高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)9.6事件、概率、古典概型(精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)9.6事件、概率、古典概型(精练)(原卷版+解析)，共22页。

【题型一 事件与事件的关系与运算】
1. (2023·山东·潍坊七中高三阶段练习）已知A，B是一次随机试验中的两个事件，若满足，则（ ）
A．事件A，B互斥B．事件A.B相瓦独立
C．事件A，B不互斥D．事件A，B不相互独立
2. (2023·全国·高三专题练习）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：
事件A：恰有一件次品；
事件B：至少有两件次品；
事件C：至少有一件次品；
事件D：至多有一件次品.
并给出以下结论：
①；②是必然事件；③；④.
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②③
3.(2023·浙江省桐庐中学高三阶段练习）下列说法错误的个数为（ ）
①对立事件一定是互斥事件；
②若，为两个事件，则；
③若事件，，两两互斥，则．
A．B．C．D．
4. (2023·河南高三月考））给出下列说法：①若事件，满足，则，为对立事件；②把3张红桃，，随机分给甲、乙、丙三人，每人张，事件“甲得红桃”与事件“乙得红桃”是对立事件；③一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．其中说法正确的个数是（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·全国高三课时练习）（多选题）从一批产品（既有正品也有次品）中取出三件产品，设三件产品全不是次品，三件产品全是次品三件产品有次品，但不全是次品，则下列结论中正确的是（ ）
A．与互斥B．与互斥
C．任何两个都互斥D．与对立
6．(2023·枣庄模拟）（多选题）某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票.六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以A表示在甲抽奖箱中中奖的事件，B表示在乙抽奖箱中中奖的事件，C表示两次抽奖均末中奖的事件.下列结论中正确的是（ ）
A．
B．事件与事件相互独立
C．与和为
D．事件A与事件B互斥
【题型二 频率与概率】
1.(2023·四川模拟）甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体，他们分别在两个网站查看这家健身房的评价．甲在网站A查到共有840人参与评价，其中好评率为，乙在网站B查到共有1260人参与评价，其中好评率为．综合考虑这两个网站的信息，则这家健身房的总好评率为（ ）
A．B．C．D．
2.(2023·武昌模拟））有以下说法:
①一年按365天计算,两名学生的生日相同的概率是;②买彩票中奖的概率为0.001,那么买1 000张彩票就一定能中奖;③乒乓球赛前,决定谁先发球,抽签方法是从1~10共10个数字中各抽取1个,再比较大小,这种抽签方法是公平的;④昨天没有下雨,则说明“昨天气象局的天气预报降水概率是90%”是错误的.
根据我们所学的概率知识,其中说法正确的序号是___.
3．(2023·石家庄模拟）树人中学进行篮球定点投篮测试，规则为：每人投篮三次，先在A处投一次三分球，投进得3分，未投进得0分，然后在B处投两次两分球，每投进一次得2分，未投进得0分，测试者累计得分高于3分即通过测试．甲同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每轮在A处和B处各投10次，根据统计该同学各轮三分球和两分球的投进次数如下图表：
若以五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率，则该同学通过测试的概率是___________．
4. (2023·临沂二模）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
【题型三 古典概型】
1.(2023·唐山二模）我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法：筹算.筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的.据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当.即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，如图所示，例如：表示62，表示26，现有5根算筹，据此表示方式表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数大于40的概率为（ ）
A．B．C．D．
2. 一袋中装有除颜色外完全相同的4个白球和5个黑球，从中有放回的摸球3次，每次摸一个球．用模拟实验的方法，让计算机产生1～9的随机数，若1～4代表白球，5～9代表黑球，每三个为一组，产生如下20组随机数：
917 966 191 925 271 932 735 458 569 683
431 257 393 627 556 488 812 184 537 989
则三次摸出的球中恰好有两次是白球的概率近似为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·高三课时练习）从集合中随机抽取一个数a，从集合中随机抽取一个数b，则向量与向量垂直的概率为（ ）
A．B．C．D．
4.(2023·广东高三模拟）连续掷骰子两次得到的点数分别记为a和b，则使直线与圆相交的概率为___________.
5. 对于正方体6个面的中心，甲，乙两人分别从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率等于（ ）
A．B．C．D．
【题型四 概率的基本性质】
1.(2023·福建泉州科技中学月考）甲､乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，下列说法错误的是（ ）
A．两人都做对的概率是0.72B．恰好有一人做对的概率是0.26
C．两人都做错的概率是0.15D．至少有一人做对的概率是0.98
2．(2023·常州市新桥高级中学高三模拟）已知，，，则（ ）
A．0.5B．0.6C．0.8D．1
3.(2023·济北中学高三月考从属于区间的整数中任取两个数，则至少有一个数是质数的概率为（ ）
A．B．C．D．
4. 若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5. (2023·全国·高三专题练习）下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件；②若为两个事件，则；③若事件两两互斥；④若满足且，则是对立事件.其中错误的命题个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【题型五 概率与统计的综合问题】
1.(2023福建省部分名校高三联合测评）某学校为了解高三尖子班数学成绩，随机抽查了60名尖子生的期中数学成绩，得到如下数据统计表：
若数学成绩超过135分的学生为“特别优秀”，超过120分而不超过135分的学生为“优秀”，已知数学成绩“优秀”的学生与“特别优秀”的学生人数比恰好为．
(1)求x，y，p，q的值；
(2)学校教务为进一步了解这60名学生的学习方法，从数学成绩“优秀”、“特别优秀”的学生中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求至少抽到2名学生数学成绩“特别优秀”的概率．
2. (2023·四川·高三开学考试）客家文化是指客家人共同创造的物质文化与精神文化的总和，包括客家方言、客家民俗、客家民居、客家山歌、客家艺术、客家人物、客家山水、客家诗文、客家历史、客家饮食、海内外客家分布等多方面.石城，是客家先民迁徙的重要中转站、客家民系的重要发源地、中华客家文化的重要发祥地，素有客家摇篮之美称.为弘扬和发展客家文化，石城县开展了丰富多彩的客家文化活动，引起了广大中学生对于客家文化的极大兴趣，某校从甲、乙两个班级所有学生中分别随机抽取8名，对他们的客家文化知识了解程度进行评分调查（满分100分），被抽取的学生的评分结果如下茎叶图所示：
(1)分别计算甲、乙两个班级被抽取的8名学生得分的平均值和方差，并估计两个班级学生对客家文化知识了解的整体水平差异；
(2)若从得分不低于85分的学生中随机抽取2人参观客家文化摄影展，求这两名学生均来自乙班级的概率.
3. (2023·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习）饮用水水源的安全是保障饮用水安全的基础．同时国家提倡节约用水，全民积极维护饮用水水源安全，保障安全饮水.2021年5月13日下午，正在河南省南阳市考察调研的习近平总书记来到淅川县，先后考察了陶岔渠首枢纽工程、丹江口水库，听取南水北调中线工程建设管理运行和水源地生态保护等情况介绍．为了提高节约用水意识，为此，某校开展了“节约用水，从我做起”活动，从参赛的学生中随机选取100人的成绩作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校此次参赛学生成绩的平均分eq \x\t(x)(同一组数据用该组区间的中点值代表)；
(2)在该样本中，若采用分层随机抽样方法，从成绩低于65分的学生中随机抽取6人调查他们的答题情况，再从这6人中随机抽取3人进行深入调研，求这3人中至少有1人的成绩低于55分的概率．
最高气温
[10，15)
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40]
天数
2
16
36
25
7
4
期中数学成绩（单位：分）
频数
频率
3
0.05
x
p
9
0.15
15
0.25
18
0.30
y
q
合计
60
1.00
9.6 事件、概率、古典概型
【题型解读】
【题型一 事件与事件的关系与运算】
1. (2023·山东·潍坊七中高三阶段练习）已知A，B是一次随机试验中的两个事件，若满足，则（ ）
A．事件A，B互斥B．事件A.B相瓦独立
C．事件A，B不互斥D．事件A，B不相互独立
答案：C
【解析】若事件A，B互斥，则，与事件的概率小于等于1矛盾，故事件A，B不互斥；
若事件A，B相互独立，则，而题设无法判断是否成立，故无法判断事件A，B是否相互独立.
故选：C.
2. (2023·全国·高三专题练习）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：
事件A：恰有一件次品；
事件B：至少有两件次品；
事件C：至少有一件次品；
事件D：至多有一件次品.
并给出以下结论：
①；②是必然事件；③；④.
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②③
答案：A
【解析】解析：事件：至少有一件次品,即事件C,所以①正确；事件,③不正确；
事件：至少有两件次品或至多有一件次品,包括了所有情况,所以②正确；
事件：恰有一件次品,即事件A,所以④不正确.
故选：A
3.(2023·浙江省桐庐中学高三阶段练习）下列说法错误的个数为（ ）
①对立事件一定是互斥事件；
②若，为两个事件，则；
③若事件，，两两互斥，则．
A．B．C．D．
答案：C
【解析】互斥不一定对立，但对立必互斥，①正确；
只有A与B是互斥事件时，才有，②错误；
若事件A，B，C两两互斥，则，但不一定是必然事件，
例如，设样本点空间是由两两互斥的事件A，B，C，D组成且事件D与为对立事件，当时，，③错误．
故选：C.
4. (2023·河南高三月考））给出下列说法：①若事件，满足，则，为对立事件；②把3张红桃，，随机分给甲、乙、丙三人，每人张，事件“甲得红桃”与事件“乙得红桃”是对立事件；③一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．其中说法正确的个数是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】①，为对立事件，需满足和，故①错误；
②事件“甲得红桃”的对立事件为“甲未得红桃”，即“乙或丙得红桃”，故②错误；
③“至少有一次中靶”包括“一次中靶”和“两次都中靶”，则其对立事件为“两次都不中靶”，故③正确．
所以说法正确的个数为个.
故选：C
5．(2023·全国高三课时练习）（多选题）从一批产品（既有正品也有次品）中取出三件产品，设三件产品全不是次品，三件产品全是次品三件产品有次品，但不全是次品，则下列结论中正确的是（ ）
A．与互斥B．与互斥
C．任何两个都互斥D．与对立
答案：ABC
【解析】由题意可知，三件产品有次品，但不全是次品，包括1件次品、2件次正品，2件次品、1件次正品两个事件，
三件产品全不是次品，即3件产品全是正品，三件产品全是次品，
由此知，与互斥，与互斥，故A，B正确，
与互斥，由于总事件中还包含“1件次品，2件次正品”，“2件次品，1件次正品” 两个事件，故与不对立，故C 正确，D错误，
故选：ABC．
6．(2023·枣庄模拟）（多选题）某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票.六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以A表示在甲抽奖箱中中奖的事件，B表示在乙抽奖箱中中奖的事件，C表示两次抽奖均末中奖的事件.下列结论中正确的是（ ）
A．
B．事件与事件相互独立
C．与和为
D．事件A与事件B互斥
答案：ABC
【解析】，
在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，B项正确
，故A正确
，故C正确
事件A与事件B相互独立而非互斥，故D错误.
故选：ABC
【题型二 频率与概率】
1.(2023·四川模拟）甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体，他们分别在两个网站查看这家健身房的评价．甲在网站A查到共有840人参与评价，其中好评率为，乙在网站B查到共有1260人参与评价，其中好评率为．综合考虑这两个网站的信息，则这家健身房的总好评率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由已知可得这家健身房的总好评率为.
故选：B.
2.(2023·武昌模拟））有以下说法:
①一年按365天计算,两名学生的生日相同的概率是;②买彩票中奖的概率为0.001,那么买1 000张彩票就一定能中奖;③乒乓球赛前,决定谁先发球,抽签方法是从1~10共10个数字中各抽取1个,再比较大小,这种抽签方法是公平的;④昨天没有下雨,则说明“昨天气象局的天气预报降水概率是90%”是错误的.
根据我们所学的概率知识,其中说法正确的序号是___.
答案：①③
【解析】根据“概率的意义”求解,买彩票中奖的概率0.001,并不意味着买1 000张彩票一定能中奖,只有当买彩票的数量非常大时,我们可以看成大量买彩票的重复试验,中奖的次数为;
昨天气象局的天气预报降水概率是90%,是指可能性非常大,并不一定会下雨.
说法②④是错误的，而利用概率知识可知①③是正确的.
故答案为①③．
3．(2023·石家庄模拟）树人中学进行篮球定点投篮测试，规则为：每人投篮三次，先在A处投一次三分球，投进得3分，未投进得0分，然后在B处投两次两分球，每投进一次得2分，未投进得0分，测试者累计得分高于3分即通过测试．甲同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每轮在A处和B处各投10次，根据统计该同学各轮三分球和两分球的投进次数如下图表：
若以五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率，则该同学通过测试的概率是___________．
答案：【解析】依题意甲同学两分球投篮命中的概率为：，
甲同学三分球投篮命中的概率为：，
设甲同学累计得分为，
则
，
甲同学通过测试的概率为．
故答案为：
4. (2023·临沂二模）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
【解析】(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为eq \f(2＋16＋36,90)＝0.6.
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；
若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；
若最高气温不低于25，
则Y＝450×(6－4)＝900，
所以利润Y的所有可能值为－100,300,900.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为eq \f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8.
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
【题型三 古典概型】
1.(2023·唐山二模）我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法：筹算.筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的.据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当.即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，如图所示，例如：表示62，表示26，现有5根算筹，据此表示方式表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数大于40的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】根据题意可知：一共5根算筹，十位和个位上可用的算筹可以分为共四类情况；
第一类：，即十位用4根算筹，个位用1根算筹，那十位可能是4或者8，个位为1，则两位数为41或者81；
第二类：，即十位用3根算筹，个位用2根算筹，那十位可能是3或者7，个位可能为2或者6，故两位数可能32，36，72，76；
第三类：，即十位用2根算筹，个位用3根算筹，那么十位可能是2或者6，个位可能为3或者7，故两位数可能是23，27，63，67；
第四类：，即十位用1根算筹，个位用4根算筹，那么十位为1，个位可能为4或者8，则该两位数为14或者18，
综上可知：所有的两位数有14，18，23，27，32，36，41，63，67，72，76，81共计12个，
其中大于40的有41，63，67，72，76，81共计6个，
故这个两位数大于40的概率为，
故选：B.
2. 一袋中装有除颜色外完全相同的4个白球和5个黑球，从中有放回的摸球3次，每次摸一个球．用模拟实验的方法，让计算机产生1～9的随机数，若1～4代表白球，5～9代表黑球，每三个为一组，产生如下20组随机数：
917 966 191 925 271 932 735 458 569 683
431 257 393 627 556 488 812 184 537 989
则三次摸出的球中恰好有两次是白球的概率近似为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】20组随机数恰好有两个是的有191，271，932，393，812，184共6个，
因此概率为．
故选：B．
3．(2023·高三课时练习）从集合中随机抽取一个数a，从集合中随机抽取一个数b，则向量与向量垂直的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】从集合中随机抽取一个数，从集合中随机抽取一个数，
可以组成向量的个数是（个；
其中与向量垂直的向量是和，共2个；
故所求的概率为．
故选：B．
4.(2023·广东高三模拟）连续掷骰子两次得到的点数分别记为a和b，则使直线与圆相交的概率为___________.
答案：
【解析】连掷骰子两次试验结果共有36种，要使直线与圆相交，
则，即满足．符合题意的有
，
共21种，
由古典概型的概率计算公式可得所求概率为．
故答案为：
5. 对于正方体6个面的中心，甲，乙两人分别从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率等于（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为从正方体6个面的中心中任取两点连成直线，可得条直线，
如图所示：
设正方体的边长为2，则，
，,
,
由正方体性质可得平面,平面,平面,
四边形,四边形，四边形均为正方形，
故当甲选时,乙选或或或或或时，甲，乙所选的点的连线垂直，
甲选时，乙选或或时，甲，乙所选的点的连线垂直，
所以甲，乙两人分别从这6个点中任意选两个点连成直线共有种选法，
所以甲选相对两个面的中心时，甲乙所选的点的连线垂直的选法有种，
若甲选相邻两个侧面的中心时，满足甲乙所选的点的连线垂直的选法有种，
故甲，乙所选的点的连线垂直的选法共有54种，
所以事件甲乙所选的点的连线垂直的概率,
故选：A.
【题型四 概率的基本性质】
1.(2023·福建泉州科技中学月考）甲､乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，下列说法错误的是（ ）
A．两人都做对的概率是0.72B．恰好有一人做对的概率是0.26
C．两人都做错的概率是0.15D．至少有一人做对的概率是0.98
答案：C
【解析】由于甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，
故两人都做对的概率是 ，所以A 正确；
恰好有一人做对的概率是 ，故B正确；
两人都做错的概率是，故C错误；
至少有一人做对的概率是，故D正确，
故选：C
2．(2023·常州市新桥高级中学高三模拟）已知，，，则（ ）
A．0.5B．0.6C．0.8D．1
答案：B
【解析】因为，，
则，所以事件与事件不相互独立，
．
故选：B
3.(2023·济北中学高三月考从属于区间的整数中任取两个数，则至少有一个数是质数的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】区间的整数共有7个，则质数有2，3，5，7共4个；非质数有3个；
设事件：从属于区间的整数中任取两个数，至少有一个数是质数，
由，
故选：
4. 若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因随机事件，互斥，则，
依题意及概率的性质得，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C
5. (2023·全国·高三专题练习）下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件；②若为两个事件，则；③若事件两两互斥；④若满足且，则是对立事件.其中错误的命题个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：D
【解析】对于①：对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件；故①正确；
对于②：若为两个事件，则；故②不正确；
对于③：若事件两两互斥，若，则，故③不正确；
对于④：对于几何概型而言，若事件满足，，则不一定 是对立事件，
故④错误.
所以错误的命题有个，
故选：D
【题型五 概率与统计的综合问题】
1.(2023福建省部分名校高三联合测评）某学校为了解高三尖子班数学成绩，随机抽查了60名尖子生的期中数学成绩，得到如下数据统计表：
若数学成绩超过135分的学生为“特别优秀”，超过120分而不超过135分的学生为“优秀”，已知数学成绩“优秀”的学生与“特别优秀”的学生人数比恰好为．
(1)求x，y，p，q的值；
(2)学校教务为进一步了解这60名学生的学习方法，从数学成绩“优秀”、“特别优秀”的学生中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求至少抽到2名学生数学成绩“特别优秀”的概率．
【解析】（1）根据题意有，
解得，
．
（2）用分层抽样的方法选取5人，则数学成绩“特别优秀”的有人，“优秀”的有人．
设抽到3名数学成绩“特别优秀”的学生为，抽到2名数学成绩“优秀”的学生为，从5人中选取3人的所有情况为，，共10种情况，
至少抽到2人数学成绩”特别优秀”的为，有7种情况，
∴至少抽到2名学生数学成绩“特别优秀”的概率．
2. (2023·四川·高三开学考试）客家文化是指客家人共同创造的物质文化与精神文化的总和，包括客家方言、客家民俗、客家民居、客家山歌、客家艺术、客家人物、客家山水、客家诗文、客家历史、客家饮食、海内外客家分布等多方面.石城，是客家先民迁徙的重要中转站、客家民系的重要发源地、中华客家文化的重要发祥地，素有客家摇篮之美称.为弘扬和发展客家文化，石城县开展了丰富多彩的客家文化活动，引起了广大中学生对于客家文化的极大兴趣，某校从甲、乙两个班级所有学生中分别随机抽取8名，对他们的客家文化知识了解程度进行评分调查（满分100分），被抽取的学生的评分结果如下茎叶图所示：
(1)分别计算甲、乙两个班级被抽取的8名学生得分的平均值和方差，并估计两个班级学生对客家文化知识了解的整体水平差异；
(2)若从得分不低于85分的学生中随机抽取2人参观客家文化摄影展，求这两名学生均来自乙班级的概率.
【解析】（1）甲的平均数，
乙的平均数.
甲的方差，
乙的方差.
因为两个班级学生得分的平均值相同，所以我们估计两个班级客家文化知识整体水平相差不大，又由于乙班级学生得分的方差比甲班大，所以我们估计甲班级学生客家文化知识水平更加均衡一些，乙班级学生客家文化知识水平差异略大.
（2）甲班级得分不低于85分的有3名同学，记为,乙班级得分不低于85分的有4名同学，记为，
从这7名同学中选取2人共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21个基本事件.其中两名学生均来自于乙班级的有，，，，，共6个基本事件.
所以所求事件的概率.
3. (2023·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习）饮用水水源的安全是保障饮用水安全的基础．同时国家提倡节约用水，全民积极维护饮用水水源安全，保障安全饮水.2021年5月13日下午，正在河南省南阳市考察调研的习近平总书记来到淅川县，先后考察了陶岔渠首枢纽工程、丹江口水库，听取南水北调中线工程建设管理运行和水源地生态保护等情况介绍．为了提高节约用水意识，为此，某校开展了“节约用水，从我做起”活动，从参赛的学生中随机选取100人的成绩作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校此次参赛学生成绩的平均分eq \x\t(x)(同一组数据用该组区间的中点值代表)；
(2)在该样本中，若采用分层随机抽样方法，从成绩低于65分的学生中随机抽取6人调查他们的答题情况，再从这6人中随机抽取3人进行深入调研，求这3人中至少有1人的成绩低于55分的概率．
【解析】(1)根据频率分布直方图得到
(0.005＋0.025×2＋0.01＋a)×10＝1，
解得a＝0.035.
这组样本数据的平均数为50×0.05＋60×0.25＋70×0.35＋80×0.25＋90×0.1＝71，
所以eq \x\t(x)＝71.
(2)根据频率分布直方图得到，成绩在[45,55)，[55,65)内的频率分别为0.05,0.25，所以采用分层随机抽样的方法从样本中抽取的6人，
成绩在[45,55)内的有1人，记为X，
成绩在[55,65)内的有5人，分别记为a，b，c，d，e，
从这6人中随机抽取3人，所有可能的结果为Xab，Xac，Xad，Xae，Xbc，Xbd，Xbe，Xcd，Xce，Xde，abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde，共20种．
这3人中至少有1人的成绩在[45,55)内的有Xab，Xac，Xad，Xae，Xbc，Xbd，Xbe，Xcd，Xce，Xde，共10种．所以这3人中至少有1人的成绩低于55分的概率为eq \f(10,20)＝eq \f(1,2).
最高气温
[10，15)
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40]
天数
2
16
36
25
7
4
期中数学成绩（单位：分）
频数
频率
3
0.05
x
p
9
0.15
15
0.25
18
0.30
y
q
合计
60
1.00