高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)9.5二项式定理5大题型(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)9.5二项式定理5大题型(精讲)(原卷版+解析)，共16页。

【知识储备】
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋ Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n).
1项数为n＋1.
2各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
3字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
2．二项式系数的性质
[常用结论]
若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：
(1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项．
(2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项．
(3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项．
(4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项．
【题型精讲】
【题型一 求特定项的系数】
方法技巧 三项式的展开式：
若令，便得到三项式展开式通项公式，其中叫三项式系数．
例1 (2023·华师大二附中高三练习） 若，则 ．
例2 在的展开式中，的系数是 ．
例3 (2023·江西模拟）在 的展开式中，含 的项的系数是（ ）
A．10B．12C．15D．20
【题型精练】
1. (2023·河南高三月考）在的展开式中，项的系数是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全国高三课时练习）展开式中二项式系数和为___________，展开式中常数项为___________.
3．(2023·枣庄模拟）在的展开式中，含项的系数为（ ）
A．-480B．480C．-240D．240
4. (2023·汕头模拟）的展开式中系数为有理数项的共有_______项.
【题型二 已知项的系数求参】
例4 (2023·四川模拟）已知二项式的展开式中，项的系数为40，则（ ）
A．2B．-2C．2或-2D．4
例5 (2023·武昌模拟）的展开式中，项的系数为-10，则实数 .
【题型精练】
1．(2023·石家庄模拟）已知二项式的展开式中，项的系数为40，则（ ）
A．2B．-2C．2或-2D．4
2. (2023·临沂二模）已知 的展开式中各项系数的和为-3，则该展开式中 的系数为（ ）
A．-120B．-40C．40D．120
【题型三 二项式定理的性质】
例6 (2023·唐山二模）（多选）已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则（ ）
A．n=9B．
C．常数项是672D．展开式中所有项的系数和是-1
例7 设为正整数，的展开式中二项式系数的最大值为，的展开式中的二项式系数的最大值为.若，则的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【题型精练】
1．(2023·高三课时练习）若的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等，则（ ）
A．11B．10C．9D．
2.(2023·广东高三模拟）若n展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为_______．
3. (2023·浙江高三模拟）在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
【题型四 二项式系数和及系数和问题】
方法技巧 系数和问题
，令得系数和： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①；
令得奇数项系数和减去偶数项系数和： = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②，联立 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ① = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②可求得奇数项系数和与偶数项系数和．
例8 (2023·福建泉州科技中学月考）在的展开式中，求：
（1）二项式系数的和；
（2）各项系数的和；
（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
（4）奇数项系数和与偶数项系数和；
（5）的奇次项系数和与的偶次项系数和.
【题型精练】
1．(2023·常州市新桥高级中学高三模拟）若，则的值为 ．
2.(2023·济北中学高三月考）设 .若 ，则实数 ， ．
3. (2023·上虞模拟）已知，则 ， .
【题型五 二项式定理的应用】
例9 (2023福建省部分名校高三联合测评）（多选）若能被13整除，则实数的值可以为（ ）
A．0B．11C．12D．25
例10 的计算结果精确到个位的近似值为
A．106B．107C．108D．109
【题型精练】
1.(2023·全国高三课时练习）(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是
A．1.23B．1.24C．1.33D．1.34
2. 若，则被8整除的余数为___________.
9.5 二项式定理5大题型
【题型解读】
【知识储备】
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋ Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n).
1项数为n＋1.
2各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
3字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
2．二项式系数的性质
[常用结论]
若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：
(1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项．
(2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项．
(3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项．
(4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项．
【题型精讲】
【题型一 求特定项的系数】
方法技巧 三项式的展开式：
若令，便得到三项式展开式通项公式，其中叫三项式系数．
例1 (2023·华师大二附中高三练习） 若，则 ．
答案：-56
【解析】由题意可知，， 展开式的通项公式为，
由，得出求的项是.
令，解得，所以.故答案为：-56.
例2 在的展开式中，的系数是 ．
答案：-189
【解析】由二项式定理知的展开式的通项为：
，
令，解得，
所以的系数是，故答案为：-189.
例3 (2023·江西模拟）在 的展开式中，含 的项的系数是（ ）
A．10B．12C．15D．20
答案：A
【解析】因为 的展开式为 ，
的展开式为 和 的和，
； ，
所以在 中令 ，即可得到 的项的系数，是 ，
故答案为：A.
【题型精练】
1. (2023·河南高三月考）在的展开式中，项的系数是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】展开式中，通项．
令，得，故展开式中项的系数为.故选：C.
2．(2023·全国高三课时练习）展开式中二项式系数和为___________，展开式中常数项为___________.
答案：64
【解析】由二项式系数的性质，可得二项式展开式的二项式系数和；
又由二项展开式的通项为，
令，解得，
所以展开式的常数项为.
故答案为：，.
3．(2023·枣庄模拟）在的展开式中，含项的系数为（ ）
A．-480B．480C．-240D．240
答案：A
【解析】看成是6个相乘，要得到.分以下情况：
6个因式中，2个因式取，1个因式取，3个因式取，此时的系数，所以的系数为-480.故答案为：A
4. (2023·汕头模拟）的展开式中系数为有理数项的共有_______项.
答案：17
【解析】的展开式的通项为：，
即r既是3的倍数，又是2的倍数，则是的倍数，r=0，6，12，，96，共17项.
故答案为：.
【题型二 已知项的系数求参】
例4 (2023·四川模拟）已知二项式的展开式中，项的系数为40，则（ ）
A．2B．-2C．2或-2D．4
答案：C
【解析】由，令，解得，所以项的系数为，解得． 故答案为：C
例5 (2023·武昌模拟）的展开式中，项的系数为-10，则实数 .
答案：2
【解析】，
的展开式通项为，所以，的展开式通项为，
令，可得，由题意可得，解得.故答案为：2.
【题型精练】
1．(2023·石家庄模拟）已知二项式的展开式中，项的系数为40，则（ ）
A．2B．-2C．2或-2D．4
答案：C
【解析】由，令，解得，所以项的系数为，解得．
故选：C
2. (2023·临沂二模）已知 的展开式中各项系数的和为-3，则该展开式中 的系数为（ ）
A．-120B．-40C．40D．120
答案：A
【解析】在二项式 中，令 ，可得 ，解得 ，
的展开式通项为 ，
因为 ，
在 ，令 ，可得 ，
在 中，令 ，可得 ，
因此，展开式中 的系数为 .故答案为：A.
【题型三 二项式定理的性质】
例6 (2023·唐山二模）（多选）已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则（ ）
A．n=9B．
C．常数项是672D．展开式中所有项的系数和是-1
答案：A,D
【解析】由，可得n=9，则A判断正确；B判断错误；
的展开式的通项公式为
令，则，则展开式的常数项是.C判断错误；
展开式中所有项的系数和是.判断正确.故答案为：AD
例7 设为正整数，的展开式中二项式系数的最大值为，的展开式中的二项式系数的最大值为.若，则的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
答案：C
【解析】的展开式中二项式系数的最大值为，故，的展开式中的二项式系数的最大值为或，两者相等，不妨令，则有，解得：.
故选：C
【题型精练】
1．(2023·高三课时练习）若的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等，则（ ）
A．11B．10C．9D．
答案：C
【解析】因为第5项二项式系数为，第6项的二项式系数为，
由题意知，所以，即，所以，故选：C.
2.(2023·广东高三模拟）若n展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为_______．
答案：5376
【解析】展开式的通项公式为，由题意可得，，解得，
设展开式中项的系数最大，则
解得，
又∵，∴，
故展开式中系数最大的项为.
故答案为：5376.
3. (2023·浙江高三模拟）在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】依题意，第五项二项式系数最大，一共是9项，所以n=8，
二项式展开项的通项公式为： ，
，
∴ 的系数为
故选：C.
【题型四 二项式系数和及系数和问题】
方法技巧 系数和问题
，令得系数和： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①；
令得奇数项系数和减去偶数项系数和： = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②，联立 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ① = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②可求得奇数项系数和与偶数项系数和．
例8 (2023·福建泉州科技中学月考）在的展开式中，求：
（1）二项式系数的和；
（2）各项系数的和；
（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
（4）奇数项系数和与偶数项系数和；
（5）的奇次项系数和与的偶次项系数和.
答案：（1）；
（2）1；
奇数项的二项式系数和为，偶数项的二项式系数和为；
奇数项的系数和为，偶数项的系数和为；
（5）的奇次项系数和为，的偶次项系数和为
【解析】设，
各项系数和为，
奇数项系数和为，偶数项系数和为，
的奇次项系数和为，的偶次项系数和为
（1）二项式系数的和为；
（2）令，，则，
所以各项系数和为1；
（3）奇数项的二项式系数和为，
偶数项的二项式系数和为；
（4）由（2）知，①，取，，
则②，
所以奇数项的系数和，
偶数项的系数和；
（5）由（4）知，的奇次项系数和为，
的偶次项系数和为.
【题型精练】
1．(2023·常州市新桥高级中学高三模拟）若，则的值为 ．
答案：-32
【解析】令，可得。 故答案为：-32。
2.(2023·济北中学高三月考）设 .若 ，则实数 ， ．
答案：；6
【解析】令x=1，则(1+2m)5+(1-1)4=a0+a1+a2+a3+a4+a5=32解得： m=.
(x+1)5的第r+1项系数为Tr+1=.所以(x+ 1)5展开式中的x3的系数为=10，
(x- 1)4的第r+1项系数为Tr+1=·x4-r.(-1)r 所以(x- 1)4展开式中的x3的系数为-= -4；
a3=10-4=6故答案为： ；6.
3. (2023·上虞模拟）已知，则 ， .
答案：-3240；-1
【解析】展开式的通项为：，
令，可得；
令得：；令得：，
.
故答案为：-3240；-1.
【题型五 二项式定理的应用】
例9 (2023福建省部分名校高三联合测评）（多选）若能被13整除，则实数的值可以为（ ）
A．0B．11C．12D．25
答案：CD
【解析】∵
，
又52能被13整除，∴需使能被13整除，即能被13整除，
∴，，结合选项可知CD满足．
故选：CD.
例10 的计算结果精确到个位的近似值为
A．106B．107C．108D．109
答案：B
【解析】∵，∴.故选B
【题型精练】
1.(2023·全国高三课时练习）(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是
A．1.23B．1.24C．1.33D．1.34
答案：D
【解析】 (1.05)6 =
=1+0.3+0.0375+0.0025+…1.34．故选D．
2. 若，则被8整除的余数为___________.
答案：5
【解析】在已知等式中，取得，
取得，
两式相减得，
即，
因为
因为能被8整除，
所以被8整除的余数为5，
即被8整除的余数为5，
故答案为：5