高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)9.8离散型随机变量及其分布列、数字特征(精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)9.8离散型随机变量及其分布列、数字特征(精练)(原卷版+解析)，共23页。


【题型一 分布列的性质】
1.(2023·华师大二附中高三练习）随机变量的概率分布列如下：
则___________.
2. (2023·河南高三月考）已知随机变量X的分布列如表所示，则（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·全国高三课时练习）若随机变量X的分布列如下表所示：
则a2＋b2的最小值为________．
4. 随机变量的概率分布满足（，1，2，…，10），则的值为___________.
5. 已知随机变量X的分布列为，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【题型二 求离散型随机变量的分布列】
1.(2023·四川模拟）甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.求：
(1)在一轮比赛中，甲的得分的分布列；
(2)在两轮比赛中，甲的得分的分布列及期望.
2.(2023·武昌模拟）某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现挑选5名队员参加比赛，设X表示其中种子选手人数，求X的分布列．
3．(2023·石家庄模拟）将个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号.现从中任取个球，以表示取出球的最大号码.
(1)求的分布列；
(2)求的概率.
4. (2023·临沂二模）为了解决家长接送孩子放学的问题，教育部提出推行课后服务“”模式，即学校每周5天都要开展课后服务，每天至少开展2h，结束时间要与当地正常下班时间相衔接，且不得利用课后服务时间讲新课.为了课后服务的有序开展，某教育局就课后服务的时长在网络上进行意见征集，并从中随机抽取了100份调查表，以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图：
(1)从样本中随机抽取2份调查表，若其中一份调查表所建议的课后服务时长超过200 min，求另一份调查表所建议的课后服务时长也超过200min的概率；
(2)为了进一步了解课后服务时长的需求情况，从样本中建议课后服务时长超过180 min的人中分层抽取10人，再从这10人中任取3人，记建议课后服务时长在的人数为X，求X的分布列与数学期望.
5. 2022年7月，中共中央办公厅､国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》（简称“双减”政策）.某校为了落实“双减”政策，安排了25名教师参与课后服务工作，在某个星期内，他们参与课后服务的次数统计如图所示.
(1)求这25名教师在该星期参与课后服务的平均次数；
(2)从这25名教师中任选2人，设这2人在该星期参与课后服务的次数之差的绝对值为X，求X的分布列与数学期望.
【题型三 离散型随机变量的均值和方差】
1.(2023·唐山二模）已知随机变量的分布列为下表所示，若，则（ ）
A．B．C．1D．
2. (2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如下：
则的最大值为（ ）
A．B．3
C．6D．5
3．(2023·高三课时练习）随机变量的概率分布列为，k＝1，2，3，其中c是常数，则的值为（ ）
A．10B．117C．38D．35
4.(2023·广东高三模拟）1971年“乒乓外交”翻开了中美关系的新篇章，2022年休斯顿世乒赛中美两国选手又一次践行了“乒乓外交”所蕴含的友谊､尊重､合作的精神，使“乒乓外交”的内涵和外延得到了进一步的丰富和创新，几十年来，乒乓球运动也成为国内民众喜爱的运动之一，今有小王､小张､小马三人进行乒乓球比赛，规则为：先由两人上场比赛，另一人做裁判，败者下场做裁判，另两人上场比赛，依次规则循环进行比赛.由抽签决定小王､小张先上场比赛，小马做裁判.根据以往经验比赛：小王与小张比赛小王获胜的概率为，小马与小张比赛小张获胜的概率为，小马与小王比赛小马获胜的概率为.
(1)比赛完3局时，求三人各胜1局的概率；
(2)比赛完4局时，设小马做裁判的次数为X，求X的分布列和期望.
【题型四 均值和方差在决策问题中应用】
1.(2023·山东·高密三中高三阶段练习）2021年7月24日，在奥运会女子个人重剑决赛中，中国选手孙一文在最后关头一剑封喉，斩获金牌，掀起了新一轮“击剑热潮”．甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为．因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者（甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛），每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束．
(1)若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率；
(2)请帮助甲进行第一局的决策（甲乙、甲丙或乙丙比赛），使得甲最终获得冠军的概率最大．
2．(2023·常州市新桥高级中学高三模拟）手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计职工一天行走步数（单位：百步）得到如下频率分布直方图．由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为125（百步），其中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表．
(1)试计算图中的a、b值，并以此估计该单位职工一天行走步数的平均值；
(2)为鼓励职工积极参与健康步行，该单位制定甲、乙两套激励方案：记职工个人每日步行数为，其超过平均值的百分数，若，职工获得一次抽奖机会；若，职工获得二次抽奖机会；若，职工获得三次抽奖机会；若，职工获得四次抽奖机会；若超过50，职工获得五次抽奖机会．设职工获得抽奖次数为n．方案甲：从装有1个红球和2个白球的口袋中有放回的逐个抽取n个小球，抽得红球个数即表示该职工中奖几次；方案乙：从装有6个红球和4个白球的口袋中无放回的逐个抽取n个小球，抽得红球个数即表示该职工中奖几次；若某职工日步行数为15700步，以期望为决策依据判断哪个方案更佳？
3.(2023·济北中学高三月考）某学校的自主招生考试中有一种多项选择题，每题设置了四个选项ABCD，其中至少两项、至多三项是符合题目要求的．在每题中，如果考生全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．小明同学参加考试时遇到一道这样的多选题，他没有能力判断每个选项正确与否，只能瞎猜．假设对于每个选项，正确或者错误的概率均为．
(1)写出正确选项的所有可能情况；如果小明随便选2个或3个选项，求出小明这道题能得5分的概率；
(2)从这道题得分的数学期望来看，小明应该只选一个选项？还是两个选项？还是三个选项？
4. (2023·全国·模拟预测）某财经杂志发起一项调查，旨在预测中国经济前景，随机访问了位业内人士，根据被访问者的问卷得分（满分分）将经济前景预期划分为三个等级（悲观､尚可､乐观）.分级标准及这位被访问者得分频数分布情况如下：
假设被访问的每个人独立完成问卷（互不影响），根据经验，这位人士的意见即可代表业内人士意见，且他们预测各等级的频率可估计未来经济各等级发生的可能性.
(1)该杂志记者又随机访问了两名业内人士，试估计至少有一人预测中国经济前景为“乐观”的概率；
(2)某人有一笔资金，现有两个备选的投资意向：物联网项目或人工智能项目，两种投资项目的年回报率都与中国经济前景等级有关，根据经验，大致关系如下（正数表示赢利，负数表示亏损）：
根据以上信息，请分别计算这两种投资项目的年回报率的期望与方差，并用统计学知识给出投资建议.
0
1
2
3
4
5
6
X
1
2
3
P
a
2a
3a
X
0
1
2
3
P
a
b
X
1
2
3
P
a
b
2b—a
经济前景等级
悲观
尚可
乐观
问卷得分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
频数
2
3
5
10
19
24
17
9
7
4
经济前景等级
乐观
尚可
悲观
物联网项目年回报率（%）
12
4
人工智能项目年回报率（%）
7
5
9.8 离散型随机变量及其分布列、数字特征
【题型解读】
【题型一 分布列的性质】
1.(2023·华师大二附中高三练习）随机变量的概率分布列如下：
则___________.
答案：64
【解析】根据概率分布列的概率性质可知，
所以，即，解得.
故答案为：
2. (2023·河南高三月考）已知随机变量X的分布列如表所示，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】解：依题意，解得，所以；
故选：C
3．(2023·全国高三课时练习）若随机变量X的分布列如下表所示：
则a2＋b2的最小值为________．
答案：
【解析】由分布列的性质，知，即.
因为，当且仅当时取等号.
所以的最小值为.
故答案为：
4. 随机变量的概率分布满足（，1，2，…，10），则的值为___________.
答案：1024
【解析】由题意.
故答案为：1024.
5. 已知随机变量X的分布列为，，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意得：
．
故选:A
【题型二 求离散型随机变量的分布列】
1.(2023·四川模拟）甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.求：
(1)在一轮比赛中，甲的得分的分布列；
(2)在两轮比赛中，甲的得分的分布列及期望.
【解析】（1）依题意可得的可能取值为，，，
所以，
，
，
所以的分布列为
（2）依题意可得的可能取值为，，，，，
所以，，，
，
，
所以的分布列为
所以．
2.(2023·武昌模拟）某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现挑选5名队员参加比赛，设X表示其中种子选手人数，求X的分布列．
答案：
【解析】解：可取，
，
，
，
故分布列如下：
3．(2023·石家庄模拟）将个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号.现从中任取个球，以表示取出球的最大号码.
(1)求的分布列；
(2)求的概率.
答案：(1)分布列见解析
(2)
【解析】(1)
由已知可得随机变量的可能取值有：，，，，
所以，，，，
所以分布列为
(2)由（1）得.
4. (2023·临沂二模）为了解决家长接送孩子放学的问题，教育部提出推行课后服务“”模式，即学校每周5天都要开展课后服务，每天至少开展2h，结束时间要与当地正常下班时间相衔接，且不得利用课后服务时间讲新课.为了课后服务的有序开展，某教育局就课后服务的时长在网络上进行意见征集，并从中随机抽取了100份调查表，以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图：
(1)从样本中随机抽取2份调查表，若其中一份调查表所建议的课后服务时长超过200 min，求另一份调查表所建议的课后服务时长也超过200min的概率；
(2)为了进一步了解课后服务时长的需求情况，从样本中建议课后服务时长超过180 min的人中分层抽取10人，再从这10人中任取3人，记建议课后服务时长在的人数为X，求X的分布列与数学期望.
答案：(1)
(2)
，
【解析】(1)
依题意，课后服务时长超过200 min的调查表共有（份），
设事件A为其中一份调查表所建议的课后服务时长超过200 min，事件B为另一份调查表所建议的课后服务时长也超过200 min，
则，，
故.
(2)根据题意及分层抽样的知识可知，抽取的10人中，建议课后服务时长在内的有6人，则X的所有可能取值为0，1，2，3，
且，，，，
所以X的分布列为
X的数学期望.
5. 2022年7月，中共中央办公厅､国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》（简称“双减”政策）.某校为了落实“双减”政策，安排了25名教师参与课后服务工作，在某个星期内，他们参与课后服务的次数统计如图所示.
(1)求这25名教师在该星期参与课后服务的平均次数；
(2)从这25名教师中任选2人，设这2人在该星期参与课后服务的次数之差的绝对值为X，求X的分布列与数学期望.
答案：(1)
(2)分布列答案见解析，数学期望：
【解析】(1)由统计图可知，25名教师中，参与课后服务2次的有4人，参与课后服务3次的有5人，参与课后服务4次的有10人，参与课后服务5次的有6人，
所以这25名教师在该星期参与课后服务的平均次数为.
(2)由题可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以X的分布列为
所以X的数学期望.
【题型三 离散型随机变量的均值和方差】
1.(2023·唐山二模）已知随机变量的分布列为下表所示，若，则（ ）
A．B．C．1D．
答案：B
【解析】由，解得
由随机变量的分布列的性质得，得
所以
故选：B
2. (2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如下：
则的最大值为（ ）
A．B．3
C．6D．5
答案：C
【解析】，只需求的最大值即可，根据题意：，，，
所以，
当时，其最大值为，故的最大值为．
故选：C.
3．(2023·高三课时练习）随机变量的概率分布列为，k＝1，2，3，其中c是常数，则的值为（ ）
A．10B．117C．38D．35
答案：C
【解析】，k＝1，2，3，
，解得，
，
，
.
故选：C
4.(2023·广东高三模拟）1971年“乒乓外交”翻开了中美关系的新篇章，2022年休斯顿世乒赛中美两国选手又一次践行了“乒乓外交”所蕴含的友谊､尊重､合作的精神，使“乒乓外交”的内涵和外延得到了进一步的丰富和创新，几十年来，乒乓球运动也成为国内民众喜爱的运动之一，今有小王､小张､小马三人进行乒乓球比赛，规则为：先由两人上场比赛，另一人做裁判，败者下场做裁判，另两人上场比赛，依次规则循环进行比赛.由抽签决定小王､小张先上场比赛，小马做裁判.根据以往经验比赛：小王与小张比赛小王获胜的概率为，小马与小张比赛小张获胜的概率为，小马与小王比赛小马获胜的概率为.
(1)比赛完3局时，求三人各胜1局的概率；
(2)比赛完4局时，设小马做裁判的次数为X，求X的分布列和期望.
答案：(1)
(2)分布列答案见解析，数学期望：
【解析】（1）设小王与小张比赛小王获胜记为事件A，小马与小张比赛小张获胜记为事件B，
小马与小王比赛小马获胜记为事件C，且A，B，C相互独立.
则
设“比赛完3局时，三人各胜1局”记为事件M，则
(2)X的可能取值为1，2
则X的分布列为
则
【题型四 均值和方差在决策问题中应用】
1.(2023·山东·高密三中高三阶段练习）2021年7月24日，在奥运会女子个人重剑决赛中，中国选手孙一文在最后关头一剑封喉，斩获金牌，掀起了新一轮“击剑热潮”．甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为．因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者（甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛），每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束．
(1)若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率；
(2)请帮助甲进行第一局的决策（甲乙、甲丙或乙丙比赛），使得甲最终获得冠军的概率最大．
【解析】(1)若甲指定第一局由乙丙对战，“只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况：
①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜，其概率为；
②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，其概率为．
所以“只进行三局甲就成为冠军”的概率为．
(2)若第一局甲乙比，甲获得冠军的情况有三种：甲乙比甲胜，甲丙比甲胜；甲乙比甲胜，甲丙比丙胜，乙丙比乙胜，甲乙比甲胜；甲乙比乙胜，乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，
所以甲能获得冠军的概率为．
若第一局为甲丙比，则同上可得甲获得冠军的概率为．
若第一局为乙丙比，那么甲获得冠军只能是连赢两局，则甲获得冠军的概率即第（1）问的结果．
因为，所以甲第一局选择和丙比赛，最终获得冠军的概率最大．
2．(2023·常州市新桥高级中学高三模拟）手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计职工一天行走步数（单位：百步）得到如下频率分布直方图．由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为125（百步），其中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表．
(1)试计算图中的a、b值，并以此估计该单位职工一天行走步数的平均值；
(2)为鼓励职工积极参与健康步行，该单位制定甲、乙两套激励方案：记职工个人每日步行数为，其超过平均值的百分数，若，职工获得一次抽奖机会；若，职工获得二次抽奖机会；若，职工获得三次抽奖机会；若，职工获得四次抽奖机会；若超过50，职工获得五次抽奖机会．设职工获得抽奖次数为n．方案甲：从装有1个红球和2个白球的口袋中有放回的逐个抽取n个小球，抽得红球个数即表示该职工中奖几次；方案乙：从装有6个红球和4个白球的口袋中无放回的逐个抽取n个小球，抽得红球个数即表示该职工中奖几次；若某职工日步行数为15700步，以期望为决策依据判断哪个方案更佳？
【解析】（1）由题意得：
解得，，
∴；
（2）某职工日行步数（百步），，
∴职工获得三次抽奖机会，设职工中奖次数为X，在方案甲下，
则分布列为：
；
在方案乙下：
的可能取值为0，1，2，3
，，
，，
所以分布列为：
，
因为，
所以方案乙更佳．
3.(2023·济北中学高三月考）某学校的自主招生考试中有一种多项选择题，每题设置了四个选项ABCD，其中至少两项、至多三项是符合题目要求的．在每题中，如果考生全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．小明同学参加考试时遇到一道这样的多选题，他没有能力判断每个选项正确与否，只能瞎猜．假设对于每个选项，正确或者错误的概率均为．
(1)写出正确选项的所有可能情况；如果小明随便选2个或3个选项，求出小明这道题能得5分的概率；
(2)从这道题得分的数学期望来看，小明应该只选一个选项？还是两个选项？还是三个选项？
答案：(1)；
(2)只选一个选项.
【解析】(1)
依题意，对于这道多选题，可能的正确答案AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD共有种，它们等可能，
记事件A为“小明这道题随便选2个或3个选项能得5分”，而正确答案只有1个，则有，
所以小明这道题能得5分的概率.
(2)如果小明只选一个选项，那么他这道题的得分X的所有可能取值为0和2，
小明选了一项，若有两项符合要求，则与所选项组成两项的结果有，若有三项符合要求，则与所选项组成三项的结果有，
于是有，，
则有X的分布列为：
X的数学期望为，
如果小明只选两个选项，那么他这道题的得分Y的所有可能取值为0，2，5，
的事件是小明所选两项恰好符合要求，只有1个结果，若有三项符合要求，则与所选项组成三项的结果有，
，，，
则有Y的分布列为：
Y的数学期望为，
如果小明只选三个选项，那么他这道题的得分Z的所有可能取值为0和5，且
，，
故Z的分布列为
Z的数学期望为，
因为，所以从这道题得分的数学期望来看，小明应该只选一个选项．
4. (2023·全国·模拟预测）某财经杂志发起一项调查，旨在预测中国经济前景，随机访问了位业内人士，根据被访问者的问卷得分（满分分）将经济前景预期划分为三个等级（悲观､尚可､乐观）.分级标准及这位被访问者得分频数分布情况如下：
假设被访问的每个人独立完成问卷（互不影响），根据经验，这位人士的意见即可代表业内人士意见，且他们预测各等级的频率可估计未来经济各等级发生的可能性.
(1)该杂志记者又随机访问了两名业内人士，试估计至少有一人预测中国经济前景为“乐观”的概率；
(2)某人有一笔资金，现有两个备选的投资意向：物联网项目或人工智能项目，两种投资项目的年回报率都与中国经济前景等级有关，根据经验，大致关系如下（正数表示赢利，负数表示亏损）：
根据以上信息，请分别计算这两种投资项目的年回报率的期望与方差，并用统计学知识给出投资建议.
答案：(1)
(2)见解析
【解析】(1)
由题意可知名被采访者中，预测中国经济前景为“乐观”的人数为人，概率为0.2，
若又随机访问了两名业内人士，至少有一个预测中国经济前景为“乐观”的概率为.
(2)由题意可知，预测中国经济前景为“乐观”的概率为，
预测中国经济前景为“尚可”的概率为，
预测中国经济前景为“悲观”的概率为
设投资物联网和人工智能项目年回报率的期望分别为，，
方差分别为，
则，
，
，
，
则，
投资物联网项目比投资人工智能项目平均年回报率要高，但二者相差不大.
,
投资人工智能项目比投资物联网项目年回报率稳定性更高，风险要小，
建议投资人工智能项目.
0
1
2
3
4
5
6
X
1
2
3
P
a
2a
3a
X
0
1
2
3
P
a
b
0
1
0
1
2
0.04
0.2
0.37
0.3
0.09
0
1
2
0
1
2
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P
X
1
2
3
P
a
b
2b—a
X
1
2
P
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P
0
2
0
2
5
0
5
经济前景等级
悲观
尚可
乐观
问卷得分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
频数
2
3
5
10
19
24
17
9
7
4
经济前景等级
乐观
尚可
悲观
物联网项目年回报率（%）
12
4
人工智能项目年回报率（%）
7
5