高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.4椭圆及其性质(精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.4椭圆及其性质(精练)(原卷版+解析)，共18页。


【题型一 椭圆的定义及应用】
1.(2023·全国·高三阶段练习）“”是“曲线：（）是焦点在轴上的椭圆”的（ ）
A．充要条件B．既不充分也不必要条件
C．必要不充分条件D．充分不必要条件
2.(2023·江苏省如皋中学高三开学考试）椭圆与关系为（ ）
A．有相等的长轴长B．有相等的离心率
C．有相同的焦点D．有相等的焦距
3.△ABC的两个顶点为A(－3,0)，B(3,0)，△ABC周长为16，则顶点C的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1(y≠0)B.eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1(y≠0)
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1(y≠0)D.eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,9)＝1(y≠0)
4.(2023·武汉调研)设椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的一个焦点为F，则对于椭圆上两动点A，B，△ABF周长的最大值为( )
A．4＋eq \r(5) B．6
C．2eq \r(5)＋2 D．8
5. (2023·全国·高三专题练习）已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上半部分上任意一点，A(1,1)为椭圆内一点，则的最小值______________
6.(2023·四川省隆昌市第一中学高三开学考试）已知为椭圆上的一点，若，分别是圆和上的点，则的最大值为________．
【题型二 焦点三角形问题】
1.（多选）（2023·河北唐山·高三开学考试）已知椭圆：的左､右焦点分别为，，点在上，若是直角三角形，则的面积可能为（ ）
A．5B．4C．D．
2.(2023·山东日照高三模拟）椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则________.
3.(2023·重庆一中高三期中）已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（ ）
A．20B．16C．18D．14
4. (2023·武功县普集高级中学期末）已知为椭圆上一点，、是焦点，，则______．
5. (2023·全国高三模拟）设F1，F2是椭圆C： =1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1| =|PQ|，若PF1F2的面积为，则=（ ）
A．B．C．D．
【题型三 椭圆的标准方程】
1.(2023·全国高三专题练习）过点(，－)，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为_______．
2.(2023·广东深圳市·高三二模）古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．(2023·全国·高三专题练习）（多选）若椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2∶1，则称该椭圆为“倍径椭圆”．则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·全国·模拟预测）已知椭圆的两个焦点为F1(－eq \r(5)，0)，F2(eq \r(5)，0)，M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，则该椭圆的方程是( )
A.eq \f(x2,7)＋eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,7)＝1
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1
5.(2023·山西太原五中高三期末）已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
6.(2023·山西高三开学考试）在平面直角坐标系xy中，椭圆C的中心为原点，焦点、在x轴上，离心率为，过的直线l交C于A、B两点，且的周长为16，那么C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【题型四 椭圆的性质】
1.已知点为椭圆的左顶点，为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆离心率的最大值______________.
2.过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
3. (2023·浙江·高三开学考试）椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·江西·高三开学考试）已知椭圆，直线与椭圆C交于A，B两点，O为原点，若三角形AOB是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5.(2023·全国·高三专题练习）已知A，B是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的两点，且A，B关于坐标原点对称，F是椭圆的一个焦点，若△ABF面积的最大值恰为2，则椭圆E的长轴长的最小值为________．
8.4 椭圆及其性质
【题型解读】
【题型一 椭圆的定义及应用】
1.(2023·全国·高三阶段练习）“”是“曲线：（）是焦点在轴上的椭圆”的（ ）
A．充要条件B．既不充分也不必要条件
C．必要不充分条件D．充分不必要条件
答案：C
【解析】因为（）是焦点在轴上的椭圆，
所以,解得：，
由可得成立，反之不能推出成立.
所以”是“曲线：（）是焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件．
故选：C．
2.(2023·江苏省如皋中学高三开学考试）椭圆与关系为（ ）
A．有相等的长轴长B．有相等的离心率
C．有相同的焦点D．有相等的焦距
答案：D
【解析】由题意，对于椭圆，焦点在x轴上，a＝5，b＝3，所以c＝＝4，则离心率e＝＝，
对于椭圆，因为25－k＞9－k＞0，所以焦点在y轴上，a＝≠5，b＝≠3，所以c＝＝4，则离心率e＝＝≠，
故选项D正确，其他选项错误.
故选：D.
3.△ABC的两个顶点为A(－3,0)，B(3,0)，△ABC周长为16，则顶点C的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1(y≠0)B.eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1(y≠0)
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1(y≠0)D.eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,9)＝1(y≠0)
答案：A
【解析】由题知点C到A，B两点的距离之和为10，故C的轨迹为以A(－3,0)，B(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故2a＝10，c＝3，b2＝a2－c2＝16.所以方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.
又A，B，C三点不能共线，
所以eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1(y≠0)．
4.(2023·武汉调研)设椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的一个焦点为F，则对于椭圆上两动点A，B，△ABF周长的最大值为( )
A．4＋eq \r(5) B．6
C．2eq \r(5)＋2 D．8
答案：D
【解析】设F1为椭圆的另外一个焦点，
则由椭圆的定义可得|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|BF1|－|AF1|＝8＋|AB|－|BF1|－|AF1|，
当A，B，F1三点共线时，
|AB|－|BF1|－|AF1|＝0，
当A，B，F1三点不共线时，
|AB|－|BF1|－|AF1|<0，
所以当A，B，F1三点共线时，△ABF的周长取得最大值8.
5. (2023·全国·高三专题练习）已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上半部分上任意一点，A(1,1)为椭圆内一点，则的最小值______________
【解析】由椭圆的方程化为 ，可得 ，∴ ．如图所示．
∵ ，∴ ．当且仅当三点 共线时取等号．∴ 的最小值为．
6.(2023·四川省隆昌市第一中学高三开学考试）已知为椭圆上的一点，若，分别是圆和上的点，则的最大值为________．
答案：
【解析】由题, 设圆和圆的圆心分别为,半径分别为.
则椭圆的焦点为.又,.
故,当且仅当分别在的延长线上时取等号.
此时最大值为.
故答案为：.
【题型二 焦点三角形问题】
1.（多选）（2023·河北唐山·高三开学考试）已知椭圆：的左､右焦点分别为，，点在上，若是直角三角形，则的面积可能为（ ）
A．5B．4C．D．
答案：BC
【解析】由可得，，所以，
根据对称性只需考虑或，
当时，将代入可得，
如图：，，所以的面积为，
当时，由椭圆的定义可知：，
由勾股定理可得，
因为，
所以，解得：，
此时的面积为，
综上所述：的面积为或.
故选：BC.
2.(2023·山东日照高三模拟）椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则________.
答案：
【解析】根据题意，椭圆，其中，，则，
点在椭圆上，若，则，
在△中，，，，
则，则有，故答案为．
3.(2023·重庆一中高三期中）已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（ ）
A．20B．16C．18D．14
答案：C
【解析】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为，故选C.
4. (2023·武功县普集高级中学期末）已知为椭圆上一点，、是焦点，，则______．
答案：
【解析】由已知得，，所以，从而，
在中，，
即，①
由椭圆的定义得，
即，②
由①②得，
所以.
故答案为：
5. (2023·全国高三模拟）设F1，F2是椭圆C： =1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1| =|PQ|，若PF1F2的面积为，则=（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由椭圆的定义，，
由余弦定理有：
，
化简整理得：，
又，
由以上两式可得：
由，得，∴，
又，所以F1PQ为等边三角形，由椭圆对称性可知轴，
所以.
故选：B.
【题型三 椭圆的标准方程】
1.(2023·全国高三专题练习）过点(，－)，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为_______．
答案：
【解析】所求椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有c2=25-9=16，
设它的标准方程为 (a＞b＞0)，于是得a2-b2=16，
又点(，－)在所求椭圆上，即，
联立两个方程得，即，解得b2=4，则a2=20，
所以所求椭圆的标准方程为.
故答案为：
2.(2023·广东深圳市·高三二模）古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】∵焦点F1，F2在y轴上，
∴可设椭圆标准方程为，
由题意可得，
∴，即，
∵△F2AB的周长为32，
∴4a＝32，则a＝8，∴，
故椭圆方程为．
故选：B．
3．(2023·全国·高三专题练习）（多选）若椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2∶1，则称该椭圆为“倍径椭圆”．则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是（ ）
A．B．C．D．
答案：BC
【解析】设点P到椭圆两个焦点的距离分别为m和，则，即．
因为，则，所以．
对A，a=4,c=1，不满足；
对B，a=3,c=1，满足；
对C，a=5,c=2，满足；
对D，a=6,，不满足.
故选：BC．
4. (2023·全国·模拟预测）已知椭圆的两个焦点为F1(－eq \r(5)，0)，F2(eq \r(5)，0)，M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，则该椭圆的方程是( )
A.eq \f(x2,7)＋eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,7)＝1
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1
答案：C
【解析】设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
因为MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，
|F1F2|＝2eq \r(5)，
所以m2＋n2＝20，mn＝8，
所以(m＋n)2＝36，
所以m＋n＝2a＝6，所以a＝3.
因为c＝eq \r(5)，
所以b＝eq \r(a2－c2)＝2.
所以椭圆的方程是eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1.
5.(2023·山西太原五中高三期末）已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
答案：B
【解析】设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
由椭圆定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.
∵|AB|＝|BF1|，∴|AF1|＋2|AB|＝4a.
又|AF2|＝2|F2B|，
∴|AB|＝eq \f(3,2)|AF2|，
∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.
又|AF1|＋|AF2|＝2a，
∴|AF2|＝a，∴A为椭圆的短轴端点．
如图，不妨设A(0，b)，
又F2(1,0)，eq \(AF2,\s\up6(—→))＝2eq \(F2B,\s\up6(—→))，
∴Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(b,2))).
将B点坐标代入椭圆方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，
得eq \f(9,4a2)＋eq \f(b2,4b2)＝1，
∴a2＝3，b2＝a2－c2＝2.
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.
6.(2023·山西高三开学考试）在平面直角坐标系xy中，椭圆C的中心为原点，焦点、在x轴上，离心率为，过的直线l交C于A、B两点，且的周长为16，那么C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】根据题意，的周长为16，即,
根据椭圆的性质，有，即；椭圆的离心率为，即，则，故，则，则椭圆的方程为，故选：D．
【题型四 椭圆的性质】
1.已知点为椭圆的左顶点，为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆离心率的最大值______________.
答案：
【解析】由对称性不妨设P在x轴上方，设，，
∴
当且仅当取等号，
∵直线l上存在点P满足
∴
即，
∴，即，
所以，
故椭圆离心率的最大值为.
故答案为：.
2.过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】在中，由正弦定理可得
所以，
所以该椭圆的离心率，
故选：C．
3. (2023·浙江·高三开学考试）椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为，由椭圆定义知，
又，所以，再由椭圆定义，
因为，所以，
所以由余弦定理可得，
即，
化简可得，即，
解得或（舍去）.
故选：D
4. (2023·江西·高三开学考试）已知椭圆，直线与椭圆C交于A，B两点，O为原点，若三角形AOB是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】将代入C中，得，，由题意得，
即，．
故选：D.
5.(2023·全国·高三专题练习）已知A，B是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的两点，且A，B关于坐标原点对称，F是椭圆的一个焦点，若△ABF面积的最大值恰为2，则椭圆E的长轴长的最小值为________．
答案：4
【解析】如图所示，设AB的方程为ty＝x，F(c,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则y1＝－y2.联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ty＝x，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1))可得y2＝eq \f(a2b2,b2t2＋a2)＝－y1y2，
∴△ABF的面积S＝eq \f(1,2)c|y1－y2|＝eq \f(1,2)ceq \r(y1＋y22－4y1y2)＝c eq \r(\f(a2b2,b2t2＋a2))≤cb，当t＝0时取等号．
∴bc＝2，∴a2＝b2＋c2≥2bc＝4，a≥2.∴椭圆E的长轴长的最小值为4.