高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.2圆的方程(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.2圆的方程(精讲)(原卷版+解析)，共16页。


【知识必备】
1．圆的定义和圆的方程
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|【题型精讲】
【题型一 求圆的方程】
必备技巧 求圆的方程的两个方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
例1 (2023·全国·高三专题练习）若圆C与直线：和：都相切，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
例2 (2023·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习）已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________．
【跟踪精练】
1. (2023·青岛高三月考）已知直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2. (2023·济南高三期末）已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，则圆E的标准方程为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq \f(25,4)B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,16)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,16)D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,4)
【题型二 与圆有关的轨迹问题】
必备技巧 求与圆有关的轨迹问题的方法：
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
例3 (2023·青岛高三模拟）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
例4(2023·山东日照高三模拟）已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
【跟踪精练】
1. 已知圆，直线，过上的点作圆的两条切线，切点分别为，则弦中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
2. (2023·全国高三模拟）自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为( )
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
3. (2023·浙江高三模拟）在边长为1的正方形ABCD中，边AB、BC上分别有一个动点Q、R，且．求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程．
【题型三 与圆有关的最值问题】
方法技巧 与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ＝eq \f(y－b,x－a)，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
例5 (2023·全国高三专题练习）已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求eq \f(y－3,x＋2)的最大值和最小值；
(3)求y－x的最大值和最小值．
例6 (2023·广东深圳市·高三二模）若点P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，A(－1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A．2 B．2eq \r(2) C．4eq \r(2) D．4
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）已知x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则eq \f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值为( )
A．2 B.eq \f(17,4) C.eq \f(29,5) D.eq \f(13\r(13),4)
2. (2023·全国·高三专题练习）设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最大值为________．
【题型四 点与圆】
例7 (2023·全国高三专题练习）已知点，，，若点在以为直径的圆外，则的取值范围是______
例8 (2023·全国·高三专题练习）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）
A．和B．和C．和D．和
【题型精练】
1. 点与圆的位置关系为______．（填“在圆上”“在圆外”“在圆内”）
2. (2023·山东青岛高三月考）判别方程（k为参数，）表示何种曲线?找出通过定点的坐标．
定义
平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方
程
标
准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心C(a，b)
半径为r
一
般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)
8.2 圆的方程
【题型解读】

【知识必备】
1．圆的定义和圆的方程
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|【题型精讲】
【题型一 求圆的方程】
必备技巧 求圆的方程的两个方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
例1 (2023·全国·高三专题练习）若圆C与直线：和：都相切，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】因为直线：和：的距离，由圆C与直线：和：都相切，所以圆的半径为，又圆心在轴上，设圆心坐标为，，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以或（舍去），所以圆心坐标为，故圆的方程为；
故选：B
例2 (2023·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习）已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________．
答案：x2＋y2＋2x＋4y－5＝0
【解析】方法一 设所求圆的标准方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a2＋－3－b2＝r2，,－2－a2＋－5－b2＝r2，,a－2b－3＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－2，,r2＝10，))
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，
即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
方法二 线段AB的垂直平分线方程为2x＋y＋4＝0，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＋4＝0，,x－2y－3＝0，))
得交点坐标O(－1，－2)，
又点O到点A的距离d＝eq \r(10)，
所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，
即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
【跟踪精练】
1. (2023·青岛高三月考）已知直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由题意，为等腰直角三角形，
所以圆心到直线的距离，即，解得，
所以圆C的方程为，
故选：C．
2. (2023·济南高三期末）已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，则圆E的标准方程为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq \f(25,4)B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,16)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,16)D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,4)
答案：C
【解析】方法一 (待定系数法)
设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋E＋F＝0，,4＋2D＋F＝0，,1－E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－\f(3,2)，,E＝0，,F＝－1.))
所以圆E的一般方程为x2＋y2－eq \f(3,2)x－1＝0，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,16).
方法二 (几何法)
因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－eq \f(1,2)＝2(x－1)上．
由题意知圆E的圆心在x轴上，
所以圆E的圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0)).
则圆E的半径为
|EB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(3,4)))2＋0－02)＝eq \f(5,4)，
所以圆E的标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,16).
【题型二 与圆有关的轨迹问题】
必备技巧 求与圆有关的轨迹问题的方法：
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
例3 (2023·青岛高三模拟）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】∵，即
设，则，整理得
故选：B．
例4(2023·山东日照高三模拟）已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
【解析】 (1)方法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，
所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝eq \f(y,x＋1)，kBC＝eq \f(y,x－3)，
所以eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－3)＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
方法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝eq \f(1,2)|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝eq \f(x0＋3,2)，y＝eq \f(y0＋0,2)，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
【跟踪精练】
1. 已知圆，直线，过上的点作圆的两条切线，切点分别为，则弦中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】易得弦中点为直线和的交点，设，则直线的方程为，又均与圆相切，故，故四点共圆，且为以为直径的圆与圆的公共弦．又以为直径的圆的方程为，即，故的方程为相减，即．又，所以，代入有，化简得．当时，；当时，均满足方程．
又当时，不满足题意．
综上有点的轨迹方程为
故选：B
2. (2023·全国高三模拟）自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为( )
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
答案：D
【解析】由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，连接PC，CQ(图略)，
因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，
所以|PO|2＋r2＝|PC|2，
所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，
即6x－8y－21＝0，
所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0.
3. (2023·浙江高三模拟）在边长为1的正方形ABCD中，边AB、BC上分别有一个动点Q、R，且．求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程．
【解析】分别以AB，AD边所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系．
如图所示，则点、、、，
设动点，，
由知：，则．
当时，直线AR：①，直线DQ：，则②，
①×②得：，化简得．
当时，点P与原点重合，坐标也满足上述方程．
故点P的轨迹方程为．
【题型三 与圆有关的最值问题】
方法技巧 与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ＝eq \f(y－b,x－a)，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
例5 (2023·全国高三专题练习）已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求eq \f(y－3,x＋2)的最大值和最小值；
(3)求y－x的最大值和最小值．
【解析】(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2eq \r(2).
又|QC|＝eq \r(2＋22＋7－32)＝4eq \r(2)，
∴|MQ|max＝4eq \r(2)＋2eq \r(2)＝6eq \r(2)，
|MQ|min＝4eq \r(2)－2eq \r(2)＝2eq \r(2).
(2)可知eq \f(y－3,x＋2)表示直线MQ的斜率k.
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
∵直线MQ与圆C有交点，
∴eq \f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2))≤2eq \r(2)，
可得2－eq \r(3)≤k≤2＋eq \r(3)，
∴eq \f(y－3,x＋2)的最大值为2＋eq \r(3)，最小值为2－eq \r(3).
(3)设y－x＝b，则x－y＋b＝0.
当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，∴eq \f(|2－7＋b|,\r(12＋－12))＝2eq \r(2)，
∴b＝9或b＝1.
∴y－x的最大值为9，最小值为1.
例6 (2023·广东深圳市·高三二模）若点P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，A(－1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A．2 B．2eq \r(2) C．4eq \r(2) D．4
答案：B
【解析】由已知得线段AB为圆的直径．
所以|PA|2＋|PB|2＝4，
由基本不等式得
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PA|＋|PB|,2)))2≤eq \f(|PA|2＋|PB|2,2)＝2，
所以|PA|＋|PB|≤2eq \r(2)，
当且仅当|PA|＝|PB|＝eq \r(2)时，等号成立．
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）已知x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则eq \f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值为( )
A．2 B.eq \f(17,4) C.eq \f(29,5) D.eq \f(13\r(13),4)
答案：B
【解析】由x2＋y2－4x－2y－4＝0
得(x－2)2＋(y－1)2＝9.
eq \f(2x＋3y＋3,x＋3)＝2＋3×eq \f(y－1,x＋3)＝2＋3kPA，
其中A(－3,1)为定点，点P(x，y)为圆上一点．
设过定点A的直线l：y－1＝k(x＋3)与圆相切，
则eq \f(|5k|,\r(1＋k2))＝3，
解得k＝±eq \f(3,4)，
所以－eq \f(3,4)≤kPA≤eq \f(3,4)，
所以eq \f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值为2＋3×eq \f(3,4)＝eq \f(17,4).
2. (2023·全国·高三专题练习）设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最大值为________．
答案：12
【解析】由题意，得eq \(PA,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，
eq \(PB,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝x2＋y2－4，
由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，
故x2＝－(y－3)2＋1，
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4
＝6y－12.
易知2≤y≤4，所以当y＝4时，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的值最大，最大值为6×4－12＝12.
【题型四 点与圆】
例7 (2023·全国高三专题练习）已知点，，，若点在以为直径的圆外，则的取值范围是______
答案：
【解析】因为点，，
则以为直径的圆的圆心坐标为，半径，
所以圆的方程为，
因为点在以为直径的圆外，
所以，解得或．
故的取值范围是．
故答案为：．
例8 (2023·全国·高三专题练习）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）
A．和B．和C．和D．和
答案：D
【解析】设点，则线段的中点为，
圆的半径为，
所以，以为直径为圆的方程为，
即，即，
由，解得或，
因此，以为直径的圆经过定点坐标为、．
故选：D．
【题型精练】
1. 点与圆的位置关系为______．（填“在圆上”“在圆外”“在圆内”）
答案：在圆内
【解析】将点代入圆，可得，所以点在圆内，故答案为：在圆内
2. (2023·山东青岛高三月考）判别方程（k为参数，）表示何种曲线?找出通过定点的坐标．
【解析】将原方程整理得，
即，
方程表示圆心在，半径为的圆，
将原方程整理为关于k的方程：，
由
解得
即圆过定点．
定义
平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方
程
标
准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心C(a，b)
半径为r
一
般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)