2024年高中数学新高二暑期培优讲义第05讲 空间向量及其运算的坐标表示（2份打包，原卷版+教师版）

这是一份2024年高中数学新高二暑期培优讲义第05讲 空间向量及其运算的坐标表示（2份打包，原卷版+教师版），文件包含2024年高中数学新高二暑期培优讲义第05讲空间向量及其运算的坐标表示教师版doc、2024年高中数学新高二暑期培优讲义第05讲空间向量及其运算的坐标表示教师版pdf、2024年高中数学新高二暑期培优讲义第05讲空间向量及其运算的坐标表示学生版doc、2024年高中数学新高二暑期培优讲义第05讲空间向量及其运算的坐标表示学生版pdf等4份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
题型一：空间向量的坐标表示
题型二：空间向量的直角坐标运算
题型三：空间向量的共线与共面
题型四：空间向量模长坐标表示
题型五：空间向量平行坐标表示
题型六：空间向量垂直坐标表示
题型七：空间向量夹角坐标表示
【知识点梳理】
知识点一、空间直角坐标系
1、空间直角坐标系
从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是 SKIPIF 1 < 0 平面、yOz平面、zOx平面.
2、右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
3、空间点的坐标
空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
知识点二、空间直角坐标系中点的坐标
1、空间直角坐标系中点的坐标的求法
通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.
特殊点的坐标：原点 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 轴上的点的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ；坐标平面 SKIPIF 1 < 0 上的点的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 .
2、空间直角坐标系中对称点的坐标
在空间直角坐标系中，点 SKIPIF 1 < 0 ，则有
点 SKIPIF 1 < 0 关于原点的对称点是 SKIPIF 1 < 0 ；
点 SKIPIF 1 < 0 关于横轴(x轴)的对称点是 SKIPIF 1 < 0 ；
点 SKIPIF 1 < 0 关于纵轴(y轴)的对称点是 SKIPIF 1 < 0 ；
点 SKIPIF 1 < 0 关于竖轴(z轴)的对称点是 SKIPIF 1 < 0 ；
点 SKIPIF 1 < 0 关于坐标平面 SKIPIF 1 < 0 的对称点是 SKIPIF 1 < 0 ；
点 SKIPIF 1 < 0 关于坐标平面 SKIPIF 1 < 0 的对称点是 SKIPIF 1 < 0 ；
点 SKIPIF 1 < 0 关于坐标平面 SKIPIF 1 < 0 的对称点是 SKIPIF 1 < 0 .
知识点三、 空间向量的坐标运算
(1)空间两点的距离公式
若 SKIPIF 1 < 0 ，则
① SKIPIF 1 < 0
即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
② SKIPIF 1 < 0 ，
或 SKIPIF 1 < 0 .
知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量 SKIPIF 1 < 0 的坐标表示，然后再用模长公式推出。
(2)空间线段中点坐标
空间中有两点 SKIPIF 1 < 0 ，则线段AB的中点C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
(3)向量加减法、数乘的坐标运算
若 SKIPIF 1 < 0 ，则
① SKIPIF 1 < 0 ;
② SKIPIF 1 < 0 ;
③ SKIPIF 1 < 0 ;
(4)向量数量积的坐标运算
若 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0
即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。
(5)空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式
若 SKIPIF 1 < 0 ，则
(1) SKIPIF 1 < 0 .
(2) SKIPIF 1 < 0 .
知识点诠释：
①夹角公式可以根据数量积的定义推出：
SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 的范围是 SKIPIF 1 < 0
② SKIPIF 1 < 0 .
③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系(相等，互余，互补)。
(6)空间向量平行和垂直的条件
若 SKIPIF 1 < 0 ，则
① SKIPIF 1 < 0
② SKIPIF 1 < 0
规定： SKIPIF 1 < 0 与任意空间向量平行或垂直
作用：证明线线平行、线线垂直.
【典例例题】
题型一：空间向量的坐标表示
例1．已知平行四边形 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则顶点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，故顶点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D
例2．已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即，所以点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 故答案为： SKIPIF 1 < 0
例3．已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 为线段AB上靠近 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题设， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型二：空间向量的直角坐标运算
例4．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A．-11B．3C．4D．15
【答案】C
【解析】由已知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .故选：C．
例5．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】∵向量 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 .故选:B.
题型三：空间向量的共线与共面
例6．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，则实数 SKIPIF 1 < 0 ( )
A．-2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】B
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
例7．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 共面，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 共面，则设 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D.
题型四：空间向量模长坐标表示
例8．设空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ＝______．
【答案】3
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，则显然 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故答案为：3.
题型五：空间向量平行坐标表示
例9．在空间直角坐标系中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】4
【解析】由题意得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：4
题型六：空间向量垂直坐标表示
例10．已知空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型七：空间向量夹角坐标表示
例11．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0
例12．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为钝角，则实数 SKIPIF 1 < 0 的范围是______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为钝角，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，若向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线同向，综上可得 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
例13．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
【过关测试】
一、单选题
1．若向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】A
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， 所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
注意到 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
2．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
3．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ,若三个向量 SKIPIF 1 < 0 共面,则实数m等于( )
A．4B．6C．8D．10
【答案】A
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 共面可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．故选：A．
4．长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，E为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点，F为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点，又 SKIPIF 1 < 0 ，则长方体的高 SKIPIF 1 < 0 等于( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】设长方体的长为 SKIPIF 1 < 0 ，由长方体的性质建立如图所示的空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
5．设 SKIPIF 1 < 0 ，则AB的中点M到点C的距离 SKIPIF 1 < 0 ( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 故选：C．
6．已知空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上运动，则当 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】因点Q在直线 SKIPIF 1 < 0 上运动，则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，于是有 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
于是得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时点Q SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时，点Q的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
二、填空题
7．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 故答案为： SKIPIF 1 < 0
8．已知空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共面，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共面，则存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0
9．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
而当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
三、解答题
10．已知空间三点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，求k．
【解析】(1)由题可知， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ．
(3)因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
11．如图，在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的距离；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【解析】(1)如图，以 SKIPIF 1 < 0 为原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，依题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)依题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．