2024年辽宁省鞍山市中考数学二模试卷（含答案）

这是一份2024年辽宁省鞍山市中考数学二模试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回之旅，月球距离地球的平均距离为384000千米，数据384000用科学记数法表示为( )
A. 384×103B. 3.84×105C. 38.4×104D. 0.384×106
3.下列运算正确的是( )
A. x2⋅x3=x6B. 5x−2x=3C. x6÷x2=x4D. (−2x2)3=−6x6
4.如图，直线a/​/b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°，若∠1=118°，则∠2的度数为( )
A. 28°
B. 38°
C. 26°
D. 30°
5.关于x的一元二次方程x2−3x+n=0没有实数根，则实数n的值可以为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
6.如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC上两点，若AD：DB=1：2，DE/​/BC，则△ADE与△ABC的周长之比是( )
A. 1：16
B. 1：9
C. 1：4
D. 1：3
7.小文根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的3×3的正方形飞镖盘，则飞镖落在阴影区域的概率为( )
A. 13
B. 49
C. 59
D. 23
8.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD=70°，∠ADC=40°，则∠AED的度数为( )
A. 110°
B. 115°
C. 120°
D. 105°
9.如图，在△ABC中，∠BAC=117°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′刚好落在BC边上，且AB′=CB′，则∠C的度数为( )
A. 19°
B. 20°
C. 21°
D. 22°
10.“夜骑自行车”慢慢成为上班族释放压力的时尚活动，某“夜骑”爱好者匀速骑行的过程中，骑行的距离ℎ(千米)与时间t(分)这两个变量之间的关系用图象大致可以表示为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：xy2+2xy+x=______．
12.“端午食粽”是节日习俗之一.甲、乙两人每小时共包35个粽子，甲包40个粽子所用的时间与乙包30个粽子所用的时间相等.若设甲每小时包x个粽子，则可列方程为______．
13.如图，在菱形ABCD中，分别以C、D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，作直线EF，直线EF恰好经过点A，与边CD交于点M，连接BM，若菱形ABCD的周长为16，则线段BM的长是______．
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A，B都在第一象限，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过A，B两点，AC⊥x轴交于点C，AC与OB交于点D，若ADCD=54，△ABD的面积为1，则k的值为______．
15.如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，且AE与BC边交于点E，BF⊥CD，垂足为F，连接EF，∠AEF=45°，BH平分∠EBF，BH与AE交于点H，若EF=7 2，BH=8 2，则平行四边形ABCD的面积为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算：
(1)−32−(5−7)×3+327÷2；
(2)x2−5x+3=0．
17.(本小题8分)
一种商品有大小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶；2大盒、3小盒共装76瓶．大盒与小盒每盒各装多少瓶？
18.(本小题8分)
快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，网店店主小张打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小张收集了10家网店店主对两家快递公司关于配送速度、服务质量的相关评价，并整理、描述、分析如下：
配送速度得分(满分10分)
甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9；
乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9．
配送速度和服务质量得分统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)n= ______，比较大小：s甲2 ______s乙2(填“>”“=”或“<”)；
(2)综合上表中的统计数据，你认为小张应选择哪家快递公司作为合作伙伴？请说明理由.(写出两条理由即可)
19.(本小题8分)
通过物理学知识知道：光从水射入空气时会产生折射现象，使得眼睛看到的水中物体的像比该物体的实际位置浅.小睿同学站在池塘边，看到池塘底有一块鹅卵石，他想知道鹅卵石的实际位置要比他看到的像深多少？小睿同学通过查阅相关资料及仪器测量数据来解决问题，并形成了具体研究方案如下：
请你根据上述信息解决以下问题：
求鹅卵石的像点G到其实际位置点C之间的距离.(结果精确到0.1m；参考数据：sin53°≈0.798，cs53°≈0.602，tan53°≈1.33)
20.(本小题8分)
某学习小组同学在数学活动课上研究函数y=mx+b(x>0)nx+b(x≤0)(m+n=0,b为常数且b≠0)的图象性质及应用，请你解答同学们在活动中提出的以下问题：
(1)若n−m=2，b=2，判断点(−1,1)是否在函数y=mx+b(x>0)nx+b(x≤0)图象上，并说明理由？
(2)函数y=mx+b(x>0)nx+b(x≤0)图象有最低点，请直接写出m与n的大小关系；
(3)在(2)的条件下，函数y=mx+b(x>0)nx+b(x≤0)图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若△ABC为等边三角形，且△ABC的面积为 3，求函数m，n，b的值．
21.(本小题8分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，BE为⊙O的直径，BE与AC交于点F，D为BE延长线上一点，连接CD，CE，AE，∠BAC+∠BCD=180°．
(1)求证：∠DCE=∠CBD；
(2)若AB=BC，tanD=43，⊙O半径为4，求BC长．
22.(本小题12分)
【基本图形】如图1，在△ACE中，∠ACE=90°，CE=AC，∠CBA=∠CDE=90°，且B，C，D三点在同一直线上，求证：△ABC≌△CDE．
【图形初探】如图2，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D为△ABC内部一点，连接AD，BD，CD，若AD= 2BD，∠ADB=135°，求证：CD=2BD．
【拓展探究】如图3，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D为△ABC外部一点，且∠CDB=90°，连接AD，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，DE边分别与AC，BC交于F，H两点，连接BE，BE与AC交于点G，若AD= 65，tan∠ADC=74，求△EFG的面积．
23.(本小题13分)
如图，二次函数y=ax2+bx+c(a<0)图象与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，顶点为P，PQ⊥x轴，垂足为Q，点C为PQ中点，则直线AC叫做二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的“截中线”．
已知，二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的“截中线”AC与二次函数y=ax2+bx+c(a<0)图象的另一个交点为D，连接PD，且顶点P在第一象限，b=−2a；
(1)当c=−3a时；
①若直线AC的解析式为y=x+1，求二次函数的解析式；
②求证：△PCD是等腰三角形；
(2)当c≠−3a时，连接AP，若△APD为直角三角形，且c≠a，求c与a之间的数量关系．
答案解析
1.C
2.B
3.C
4.A
5.D
6.D
7.B
8.C
9.C
10.A
11.x(y+1)2
12.40x=3035−x
13.2 7
14.365
15.289
16.解：(1)−32−(5−7)×3+327÷2
=−9+2×3+3÷2
=−32；
(2)x2−5x+3=0，
∵a=1，b=−5，c=3，
∴b2−4ac=(−5)2−4×1×3=13，
∴x=−(−5)± 132×1=5± 132，
∴x1=5+ 132，x2=5− 132．
17.解：设大盒与小盒每盒分别装x瓶和y瓶．
依题意得：3x+4y=1082x+3y=76
解此方程组，得x=20y=12
答：大盒与小盒每盒分别装20瓶和12瓶．
18.(1)9，<．
(2)小张应选择甲公司，理由如下：
配送速度方面，甲乙两公司的平均分相同，中位数相同，但甲的众数高于乙公司，这说明甲在配送速度方面可能比乙公司表现的更好；
服务质量方面，二者的平均相同，但甲的方差明显小于乙，说甲的服务质量更稳定，因此应该选择甲公司．(答案不唯一，言之有理即可)．
19.解：过点G作GE⊥BN，垂足为E，

由题意得：EG=CN=BH=2m，BN=CH，BE=HG，
∵∠ABM=53°，
∴∠ABM=∠EBG=53°，
在Rt△EBG中，BE=EGtan53∘≈21.33≈1.50(m)，
∵sin∠ABMsin∠CBN=1.33，
∴sin∠CBN= sin∠ABM1.33=sin53°1.33≈，
在Rt△CBN中，BC=CNsin∠CBN=20.6=103(m)，
∴CH=BN= BC2−CN2= (103)2−22=83(m)，
∴CG=CH−HG=CH−BE=83−1.50≈1.2(m)，
∴鹅卵石的像点G到其实际位置点C之间的距离约为1.2m．
20.解：(1)(−1,1)在函数图象上；
理由：∵m+n=0，n−m=2，b=2，
解得：m=−1，n=1，b=2，
当x=−1时，y=−1+2=1，
∴(−1,1)在函数图象上；
(2)∵m+n=0，
∴n=−m，
∴y=mx+b与y=−mx+b关于y轴对称，
∵函数y有最低点，
∴m≥0，
∴n≤0，
∴m≥n；
(3)∵△ABC为等边三角形，且△ABC的面积为 3，
∴12×AB2sin60°= 3，
解得：AB=2，
∴A(−1,0)，B(1,0)，C(0,− 3)，
当x=−1时，y=−n− 3=0，
解得：n=− 3，
∴m= 3，b=− 3．
21.(1)证明：连接OA，OC，如图：

∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∠BAC+∠BCD=180°，∠BCD=∠ACB+∠ACD，
∴∠ABC=∠ACD，
∵∠AOC=2∠ABC，OA=OC，
∴∠ACO=∠OAC=90°−∠ABC，
∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=90°−∠ABC+∠ABC=90°，
∴CD为⊙O的切线，
由弦切角定理可知，∠DCE=∠CBD；
(2)解：∵AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∴∠BAO=∠BCO，
又∵OA=OC，
∴△AOB≌△COB(SAS)，
∴∠ABO=∠CBO，
∴BF为∠ABC的平分线，
∴BE⊥AC，AF=CF，∠COF=∠ABC，
∵∠D+∠COD=90°，
∴tan∠COD=1tanD=34，
∵OC=4，
∴OF=165，CF=125，
∴BF=OB+OF=365，
∴BC= CF2+BF2=12 105．
22.【基本图形】证明：∵∠ACE=90°，∠ACB+∠ACE+∠DCE=180°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，
又∵∠DCE+∠CED=90°，∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED，
∵AC=CE，
∴△ACB≌△CED(ASA)；
【图形初探】证明：将BD逆时针旋转90°得到BE，连接AE，DE，如图：

∴△BDE为等腰直角三角形，
∴∠DEB=∠BDE=45°，DE= 2BD，
∵∠ADB=135°，
∴∠ADE=90°，
∵AD= 2BD，
∴AD=DE，
∴△ADE也是等腰直角三角形，
∴∠AED=45°，AE= 2AD=2BD，
∴∠AEB=90°，
∵∠ABC=90°=∠EBD，
∴∠ABE=∠CBD，
又∵AB=BC，BE=BD，
∴△ABE≌△CBD(SAS)，
∴CD=AE=2BD；
【拓展研究】解：过点A作AM⊥与BD与M，如图：

∵∠CDB=90°，
∴CD//AM，
∴∠DAM=∠ADC，
∵AD= 65，tan∠ADC=74，
∴AM=4，DM=7，
∵∠ABC=90°，AB=BC，
由【基础图形】可知，△BCD≌△ABM，
∴BD=4，CD=BM=3，
∴AB=BC= AM2+BM2=5，
∵四边形ABCE为平行四边形，
∴DE=AB=5，AE=BD=4，
在△BCD中，由等积变换可得：DH=BD⋅CDBC=125，
∴CH= CD2−DH2=95，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠FCH=45°，
∴三角形CFH为等腰直角三角形，
∴FH=CH=95，CF=95 2，
∴EF=DE−DH−FH=45，AF=AC−CF=165 2，
∵EF//AB，
∴FGAG=EFAB=425，
∴S△EFG：S△ABG=16：625，AG=2529AF=8029 2，
∴AGAC=1629，
∴S△ABG=1629S△ABC=1629×252=20029，
∴S△EFG=16625×20029=128725．
23.(1)①解：∵b=−2a，c=−3a，
∴y=ax2−2ax−3a=a(x−3)(x+1)，
∴A(−1,0)，P(1,−4a)，
∴C(1,−2a)，
∴−2a=1+1，
∴a=−1，
∴y=−x2+2a+3；
②证明：∵P(1,4)，C(1,2)，
∴PC=2，
联立直线AC和抛物线解析式：y=−x2+2x+3y=x+1，
解得：x=2或−1(舍去)，
∴D(2,3)，
∴PD= 2，CD= 2，
∴PD=CD，PD2+CD2=PC2，
∴△PCD为等腰直角三角形．
(2)解：∵b=−2a，
∴P(1,c−a)，
∴C(1,c−a2)，抛物线解析式为：y=ax2−2ax+c，
令y=0，解得x=1± a2−aca，
∴A(1− a2−aca,0)，
∴kAP=− a2−ac，kAC=− a2−ac2，
∴直线AC的解析式为：y=− a2−ac2(x−1+ a2−aca)=− a2−ac2x+ a2−ac2−a−c2，
联立直线AC与抛物线解析式：y=ax2−2ax+cy=− a2−ac2x+ a2−ac2−a−c2，
解得：x=1+ a2−ac2a，
∴D(1+ a2−ac2a,34(c−a))，
∴AP2=a−ca+(c−a)2，AD2=9(a−c)4a+916(c−a)2，DP2=a−c4a+116(c−a)2，
①当AP⊥DP时，AP2+DP2=AD2，
即：a−ca+(c−a)2+a−c4a+116(c−a)2=9(a−c)4a+916(c−a)2，
整理得：−1a=12(c−a)，
∴c=a−2a；
②当AD⊥DP时，AD2+DP2=AP2，
即：9(a−c)4a+916(c−a)2+a−c4a+116(c−a)2=a−ca+(c−a)2，
整理得：−1a=14(c−a)，
∴c=a−4a；
综上所述，c=a−2a或a−4a． 快递公司统计量
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
众数
平均数
方差
甲
7.9
8
n
7
s甲2
乙
7.9
8
8
7
s乙2
问题
鹅卵石的像到其实际位置的距离
工具
纸、笔、计算器、测角仪等
图形
说明
如图，鹅卵石在池底点C处，其像在点C正上方点G处，MN⊥NC于点N，MN⊥BH于点B，CH⊥BH于点H，点G在CH上，A，B，G三点共线，通过查阅资料获得sin∠ABMsin∠CBN=1.33．
数据
BH=2m，∠ABM=53°