)，0))，B(0,1－2k)，
S△AOB＝eq \f(1,2)(1－2k)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,k)))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4＋－4k＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,k)))))≥eq \f(1,2)×(4＋4)＝4，
当且仅当－4k＝－eq \f(1,k)，即k＝－eq \f(1,2)时，等号成立．
故直线l的方程为y－1＝－eq \f(1,2)(x－2)，即x＋2y－4＝0.
方法二 设直线l：eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，
且a>0，b>0，
因为直线l过点M(2,1)，
所以eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1，
则1＝eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(2,ab))，故ab≥8，
故S△AOB的最小值为eq \f(1,2)×ab＝eq \f(1,2)×8＝4，
当且仅当eq \f(2,a)＝eq \f(1,b)＝eq \f(1,2)时取等号，
此时a＝4，b＝2，故直线l的方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1，
即x＋2y－4＝0.
【跟踪精练】
1. 经过点且在轴上的截距是在轴上截距的倍，则该直线的方程为________．
答案：或
【解析】当截距为零时，直线方程为：，即；
当截距不为零时，设直线方程为：，
又直线过点，，解得：，
直线方程为，即；
综上所述：所求直线的方程为或.
故答案为：或.
2. (2023·全国高三模拟）已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )
A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
答案：D
【解析】设直线l的倾斜角为α，则tan α＝k＝2，
直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k′＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(2＋1,1－2×1)＝－3，又点M(2,0)，
所以y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.
3. (2023·浙江高三模拟）已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
(1)证明 直线l的方程可化为
k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2＝0，,1－y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1.))
∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2,1)．
(2)解 由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－eq \f(1＋2k,k)，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)<－2，,1＋2k>1，))
解得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)解 由题意可知k≠0，再由l的方程，
得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0,1＋2k)．
依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)<0，,1＋2k>0，))
解得k>0.
∵S＝eq \f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k|
＝eq \f(1,2)·eq \f(1＋2k2,k)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k＋\f(1,k)＋4))
≥eq \f(1,2)×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k>0且4k＝eq \f(1,k)，即k＝eq \f(1,2)，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
【题型三 直线的位置关系】
方法技巧 判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况．
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论
例5 (2023·全国高三专题练习）已知，，直线，，且，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．D．
答案：D
【解析】因为，所以，即，
因为，，所以，，
所以
，
当且仅当，时，等号成立．
故选：D.
例6 (2023·广东深圳市·高三二模）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：C
【解析】当两直线平行，∴，解得或，
当，两直线重合，舍去；
当时，两直线平行．
所以“”是“直线与直线平行”的充要条件．
故选：C
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】由l1⊥l2，得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，
∴m＝3或m＝－2，
∴“m＝3”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．
2. (2023·全国·高三专题练习）已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(2,3))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(2,3)，\f(4,3)))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－\f(2,3))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))
答案：D
【解析】由题意得直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行，或者直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点．当直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行时，m＝eq \f(2,3)或m＝－eq \f(4,3)；当直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点时，m＝－eq \f(2,3).所以实数m的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3))).
【题型四 两直线的交点与距离问题】
方法技巧 利用距离公式应注意的点
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.
(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．
例7 （1）（2023·湖南高考真题）点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
（2）（2023·浙江高三专题练习）已知直线，直线，则与之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
答案：（1）D（2）D
【解析】（1）点到直线的距离为，故选：D.
（2）直线的方程可化为，则与之间的距离．故选：D
例8 (2023·全国·高三专题练习）若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A.eq \f(9,5) B.eq \f(18,5)
C.eq \f(29,10) D.eq \f(29,5)
答案：C
【解析】因为eq \f(3,6)＝eq \f(4,8)≠eq \f(－12,5)，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即eq \f(|－24－5|,\r(62＋82))＝eq \f(29,10)，
所以|PQ|的最小值为eq \f(29,10).
【题型精练】
1. 设直线l：与直线平行，则点到l的距离的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
答案：A
【解析】由已知两直线平行，∴,∴直线,
∴到l的距离的,当时取到最小值,
故选：
2. (2023·山东青岛·二模）直线l1经过点(3,0)，直线l2经过点(0,4)，且l1∥l2，d表示l1和l2之间的距离，则d的取值范围是________．
答案：(0,5]
【解析】当直线l1，l2都与过(3,0)，(0,4)两点的直线垂直时，
dmax＝eq \r(32＋42)＝5；
当直线l1和l2都经过(3,0)，(0,4)两点时，两条直线重合．
所以0＜d≤5.
【题型五 对称问题】
方法技巧 对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．
例9 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．
【解析】(1)设A′(x，y)，由已知条件得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13).))∴A′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(33,13)，\f(4,13))).
(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，
则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点M′(a，b)，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2×\f(a＋2,2)－3×\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))
得M′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,13)，\f(30,13))).
设直线m与直线l的交点为N，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4,3)．
又m′经过点N(4,3)，
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
(3)方法一 在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，
如P(1,1)，Q(4,3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P′，Q′均在直线l′上，
易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，
再由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
方法二 ∵l∥l′，
∴设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)．
∵点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，
∴由点到直线的距离公式，
得eq \f(|－2＋6＋C|,\r(22＋32))＝eq \f(|－2＋6＋1|,\r(22＋32))，
解得C＝－9，∴l′的方程为2x－3y－9＝0.
【题型精练】
1. 已知直线，则点P(2，2)关于对称的点的坐标为（ ）
A．(1，3)B．(-1，-1)C．(-1，5)D．(-2，-2)
答案：C
【解析】设点，根据对称得到,解得：，所以(-1，5).
故选：C.
2. (2023·山东青岛·二模）直线关于对称的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】在所求的直线上任取一点 ，关于对称后的点为 ，
则有，
所以 ，
因为点在直线，
所以
即，
故选：D名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)
不含直线x＝x1和直线y＝y1
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
位置关系
法向量满足的条件
l1，l2满足的条件
l3，l4满足的条件
平行
v1∥v2
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0且
A1C2－A2C1≠0
垂直
v1⊥v2
k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
相交
v1与v2
不共线
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0