2023-2024学年广东省华附、深中、省实、广雅四校联考高二（下）期末模拟数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省华附、深中、省实、广雅四校联考高二（下）期末模拟数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合M={x|00)的左，右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过F1作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且|DF2|=2 2|OD|，则C的离心率为( )
A. 2B. 2C. 5D. 3
7.已知数列{an}中，a1=1，若an+1=(n+1)ann+1+an，则下列结论中正确的是( )
A. 1an+1−1an≥12B. 1an+2−1an1
8.已知实数x，y满足ex=ylnx+ylny，则满足条件的y最小正整数为( )
A. 1B. 3C. 5D. 7
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知由样本数据点集合{(xi,yi)|i=1，2，…，20}(其中x−=120i=120xi=3)求得的回归直线方程l1：y=1.5x+0.5，记此模型对应的决定系数为R12.观察残差图发现：除了数据点(1.2,2.2)和(4.8,7.8)明显偏离横轴，其余各点均密集均匀分布，剔除这两个数据点后重新求得的回归直线方程l2：y=1.2x+a，记此模型对应的决定系数为R22，则下列结论中正确的是( )
A. 变量x与y正相关B. 记y−=120i=120yi，则y−=5
C. R12>R22D. a=1.4
10.设F是抛物线C：y2=4x的焦点，直线l：x=ty+1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A. |AB|≥4
B. OA⋅OB可能大于0
C. 若P(2,2)，则|PA|+|AF|≥3
D. 若在抛物线上存在唯一一点Q(异于A，B)，使得QA⊥QB，则t=± 3
11.如图，已知圆柱母线长为4，底面圆半径为2 3，梯形ABCD内接于下底面圆，CD是直径，AB/​/CD，AB=6，过点A，B，C，D向上底面作垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，点M，N分别是线段CC1，AA1上的动点，点Q为上底面圆内(含边界)任意一点，则( )
A. 若平面DMN交线段BB1于点R，则NR//DM
B. 若平面DMN过点B1，则直线MN过定点
C. △ABQ的周长为定值
D. 当点Q在上底面圆周上运动时，记直线QA，QB与下底面所成角分别为α，β，则1tan2α+1tan2β的取值范围是[34,92]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=2ae2x−x2有三个零点，求a的取值范围______．
13.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且A=2B，b≠c，D为BC边上的中点，且AD= 2c，则csA= ______．
14.若数集S的子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于1，则称该子集为数集S的超子集.已知集合，记An={1,2,3,…,n}(n∈N∗，n≥3)，记An的超子集的个数为an，当An的超子集个数为221个时，n= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测．调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差．对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”.现在某社区随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如表．用频率估计概率，解答下列问题：
(1)从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X为使用智能体温计测温“测温准确”的人数，求X的分布列与数学期望值；
(2)医学上通常认为，人的体温不低于37.3℃且不高于38℃时处于“低热”状态．该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是37.3℃，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由．
16.(本小题15分)
四边形ABCD是平行四边形，∠CBA=π4，四边形ABEF是梯形，BE/​/AF，且AB⊥AF，AB=BE=12AF=1，BC= 2，平面ABCD⊥平面ABEF．
(1)求证：AC⊥EF；
(2)求直线EC与平面EFD所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
设点F为抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点，过点F且斜率为 5的直线与C交于A，B两点S△AOB=2 6(O为坐标原点)．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点E(0,2)作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，它们分别与抛物线C交于点P，Q和R，S.已知|EP|⋅|EQ|=|ER|⋅|ES|，问：是否存在实数λ，使得k1+λk2为定值？若存在，求λ的值，若不存在，请说明理由．
18.(本小题17分)
设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an−1(n∈N∗)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)解关于n的不等式：a1Cn0+a2Cn1+a3Cn2+…+an+1Cnn0，
所以p=2，
所以抛物线C的方程为x2=4y．
(2)存在λ=1，使得k1+λk2为定值，
由题意可得直线l1的方程y=k1x+2，直线l2的方程为y=k2x+2，
联立y=k1x+2x2=4y，得x2−4k1x−8=0，
设P(x3,y3)，Q(x4,y4)，
所以x3+x4=4k1，x3x4=−8，
|EP|= 1+k12|x3|，|EQ|= 1+k12|x4|，
所以|EP|⋅|EQ|=8(1+k12)，
设R(x5,y5)，S(x6,y6)，
同理可得x5+x6=4k2，x5x6=−8，
所以|ER|⋅|ES|=8(1+k22)，
由|EP|⋅|EQ|=|ER|⋅|ES|，得8(1+k12)=8(1+k22)，
即k12=k22，而k1≠k2，
所以k1+k2=0，
所以存在λ=1，使得k1+λk2为定值0．
18.解：(1)由Sn=2an−1(n∈N∗)知当n≥2，有Sn−1=2an−1−1，
将两式相减我们可以得到an=2an−2an−1，即an=2an−1，
又由于S1=2a1−1=a1，解得a1=1，
故数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以通项公式an=2n−1；
(2)结合(1)知原式=1×Cn0+2×Cn1+22×Cn2+23×Cn3+⋯+2n×Cnn=(1+2)n=3n，
由于3n随着n的增大而增大，
且36=7292023，
所以正整数n最大可取6，
即原不等式的解集为{n|n≤6,n∈N∗}.
(3)我们可以得到bn=12n，当n=1时，c1=1；当n≥2时，由累加法得：cn=c1+(c2−c1)+(c3−c2)+…+(cn−cn−1)=1+b1+b2+……+bn−1=1+12+122+…+12n−1=1−12n1−12=2−12n−1．
由于c1符合上式，故cn=2−12n−1，此时我们可以得出：bndn=12n(12−12n−1−12−12n)=1(2n+1−2)(2n+1−1)．
从第3项看起，对数列使用裂项相消法：Sn=12⋅3+16⋅7+114⋅15+…+1(2n+1−2)⋅(2n+1−1)，由前两项我们可以得到13−17，
因此有Sn=16+16−17+114−115+…+12n+1−2−12n+1−1，
我们可重新加括号得Sn=13−[(17−114)+(115−130)+…+(12n−1−12n+1−2)]−12n+1−1，
显然12n−1−12n+1−2>0,12n+1−1>0，
故sn