2024年辽宁省鞍山市中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2024年辽宁省鞍山市中考数学二模试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回之旅，月球距离地球的平均距离为384000千米，数据384000用科学记数法表示为( )
A. 384×103B. 3.84×105C. 38.4×104D. 0.384×106
3.下列运算正确的是( )
A. x2⋅x3=x6B. 5x−2x=3C. x6÷x2=x4D. (−2x2)3=−6x6
4.如图，直线a/​/b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°，若∠1=118°，则∠2的度数为( )
A. 28°
B. 38°
C. 26°
D. 30°
5.关于x的一元二次方程x2−3x+n=0没有实数根，则实数n的值可以为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
6.如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC上两点，若AD：DB=1：2，DE/​/BC，则△ADE与△ABC的周长之比是( )
A. 1：16
B. 1：9
C. 1：4
D. 1：3
7.小文根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的3×3的正方形飞镖盘，则飞镖落在阴影区域的概率为( )
A. 13
B. 49
C. 59
D. 23
8.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD=70°，∠ADC=40°，则∠AED的度数为( )
A. 110°
B. 115°
C. 120°
D. 105°
9.如图，在△ABC中，∠BAC=117°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′刚好落在BC边上，且AB′=CB′，则∠C的度数为( )
A. 19°
B. 20°
C. 21°
D. 22°
10.“夜骑自行车”慢慢成为上班族释放压力的时尚活动，某“夜骑”爱好者匀速骑行的过程中，骑行的距离ℎ(千米)与时间t(分)这两个变量之间的关系用图象大致可以表示为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：xy2+2xy+x=______．
12.“端午食粽”是节日习俗之一.甲、乙两人每小时共包35个粽子，甲包40个粽子所用的时间与乙包30个粽子所用的时间相等.若设甲每小时包x个粽子，则可列方程为______．
13.如图，在菱形ABCD中，分别以C、D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，作直线EF，直线EF恰好经过点A，与边CD交于点M，连接BM，若菱形ABCD的周长为16，则线段BM的长是______．
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A，B都在第一象限，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过A，B两点，AC⊥x轴交于点C，AC与OB交于点D，若ADCD=54，△ABD的面积为1，则k的值为______．
15.如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，且AE与BC边交于点E，BF⊥CD，垂足为F，连接EF，∠AEF=45°，BH平分∠EBF，BH与AE交于点H，若EF=7 2，BH=8 2，则平行四边形ABCD的面积为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算：
(1)−32−(5−7)×3+327÷2；
(2)x2−5x+3=0．
17.(本小题8分)
一种商品有大小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶；2大盒、3小盒共装76瓶．大盒与小盒每盒各装多少瓶？
18.(本小题8分)
快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，网店店主小张打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小张收集了10家网店店主对两家快递公司关于配送速度、服务质量的相关评价，并整理、描述、分析如下：
配送速度得分(满分10分)
甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9；
乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9．
配送速度和服务质量得分统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)n= ______，比较大小：s甲2 ______s乙2(填“>”“=”或“<”)；
(2)综合上表中的统计数据，你认为小张应选择哪家快递公司作为合作伙伴？请说明理由.(写出两条理由即可)
19.(本小题8分)
通过物理学知识知道：光从水射入空气时会产生折射现象，使得眼睛看到的水中物体的像比该物体的实际位置浅.小睿同学站在池塘边，看到池塘底有一块鹅卵石，他想知道鹅卵石的实际位置要比他看到的像深多少？小睿同学通过查阅相关资料及仪器测量数据来解决问题，并形成了具体研究方案如下：
请你根据上述信息解决以下问题：
求鹅卵石的像点G到其实际位置点C之间的距离.(结果精确到0.1m；参考数据：sin53°≈0.798，cs53°≈0.602，tan53°≈1.33)
20.(本小题8分)
某学习小组同学在数学活动课上研究函数y=mx+b(x>0)nx+b(x≤0)(m+n=0,b为常数且b≠0)的图象性质及应用，请你解答同学们在活动中提出的以下问题：
(1)若n−m=2，b=2，判断点(−1,1)是否在函数y=mx+b(x>0)nx+b(x≤0)图象上，并说明理由？
(2)函数y=mx+b(x>0)nx+b(x≤0)图象有最低点，请直接写出m与n的大小关系；
(3)在(2)的条件下，函数y=mx+b(x>0)nx+b(x≤0)图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若△ABC为等边三角形，且△ABC的面积为 3，求函数m，n，b的值．
21.(本小题8分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，BE为⊙O的直径，BE与AC交于点F，D为BE延长线上一点，连接CD，CE，AE，∠BAC+∠BCD=180°．
(1)求证：∠DCE=∠CBD；
(2)若AB=BC，tanD=43，⊙O半径为4，求BC长．
22.(本小题12分)
【基本图形】如图1，在△ACE中，∠ACE=90°，CE=AC，∠CBA=∠CDE=90°，且B，C，D三点在同一直线上，求证：△ABC≌△CDE．
【图形初探】如图2，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D为△ABC内部一点，连接AD，BD，CD，若AD= 2BD，∠ADB=135°，求证：CD=2BD．
【拓展探究】如图3，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D为△ABC外部一点，且∠CDB=90°，连接AD，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，DE边分别与AC，BC交于F，H两点，连接BE，BE与AC交于点G，若AD= 65，tan∠ADC=74，求△EFG的面积．
23.(本小题13分)
如图，二次函数y=ax2+bx+c(a<0)图象与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，顶点为P，PQ⊥x轴，垂足为Q，点C为PQ中点，则直线AC叫做二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的“截中线”．
已知，二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的“截中线”AC与二次函数y=ax2+bx+c(a<0)图象的另一个交点为D，连接PD，且顶点P在第一象限，b=−2a；
(1)当c=−3a时；
①若直线AC的解析式为y=x+1，求二次函数的解析式；
②求证：△PCD是等腰三角形；
(2)当c≠−3a时，连接AP，若△APD为直角三角形，且c≠a，求c与a之间的数量关系．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意；
D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
2.【答案】B
【解析】解：384000=3.84×105．
故选：B．
3.【答案】C
【解析】解：A、x2⋅x3=x5，原计算错误，不符合题意；
B、5x−2x=3x，原计算错误，不符合题意；
C、x6÷x2=x4，正确，符合题意；
D、(−2x2)3=−8x6，原计算错误，不符合题意．
故选：C．
4.【答案】A
【解析】解：如图，
∵a/​/b，∠1=118°，
∴∠BCE=∠1=118°，
∵∠DCB=90°，
∴∠2=∠BCE−∠DCB=28°．
故选：A．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意，得：(−3)2−4×1×n<0，
解得：n>94，
∴n的值可以是3，
故选：D．
6.【答案】D
【解析】解：∵ADDB=12，
∴ADAB=13
∵DE/​/BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD+DE+AEAB+BC+AC=ADAB=13，
即△ADE与△ABC的周长之比是13，
故选：D．
7.【答案】B
【解析】解：∵阴影部分的面积占总面积的49，
∴飞镖落在阴影区域的概率为49．
故选：B．
8.【答案】C
【解析】解：如图所示，连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ADC=40°，
∴∠BDC=50°，
又∵∠ABD=∠ACD=70°，
∴∠AED=∠ABD+∠BDC=120°，
故选：C．
9.【答案】C
【解析】解：∵AB′=CB′，
∴∠C=∠CAB′，
∴∠AB′B=∠C+∠CAB′=2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′，
∴∠C=∠C′，AB=AB′，
∴∠B=∠AB′B=2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB=180°，
∴3∠C=180°−117°，
∴∠C=21°，
∴∠C′=∠C=21°，
故选：C．
10.【答案】A
【解析】解：∵“夜骑”爱好者匀速骑行，
∴骑行的距离ℎ(千米)与时间t(分)成正比例，且ℎ随t的增大而增大，
∴选项A符合题意．
故选：A．
11.【答案】x(y+1)2
【解析】解：xy2+2xy+x，
=x(y2+2y+1)，
=x(y+1)2．
故答案为：x(y+1)2．
12.【答案】40x=3035−x
【解析】解：设甲每小时包x个粽子，乙每小时包(35−x)个粽子，
根据题意可得：40x=3035−x，
故答案为：40x=3035−x．
13.【答案】2 7
【解析】解：由作图得：AM垂直平分CD，
在菱形ABCD中，AB=AD=CD=14×16=4，AB/​/CD，
∴MD=2，AM⊥AB，
∴BM2−AB2=AD2−DM2，
即：BM2−42=42−22，
解得：BM=2 7，
故答案为：2 7．
14.【答案】365
【解析】解：由题意设点A(m,km)(m>0)，
∵AC⊥x轴交于点C，ADCD=54，则CDAC=49，ADAC=59，
∴C(m,0)，D(m,4k9m)，AD=5k9m，
设直线OD的解析式为：y=ax，则4k9m=am，得a=4k9m2，
∴直线OD的解析式为：y=4k9m2x，
联立y=4k9m2xy=kx，解得：x=32my=2k3m(负值舍去)，
∴点B的坐标为(32m,2k3m)，
则S△ABD=12AD⋅(xB−xD)=12×5k9m×(32m−m)=5k36=1，
∴k=365．
故答案为：365．
15.【答案】289
【解析】解：延长BH交EF于G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠DAB=∠C，
∴∠DAC=∠AEB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠EAB=∠AEB，
∴∠C=∠DAB=2∠AEB，AB=BE，
∵BH平分∠EBF，
∴∠EBF=2∠GBE=2∠FBG，
∵BF⊥CD，
∴∠BFC=90°，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴2∠GBE+2∠AEB=90°，
∴∠GBE+∠AEB=45°=∠GHE，
∵∠AEF=45°，
∴∠HGE=180°−45°−45°=90°，
∴BG⊥EF，
∵BH平分∠FBE，
∴EG=FG=12EF=7 22，
∵BH=8 2，
∴BG=BH+GH=BH+GE=8 2+7 22=23 22，
∴BE= BG2+GE2= (23 22)2+(7 22)2=17，
∴AB=17，BF=17，
∴平行四边形ABCD的面积=17×17=289．
故答案为：289．
16.【答案】解：(1)−32−(5−7)×3+327÷2
=−9+2×3+3÷2
=−32；
(2)x2−5x+3=0，
∵a=1，b=−5，c=3，
∴b2−4ac=(−5)2−4×1×3=13，
∴x=−(−5)± 132×1=5± 132，
∴x1=5+ 132，x2=5− 132．
【解析】(1)先计算乘方与立方根，再计算乘除法，然后计算加减法即可得；
(2)利用公式法解方程即可求解．
17.【答案】解：设大盒与小盒每盒分别装x瓶和y瓶．
依题意得：3x+4y=1082x+3y=76
解此方程组，得x=20y=12
答：大盒与小盒每盒分别装20瓶和12瓶．
【解析】设大盒与小盒每盒分别装x瓶和y瓶，根据等量关系：3大盒、4小盒共装108瓶；2大盒、3小盒共装76瓶，列出方程组求解即可．
18.【答案】9 <
【解析】解：(1)甲数据中9出现的次数最多，所以这组数据的众数为9，即n=9，
从折线统计图中可以看出，甲的服务质量得分分布于5−8，乙的服务质量得分分布于4−10，
从中可以看出甲的数据波动更小，数据更稳定，即s甲2故答案为：9，<．
(2)小张应选择甲公司，理由如下：
配送速度方面，甲乙两公司的平均分相同，中位数相同，但甲的众数高于乙公司，这说明甲在配送速度方面可能比乙公司表现的更好；
服务质量方面，二者的平均相同，但甲的方差明显小于乙，说甲的服务质量更稳定，因此应该选择甲公司．(答案不唯一，言之有理即可)．
19.【答案】解：过点G作GE⊥BN，垂足为E，

由题意得：EG=CN=BH=2m，BN=CH，BE=HG，
∵∠ABM=53°，
∴∠ABM=∠EBG=53°，
在Rt△EBG中，BE=EGtan53∘≈21.33≈1.50(m)，
∵sin∠ABMsin∠CBN=1.33，
∴sin∠CBN= sin∠ABM1.33=sin53°1.33≈，
在Rt△CBN中，BC=CNsin∠CBN=20.6=103(m)，
∴CH=BN= BC2−CN2= (103)2−22=83(m)，
∴CG=CH−HG=CH−BE=83−1.50≈1.2(m)，
∴鹅卵石的像点G到其实际位置点C之间的距离约为1.2m．
【解析】过点G作GE⊥BN，垂足为E，根据题意可得：EG=CN=BH=2m，BN=CH，BE=HG，再利用对顶角相等可得∠ABM=∠EBG=53°，然后在Rt△EBG中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，再根据已知易得：sin∠CBN=0.6，最后在Rt△CBN中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而利用勾股定理求出BN的长，进而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
20.【答案】解：(1)(−1,1)在函数图象上；
理由：∵m+n=0，n−m=2，b=2，
解得：m=−1，n=1，b=2，
当x=−1时，y=−1+2=1，
∴(−1,1)在函数图象上；
(2)∵m+n=0，
∴n=−m，
∴y=mx+b与y=−mx+b关于y轴对称，
∵函数y有最低点，
∴m≥0，
∴n≤0，
∴m≥n；
(3)∵△ABC为等边三角形，且△ABC的面积为 3，
∴12×AB2sin60°= 3，
解得：AB=2，
∴A(−1,0)，B(1,0)，C(0,− 3)，
当x=−1时，y=−n− 3=0，
解得：n=− 3，
∴m= 3，b=− 3．
【解析】(1)根据图象和点的坐标之间的关系求解；
(2)根据函数的对称性求解；
(3)根据等边三角形的面积公式求解．
21.【答案】(1)证明：连接OA，OC，如图：

∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∠BAC+∠BCD=180°，∠BCD=∠ACB+∠ACD，
∴∠ABC=∠ACD，
∵∠AOC=2∠ABC，OA=OC，
∴∠ACO=∠OAC=90°−∠ABC，
∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=90°−∠ABC+∠ABC=90°，
∴CD为⊙O的切线，
由弦切角定理可知，∠DCE=∠CBD；
(2)解：∵AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∴∠BAO=∠BCO，
又∵OA=OC，
∴△AOB≌△COB(SAS)，
∴∠ABO=∠CBO，
∴BF为∠ABC的平分线，
∴BE⊥AC，AF=CF，∠COF=∠ABC，
∵∠D+∠COD=90°，
∴tan∠COD=1tanD=34，
∵OC=4，
∴OF=165，CF=125，
∴BF=OB+OF=365，
∴BC= CF2+BF2=12 105．
【解析】(1)根据三角形内角和定理和已知两角的关系，得出∠ACD=∠ABC，然后根据圆周角和圆心角的关系，得出∠AOC和∠ABC的关系，再根据三角形内角和定理求出∠ACO的大小，从而可以得出OC⊥CD，所以CD是切线，再根据弦切角定理证明即可；
(2)根据AB=AC，以及OA=OC，可以得出△AOB和△COB全等，从而证出BF为角平分线，再根据等腰三角形的三线合一，得出BF⊥AC，再根据互余两角三角函数的关系求出∠COF的正切，然后根据OC=4，得出CF和OF的长，从而求出BF的长，根据勾股定理求出BC的长即可．
22.【答案】【基本图形】证明：∵∠ACE=90°，∠ACB+∠ACE+∠DCE=180°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，
又∵∠DCE+∠CED=90°，∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED，
∵AC=CE，
∴△ACB≌△CED(ASA)；
【图形初探】证明：将BD逆时针旋转90°得到BE，连接AE，DE，如图：

∴△BDE为等腰直角三角形，
∴∠DEB=∠BDE=45°，DE= 2BD，
∵∠ADB=135°，
∴∠ADE=90°，
∵AD= 2BD，
∴AD=DE，
∴△ADE也是等腰直角三角形，
∴∠AED=45°，AE= 2AD=2BD，
∴∠AEB=90°，
∵∠ABC=90°=∠EBD，
∴∠ABE=∠CBD，
又∵AB=BC，BE=BD，
∴△ABE≌△CBD(SAS)，
∴CD=AE=2BD；
【拓展研究】解：过点A作AM⊥与BD与M，如图：

∵∠CDB=90°，
∴CD//AM，
∴∠DAM=∠ADC，
∵AD= 65，tan∠ADC=74，
∴AM=4，DM=7，
∵∠ABC=90°，AB=BC，
由【基础图形】可知，△BCD≌△ABM，
∴BD=4，CD=BM=3，
∴AB=BC= AM2+BM2=5，
∵四边形ABCE为平行四边形，
∴DE=AB=5，AE=BD=4，
在△BCD中，由等积变换可得：DH=BD⋅CDBC=125，
∴CH= CD2−DH2=95，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠FCH=45°，
∴三角形CFH为等腰直角三角形，
∴FH=CH=95，CF=95 2，
∴EF=DE−DH−FH=45，AF=AC−CF=165 2，
∵EF//AB，
∴FGAG=EFAB=425，
∴S△EFG：S△ABG=16：625，AG=2529AF=8029 2，
∴AGAC=1629，
∴S△ABG=1629S△ABC=1629×252=20029，
∴S△EFG=16625×20029=128725．
【解析】【基本图形】根据平角的定义以及三角形内角和定理，求出△ABC和△DCE内角相等，再根据AC和CD相等求证全等即可；
【图形初探】将BD逆时针旋转90°得到BE，连接AE，DE，根据旋转的性质，得出△BDE是等腰直角三角形，然后根据∠ADB的度数，以及AD和BD的关系，得出△ADE也是等腰直角三角形，再根据旋转的性质得出∠ABE和∠DBC相等，即可证明△BCD和△BAE全等，将CD的长度转化为AE的长度，从而得证；
【拓展探究】过A作AM⊥与BD与M，根据锐角三角函数的定义求出AM和DM，然后根据【基本图形】的结论得出△BCD和△ABM全等，从而求出BD，BM，再根据平行四边形的性质得出DE的长，在△BCD内等积变换，求出DH的长，再根据△CFH也是等腰直角三角形求出FH的长，最终求得EF的长，根据平行线分线段成比例，求出AG的长，以及△EFG和△ABG的关系，根据等高三角形面积之比等于底边之比，求出△ABD的面积，从而求得△EFG的面积．
23.【答案】(1)①解：∵b=−2a，c=−3a，
∴y=ax2−2ax−3a=a(x−3)(x+1)，
∴A(−1,0)，P(1,−4a)，
∴C(1,−2a)，
∴−2a=1+1，
∴a=−1，
∴y=−x2+2a+3；
②证明：∵P(1,4)，C(1,2)，
∴PC=2，
联立直线AC和抛物线解析式：y=−x2+2x+3y=x+1，
解得：x=2或−1(舍去)，
∴D(2,3)，
∴PD= 2，CD= 2，
∴PD=CD，PD2+CD2=PC2，
∴△PCD为等腰直角三角形．
(2)解：∵b=−2a，
∴P(1,c−a)，
∴C(1,c−a2)，抛物线解析式为：y=ax2−2ax+c，
令y=0，解得x=1± a2−aca，
∴A(1− a2−aca,0)，
∴kAP=− a2−ac，kAC=− a2−ac2，
∴直线AC的解析式为：y=− a2−ac2(x−1+ a2−aca)=− a2−ac2x+ a2−ac2−a−c2，
联立直线AC与抛物线解析式：y=ax2−2ax+cy=− a2−ac2x+ a2−ac2−a−c2，
解得：x=1+ a2−ac2a，
∴D(1+ a2−ac2a,34(c−a))，
∴AP2=a−ca+(c−a)2，AD2=9(a−c)4a+916(c−a)2，DP2=a−c4a+116(c−a)2，
①当AP⊥DP时，AP2+DP2=AD2，
即：a−ca+(c−a)2+a−c4a+116(c−a)2=9(a−c)4a+916(c−a)2，
整理得：−1a=12(c−a)，
∴c=a−2a；
②当AD⊥DP时，AD2+DP2=AP2，
即：9(a−c)4a+916(c−a)2+a−c4a+116(c−a)2=a−ca+(c−a)2，
整理得：−1a=14(c−a)，
∴c=a−4a；
综上所述，c=a−2a或a−4a．
【解析】(1)①根据a，b，c的关系，得出P和C的横坐标，从而表示出C的纵坐标，代入直线AC的表达式，求得a的值，即可求解；
②根据直线AC的表达式和抛物线表达式求出D点坐标，根据等腰直角三角形的判定证明即可；
(2)用a，c分别求出A和P的坐标，然后可以求出C的坐标，从而求得AC的表达式，联立抛物线解析式，求得D的坐标，根据勾股定理分情况讨论求出a和c的关系即可．快递公司统计量
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
众数
平均数
方差
甲
7.9
8
n
7
s甲2
乙
7.9
8
8
7
s乙2
问题
鹅卵石的像到其实际位置的距离
工具
纸、笔、计算器、测角仪等
图形
说明
如图，鹅卵石在池底点C处，其像在点C正上方点G处，MN⊥NC于点N，MN⊥BH于点B，CH⊥BH于点H，点G在CH上，A，B，G三点共线，通过查阅资料获得sin∠ABMsin∠CBN=1.33．
数据
BH=2m，∠ABM=53°