高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.6双曲线方程及其性质(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.6双曲线方程及其性质(精讲)(原卷版+解析)，共31页。

【知识必备】
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
必备结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为eq \f(2b2,a).
(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝eq \f(b2,tan \f(θ,2))，其中θ为∠F1PF2.
(5)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
【题型精讲】
【题型一 双曲线的定义及应用】
例1 (2023·全国·高三专题练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，.双曲线上有一点，若，则______.
例2 (2023·福建高三期末）已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．x2－eq \f(y2,8)＝1
B.eq \f(x2,8)－y2＝1
C．x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)
D．x2－eq \f(y2,8)＝1(x≥1)
例3 (2023·全国·高三专题练习）（多选题）若曲线C的方程为，则（ ）
A．当时，曲线C表示椭圆，离心率为
B．当时，曲线C表示双曲线，渐近线方程为
C．当时，曲线C表示圆，半径为1
D．当曲线C表示椭圆时，焦距的最大值为4
例4 (2023·河南高三高三模拟）已知双曲线：的左､右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值10时，面积的最大值为（ ）
A．25B．C．D．
【跟踪精练】
1. (2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与该双曲线的右支交于，两点，若，则周长为（ ）
A．16B．24C．36D．40
2. (2023·深圳模拟)“”是“为双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3.(2023·全国高三模拟）已知 是双曲线 的左焦点，点 ， 是双曲线右支上的动点，则 的最小值为（ ）
A．9B．5C．8D．4
4.(2023·全国·高三专题练习）一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆的轨迹方程是（ ）
A．（）B．（）
C．D．
【题型二 焦点三角形问题】
例5 (2023·青岛高三模拟）已知、为双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则的面积为____________
例6(2023·山东日照高三模拟）已知､是双曲线的左､右焦点，点为双曲线右支上一点，且在以为直径的圆上，若，则（ ）
A．B．C．D．
【跟踪精练】
1．(2023·武功县普集高级中学期末）设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（ ）．
A．B．C．D．
2．(2023·全国高三模拟）已知双曲线的左､右焦点分别为，，为双曲线上一点，且，则___________.
【题型三 双曲线的标准方程】
方法技巧 求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
例7 (2023·全国高三专题练习）若双曲线经过点(3，eq \r(2))，且渐近线方程是y＝±eq \f(1,3)x，则双曲线的标准方程是________．
例8 (2023·全国高三专题练习）设双曲线C：（，）的左焦点为F，直线过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，，其中O为坐标原点，则双曲线C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）经过点P(3,2eq \r(7))，Q(－6eq \r(2)，7)的双曲线的标准方程为________．
2. (2023·全国·模拟预测）已知中心在原点的双曲线的离心率为2，右顶点为，过的左焦点作轴的垂线，且与交于，两点，若的面积为9，则的标准方程为 .
3.(2023·山西太原五中高三期末）在平面直角坐标系中，已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为 .
【题型四 双曲线的几何性质】
方法技巧 求双曲线的离心率的方法
求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝eq \f(c,a)转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．
例9 (2023·湖北模拟）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线与的左支交于、两点，且，，则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
例10 (2023·江苏省前黄高级中学高三月考）已知，是双曲线的左､右焦点，点P在双曲线的右支上，且，，则双曲线C的离心率是（ ）
A．B．C．D．
例11 (2023·滨州模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A．(1,2) B．(1,3)
C．(3，＋∞) D．(2,3)
【题型精练】
1. (2023·德阳三模）设双曲线的右焦点是F，左､右顶点分别是，过作轴的垂线与双曲线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·江西·高三开学考试）已知双曲线的左焦点为，右焦点为，，为双曲线右支上一点，为坐标原点，满足，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
3.(2023·威海模拟)若双曲线C1：eq \f(y2,4)－eq \f(x2,9)＝1与双曲线C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共点，则双曲线C2的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(13),2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(13),3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(13),2)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(13),3)，＋∞))
【题型五 直线与双曲线的位置关系】
例12 (2023·湖北模拟）已知直线l的方程为，双曲线C的方程为.若直线l与双曲线C的右支相交于不同的两点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例13 (2023·江苏省前黄高级中学高三月考）直线与双曲线没有公共点，则斜率k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【题型精练】
1. (2023·德阳三模）直线与双曲线没有交点，则的取值范围为_____.
2. (2023·江西·高三开学考试）设直线l：与双曲线C：相交于不同的两点A，B，则k的取值范围为___________.
【题型六 弦长与中点弦】
例14 (2023·湖北模拟）过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为______．
例15 (2023·江苏省前黄高级中学高三月考）直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【题型精练】
1. (2023·德阳三模）已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（ ）
A．2B．C．D．
2. (2023·江西·高三开学考试）（多选）已知双曲线的一条渐近线方程为，过点作直线交该双曲线于和两点，则下列结论中正确的有（ ）
A．该双曲线的焦点在哪个轴不能确定
B．该双曲线的离心率为
C．若和在双曲线的同一支上，则
D．若和分别在双曲线的两支上，则
【题型七 双曲线的综合应用】
例16 (2023·湖北模拟）已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为．
（1）求双曲线的方程；
（2）经过点的直线与双曲线的右支交与两点，与轴交与点，点关于原点的对称点为点，求证：．
【题型精练】
1. (2023·德阳三模）在平面直角坐标系中，焦点在轴上的椭圆和双曲线有共同的顶点（2，0），且双曲线的焦点到渐近线的距离为，双曲线的渐近线与椭圆的一个公共点的横坐标为．
(1)求双曲线的离心率；
(2)求椭圆的方程；
(3)过椭圆的左焦点作直线（直线的斜率不为零）与椭圆交于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，求证：为定值．
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
8.6 双曲线方程及其性质
【题型解读】
【知识必备】
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
必备结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为eq \f(2b2,a).
(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝eq \f(b2,tan \f(θ,2))，其中θ为∠F1PF2.
(5)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
【题型精讲】
【题型一 双曲线的定义及应用】
例1 (2023·全国·高三专题练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，.双曲线上有一点，若，则______.
答案：1或13
【解析】因为双曲线：，
所以a=3，
所以，
又因为，
所以或，
故答案为：1或13.
例2 (2023·福建高三期末）已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．x2－eq \f(y2,8)＝1
B.eq \f(x2,8)－y2＝1
C．x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)
D．x2－eq \f(y2,8)＝1(x≥1)
答案：C
【解析】设圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，
得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，
|MC2|－|MC1|＝20)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9m－28n＝1，,72m－49n＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,75)，,n＝－\f(1,25).))
∴双曲线的标准方程为eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75)＝1.
2. (2023·全国·模拟预测）已知中心在原点的双曲线的离心率为2，右顶点为，过的左焦点作轴的垂线，且与交于，两点，若的面积为9，则的标准方程为 .
答案：
【解析】设双曲线标准方程为
令，则，得，所以，
易知，所以…①，
又…②，…③，联立①②③求解得，所以双曲线方程为。
故答案为：。
3.(2023·山西太原五中高三期末）在平面直角坐标系中，已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为 .
答案：
【解析】因为在线段的垂直平分线上，所以，所以，
由双曲线的定义知点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线，则，，得，所以曲线的方程为，故答案为：
【题型四 双曲线的几何性质】
方法技巧 求双曲线的离心率的方法
求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝eq \f(c,a)转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．
例9 (2023·湖北模拟）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线与的左支交于、两点，且，，则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意，得，；
根据双曲线的定义，，
所以，．
在直角三角形中，，即，
解得；
在直角三角形中，，即，
即，解得，所以的渐近线方程为.
故答案为：C．
例10 (2023·江苏省前黄高级中学高三月考）已知，是双曲线的左､右焦点，点P在双曲线的右支上，且，，则双曲线C的离心率是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意可知，， ，
又，，即，
∴，即，∴.故答案为：C.
例11 (2023·滨州模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A．(1,2) B．(1,3)
C．(3，＋∞) D．(2,3)
答案：A
【解析】在△PF1F2中，
sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，
由正弦定理得，|PF1|＝3|PF2|，
又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，
所以|PF1|－|PF2|＝2a，
所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，
在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，
得3a＋a>2c，即2a>c，
所以e＝eq \f(c,a)1，所以10)有公共点，则双曲线C2的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(13),2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(13),3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(13),2)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(13),3)，＋∞))
答案：D
【解析】因为双曲线C1：eq \f(y2,4)－eq \f(x2,9)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(2,3)x，
双曲线C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，
为使双曲线C1：eq \f(y2,4)－eq \f(x2,9)＝1与双曲线C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共点，
只需eq \f(b,a)>eq \f(2,3)，
则离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)>eq \r(1＋\f(4,9))＝eq \f(\r(13),3).
【题型五 直线与双曲线的位置关系】
例12 (2023·湖北模拟）已知直线l的方程为，双曲线C的方程为.若直线l与双曲线C的右支相交于不同的两点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】联立整理得，因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，所以，解得，所以实数k的取值范围为.故选：D.
例13 (2023·江苏省前黄高级中学高三月考）直线与双曲线没有公共点，则斜率k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】联立直线和双曲线：，消去得，
当，即时，此时方程为，解得，此时直线与双曲线有且只有一个交点；
当，此时，
解得或，所以时直线与双曲线无交点；故选：A
【题型精练】
1. (2023·德阳三模）直线与双曲线没有交点，则的取值范围为_____.
答案：
【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为：，
因为直线过原点且与双曲线没有交点，
故需满足，
故答案为：
2. (2023·江西·高三开学考试）设直线l：与双曲线C：相交于不同的两点A，B，则k的取值范围为___________.
答案：
【解析】联立消去y：，，
得到，又直线不与渐近线平行，
所以.
故答案为：.
【题型六 弦长与中点弦】
例14 (2023·湖北模拟）过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为______．
答案：
【解析】双曲线的右焦点为，所以直线l的方程为．由，得．设，，则，，
所以．
故答案为：
例15 (2023·江苏省前黄高级中学高三月考）直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（ ）
A．4B．3C．2D．1
答案：C
【解析】设点，，因为AB的中点，则有，
又点A，B在双曲线上，则，即，
则l的斜率，此时，直线l的方程：，
由消去y并整理得：，，即直线l与双曲线交于两点，所以l的斜率为2.故选：C
【题型精练】
1. (2023·德阳三模）已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（ ）
A．2B．C．D．
答案：D
【解析】设、，则，，
两式相减可得，
为线段的中点，，，
，又，，
，即，，
故选：D.
2. (2023·江西·高三开学考试）（多选）已知双曲线的一条渐近线方程为，过点作直线交该双曲线于和两点，则下列结论中正确的有（ ）
A．该双曲线的焦点在哪个轴不能确定
B．该双曲线的离心率为
C．若和在双曲线的同一支上，则
D．若和分别在双曲线的两支上，则
答案：BC
【解析】对于A选项，若双曲线的焦点在轴上，则，可得，
且有，解得，则双曲线的方程为，其焦点在轴上；
若双曲线的焦点在轴上，则双曲线的标准方程为，
则，可得，且有，无解，A错；
对于B选项，，，，
所以，双曲线的离心率为，B对；
对于CD选项，当直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、，
联立可得，
则，解得，
由韦达定理可得，，
，
，
.
若和在双曲线的同一支上，则，可得，
则，C对；
若和分别在双曲线的两支上且直线不与轴重合时，
，可得，则，
若直线与轴重合，则、分别为双曲线的两个顶点，则，
故当和分别在双曲线的两支上时，，D错.
故选：BC.
【题型七 双曲线的综合应用】
例16 (2023·湖北模拟）已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为．
（1）求双曲线的方程；
（2）经过点的直线与双曲线的右支交与两点，与轴交与点，点关于原点的对称点为点，求证：．
答案：（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题意得，，
解得所以双曲线的方程为：
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：，得，，
设，，
联立，整理可得
，
所以
所以
直线与双曲线右支有两个交点，所以
所以，设，
所以
【题型精练】
1. (2023·德阳三模）在平面直角坐标系中，焦点在轴上的椭圆和双曲线有共同的顶点（2，0），且双曲线的焦点到渐近线的距离为，双曲线的渐近线与椭圆的一个公共点的横坐标为．
(1)求双曲线的离心率；
(2)求椭圆的方程；
(3)过椭圆的左焦点作直线（直线的斜率不为零）与椭圆交于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，求证：为定值．
答案：(1)2；(2)；(3)证明见解析.
【解析】（1）设双曲线的方程为，
由题可得.
因为双曲线的焦点到渐近线的距离为，
所以，
所以双曲线的离心率．
（2）由已知可设椭圆的方程为，由(1)可知双曲线的渐近线方程为．因为双曲线的渐近线与椭圆的一个公共点的横坐标为，所以代入渐近线方程可得，，
代入椭圆的方程可得，所以椭圆的方程为．
（3）证明：由已知可得，椭圆的左焦点，直线的斜率不为零．
设直线，直线与椭圆的交点，，
的中点，
联立消去并化简得，
，
，，
则，．
直线的方程为，则，
所以，
所以，即为定值．标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)