2024年广东省深圳中学龙岗学校中考数学模拟试卷（2）（含答案）

这是一份2024年广东省深圳中学龙岗学校中考数学模拟试卷（2）（含答案），共8页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

1.(本小题7分)
先化简：(1−4x+3)÷x2−2x+12x+6，再从−3，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
2.(本小题7分)
如图为某单位地下停车库入口处的平面示意图，如图，在司机开车经过坡面即将进入车库时，在车库入口CD的上方BC处会看到一个醒目的限高标志，现已知图中BC高度为0.5m，AB宽度为9m，坡面的坡角为30°．
(1)根据图(1)求出入口处顶点C到坡面的铅直高度CD．
(2)图(2)中，线段CE为顶点C到坡面AD的垂直距离，现已知某货车高度为3.9米，请判断该车能否进入该车库停车？( 3≈1.7，精确到0.1米)
3.(本小题8分)
某校为了解七、八年级学生对中国传统文化知识的掌握情况，从两个年级中各随机抽取10名学生进行测试，并对测试成绩(百分制)进行收集、整理和分析．
数据收集：
七年级：59 90 92 85 80 67 88 85 97 79；
八年级：57 95 80 96 83 69 92 78 66 83．
数据整理：
数据分析：
请根据如表信息，回答下列问题：
(1)补全表中数据：a= ______，b= ______；
(2)萌萌同学参加了测试，他说：“这次测试我得了83分，在我们年级属于中游略偏上!”，你推测萌萌同学可能是______(填“七”或“八”)年级的学生．
(3)假如该校七年级800名学生均参加了本次测试，请你估计该校七年级学生本次测试成绩在80分以上(不包括80分)的人数．
(4)为了丰富同学们的中国传统文化知识，请你提出一条合理化建议．
4.(本小题9分)
如图，BD是矩形ABCD的对角线．
(1)作线段BD的垂直平分线，交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，用黑色笔将作图痕迹加黑)；
(2)①判断四边形BEDF的形状，并说明理由；②若AB=5，BC=10，求四边形BEDF的周长．
5.(本小题10分)
2024年郑州市中招体育考试抽号流程为：第一次抽号确定素质类项目(从1分钟跳绳、50米跑、掷实心球、立定跳远四项素质类项目中抽考1项)；第二次抽号确定运动健康技能类统考项目(从篮球运球投篮、足球运球射门、排球垫球三项运动健康技能类中抽考1项).某班为了备战中考体育，统一采购了一批跳绳和足球，已知跳绳与足球的总数量为50个(每种都购买)，下面是经过调查，甲、乙两个商店的跳绳和足球售价信息及优惠方案：
(1)在调查过程中，由于粗心，将足球与跳绳的单价遗失了，只知道甲、乙两个商店的足球和跳绳的单价相同，如果按原价买5根跳绳与6个足球需要花350元，花同样的钱还能按原价买10根跳绳与5个足球，求跳绳与足球的单价；
(2)已知跳绳的数量不超过足球数量的一半，若跳绳与足球只能在同一家店购买，则在哪家店购买，该班所需总费用最低？求出这个最低总费用．
6.(本小题10分)
【发现问题】如图1，在一根4cm长的铁丝AB上任取一点C弯折后，再连接AB形成△ABC(如图2)，当点C在不同位置及∠C取不同的大小时，△ABC的面积也不同．

【[提出问题】△ABC的面积是否存在最大值？
【分析问题】由于点C的位置及∠C的大小都是不确定的，故可借助函数关系式来探究.设AC=x(cm)，S△ABC=y(cm2).对于∠C，可以先确定几个特定的便于计算的角度进行尝试，然后再推广到一般的情形．
【解决问题】
(1)如图3，当∠C=30°时，试求y与x的函数关系式，并判断此时△ABC的面积是否存在最大值？如果存在，AC的值为多少？
(2)当∠C=90°时，S△ABC记为y1，当∠C=135°时，S△ABC记为y2，若存在一个AC的值，使得3 2y2−y1=1，请求出AC的长；
(3)△ABC的面积是否存在最大值？如果存在，最大值是多少，此时的∠C多大，点C在什么位置？如果不存在，请说明理由．
7.(本小题10分)
【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为和美三角形，这个锐角叫做和美角．
【概念理解】(1)根据概念，完成下列问题：
①如图1，△ABC是和美三角形，∠C是和美角.若∠B=130°，则∠C= ______；
②若和美三角形是等腰三角形时，则和美角的度数为______．
【性质探究】(2)如图2，数学兴趣小组发现，当△ABC是和美三角形，∠B是钝角，∠A是和美角时，存在tanA=BCAC的结论，并给出如下两种证明思路：
在上述两种思路中，可以选择其中一种，证明：tanA=BCAC；(若用其他思路解决问题，则写第3种)
【拓展应用】(3)如图5，AB是⊙O的直径，且AB=13，点C，D是圆上的两点，弦CD与AB交于点E，连接AD，BD，△ACE是和美三角形，当BC=5时，求AD的长．
参考答案
1.解：(1−4x+3)÷x2−2x+12x+6
=x+3−4x+3⋅2(x+3)(x−1)2
=x−1x+3⋅2(x+3)(x−1)2
=2x−1，
∵x+3≠0，x−1≠0，
∴x≠−3，x≠1，
∴当x=2时，原式=22−1=2．
2.解：(1)在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AB=9m，
∴BD=AB⋅tan∠BAD=9× 33=3 3(m)，
∴CD=BD−BC=3 3−0.5≈4.6(m)，
答：点C到坡面的铅直高度CD约为4.6m；
(2)在Rt△CDE中，∠CDE=60°，CD=(3 3−0.5)m，
∴CE=CD⋅sin∠CDE=(3 3−0.5)× 32=92− 34≈4.1(m)，
∵4.1˃3.9，
∴该车能进入该车库停车．
3.85 83 八
4.解：(1)所作图形如图所示．

(2)①四边形BEDF是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD/​/BC，
∴∠OBF=∠ODE，∠OFB=∠OED，
∵EF垂直平分BD，
∴OB=OD，
∴△OBF≌△ODE(AAS)，
∴BF=DE，
∵EF垂直平分BD，
∴BE=DE，BF=DF，
∴BF=DF=DE=BE，
∴四边形BEDF是菱形．
②∵四边形ABCD是矩形，BC=10，
∴∠A=90°，AD=BC=10，
设菱形BEDF的边长为x，则AE=10−x，
∵AB=5，
∴x2−(10−x)2=52，
x=254，
∴菱形BEDF的周长是25．
5.解：(1)设跳绳的单价为x元/根，足球的单价为y元/个，依题意，得：
5x+6y=35010x+5y=350，
解得：x=10y=50．
答：跳绳的单价为10元/根，跳绳的单价为50元/个．
(2)设购买跳绳x条，则购买足球(50−x)个，
∵跳绳的数量不超过足球数量的一半，
∴x≤12(50−x)，
∴x≤1623，
设总费用为w元，依题意，得：w甲=50(50−x)×0.8+10x×0.8=−32x+2000．
w乙=50(50−x)+10x×0.5=−45x+2500，
∵−32<0，
∴w甲随x的增大而减小，
∴当x=16时，w甲最小，为−32×16+2000=1488(元)，
w乙=50(50−x)+10x×0.5=−45x+2500，
∵−45<0，
∴w乙随x的增大而减小，
∴当x=16时，w乙最小，为−45×16+2500=1780(元)，
∵1488<1780，
∴在甲家店购买，该班所需总费用最低，这个最低总费用为1488元．
6.解：(1)此时△ABC的面积存在最大值；理由如下：
如图3所示，过点A作AD⊥BC于点D，

设AC=x(cm)，S△ABC=y(cm2)．
在Rt△ACD中，AD=AC⋅sinC，∠C=30°，
∴y=12BC⋅AD=12(4−x)⋅xsinC=12(4−x)⋅xsin30°=14x(4−x)．
∴y=−14x2+x，
∴−14<0，
∴y有最大值，此时△ABC的面积存在最大值，
当x=−b2a=2，
∴AC=2cm；
(2)当∠C=90°时，y1=12x(4−x)=−12x2+2x．
当∠ACB=135°时，过A作AD⊥BC于D，如图4，
∴∠ACD=45°，
∴AD=AC⋅sin45°= 22AC，

∴y2=12× 22x(4−x)=− 24x2+ 2x，
∵3 2y2−y1=1，
根据题意得：3 2(− 24x2+ 2x)−(−12x2+2x)=1，
解得：x1=2+ 3，x2=2− 3，
∴AC的长为2+ 3或2− 3；
(3)△ABC的面积存在最大值；理由如下：
由(1)(2)可得：
当△ABC为锐角或直角三角形时，
y=12xsinC⋅(4−x)=−12sinC(x2−4x)=−12sinC(x−2)2+2sinC，
当△ABC为钝角三角形时，
y=12xsinC⋅(4−x)=−12sin(180°−∠ACB)(x2−4x)=−12sin(180°−∠ACB)(x−2)2+2sin(180°−∠ACB)，
∴当x=2时，y有最大值是2，此时∠C=90°，点C是AB的中点．
7.40° 30° 年级
成绩x(分)
5060708090七年级
1
1
2
4
2
八年级
1
2
2
2
3
平均数
中位数
众数
七年级
82.2
a
85
八年级
79.9
81.5
b
商店
足球单价
跳绳单价
优惠方式
甲
所购商品按原价打八折
乙
足球原价，跳绳五折
思路一
思路二
第一步
如图3，过点B作BD⊥AB交AC于点D，证明△CDB∽△CBA；
如图4，过点A作AE⊥AB交CB延长线于点E，证明△CBA∽△CAE；
第二步
利用相似三角形的性质的性质证明结论．
利用相似三角形的性质的性质证明结论．
图形表达