2024年高中数学新高二暑期培优讲义第14讲 抛物线（2份打包，原卷版+教师版）

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题型一：抛物线的定义
题型二：求抛物线的标准方程
题型三：抛物线的综合问题
题型四：轨迹方程
题型五：抛物线的几何性质
题型六：抛物线中的范围与最值问题
题型七：焦半径问题
【知识点梳理】
知识点一：抛物线的定义
定义：平面内与一个定点 SKIPIF 1 < 0 和一条定直线 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 不经过点 SKIPIF 1 < 0 )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 SKIPIF 1 < 0 叫做抛物线的焦点，定直线 SKIPIF 1 < 0 叫做抛物线的准线．
知识点诠释:
(1)上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值
(2)定义中的隐含条件：焦点F不在准线 SKIPIF 1 < 0 上，若F在 SKIPIF 1 < 0 上，抛物线变为过F且垂直与 SKIPIF 1 < 0 的一条直线.
(3)抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化.
知识点二：抛物线的标准方程
抛物线标准方程的四种形式：
根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 。
知识点诠释：
①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；
②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线 SKIPIF 1 < 0 的一次项为 SKIPIF 1 < 0 ，故其焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，且开口向负方向(向下)
③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍.
④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型(一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型)，然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论.
⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。
知识点三：抛物线的简单几何性质：
抛物线标准方程 SKIPIF 1 < 0 的几何性质
范围： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
抛物线y2=2px(p＞0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。
对称性：关于x轴对称
抛物线y2=2px(p＞0)关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。
顶点：坐标原点
抛物线y2=2px(p＞0)和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是(0，0)。
抛物线标准方程几何性质的对比
知识点诠释：
(1)与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；
(2)标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线 SKIPIF 1 < 0 上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.
【典例例题】
题型一：抛物线的定义
例1．若P为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，F为抛物线的焦点，则以|PF|为直径的圆与y轴的位置关系为( )
A．相交B．相离
C．相切D．不确定
例2．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F， SKIPIF 1 < 0 是C上一点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A．1B．2C．3D．4
题型二：求抛物线的标准方程
例3．若抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 到其准线的距离为3，则抛物线的标准方程为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例4．已知抛物线的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，则抛物线的标准方程为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型三：抛物线的综合问题
例5．(多选题)已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是抛物线上两点，则下列结论正确的( )
A．点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0
B．若直线 SKIPIF 1 < 0 经过焦点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为 SKIPIF 1 < 0
D．若直线 SKIPIF 1 < 0 经过焦点 SKIPIF 1 < 0 且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0
题型四：轨迹方程
例6．已知圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，若抛物线过点A(﹣1，0)，B(1，0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例7．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P是抛物线C上一动点，则线段FP的中点Q的轨迹方程是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型五：抛物线的几何性质
例8．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 且倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，线段 SKIPIF 1 < 0 中点的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
例9．抛物线 SKIPIF 1 < 0 在第一象限上一点 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为该抛物线的焦点，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为______.
题型六：抛物线中的范围与最值问题
例10．已知点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最小值是__________．
例11．已知点 SKIPIF 1 < 0 为拋物线 SKIPIF 1 < 0 上的动点，点 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离与点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离之和最小值为__________.
题型七：焦半径问题
例12．过抛物线M： SKIPIF 1 < 0 焦点的直线交抛物线M于A，B两点，若线段AB的中点P到M的准线的距离等于9，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
例13．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____________________.
【过关测试】
一、单选题
1．过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 作直线，交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A．1B．2C．3D．4
2．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交该抛物线于 SKIPIF 1 < 0 两点．若线段 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 斜率为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点F作倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的弦AB，则 SKIPIF 1 < 0 的值为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
4．抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 到焦点 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标为________.
5．抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，过点F作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是____.
6．已知点F为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点， SKIPIF 1 < 0 ，点P为抛物线上一动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______．
三、解答题
7．已知直线l与抛物线C： SKIPIF 1 < 0 交于A，B两点．
(1)若直线l过抛物线C的焦点，线段AB中点的纵坐标为2，求AB的长；
(2)若直线l经过点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
8．已知 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点， SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 在第一象限上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)已知直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，且以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过点 SKIPIF 1 < 0 ，证明：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点．
图形
标准方程
y2=2px(p＞0)
y2=－2px(p＞0)
x2=2py(p＞0)
x2=－2py(p＞0)
顶点
O(0，0)
范围
x≥0， SKIPIF 1 < 0
x≤0， SKIPIF 1 < 0
y≥0， SKIPIF 1 < 0
y≤0， SKIPIF 1 < 0
对称轴
x轴
y轴
焦点
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
离心率
e=1
准线方程
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
焦半径
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0