高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.3直线与圆、圆与圆的位置关系(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.3直线与圆、圆与圆的位置关系(精讲)(原卷版+解析)，共15页。


【知识必备】
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2eq \r(r2－d2).
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xM＋xN2－4xMxN).
常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．
【题型精讲】
【题型一 直线与圆位置关系判断】
必备技巧 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
例1 (2023·全国·高三专题练习）直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为( )
A．相交、相切或相离
B．相交或相切
C．相交
D．相切
【跟踪精练】
1. (2023·青岛高三月考）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切
C．相离D．无法确定
2. (多选)(2023·深圳模拟)设直线l：y＝kx＋1(k∈R)与圆C：x2＋y2＝5，则下列结论正确的为( )
A．l与C可能相离
B．l不可能将C的周长平分
C．当k＝1时，l被C截得的弦长为eq \f(3\r(2),2)
D．l被C截得的最短弦长为4
【题型二 弦长和面积问题】
必备技巧 弦长的两种求法
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq \r(r2－d2).
例2 (2023·青岛高三模拟）已知直线与圆相交于A，B两点，则k＝（ ）
A．B．C．D．
例3(2023·山东日照高三模拟）（多选）已知圆的圆心在直线上，且与相切于点，过点作圆的两条互相垂直的弦AE、BF．则下列结论正确的是( )
A．圆的方程为：
B．弦AE的长度的最大值为
C．四边形ABEF面积的最大值为
D．该线段AE、BF的中点分别为M、N，直线MN恒过定点
【跟踪精练】
1. 设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2eq \r(3)，则直线l的方程为( )
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
2. (2023·全国高三模拟）在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆相交于M，N两点，若，则直线l的斜率为__________.
【题型三 切线及切线长问题】
方法技巧 当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
注意验证斜率不存在的情况．
例4 (2023·全国高三专题练习）已知圆O：则，过点作圆的切线，则切线的方程为___________.
例5 (2023·广东深圳市·高三二模）已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－1，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．
2. （多选题）(2023·全国·模拟预测）已知直线，过直线上任意一点M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则有（ ）
A．四边形MACB面积的最小值为B．最大度数为60°
C．直线AB过定点D．的最小值为
【题型四 圆与圆的位置关系】
例6 (2023·全国高三专题练习）若圆C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，则正实数a的取值范围为( )
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) D．(3,4)
例7 (2023·全国·高三专题练习）已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1. 已知圆与圆相交于点，，则四边形的面积是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2. (2023·山东青岛高三月考）已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)当m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ<0
Δ＝0
Δ>0
几何观点
d>r
d＝r
d图形
量的关系
外离
d>r1＋r2
外切
d＝r1＋r2
相交
|r1－r2|内切
d＝|r1－r2|
内含
d<|r1－r2|
8.3 直线与圆、圆与圆的位置关系
【题型解读】

【知识必备】
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2eq \r(r2－d2).
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xM＋xN2－4xMxN).
常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．
【题型精讲】
【题型一 直线与圆位置关系判断】
必备技巧 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
例1 (2023·全国·高三专题练习）直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为( )
A．相交、相切或相离
B．相交或相切
C．相交
D．相切
答案：C
【解析】方法一 直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，
该直线恒过定点(1,2)．
因为12＋22－2×1－8<0，
所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，
所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交．
方法二 圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为eq \f(|k＋2－k|,\r(1＋k2))＝eq \f(2,\r(1＋k2))≤2<3，所以直线与圆相交．
【跟踪精练】
1. (2023·青岛高三月考）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切
C．相离D．无法确定
答案：A
【解析】由圆，可得圆心，半径，
因为圆心到直线的距离，
所以直线与圆相交，
故选：A.
2. (多选)(2023·深圳模拟)设直线l：y＝kx＋1(k∈R)与圆C：x2＋y2＝5，则下列结论正确的为( )
A．l与C可能相离
B．l不可能将C的周长平分
C．当k＝1时，l被C截得的弦长为eq \f(3\r(2),2)
D．l被C截得的最短弦长为4
答案：BD
【解析】对于A选项，直线l过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C内，则直线l与圆C必相交，A选项错误；
对于B选项，若直线l将圆C的周长平分，则直线l过原点，此时直线l的斜率不存在，B选项正确；
对于C选项，当k＝1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，圆心C到直线l的距离为d＝eq \f(\r(2),2)，
所以直线l被C截得的弦长为
2eq \r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2)＝3eq \r(2)，C选项错误；
对于D选项，圆心C到直线l的距离为
d＝eq \f(1,\r(k2＋1))≤1，
所以直线l被C截得的弦长为2eq \r(5－d2)≥4，D选项正确．
【题型二 弦长和面积问题】
必备技巧 弦长的两种求法
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq \r(r2－d2).
例2 (2023·青岛高三模拟）已知直线与圆相交于A，B两点，则k＝（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】圆的圆心，
所以圆心到直线的距离为，则，
而，所以，解得：.
故选：B.
例3(2023·山东日照高三模拟）（多选）已知圆的圆心在直线上，且与相切于点，过点作圆的两条互相垂直的弦AE、BF．则下列结论正确的是( )
A．圆的方程为：
B．弦AE的长度的最大值为
C．四边形ABEF面积的最大值为
D．该线段AE、BF的中点分别为M、N，直线MN恒过定点
答案：AD
【解析】设圆心为C，圆的半径为r，
由题可知，，
∴圆的方程为：，故A正确；
当AE过圆心C时，AE长度最长为圆的直径4，故B错误；
如图，
线段AE、BF的中点分别为M、N，设，
则，
，，
，
∴时，四边形ABEF面积有最大值，故C错误；
∵四边形MDNC为矩形，则MN与CD互相平分，即MN过CD中点()，故D正确.
故选：AD.
【跟踪精练】
1. 设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2eq \r(3)，则直线l的方程为( )
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
答案：B
【解析】当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝0时，弦长为2eq \r(3)，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为2eq \r(3)，半径为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有eq \f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq \f(3,4)，综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0.
2. (2023·全国高三模拟）在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆相交于M，N两点，若，则直线l的斜率为__________.
答案：
【解析】由题意得，直线的斜率存在，设，，直线MN的方程为，与联立，得，，得，，.因为，所以，则，于是，（由点A及C在y轴上可判断出，同号）
所以，两式消去，得，满足，所以.
故答案为：
【题型三 切线及切线长问题】
方法技巧 当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
注意验证斜率不存在的情况．
例4 (2023·全国高三专题练习）已知圆O：则，过点作圆的切线，则切线的方程为___________.
答案：或.
【解析】由题意：当切线斜率不存在时，方程为：，满足与圆相切，
当斜率存在时，设切线方程为：，
则：，解得，此时切线方程为：，即，
故答案为：或
例5 (2023·广东深圳市·高三二模）已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－1，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
答案：C
【解析】已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，圆心C(3,1)，半径r＝3，
所以直线l过圆心C(3,1)，
故3＋a－1＝0，故a＝－2，
所以点A(－1，－2)，
|AC|＝eq \r(3＋12＋1＋22)＝5，
|AB|＝eq \r(52－32)＝4.
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．
答案：eq \r(7)
【解析】设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，M的坐标为(3,0)，则|PQ|即为切线长，|MQ|为圆M的半径，长度为1，|PQ|＝eq \r(|PM|2－|MQ|2)＝eq \r(|PM|2－1)，
要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离．设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，
则d＝eq \f(|3－0＋1|,\r(12＋－12))＝2eq \r(2)，
∴|PM|的最小值为2eq \r(2)，
此时|PQ|＝eq \r(|PM|2－1)＝eq \r(2\r(2)2－1)＝eq \r(7).
2. （多选题）(2023·全国·模拟预测）已知直线，过直线上任意一点M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则有（ ）
A．四边形MACB面积的最小值为B．最大度数为60°
C．直线AB过定点D．的最小值为
答案：AD
【解析】对于A选项，由题意可知，当时，有最小值，即，此时，所以四边形MACB面积的最小值为，故选项A正确；
对于B选项，当时，最大，此时，此时，故选项B错误；
对于C选项，设点，，，则，易知在点A、B处的切线方程分别为，，将点分别代入两切线方程得，，所以直线方程为，整理得，代入，得，
解方程组得所以直线AB过定点，故选项C错误；
对于D选项，设直线AB所过定点为P，则，当时，弦长最小，此时，则的最小值为，故选项D正确，故选：AD.
【题型四 圆与圆的位置关系】
例6 (2023·全国高三专题练习）若圆C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，则正实数a的取值范围为( )
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) D．(3,4)
答案：A
【解析】|C1C2|＝eq \r(9＋a＋12)，
因为圆C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，
所以|a－2|解得a>3.
例7 (2023·全国·高三专题练习）已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由，
两式相减得公共弦所在直线方程为：，
分别取，得，解得，即
故选：A
【题型精练】
1. 已知圆与圆相交于点，，则四边形的面积是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
【解析】根据条件易知，，所以，
圆的半径为2，
圆与圆相交于点，，
的方程为：.即，圆到的距离为：
于是，
因为，
所以四边形的面积为：.
故选：B.
2. (2023·山东青岛高三月考）已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)当m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
【解析】两圆的标准方程分别为
(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，
半径分别为eq \r(11)和eq \r(61－m).
(1)当两圆外切时，
eq \r(5－12＋6－32)＝eq \r(11)＋eq \r(61－m).
解得m＝25＋10eq \r(11).
(2)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，求得公共弦的长为2×eq \r(\r(11)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|4＋3×3－23|,\r(42＋32))))2)＝2eq \r(7).相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ<0
Δ＝0
Δ>0
几何观点
d>r
d＝r
d图形
量的关系
外离
d>r1＋r2
外切
d＝r1＋r2
相交
|r1－r2|内切
d＝|r1－r2|
内含
d<|r1－r2|