2023-2024学年黑龙江省大庆市肇源县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省大庆市肇源县八年级（下）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图所示的手提水果篮，其俯视图是( )
A. B. C. D.
2.一元二次方程x2−3x+2=0的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
3.数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是( )
A. 黑球B. 黄球C. 红球D. 白球
4.如果2a=5b，那么下列比例式中正确的是( )
A. ab=25B. a5=2bC. a5=b2D. a2=b5
5.在函数y=kx(k<0)的图象上有A(1,y1)、B(−1,y2)、C(−2,y3)三个点，则下列各式中正确的是( )
A. y16.在平面直角坐标系中，△ABO一个顶点的坐标分别为A(−2,4)，B(4,0)，O(0,0).以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12.得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是( )
A. (−4,8)B. (−4,8)或(4,−8)C. (−1,2)D. (−1,2)或(1,−2)
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，E是AD中点，若BD=7，则CE的长为( )
A. 3
B. 3.5
C. 4
D. 4.5
8.如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=k2x的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为2，当y1>y2时，x的取值范围是( )
A. −22
B. x<−2或0C. x<−2或x>2
D. −29.如图，▱ABCD，E点在边CD上，且2CE=DE，AC与BE相交于点F，△EFC的面积是1，则▱ABCD的面积是( )
A. 12B. 13C. 24D. 8
10.如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高AB=1.3cm，当BC=2.6m时，点B离地面的距离BE=1m，则此时点A离地面的距离是( )
A. 2.2m
B. 2m
C. 1.8m
D. 1.6m
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.写出有一个根为0的关于x的一元二次方程：______．
12.某农科所在相同条件下进行某作物种子发芽试验，结果(部分数据)如表所示：
则任取一粒种子，在相同条件下，估计它能发芽的概率约为______(精确到0.01)；
13.已知x1，x2是一元二次方程x2−6x+2=0的两根，则x1+x2= ______．
14.如图，点A、B是双曲线y=3x上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若S阴影=1，则S1+S2=______．
15.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，当PQ=40mm，则AH的长度为______mm．
16.已知直四棱柱的三视图如图所示，俯视图是一个正方形，则这个直四棱柱的体积是______cm3．
17.如图，线段AD为△ABC的中线，点P为线段AB上的动点(不与点A，B重合)，PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，若AB=AC=10，BC=16，则EF的最小值为______．
18.如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，F为AB的中点，DF的延长线与CB的延长线交于点H，CE与DH相交于点G，若CG=4 3，则BG的长为______．
三、解答题：本题共10小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题4分)
解方程：
(1)x2+2x−4=0；
(2)3x(2x+1)=4x+2．
20.(本小题5分)
已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为(3,1)、(2,−1)．
(1)在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA1B1，使新图与原图相似比为2：1；
(2)△OA1B1的面积为______．
21.(本小题6分)
唐老师邀请朋友小高和小新来盐城游玩，向他们推荐了四个景区：A、中华麋鹿园；B、黄海国家森林公园；C、大洋湾生态旅游风景区；D、大纵湖生态旅游度假区.两位朋友都随机选择了其中一个景区．
(1)朋友小高选择大纵湖生态旅游度假区的概率是______；
(2)请用树状图或列表法求他们选择相同景区的概率．
22.(本小题6分)
已知关于x的一元二次方程x2−ax+a−1=0．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．
23.(本小题7分)
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE/​/AC，且DE=12AC，连接CE．
(1)求证：四边形OCED为矩形；
(2)连接AE.若BD=4，AE=2 10，求菱形ABCD的面积．
24.(本小题7分)
研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平.学生注意力指标y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示．
(1)求反比例图数的表达式，并求点A对应的指标值；
(2)张老师在一节课上从第10分钟开始讲解一道数学综合题，讲解这道题需要15分钟，当张老师讲完这道题时，学生的注意力指标值达到多少？
25.(本小题7分)
某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变
(1)求四、五两个月销售量的月平均增长率；
(2)从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？
26.(本小题7分)
如图，某位同学通过调整自己的位置测量树高AB，设法使三角板的斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知两条边DE=0.4m，EF=0.2m，测得边DF离地面距离AC=1.5m，人与树的距离CD=8m，求树高AB的值．
27.(本小题8分)
如图，反比例函数y=mx图象上A、B两点的坐标分别为A(3,4)，B(n−1,−6)．
(1)求反比例函数y=mx和直线AB的解析式；
(2)连结AO、BO，求△AOB的面积．
28.(本小题9分)
如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=100cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒(0(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：从上面看，是一个圆，圆的中间有一条横向的线段．
故选：A．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的正面看得到的视图，注意主视图的方向，俯视图与主视图的方向有关．
2.【答案】B
【解析】解：x2−3x+2=0，
△=(−3)2−4×1×2=1>0，
所以方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
先求出“△”的值，再判断即可．
本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，
∴白球被取得的概率=510=12，红球被取得的概率=310，黄球被取得的概率=210=15，
由频率图可知，某球被取得的频率大约在0.2左右波动，接近黄球被取得的概率，
故选：B．
分别求出白球、红球和黄球被取到的概率，再结合图表给出某种颜色的球出现的频率即可得到问题的选项．
本题考查频率估计概率，理解频率、概率的意义和相互关系是正确解答的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵2a=5b，
∴ab=52，a5=b2．
故选：C．
利用比例的性质对各选项进行判断．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等)是解决问题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵y=kx(k<0)的图象上有A(1,y1)、B(−1,y2)、C(−2,y3)三个点，
∴1×y1=k，−1×y2=k，−2×y3=k，
∴y1=k，y2=−k，y3=−12k，
而k<0，
∴y1故选C．
根据反比例函数图象上点的坐标特征得到1×y1=k，−1×y2=k，−2×y3=k，然后计算出y1、y2、y3的值再比较大小即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
6.【答案】D
【解析】解：以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，点A的坐标为(−2,4)，
∴点C的坐标为(−2×12,4×12)或(2×12,−4×12)，即(−1,2)或(1,−2)，
故选：D．
根据位似变换的性质、坐标与图形性质计算．
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
7.【答案】B
【解析】解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=90°−30°=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=12∠BAC=30°，
∴∠DAB=∠B，
∴AD=BD=7，
在Rt△ACB中，E是AD中点，
∴CE=12AD=3.5，
故选：B．
根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义∠DAB=∠B，求出AD，根据直角三角形的性质解答即可．
本题考查的是直角三角形的性质、角平分线的定义，熟知在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点A的横坐标为2，
∴点B的横坐标为−2．
∵由函数图象可知，当x>2或−2∴当y1>y2时，x的取值范围是x>2或−2故选：A．
根据反比例函数图象的特点得出B点横坐标，再利用函数图象可直接得出结论．
本题考查的是反比例函数与正比例函数的交点问题，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵2CE=DE，
∴CEDC=13，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD/​/AB，CD=AB，
∴△EFC∽△BFA，CEAB=CEDC=13，
∴S△CEFS△ABF=(CEAB)2=19，
∵S△CEF=1，
∴S△BAF=9，
∵△CEF∽△ABF，
∴EFBF=CEAB=13，
∴S△BFCS△FEC=BFFE=3，
∴S△BFC=3，
∴S△ABC=S△ABF+S△BFC=12，
∴▱ABCD的面积是24，
故选：C．
根据平行四边形的性质得△EFC∽△BFA，再由2CE=DE，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出△ABF的面积，由△BFC与△EFC等高，求出△BFC的面积，从而求出△ABC的面积，进而得出结果．
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形的面积计算等知识，利用高相等的两个三角形面积比等于底之比是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：由题意可得：AD/​/EB，则∠CFD=∠AFB=∠CBE，△CDF∽△CEB，
∵∠ABF=∠CEB=90°，∠AFB=∠CBE，
∴△CBE∽△AFB，
∴BEFB=BCAF=ECAB，
∵BC=2.6m，BE=1m，
∴EC=2.4(m)，
即1FB=2.6AF=2.41.3，
解得：FB=1324，AF=169120，
∵△CDF∽△CEB，
∴DFEB=CFCB，
即DF1=2.6−13242.6
解得：DF=1924，
故AD=AF+DF=1924+169120=2.2(m)，
答：此时点A离地面的距离为2.2m．
故选：A．
利用相似三角形的判定与性质进而求出DF，AF的长即可得出AD的长．
此题主要考查了相似三角形的应用，正确利用相似三角形的性质得出FD的长是解题关键．
11.【答案】x2−x=0
【解析】解：设方程的另一根为1，
则根据因式分解法可得方程为x(x−1)=0，
即x2−x=0；
本题答案不唯一．
故答案为：x2−x=0．
设方程的两根是0和1，因而方程是x(x−1)=0即x2−x=0，本题答案不唯一．
本题主要考查方程的根的定义，所写的方程只要把x=0代入成立即可．
12.【答案】0.90
【解析】解：由表格可知：任取一粒种子，在相同条件下，估计它能发芽的概率约为0.90，
故答案为：0.90．
根据表格信息，估算概率即可．
本题考查利用频率估算概率，通过表格信息，正确得出概率是解题的关键．
13.【答案】6
【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2−6x+2=0的两根，
∴x1+x2=−−61=6．
故答案为：6．
根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键．
14.【答案】4
【解析】解：∵点A、B是双曲线y=3x上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得：
∴S阴影+S1=3，S阴影+S2=3，
∴S1+S2=3+3−1×2=4．
故答案为：4．
15.【答案】803
【解析】解：∵四边形PNMQ为矩形，
∴BC//PQ，
∵AD⊥BC，
∴PQ⊥AD，
∴△APQ∽△ABC，
∴AHAD=PQBC，
∴AH80=40120，
∴AH=803(mm)．
根据矩形的对边平行得到BC//PQ，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边，得到的三角形与原三角形相似”判定即可．
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
16.【答案】192
【解析】解：这个直四棱柱的体积为：
42×12=16×12=192(cm3).
故答案为：192．
根据题意可知该直四棱柱的底面是一个边长为4cm的正方形，它的高为12cm，进而得出这个直四棱柱的体积．
本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够了解该几何体的形状，难度不大．
17.【答案】245
【解析】解：如图，连接EF、PD．
∵AB=AC=10，BC=16，AD是中线，
∴AD⊥BC，CD=BD=8，
∴AD= AB2−BD2= 102−82=6，
∵PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，
∴∠PED=∠PFD=∠EDF=90°，
∴四边形DEPF是矩形，
∴EF=PD，
∵当DP⊥AB时，DP的值最小，即EF的值最小，
此时12⋅AB⋅DP=12⋅AD⋅DB，
∴DP=245，
∴EF使得最小值为245．
故答案为：245．
如图，连接EF、PD.证明四边形DEPF是矩形，推出EF=DP，当DP⊥AB时，EF的值最小．
本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
18.【答案】2 15
【解析】解：∵正方形ABCD中，E为AD的中点，F为AB的中点，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AF=BF=AE=DE，
∴△ADF≌△DCE(SAS)，
∴∠AFD=∠CED，
∵∠ADF+∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠CED=90°，即CE⊥DH，
∵AF=BF，∠AFD=∠BFH，∠A=∠ABH=90°，
∴△AFD≌△BFH(ASA)，
∴BH=AD=BC，
∴点B为CH的中点，
在Rt△CGH中，BG是△CHG的中线，
∴BG=BH=BC，
∵CE⊥DH，即∠CGH=∠A=90°，∠H=∠ADF，
∴△ADF∽△GHC，
∴ADAF=GHGC，
∵CG=4 3，AF=12AD，
∴2AFAF=GH4 3，
∴GH=8 3，
∴CH= CG2+GH2= (4 3)2+(8 3)2=4 15，
∵BG=12CH，
∴BG=12×4 15=2 15，
故答案为：2 15．
根据正方形的性质可求出△ADF≌△DCE(SAS)，△AFD≌△BFH(ASA)，则有点B为CH的中点，BG是△CHG的中线，再证△ADF∽△GHC，根据三角形相似的性质可求出CH的长，由此即可求解．
本题主要考查正方形的性质，三角形的全等的判定和性质，三角形的相似的判定和性质，直角三角形的勾股定理，掌握正方形的性质，三角形全等，相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
19.【答案】解：(1)x2+2x−4=0，
x2+2x=4，
x2+2x+1=4+1，
(x+1)2=5，
x+1=± 5，
x1= 5−1，x2=− 5−1；
(2)3x(2x+1)=4x+2，
3x(2x+1)=2(2x+1)，
3x(2x+1)−2(2x+1)=0，
(3x−2)(2x+1)=0，
3x−2=0或2x+1=0，
x1=23，x2=−12．
【解析】(1)利用解一元二次方程−配方法，进行计算即可解答；
(2)利用解一元二次方程−因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−配方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20.【答案】10
【解析】解：(1)如图所示△OA1B1即为所求，
(2)△OA1B1的面积=4×6−12×2×4−12×2×4−12×6×2=10．
故答案为：10．
(1)根据位似图形的性质分别作出A，B的对应点A1，B1即可；
(2)根据割补法即可得到△OA1B1的面积．
本题考查了位似图形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质．．
21.【答案】14
【解析】解：(1)由题意知，共有4种等可能的结果，其中朋友小高选择大纵湖生态旅游度假区的结果有1种，
∴朋友小高选择大纵湖生态旅游度假区的概率是14．
故答案为：14．
(2)列表如下：
共有16种等可能的结果，其中他们选择相同景区的结果有4种，
∴他们选择相同景区的概率为416=14．
(1)由题意知，共有4种等可能的结果，其中朋友小高选择大纵湖生态旅游度假区的结果有1种，利用概率公式可得答案．
(2)列表可得出所有等可能的结果数以及他们选择相同景区的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵Δ=(−a)2−4(a−1)
=a2−4a+4
=(a−2)2≥0，
∴该方程总有两个实数根；
(2)解：x2−ax+a−1=0．
(x−1)[x−(a−1)]=0，
x−1=0或x−(a−1)=0，
∴x1=1，x2=a−1，
∵方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，
∴a为整数，a−1=2×1或1=2(a−1)，
解得a=3或a=32(舍去)，
∴a的值为3．
【解析】(1)计算根的判别式的值得到Δ=(a−2)2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
(2)利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=a−1，根据题意得a为整数，a−1=2×1或1=2(a−1)，然后解一次方程得到a的值．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，
∴OC=OA=12AC，AC⊥BD，
∵DE/​/AC，DE=12AC，
∴DE/​/OC，DE=OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵∠COD=90°，
∴四边形OCED是矩形．
(2)解：∵BD=4，AE=2 10，
∴OD=OB=12BD=2，
∴CE=OD=2，
∵∠ACE=90°，
∴AC= AE2−CE2= (2 10)2−22=6，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×6×4=12，
∴菱形ABCD的面积为12．
【解析】(1)由菱形的性质得OC=OA=12AC，AC⊥BD，而DE/​/AC，DE=12AC，所以DE//OC，DE=OC，而∠COD=90°，即可证明四边形OCED是矩形；
(2)由BD=4，得CE=OD=OB=2，则AC= AE2−CE2=6，求得S菱形ABCD=12AC⋅BD=12．
此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、菱形的面积公式等知识，推导出DE=OC是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设反比例函数的表达式为y=kx(20≤x≤45)，
由图知反比例函数过点C(20,15)，则代入表达式得15=k20，解得k=300，
∴反比例函数的表达式为y=300x；
当x=45时，y=30045=203，故A点对应的指标值203；
(2)由题意得x=10+15=25，
∴y=300x=30025=12，
答：当张老师讲完这道题时，学生的注意力指标值达到12．
【解析】(1)由题意，设出反比例函数表达式，将C(20,15)代入表达式求解即可得到表达式，将x=45代入求得的表达式即可得到A点对应的指标值；
(2)由(1)中得到的表达式，将x=10+15=25代入表达式即可得到答案．
本题考查反比例函数解应用题，涉及待定系数法确定函数关系式、已知自变量求函数值等知识，读懂题意，求出反比例函数表达式是解决问题的关键．
25.【答案】解：(1)设四、五月份销售量平均增长率为x，则128(1+x)2=200
解得x1=0.25=25%，x2=−2.25(舍去)
所以四、五月份销售量平均增长率为25%；
(2)设商品降价m元，则(40−m−25)(200+5m)=2250
解得m1=5，m2=−30(舍去)
所以商品降价5元时，商场获利2250元．
【解析】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
(1)由题意可得，3月份的销售量为：128件；设四、五月份销售量平均增长率为x，则4月份的销售量为：128(1+x)；5月份的销售量为：128(1+x)(1+x)，又知5月份的销售量为：200件，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；
(2)利用销量×每件商品的利润=2250求出即可．
26.【答案】解：∵∠DEF=∠DCB=90°，∠D=∠D，
∴△DEF∽△DCB
∴DEDC=EFCB，
∵DE=0.4m，EF=0.2m，CD=8m，
∴0.48=0.2BC，
∴CB=4(m)，
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5(米)．
答树高AB的值为5.5米．
【解析】利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的长后加上AC的长即可求得树高AB．
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
27.【答案】解：(1)把A(3,4)代入y=mx得：m=12，
∴反比例函数解析式为：y=12x，
把B(n−1,−6)代入y=12x得：−6=12n−1，
解得：n=−1，
∴B(−2,−6)，
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
把A(3,4)，B(−2,−6)代入得：4=3k+b−6=−2k+b，
解得：k=2b=−2，
∴直线AB的解析式为：y=2x−2；
(2)设直线AB与x轴于点D，则当y=0时，2x−2=0，
∴x=1，
∴D(1,0)，
∴S△AOB=12×1×4+12×1×6=5，
∴△AOB的面积为：5．
【解析】(1)把A(3,4)代入y=mx，可得出m的值，进而得出B的坐标，然后把A、B的坐标代入y=kx+b，即可利用待定系数法求得函数的解析式；
(2)求得D的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得B点的坐标是解题的关键．
28.【答案】证明：(1)由题意得：AE=2t，CD=4t，
∵DF⊥BC，
∴∠CFD=90°，
∵∠C=30°，
∴DF=12CD=12×4t=2t，
∴AE=DF；
∵DF⊥BC，
∴∠CFD=∠B=90°，
∴DF/​/AE，
∴四边形AEFD是平行四边形；
(2)四边形AEFD能够成为菱形，理由是：
由(1)得：AE=DF，
∵∠DFC=∠B=90°，
∴AE/​/DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
若▱AEFD为菱形，则AE=AD，
∵AC=100，CD=4t，
∴AD=100−4t，
∴2t=100−4t，
t=503，
∴当t=503时，四边形AEFD能够成为菱形；
(3)分三种情况：
①当∠EDF=90°时，如图3，
则四边形DFBE为矩形，
∴DF=BE=2t，
∵AB=12AC=50，AE=2t，
∴2t=50−2t，
t=252；
②当∠DEF=90°时，如图4，
∵四边形AEFD为平行四边形，
∴EF/​/AD，
∴∠ADE=∠DEF=90°，
在Rt△ADE中，∠A=60°，AE=2t，
∴AD=t，
∴AC=AD+CD，
则100=t+4t，
t=20；
③当∠DFE=90°不成立；
综上所述：当t为252或20时，△DEF为直角三角形．
【解析】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形、菱形、矩形的性质和判定，也是运动型问题，难度不大，是常出题型；首先要表示出两个动点在时间t时的路程，弄清动点的运动路径，再根据其运动所形成的特殊图形列式计算；同时，所构成的直角三角形因为直角顶点不确定，所以要分情况进行讨论．
(1)根据时间和速度表示出AE和CD的长，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出DF的长为4t，则AE=DF，再证明，AE/​/DF即可解决问题．
(2)根据(1)的结论可以证明四边形AEFD为平行四边形，如果四边形AEFD能够成为菱形，则必有邻边相等，则AE=AD，列方程求出即可；
(3)当△DEF为直角三角形时，有三种情况：
①当∠EDF=90°时，如图3，
②当∠DEF=90°时，如图4，
③当∠DFE=90°不成立；分别找一等量关系列方程可以求出t的值即可．种子个数n
100
200
400
600
800
1000
发芽种子个数m
94
179
361
541
752
901
发芽种子的频率mn(精确到0.001)
0.940
0.895
0.903
0.902
0.904
0.901
A
B
C
D
A
(A,A)
(A,B)
(A,C)
(A,D)
B
(B,A)
(B,B)
(B,C)
(B,D)
C
(C,A)
(C,B)
(C,C)
(C,D)
D
(D,A)
(D,B)
(D,C)
(D,D)