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2023-2024学年四川省成都市高新区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年四川省成都市高新区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图案中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若aA. −2a<−2bB. a2>b2C. a−b>0D. 3a−1<3b−1
3.下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. a(a−1)=a2−aB. a2−4=(a−2)2
C. x2+x+14=(x+12)2D. a2−b2+3=(a−b)(a+b)+3
4.如图，在△ABC中，BC=15，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E.若△BCE的周长等于35，则线段AC的长为( )
A. 15
B. 17.5
C. 20
D. 25
5.化简分式1a−1−1a(a−1)，正确的结果是( )
A. 1a−1B. 1aC. aa−1D. a−1a
6.在平面直角坐标系中，把点A(m,2)先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点B.若点B的横、纵坐标相等，则m的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 7
7.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AD=BC，AB=DC
B. AD//BC，AB=DC
C. OA=OC，OB=OD
D. AO=CO，AB//DC
8.如图，△ABC中，∠ACB=75°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转一定角度得到△EDC.若点D恰好落在AB边上，且AD=CD，则∠E的度数为( )
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 35°
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
9.分解因式：2ab+4a= ______．
10.如果分式2x−3x+2的值为0，那么x的值是______．
11.数学实践活动中，为了测量校园内一建筑物底部A，B两点之间的距离，如图，小明同学在A，B两点外选择一点C，分别定出线段AC，BC中点D，E，测得D，E两点之间的距离为8m，则A，B两点之间的距离是______m.
12.如图，直线y=−2x+2与直线y=kx+b(k、b为常数，k≠0)相交于点A(m,4)，则关于x的不等式−2x+213.如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，则线段EF的长为______．
三、解答题（共98分）
14.(1)解不等式组：5x−1<3(x+1)2x−13−5x+12<1；
(2)解方程：1x−2+3=x−1x−2．
15.若两数的平方差能被整数m整除，则将这两数称为“幸运m倍数组合”.如：证明两个连续偶数是“幸运4倍数组合”，设较小的偶数为2n(n为整数)，则较大的偶数为2n+2，因为(2n+2)2−(2n)2=8n+4，8n+44=2n+1，2n+1为整数，所以，两个连续偶数是“幸运4倍数组合”．
你认为两个连续奇数是“幸运8倍数组合”吗？为什么？
16.如图，在平面直角坐标系中xOy，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,3)，B(−1,1)，C(−2,2)．
(1)画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A1B1C1；
(2)在y轴上取点P，使△ABP的面积是△ABC面积的32倍，求点P的坐标．
17.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转α°(0<α<180)得到△ADE点B的对应点为D，射线CB与射线DE交于点F，连接AF．
(1)求证：BF=DF；
(2)若AB=2BC=4，AE//CF，求线段BF长．
18.【基础巩固】
(1)如图1，在△ABC中，D是BC中点，AD平分∠BAC，求证：AB=AC．
【深入探究】
(2)如图2，在△ABD中，∠ADB>90°，点C在线段BD的延长线上，且BD=DC.在射线DA上取点E，若AB=CE，请写出∠BAD与∠CED的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
(3)如图3，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知AC=4，BC=5，∠ACB=30°，点E在边BC上，连接EO，EO的延长线交AD于点F，点G在对角线AC上，若FG=AE，且△AEO的面积是△GOF面积的2倍，求线段BE的长．
19.化简：(1−2a−1)÷a2−6a+9a−1= ______．
20.某兴趣小组在用边长相同的正多边形纸板铺平面图形时，将两块正方形纸板和一块正三角形纸板绕点O如图放置.若将一块正多边形纸板恰好无空隙、不重叠的拼在∠AOB处，则这块正多边形纸板的边数是______．
21.关于x的不等式组x−3>0x−2m<1无解，则m的取值范围是______．
22.如图，△ABC中，∠BAC=70°，延长BC至点D，使CD=CA，连接AD，过点C作AD的垂线，交∠ABC的平分线于点E，则∠CDE的度数为______．
23.在平面直角坐标系中，已知线段AB的两端点分别为A(−1,1)，B(−3,3)，将线段AB沿直线y=x+b翻折得到线段A1B1(点A的对应点为A1)，再将线段A1B1向右平移1个单位，向上平移5个单位得到线段A2B2(点A1的对应点为A2)，此时的线段A2B2可看作是由线段AB绕点P旋转得到(点A的对应点为A2)，则△ABP周长的最小值为______．
24.2024年汤尤杯比赛于4月27日至5月5日在成都高新体育中心举行.作为世界羽毛球界的重要赛事，它的周边产品(如熊猫挂件)深受球迷喜爱.已知每件A型熊猫挂件比每件B型熊猫挂件多15元，用1200元购买的A型熊猫挂件与900元购买的B型熊猫挂件数量相同．
(1)每件A型熊猫挂件与每件B型熊猫挂件的售价是多少元？
(2)若某球迷决定用不超过2000元购买A，B两种型号的熊猫挂件共40件，则最多购买A型熊猫挂件多少件？
25.如图，已知直线l1：y=−2x+3与x轴，y轴分别交于A，B两点，过点A的直线l2与y轴负半轴交于点C，且OA：OC=1：3．
(1)求直线l2的函数表达式；
(2)点D在x轴负半轴上，在直线l2上是否存在点E，使以A，B，D，E为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)直线l3：y=kx+k与y轴正半轴交于点F，与直线l2交于点P，若∠FPA=45°，求k的值．
26.已知△ABC为等边三角形，点D是边AC上一动点，连结BD，将△BCD沿BD翻折，点C的对应点为E．
(1)如图1，若BE⊥BC，CD=2，求线段BE的长；
(2)如图2，连结AE，若DE所在直线与BC垂直，求AECD的值；
(3)如图3，过点A的直线l//BC，射线DE与直线l交于点F.若AB=6，EF=1，求线段CD的长．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D的图形均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形；
选项B的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】D
【解析】解：A.∵a∴−2a>−2b，
故本选项不符合题意；
B.∵a=−5，b=6，
∴a2故本选项不符合题意；
C.∵a∴a−b<0，
故本选项不符合题意；
D.∵a∴3a<3b，
∴3a−1<3b−1，
故本选项符合题意；
故选：D．
根据不等式的性质逐一判断即可．
本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：a(a−1)=a2−a，是乘法运算，则A不符合题意；
a2−4≠(a−2)2，则B不符合题意；
x2+x+14=(x+12)2，符合因式分解的定义，则C符合题意；
a2−b2+3=(a−b)(a+b)+3，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，则D不符合题意；
故选：C．
将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此进行判断即可．
本题考查因式分解的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵DE是边AB的垂直平分线，
∴AE=BE．
∴△BCE的周长=BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=35．
又∵BC=15，
∴AC=35−15=20．
故选：C．
根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据△BCE的周长等于35，BC=15，即可求出AC的长．
本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：原式=aa(a−1)−1a(a−1)=a−1a(a−1)=1a．
故选：B．
首先把两个分式进行通分，然后进行减法计算即可．
本题考查了分式的减法计算，正确通分，约分是关键．
6.【答案】A
【解析】解：将点A(m,2)先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点B，
所以点B的坐标为(m+3,4)，
因为点B的横纵坐标相等，
所以m+3=4，
解得m=1．
故选：A．
根据平移时点的坐标变化规律，得出点B的坐标，再根据点B的横纵坐标相等，建立关于m的方程即可解决问题．
本题主要考查了坐标与图形变化−平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据一组对边平行，另一组对边相等的四边形不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形根据一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
D、∵AB//DC，
∴∠BAO=∠BCO，
∵∠AOB=∠COD，AO=CO，
∴△AOB≌△COD(ASA)，
∴OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：B．
利用平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
8.【答案】D
【解析】解：∵AD=CD，
∴∠A=∠ACD，
∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠A，
∵△ABC绕点C顺时针方向旋转一定角度得到△EDC，
∴∠E=∠A，CD=CB，
∴∠B=∠CDB=2∠A，
∵∠B+∠A+∠ACB=180°，
∴2∠A+∠A+75°=180°，
解得∠A=35°，
∴∠E=35°．
故选：D．
先利用等腰三角形的性质得到∠A=∠ACD，则由三角形外角性质得到∠CDB=2∠A，接着根据旋转的性质得到∠E=∠A，CD=CB，则∠B=∠CDB=2∠A，根据三角形内角和定理得到2∠A+∠A+75°=180°，然后求出∠A的度数，从而得到∠D的度数．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．
9.【答案】2a(b+2)．
【解析】解：原式=2a(b+2)，
故答案为：2a(b+2)．
利用提公因式法因式分解即可．
本题考查提公因式法因式分解，找到正确的公因式是解题的关键．
10.【答案】32
【解析】解：由题可知，
2x−3=0且x+2≠0，
解得x=32．
故答案为：32．
根据分子为零且分母不为零的条件进行解题即可．
本题考查分式的值为零的条件，熟练掌握分子为零且分母不为零的条件是解题的关键．
11.【答案】16
【解析】解：∵点D，E分别为线段AC，BC中点
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=2×8=16(m)，
故答案为：16．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
12.【答案】x>−1
【解析】解：∵直线y=−2x+2与直线y=kx+b(k、b为常数，k≠0)相交于点A(m,4)，
∴4=−2m+2，
∴m=−1，
∴当x>−1时，−2x+2∴不等式−2x+2−1，
故答案为：x>−1．
先求出m的值，结合图象，可求解．
本题考查一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
13.【答案】4
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DFC=∠FCB，
又CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠FCB，
∴∠DFC=∠DCF，
∴DF=DC，
同理可证：AE=AB，
∵AB=6，AD=BC=8，
∴2AB−BC=AE+FD−BC=EF=4．
故答案为：4．
根据平行四边形的性质可知∠DFC=∠FCB，又因为CF平分∠BCD，所以∠DCF=∠FCB，则∠DFC=∠DCF，则DF=DC，同理可证AE=AB，那么EF就可表示为AE+FD−BC=2AB−BC，继而可得出答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握．
14.【答案】解：(1)解第一个不等式得：x<2，
解第二个不等式得：x>−1，
故原不等式组的解集为−1(2)原方程去分母得：1+3x−6=x−1，
解得：x=2，
检验：当x=2时，x−2=0，
则x=2是分式方程的增根，
故原方程无解．
【解析】(1)解各不等式后即可求得不等式组的解集；
(2)利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
本题考查解一元一次不等式组即分式方程，熟练掌握解不等式组及方程的方法是解题的关键．
15.【答案】解：两个连续奇数是“幸运8倍数组合”，理由如下：
设较小的奇数为2n−1(n为整数)，则较大的奇数为2n+1，
∵(2n+1)2−(2n−1)2=8n，8n8=n，n为整数，
∴两个连续奇数是“幸运8倍数组合”．
【解析】设较小的奇数为2n−1(n为整数)，则较大的奇数为2n+1，由题意列式计算后即可得出结论．
本题考查平方差公式，数的整除，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
16.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)△ABC的面积为12×(1+2)×3−12×1×1−12×2×2=92−12−2=2．
设点P的坐标为(0,m)，
∵△ABP的面积是△ABC面积的32倍，
∴12|m−2|×1+12|m−2|×1=32×2，
解得m=5或−1，
∴点P的坐标为(0,5)或(0,−1)．
【解析】(1)根据旋转的性质作图即可．
(2)利用割补法求得△ABC的面积为2，设点P的坐标为(0,m)，根据题意可列方程为12|m−2|×1+12|m−2|×1=32×2，求出m的值，即可得出答案．
本题考查作图−旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
17.【答案】(1)证明：∵将△ABC绕点A逆时针旋转α°(0<α<180)得到△ADE，
∴AB=AD，∠ADE=∠ABC=∠ABF=90°，
在Rt△ABF与Rt△ADF中，
AF=AFAB=AD，
∴Rt△ABF≌Rt△ADF(HL)，
∴BF=DF；
(2)解：将△ABC绕点A逆时针旋转α°(0<α<180)得到△ADE，
∴AB=AD=4，DE=BC=2，AE=AC，∠ADE=∠ABC=∠ABF=90°，
∴AC= AB2+BC2=2 5，
∵AB=AD，∠ADE=∠ABF=90°，
∴∠AFB=∠AFD，
∵AE//CF，
∴∠AFB=∠EAF，
∴∠AFE=∠EAF，
∴AE=EF=2 5，
∴DF=DE+EF=2 5+2，
∴BF=2 5+2．
【解析】(1)根据旋转的性质得到AB=AD，∠ADE=∠ABC=∠ABF=90°，根据全等三角形的判定和性质定理得到结论；
(2)根据旋转的性质得到AB=AD=4，DE=BC=2，AE=AC，∠ADE=∠ABC=∠ABF=90°，根据勾股定理得到AC= AB2+BC2=2 5，求得∠AFB=∠AFD，得到∠AFE=∠EAF，根据等腰三角形的性质得到AE=EF=2 5，得到DF=DE+EF=2 5+2，于是得到BF=2 5+2．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
18.【答案】(1)证明：如图，延长AD至E，使DE=AD，连接CE，
∵点D是BC中点，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中，
AD=DE∠ADB=∠EDCBD=CD，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴AB=CE，∠BAD=∠E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠E，
∴AC=CE，
∴AC=AB；
(2)解：结论：∠BAD=∠CED，理由如下：
如图2，延长ED至F，使DF=DE，连接BF，
∵点D是BC中点，
∴BD=CD，
在△BDF和△CDE中，
BD=CD∠BDF=∠CDEDF=DE，
∴△BDF≌△CDE(SAS)，
∴BF=CE，
∵AB=CE，
∴AB=BF，
∴∠BAD=∠CED；
(3)如图3，连接AE，CF，过点F作FH⊥AC于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD//BC，
∴∠FAO=∠ECO，
在△AFO和△CEO中，
∠FAO=∠ECOOA=OC∠AOF=∠COE，
∴△AFO≌△CEO(ASA)，
∴OE=OF，AF=CE，
∴S△AOE=S△AOF，
∵△AEO的面积是△GOF面积的2倍，即S△AOE=2S△GOF，
∴S△AOF=2S△GOF，
∴OA=2OG，
∴OC=2OG=12AC=12×4=2，
∴OG=1，CG=1，
在△AOE和△COF中，
OA=OC∠AOE=∠COFOE=OF，
∴△AOE≌△COF(SAS)，
∴AE=CF，
∵FG=AE，
∴CF=FG，
∵FH⊥AC，
∴GH=CH=12CG=12，
∴AH=AC−CH=4−12=72，
∵AD//BC，∠ACB=30°，
∴∠CAD=∠ACB=30°，
∴FH=12AF，
在Rt△AFH中，AH2+FH2=AF2，
∴(72)2+(12AF)2=AF2，
∴AF=7 33，
∴CE=7 33，
∴BE=BC−CE=5−7 33，
∴线段BE的长为5−7 33．
【解析】(1)延长AD使DE=AD，由“SAS”可证△ABD≌△ECD，可得AB=CE，∠BAD=∠E，由角平分线的性质可得∠BAD=∠CAD=∠E，可得AC=CE=AB．
(2)延长ED至F，使DF=DE，连接BF，可证得△BDF≌△CDE(SAS)，得出BF=CE，推出AB=BF，再利用等腰三角形性质即可得出答案；
(3)连接AE，CF，过点F作FH⊥AC于H，可证得△AFO≌△CEO(ASA)，得出OE=OF，AF=CE，推出S△AOE=S△AOF，结合题意得出S△AOF=2S△GOF，
OA=2OG，OG=CG=1，再证得△AOE≌△COF(SAS)，得出AE=CF，推出CF=FG，运用等腰三角形性质可得：GH=CH=12CG=12，AH=AC−CH=4−12=72，再运用勾股定理即可求得答案．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
19.【答案】1a−3
【解析】解：原式=a−1−2a−1⋅a−1(a−3)2
=a−3a−1⋅a−1(a−3)2
=1a−3．
故答案为：1a−3．
先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
本题考查了分式的混合运算：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
20.【答案】6
【解析】解：∵正三角形、正方边的内角分别为60°、90°，
∴∠AOB=360°−90°−90°−60°=120°，
∴这块正多边形纸板的边数是：360180−120=6．
故答案为：6．
正多边形的组合进行平面镶嵌，关键是位于同一顶点处的几个角之和为360°.从而可得∠AOB=120°，计算正多边形的外角=180°−120°=60°，由此可得边数．
本题考查了平面密铺的知识，属于基础题，解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，关键是看位于同一顶点处的几个角之和为360°．
21.【答案】m≤1
【解析】解：由x−3>0得：x>3，
由x−2m<1得：x<1+2m，
∵不等式组无解，
∴1+2m≤3，
解得m≤1，
故答案为：m≤1．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到，结合不等式组的解集可得关于m的不等式，解之即可得出答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22.【答案】55°
【解析】解：过E作EH⊥BC于H，作EG⊥AC于G，EM⊥BA于M，连接AE，
∵BE平分∠ABC，
∴EM=EH，
∵AC=DC，CE⊥AD，
∴CE平分∠ACD，CE平分AD，
∴EG=EH，CE是AD的垂直平分线，
∴EM=EG，AE=DE，
又∵EG⊥AC，EM⊥BA，
∴AE平分∠CAM，
∴∠CAE=12∠CAM，
∵∠BAC=70°，
∴∠CAE=12∠CAM=12(180°−∠BAC)=55°，
∵AC=DC，AE=DE，
∴∠CAD=∠CDA，∠EAD=∠EDA，
∴∠CAD+∠EAD=∠CDA+∠EDA，即∠EAC=∠CDE，
∴∠CDE=55°，
故答案为：55°．
过E作EH⊥BC于H，作EG⊥AC于G，EM⊥BA于M，连接AE，证明∠EAC=∠CDE，即可得出结果．
本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质等，掌握角平分线的性质是解题的关键．
23.【答案】2 2+ 26
【解析】解：∵A(−1,1)，B(−3,3)，
∴AB= [−3−(−1)]2+(3−1)2=2 2，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A(−1,1)，B(−3,3)代入，
−k+b=1−3k+b=1，
解得：k=−1b=0，
∴直线AB的解析式为y=−x，
则y=−xy=x+b，
解得：x=−b2y=b2，
∵点A的对应点为A1，
设A1(m,n)，
则有m−12=−b2，n+12=b2，
∴m=−b+1，n=b−1，
∴A1(−b+1,b−1)，
由平移规律知，A2(−b+2,b+4)，
设点P(x,y)，
则x=−b−2+12=−b+12，y=b+4+12=b+52，
∴P(−b+12,b+52)，
∴PA= (−b+12+1)2+(b+52−1)2，PB= (−b+12+3)2+(b+52−3)2，
∴△ABP的周长为AB+PA+PB=2 2+ (−b+12+1)2+(b+52−1)2+ (−b+12+3)2+(b+52−3)2≥2 2+2 (−b+12)2+(b+52−1)2⋅ (−b+12+3)2+(b+52−3)2，
而 (−b+12+1)2+(b+52−1)2= (−b+12+3)2+(b+52−3)2，
解得：b=2，
∴当b=2时，△ABP的周长最小值为2 2+2 264× 264=2 2+ 26．
故答案为：2 2+ 26．
先求出直线AB的解析式，再求出直线AB与y=x+b的交点，进一步得出A1(−b+1,b−1)，由平移规律知，A2(−b+2,b+4)，设点P(x,y)，求出点P的坐标，再求出PA、PB的长度，最后求出答案．
本题主要考查一次函数的性质、坐标与图形变化等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设每件B型熊猫挂件的售价是x元，则每件A型熊猫挂件的售价是(x+15)元，
根据题意得：1200x+15=900x，
解得：x=45，
经检验，x=45是所列方程的解，且符合题意，
∴x+15=45+15=60．
答：每件A型熊猫挂件的售价是60元，每件B型熊猫挂件的售价是45元；
(2)设购买y件A型熊猫挂件，则购买(40−y)件B型熊猫挂件，
根据题意得：60y+45(40−y)≤2000，
解得：y≤403，
又∵y为正整数，
∴y的最大值为13．
答：最多购买A型熊猫挂件13件．
【解析】(1)设每件B型熊猫挂件的售价是x元，则每件A型熊猫挂件的售价是(x+15)元，利用数量=总价÷单价，结合用1200元购买的A型熊猫挂件与900元购买的B型熊猫挂件数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值(即每件B型熊猫挂件的售价)，再将其代入(x+15)中，即可求出每件A型熊猫挂件的售价；
(2)购买y件A型熊猫挂件，则购买(40−y)件B型熊猫挂件，利用总价=单价×数量，结合总价不超过2000元，可列出关于y的一元一次不等式，解之可得出y的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】解：(1)y=−2x+3与x轴，y轴分别交于A，B两点，则点A、B的坐标分别为：(32,0)、(0,3)，
∵OA：OC=1：3，则CO=−92，即点C(0,−92)，
设直线l2的表达式为：y=kx−92，
将点A的坐标代入上式得：0=32k−92，则k=3，
则直线l2的表达式为：y=3x−92；
(2)设点D(x,0)、点E(m,3m−4.5)，
当AB为对角线时，
由中点坐标公式得：3=3m−4.5，则m=2.5，
即点E(2.5,3)；
当AD或AE为对角线时，
同理可得：0=3m−4.5+3或3m−4.5=3，
解得：m=2.5或0.5，
即点E(2.5,3)或(0.5,0)；
综上，E(2.5,3)或(0.5,0)；
(3)设点P(n,3n−4.5)、点M(m,3m−4.5)，
设直线PF交x轴于点T(−1,0)，
过点T作TM⊥PF交AC于点M，则△PMT为等腰直角三角形，则TP=TM，
过点T作GN//y轴，交过点P和x轴的平行线于点G，交过点M和x轴的平行线于点N，
∵∠GTP+∠MTN=90°，∠MTN+∠TMN=90°，
∴∠GTP=∠TMN，
∴△GTP≌△TMN(AAS)，
则GP=TN且GT=MN，
则n+1=4.5−3m且m+1=3n−4.5，
解得：n=2，则点P(2,1.5)，
将点P的坐标代入y=kx+k得：1.5=2k+k，
解得：k=0.5．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)当AB为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当AD或AE为对角线时，同理可解；
(3)证明△GTP≌△TMN(AAS)，则GP=TN且GT=MN，即可求解．
本题考查了一次函数综合运用，涉及到三角形全等、平行四边形的性质等，分类求解是解题的关键．
26.【答案】解：(1)如图，过D作DH⊥BC于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠ABC=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∴∠HDC=30°，
∴CH=12CD=1，
∴DH= CD2−CH2= 3，
∵翻折，
∴BE=BC，∠EBD=∠CBD，
∵BE⊥BC，
∴∠EBD=∠CBD=45°，
∴∠BDH=45°=∠DBC，
∴BH=DH= 3，
∴BE=BC=BD+CD= 3+1；
(2)如图，延长ED交BC于M，在AC取点F，使AF=EF，
∵DE⊥BC，
∴∠CDM=30°，
∵翻折，
∴∠BDC=∠BDE，∠EBD=∠CBD，
∵∠BDC−∠CDM+∠BDE=180°，
∴∠BDC=∠BDE=105°，
∴∠EBD=∠CBD=180°−∠BDC−∠C=15°，
∴∠CAE=30°=12∠ABC=∠ABE，
∵AB=BC，
∴BE⊥AC，即∠ANE=90°，
∵AB=BC=BE，∠ABE=30°，
∴∠BAE=∠AEB=12(180°−∠ABE)=75°，
∴∠BAC=60°，
∴∠NAE=∠BAE−∠BAC=15°，
∵AF=EF，
∴∠FEA=∠FAE=15°，
∴∠EFN=30°，
设NE=x，
∴AF=EF=2x，
∴NF= 3x，
∴AE= AN2+NE2= (2x+ 3x)2+x2=( 2+ 6)x，
∵∠NDE=∠CDM=30°，
∴DE=CD=2x，
∴AECD= 2+ 62；
(3)当F在A的右侧时，如图，过D作DG⊥l于G，过B作BH⊥l于H，BN⊥AD于N，BM⊥DE于M，连接BF，
∵翻折，
∴∠BDC=∠BDE，BC=BE=AB，∠C=∠BED=60°，CD=DE，
又∵∠CDM=∠EDN，
∴∠BDM=∠BDN，
∴BM=BN，
∵l//BC，
∴∠HAB=∠ABC=60°=∠BAC，∠CAF=∠C=60°，
又∵BH⊥l，BN⊥AD，
∴BH=BN，
∴BH=BM，
∴BF平分∠AFE，
∴∠AFB=∠EFB，
∵∠CAF=60°，∠BAC=60°，∠BED=60°，
∴∠BAF=∠BAC+∠CAF=120°，∠BEF=180°−∠BED=120°，
∴∠BAF=∠BEF，
又∵BF=BF，
∴△ABF≌△EBF(AAS)，
∴AF=EF=1，
设CD=x，则DE=x，AD=6−x，
∵DG⊥AG，∠CAF=60°，
∴∠ADG=30°，
∴AG=12AD=3−12x，
∴FG=AG−AF=2−12x，
在Rt△ADG中，DG2=AD2−AG2=(6−x)2−(3−12x)2，
在Rt△FD中，DG2=FD2−FG2=(x+1)2−(2−12x)2，
∴(6−x)2−(3−12x)2=(x+1)2−(2−12x)2，
解得x=3013，
∴CD=3013，
当F在A的左侧时，如图，过D作DG⊥l于G，过B作BH⊥l于H，BN⊥AD于N，BM⊥DE于M，连接BF，
同理可证BF平分∠HFM，
∴∠HFB=∠MFB，
又∵∠EFH=∠AFM，
∴∠BFE=∠BFA，
又∵∠BEF=∠BAF=60°，BF=BF，
∴△ABF≌△EBF(AAS)，
∴AF=EF=1，
设CD=x，则DE=x，AD=6−x，
∵DG⊥AG，∠CAF=60°，
∴∠ADG=30°，
∴AG=12AD=3−12x，
∴FG=AG+AF=4−12x，
在Rt△ADG中，DG2=AD2−AG2=(6−x)2−(3−12x)2，
在Rt△FDG中，DG2=FD2−FG2=(x−1)2−(4−12x)2，
∴(6−x)2−(3−12x)2=(x−1)2−(4−12x)2，
解得x=4211，
∴CD=4211；
综上，CD的长为3013或4211．
【解析】(1)过D作DH⊥BC于H，利用含30°的直角三角形的性质、勾股定理等求出CH，DH，利用翻折的性质以及三角形内角和定理可求出∠BDH=∠DBC=45°，利用等角对等边可求出BH，即可求解；
(2)延长ED交BC于M，在AC取点F，使AF=EF，利用翻折的性质可求出∠BDC=∠BDE=105° 105°，利用三角形内角和定理求出∠EBD=∠CBD=15°15°，利用等腰三角形三线合一性质得出BE⊥AC，利用等边对等角和三角形内角和定理求出∠BAE=∠AEB=75°，进而求出∠NAE=15°，利用等边对等角和三角形外角的性质求出∠EFN=30°，设NE=x，利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理求出AF=EF=2x，NF= 3x，利用勾股定理求出AE=( 2+ 6)x，利用含30°的直角三角形的性质DE=CD=2x，即可求解；
(3)分点F在A的右侧和左侧两种情况讨论，利用角平分线的性质与判定可证BF平分∠AFE，然后利用AAS可证△ABF≌△EBF，得出AF=EF=1，在Rt△ADG、Rt△FDG中，利用勾股定理可得出DG2=AD2−AG2=FD2−FG2，代入数据即可求解．
本题考查了相似型的综合应用，主要考查等边三角形的性质，折叠的性质，角平分线的判定与性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，正确分类讨论是解题的关键．
1.下列图案中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若a
3.下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. a(a−1)=a2−aB. a2−4=(a−2)2
C. x2+x+14=(x+12)2D. a2−b2+3=(a−b)(a+b)+3
4.如图，在△ABC中，BC=15，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E.若△BCE的周长等于35，则线段AC的长为( )
A. 15
B. 17.5
C. 20
D. 25
5.化简分式1a−1−1a(a−1)，正确的结果是( )
A. 1a−1B. 1aC. aa−1D. a−1a
6.在平面直角坐标系中，把点A(m,2)先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点B.若点B的横、纵坐标相等，则m的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 7
7.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AD=BC，AB=DC
B. AD//BC，AB=DC
C. OA=OC，OB=OD
D. AO=CO，AB//DC
8.如图，△ABC中，∠ACB=75°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转一定角度得到△EDC.若点D恰好落在AB边上，且AD=CD，则∠E的度数为( )
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 35°
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
9.分解因式：2ab+4a= ______．
10.如果分式2x−3x+2的值为0，那么x的值是______．
11.数学实践活动中，为了测量校园内一建筑物底部A，B两点之间的距离，如图，小明同学在A，B两点外选择一点C，分别定出线段AC，BC中点D，E，测得D，E两点之间的距离为8m，则A，B两点之间的距离是______m.
12.如图，直线y=−2x+2与直线y=kx+b(k、b为常数，k≠0)相交于点A(m,4)，则关于x的不等式−2x+2
三、解答题（共98分）
14.(1)解不等式组：5x−1<3(x+1)2x−13−5x+12<1；
(2)解方程：1x−2+3=x−1x−2．
15.若两数的平方差能被整数m整除，则将这两数称为“幸运m倍数组合”.如：证明两个连续偶数是“幸运4倍数组合”，设较小的偶数为2n(n为整数)，则较大的偶数为2n+2，因为(2n+2)2−(2n)2=8n+4，8n+44=2n+1，2n+1为整数，所以，两个连续偶数是“幸运4倍数组合”．
你认为两个连续奇数是“幸运8倍数组合”吗？为什么？
16.如图，在平面直角坐标系中xOy，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,3)，B(−1,1)，C(−2,2)．
(1)画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A1B1C1；
(2)在y轴上取点P，使△ABP的面积是△ABC面积的32倍，求点P的坐标．
17.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转α°(0<α<180)得到△ADE点B的对应点为D，射线CB与射线DE交于点F，连接AF．
(1)求证：BF=DF；
(2)若AB=2BC=4，AE//CF，求线段BF长．
18.【基础巩固】
(1)如图1，在△ABC中，D是BC中点，AD平分∠BAC，求证：AB=AC．
【深入探究】
(2)如图2，在△ABD中，∠ADB>90°，点C在线段BD的延长线上，且BD=DC.在射线DA上取点E，若AB=CE，请写出∠BAD与∠CED的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
(3)如图3，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知AC=4，BC=5，∠ACB=30°，点E在边BC上，连接EO，EO的延长线交AD于点F，点G在对角线AC上，若FG=AE，且△AEO的面积是△GOF面积的2倍，求线段BE的长．
19.化简：(1−2a−1)÷a2−6a+9a−1= ______．
20.某兴趣小组在用边长相同的正多边形纸板铺平面图形时，将两块正方形纸板和一块正三角形纸板绕点O如图放置.若将一块正多边形纸板恰好无空隙、不重叠的拼在∠AOB处，则这块正多边形纸板的边数是______．
21.关于x的不等式组x−3>0x−2m<1无解，则m的取值范围是______．
22.如图，△ABC中，∠BAC=70°，延长BC至点D，使CD=CA，连接AD，过点C作AD的垂线，交∠ABC的平分线于点E，则∠CDE的度数为______．
23.在平面直角坐标系中，已知线段AB的两端点分别为A(−1,1)，B(−3,3)，将线段AB沿直线y=x+b翻折得到线段A1B1(点A的对应点为A1)，再将线段A1B1向右平移1个单位，向上平移5个单位得到线段A2B2(点A1的对应点为A2)，此时的线段A2B2可看作是由线段AB绕点P旋转得到(点A的对应点为A2)，则△ABP周长的最小值为______．
24.2024年汤尤杯比赛于4月27日至5月5日在成都高新体育中心举行.作为世界羽毛球界的重要赛事，它的周边产品(如熊猫挂件)深受球迷喜爱.已知每件A型熊猫挂件比每件B型熊猫挂件多15元，用1200元购买的A型熊猫挂件与900元购买的B型熊猫挂件数量相同．
(1)每件A型熊猫挂件与每件B型熊猫挂件的售价是多少元？
(2)若某球迷决定用不超过2000元购买A，B两种型号的熊猫挂件共40件，则最多购买A型熊猫挂件多少件？
25.如图，已知直线l1：y=−2x+3与x轴，y轴分别交于A，B两点，过点A的直线l2与y轴负半轴交于点C，且OA：OC=1：3．
(1)求直线l2的函数表达式；
(2)点D在x轴负半轴上，在直线l2上是否存在点E，使以A，B，D，E为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)直线l3：y=kx+k与y轴正半轴交于点F，与直线l2交于点P，若∠FPA=45°，求k的值．
26.已知△ABC为等边三角形，点D是边AC上一动点，连结BD，将△BCD沿BD翻折，点C的对应点为E．
(1)如图1，若BE⊥BC，CD=2，求线段BE的长；
(2)如图2，连结AE，若DE所在直线与BC垂直，求AECD的值；
(3)如图3，过点A的直线l//BC，射线DE与直线l交于点F.若AB=6，EF=1，求线段CD的长．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D的图形均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形；
选项B的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】D
【解析】解：A.∵a
故本选项不符合题意；
B.∵a=−5，b=6，
∴a2
C.∵a
故本选项不符合题意；
D.∵a
∴3a−1<3b−1，
故本选项符合题意；
故选：D．
根据不等式的性质逐一判断即可．
本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：a(a−1)=a2−a，是乘法运算，则A不符合题意；
a2−4≠(a−2)2，则B不符合题意；
x2+x+14=(x+12)2，符合因式分解的定义，则C符合题意；
a2−b2+3=(a−b)(a+b)+3，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，则D不符合题意；
故选：C．
将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此进行判断即可．
本题考查因式分解的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵DE是边AB的垂直平分线，
∴AE=BE．
∴△BCE的周长=BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=35．
又∵BC=15，
∴AC=35−15=20．
故选：C．
根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据△BCE的周长等于35，BC=15，即可求出AC的长．
本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：原式=aa(a−1)−1a(a−1)=a−1a(a−1)=1a．
故选：B．
首先把两个分式进行通分，然后进行减法计算即可．
本题考查了分式的减法计算，正确通分，约分是关键．
6.【答案】A
【解析】解：将点A(m,2)先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点B，
所以点B的坐标为(m+3,4)，
因为点B的横纵坐标相等，
所以m+3=4，
解得m=1．
故选：A．
根据平移时点的坐标变化规律，得出点B的坐标，再根据点B的横纵坐标相等，建立关于m的方程即可解决问题．
本题主要考查了坐标与图形变化−平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据一组对边平行，另一组对边相等的四边形不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形根据一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
D、∵AB//DC，
∴∠BAO=∠BCO，
∵∠AOB=∠COD，AO=CO，
∴△AOB≌△COD(ASA)，
∴OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：B．
利用平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
8.【答案】D
【解析】解：∵AD=CD，
∴∠A=∠ACD，
∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠A，
∵△ABC绕点C顺时针方向旋转一定角度得到△EDC，
∴∠E=∠A，CD=CB，
∴∠B=∠CDB=2∠A，
∵∠B+∠A+∠ACB=180°，
∴2∠A+∠A+75°=180°，
解得∠A=35°，
∴∠E=35°．
故选：D．
先利用等腰三角形的性质得到∠A=∠ACD，则由三角形外角性质得到∠CDB=2∠A，接着根据旋转的性质得到∠E=∠A，CD=CB，则∠B=∠CDB=2∠A，根据三角形内角和定理得到2∠A+∠A+75°=180°，然后求出∠A的度数，从而得到∠D的度数．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．
9.【答案】2a(b+2)．
【解析】解：原式=2a(b+2)，
故答案为：2a(b+2)．
利用提公因式法因式分解即可．
本题考查提公因式法因式分解，找到正确的公因式是解题的关键．
10.【答案】32
【解析】解：由题可知，
2x−3=0且x+2≠0，
解得x=32．
故答案为：32．
根据分子为零且分母不为零的条件进行解题即可．
本题考查分式的值为零的条件，熟练掌握分子为零且分母不为零的条件是解题的关键．
11.【答案】16
【解析】解：∵点D，E分别为线段AC，BC中点
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=2×8=16(m)，
故答案为：16．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
12.【答案】x>−1
【解析】解：∵直线y=−2x+2与直线y=kx+b(k、b为常数，k≠0)相交于点A(m,4)，
∴4=−2m+2，
∴m=−1，
∴当x>−1时，−2x+2
故答案为：x>−1．
先求出m的值，结合图象，可求解．
本题考查一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
13.【答案】4
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DFC=∠FCB，
又CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠FCB，
∴∠DFC=∠DCF，
∴DF=DC，
同理可证：AE=AB，
∵AB=6，AD=BC=8，
∴2AB−BC=AE+FD−BC=EF=4．
故答案为：4．
根据平行四边形的性质可知∠DFC=∠FCB，又因为CF平分∠BCD，所以∠DCF=∠FCB，则∠DFC=∠DCF，则DF=DC，同理可证AE=AB，那么EF就可表示为AE+FD−BC=2AB−BC，继而可得出答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握．
14.【答案】解：(1)解第一个不等式得：x<2，
解第二个不等式得：x>−1，
故原不等式组的解集为−1
解得：x=2，
检验：当x=2时，x−2=0，
则x=2是分式方程的增根，
故原方程无解．
【解析】(1)解各不等式后即可求得不等式组的解集；
(2)利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
本题考查解一元一次不等式组即分式方程，熟练掌握解不等式组及方程的方法是解题的关键．
15.【答案】解：两个连续奇数是“幸运8倍数组合”，理由如下：
设较小的奇数为2n−1(n为整数)，则较大的奇数为2n+1，
∵(2n+1)2−(2n−1)2=8n，8n8=n，n为整数，
∴两个连续奇数是“幸运8倍数组合”．
【解析】设较小的奇数为2n−1(n为整数)，则较大的奇数为2n+1，由题意列式计算后即可得出结论．
本题考查平方差公式，数的整除，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
16.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)△ABC的面积为12×(1+2)×3−12×1×1−12×2×2=92−12−2=2．
设点P的坐标为(0,m)，
∵△ABP的面积是△ABC面积的32倍，
∴12|m−2|×1+12|m−2|×1=32×2，
解得m=5或−1，
∴点P的坐标为(0,5)或(0,−1)．
【解析】(1)根据旋转的性质作图即可．
(2)利用割补法求得△ABC的面积为2，设点P的坐标为(0,m)，根据题意可列方程为12|m−2|×1+12|m−2|×1=32×2，求出m的值，即可得出答案．
本题考查作图−旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
17.【答案】(1)证明：∵将△ABC绕点A逆时针旋转α°(0<α<180)得到△ADE，
∴AB=AD，∠ADE=∠ABC=∠ABF=90°，
在Rt△ABF与Rt△ADF中，
AF=AFAB=AD，
∴Rt△ABF≌Rt△ADF(HL)，
∴BF=DF；
(2)解：将△ABC绕点A逆时针旋转α°(0<α<180)得到△ADE，
∴AB=AD=4，DE=BC=2，AE=AC，∠ADE=∠ABC=∠ABF=90°，
∴AC= AB2+BC2=2 5，
∵AB=AD，∠ADE=∠ABF=90°，
∴∠AFB=∠AFD，
∵AE//CF，
∴∠AFB=∠EAF，
∴∠AFE=∠EAF，
∴AE=EF=2 5，
∴DF=DE+EF=2 5+2，
∴BF=2 5+2．
【解析】(1)根据旋转的性质得到AB=AD，∠ADE=∠ABC=∠ABF=90°，根据全等三角形的判定和性质定理得到结论；
(2)根据旋转的性质得到AB=AD=4，DE=BC=2，AE=AC，∠ADE=∠ABC=∠ABF=90°，根据勾股定理得到AC= AB2+BC2=2 5，求得∠AFB=∠AFD，得到∠AFE=∠EAF，根据等腰三角形的性质得到AE=EF=2 5，得到DF=DE+EF=2 5+2，于是得到BF=2 5+2．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
18.【答案】(1)证明：如图，延长AD至E，使DE=AD，连接CE，
∵点D是BC中点，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中，
AD=DE∠ADB=∠EDCBD=CD，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴AB=CE，∠BAD=∠E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠E，
∴AC=CE，
∴AC=AB；
(2)解：结论：∠BAD=∠CED，理由如下：
如图2，延长ED至F，使DF=DE，连接BF，
∵点D是BC中点，
∴BD=CD，
在△BDF和△CDE中，
BD=CD∠BDF=∠CDEDF=DE，
∴△BDF≌△CDE(SAS)，
∴BF=CE，
∵AB=CE，
∴AB=BF，
∴∠BAD=∠CED；
(3)如图3，连接AE，CF，过点F作FH⊥AC于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD//BC，
∴∠FAO=∠ECO，
在△AFO和△CEO中，
∠FAO=∠ECOOA=OC∠AOF=∠COE，
∴△AFO≌△CEO(ASA)，
∴OE=OF，AF=CE，
∴S△AOE=S△AOF，
∵△AEO的面积是△GOF面积的2倍，即S△AOE=2S△GOF，
∴S△AOF=2S△GOF，
∴OA=2OG，
∴OC=2OG=12AC=12×4=2，
∴OG=1，CG=1，
在△AOE和△COF中，
OA=OC∠AOE=∠COFOE=OF，
∴△AOE≌△COF(SAS)，
∴AE=CF，
∵FG=AE，
∴CF=FG，
∵FH⊥AC，
∴GH=CH=12CG=12，
∴AH=AC−CH=4−12=72，
∵AD//BC，∠ACB=30°，
∴∠CAD=∠ACB=30°，
∴FH=12AF，
在Rt△AFH中，AH2+FH2=AF2，
∴(72)2+(12AF)2=AF2，
∴AF=7 33，
∴CE=7 33，
∴BE=BC−CE=5−7 33，
∴线段BE的长为5−7 33．
【解析】(1)延长AD使DE=AD，由“SAS”可证△ABD≌△ECD，可得AB=CE，∠BAD=∠E，由角平分线的性质可得∠BAD=∠CAD=∠E，可得AC=CE=AB．
(2)延长ED至F，使DF=DE，连接BF，可证得△BDF≌△CDE(SAS)，得出BF=CE，推出AB=BF，再利用等腰三角形性质即可得出答案；
(3)连接AE，CF，过点F作FH⊥AC于H，可证得△AFO≌△CEO(ASA)，得出OE=OF，AF=CE，推出S△AOE=S△AOF，结合题意得出S△AOF=2S△GOF，
OA=2OG，OG=CG=1，再证得△AOE≌△COF(SAS)，得出AE=CF，推出CF=FG，运用等腰三角形性质可得：GH=CH=12CG=12，AH=AC−CH=4−12=72，再运用勾股定理即可求得答案．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
19.【答案】1a−3
【解析】解：原式=a−1−2a−1⋅a−1(a−3)2
=a−3a−1⋅a−1(a−3)2
=1a−3．
故答案为：1a−3．
先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
本题考查了分式的混合运算：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
20.【答案】6
【解析】解：∵正三角形、正方边的内角分别为60°、90°，
∴∠AOB=360°−90°−90°−60°=120°，
∴这块正多边形纸板的边数是：360180−120=6．
故答案为：6．
正多边形的组合进行平面镶嵌，关键是位于同一顶点处的几个角之和为360°.从而可得∠AOB=120°，计算正多边形的外角=180°−120°=60°，由此可得边数．
本题考查了平面密铺的知识，属于基础题，解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，关键是看位于同一顶点处的几个角之和为360°．
21.【答案】m≤1
【解析】解：由x−3>0得：x>3，
由x−2m<1得：x<1+2m，
∵不等式组无解，
∴1+2m≤3，
解得m≤1，
故答案为：m≤1．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到，结合不等式组的解集可得关于m的不等式，解之即可得出答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22.【答案】55°
【解析】解：过E作EH⊥BC于H，作EG⊥AC于G，EM⊥BA于M，连接AE，
∵BE平分∠ABC，
∴EM=EH，
∵AC=DC，CE⊥AD，
∴CE平分∠ACD，CE平分AD，
∴EG=EH，CE是AD的垂直平分线，
∴EM=EG，AE=DE，
又∵EG⊥AC，EM⊥BA，
∴AE平分∠CAM，
∴∠CAE=12∠CAM，
∵∠BAC=70°，
∴∠CAE=12∠CAM=12(180°−∠BAC)=55°，
∵AC=DC，AE=DE，
∴∠CAD=∠CDA，∠EAD=∠EDA，
∴∠CAD+∠EAD=∠CDA+∠EDA，即∠EAC=∠CDE，
∴∠CDE=55°，
故答案为：55°．
过E作EH⊥BC于H，作EG⊥AC于G，EM⊥BA于M，连接AE，证明∠EAC=∠CDE，即可得出结果．
本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质等，掌握角平分线的性质是解题的关键．
23.【答案】2 2+ 26
【解析】解：∵A(−1,1)，B(−3,3)，
∴AB= [−3−(−1)]2+(3−1)2=2 2，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A(−1,1)，B(−3,3)代入，
−k+b=1−3k+b=1，
解得：k=−1b=0，
∴直线AB的解析式为y=−x，
则y=−xy=x+b，
解得：x=−b2y=b2，
∵点A的对应点为A1，
设A1(m,n)，
则有m−12=−b2，n+12=b2，
∴m=−b+1，n=b−1，
∴A1(−b+1,b−1)，
由平移规律知，A2(−b+2,b+4)，
设点P(x,y)，
则x=−b−2+12=−b+12，y=b+4+12=b+52，
∴P(−b+12,b+52)，
∴PA= (−b+12+1)2+(b+52−1)2，PB= (−b+12+3)2+(b+52−3)2，
∴△ABP的周长为AB+PA+PB=2 2+ (−b+12+1)2+(b+52−1)2+ (−b+12+3)2+(b+52−3)2≥2 2+2 (−b+12)2+(b+52−1)2⋅ (−b+12+3)2+(b+52−3)2，
而 (−b+12+1)2+(b+52−1)2= (−b+12+3)2+(b+52−3)2，
解得：b=2，
∴当b=2时，△ABP的周长最小值为2 2+2 264× 264=2 2+ 26．
故答案为：2 2+ 26．
先求出直线AB的解析式，再求出直线AB与y=x+b的交点，进一步得出A1(−b+1,b−1)，由平移规律知，A2(−b+2,b+4)，设点P(x,y)，求出点P的坐标，再求出PA、PB的长度，最后求出答案．
本题主要考查一次函数的性质、坐标与图形变化等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设每件B型熊猫挂件的售价是x元，则每件A型熊猫挂件的售价是(x+15)元，
根据题意得：1200x+15=900x，
解得：x=45，
经检验，x=45是所列方程的解，且符合题意，
∴x+15=45+15=60．
答：每件A型熊猫挂件的售价是60元，每件B型熊猫挂件的售价是45元；
(2)设购买y件A型熊猫挂件，则购买(40−y)件B型熊猫挂件，
根据题意得：60y+45(40−y)≤2000，
解得：y≤403，
又∵y为正整数，
∴y的最大值为13．
答：最多购买A型熊猫挂件13件．
【解析】(1)设每件B型熊猫挂件的售价是x元，则每件A型熊猫挂件的售价是(x+15)元，利用数量=总价÷单价，结合用1200元购买的A型熊猫挂件与900元购买的B型熊猫挂件数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值(即每件B型熊猫挂件的售价)，再将其代入(x+15)中，即可求出每件A型熊猫挂件的售价；
(2)购买y件A型熊猫挂件，则购买(40−y)件B型熊猫挂件，利用总价=单价×数量，结合总价不超过2000元，可列出关于y的一元一次不等式，解之可得出y的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】解：(1)y=−2x+3与x轴，y轴分别交于A，B两点，则点A、B的坐标分别为：(32,0)、(0,3)，
∵OA：OC=1：3，则CO=−92，即点C(0,−92)，
设直线l2的表达式为：y=kx−92，
将点A的坐标代入上式得：0=32k−92，则k=3，
则直线l2的表达式为：y=3x−92；
(2)设点D(x,0)、点E(m,3m−4.5)，
当AB为对角线时，
由中点坐标公式得：3=3m−4.5，则m=2.5，
即点E(2.5,3)；
当AD或AE为对角线时，
同理可得：0=3m−4.5+3或3m−4.5=3，
解得：m=2.5或0.5，
即点E(2.5,3)或(0.5,0)；
综上，E(2.5,3)或(0.5,0)；
(3)设点P(n,3n−4.5)、点M(m,3m−4.5)，
设直线PF交x轴于点T(−1,0)，
过点T作TM⊥PF交AC于点M，则△PMT为等腰直角三角形，则TP=TM，
过点T作GN//y轴，交过点P和x轴的平行线于点G，交过点M和x轴的平行线于点N，
∵∠GTP+∠MTN=90°，∠MTN+∠TMN=90°，
∴∠GTP=∠TMN，
∴△GTP≌△TMN(AAS)，
则GP=TN且GT=MN，
则n+1=4.5−3m且m+1=3n−4.5，
解得：n=2，则点P(2,1.5)，
将点P的坐标代入y=kx+k得：1.5=2k+k，
解得：k=0.5．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)当AB为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当AD或AE为对角线时，同理可解；
(3)证明△GTP≌△TMN(AAS)，则GP=TN且GT=MN，即可求解．
本题考查了一次函数综合运用，涉及到三角形全等、平行四边形的性质等，分类求解是解题的关键．
26.【答案】解：(1)如图，过D作DH⊥BC于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠ABC=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∴∠HDC=30°，
∴CH=12CD=1，
∴DH= CD2−CH2= 3，
∵翻折，
∴BE=BC，∠EBD=∠CBD，
∵BE⊥BC，
∴∠EBD=∠CBD=45°，
∴∠BDH=45°=∠DBC，
∴BH=DH= 3，
∴BE=BC=BD+CD= 3+1；
(2)如图，延长ED交BC于M，在AC取点F，使AF=EF，
∵DE⊥BC，
∴∠CDM=30°，
∵翻折，
∴∠BDC=∠BDE，∠EBD=∠CBD，
∵∠BDC−∠CDM+∠BDE=180°，
∴∠BDC=∠BDE=105°，
∴∠EBD=∠CBD=180°−∠BDC−∠C=15°，
∴∠CAE=30°=12∠ABC=∠ABE，
∵AB=BC，
∴BE⊥AC，即∠ANE=90°，
∵AB=BC=BE，∠ABE=30°，
∴∠BAE=∠AEB=12(180°−∠ABE)=75°，
∴∠BAC=60°，
∴∠NAE=∠BAE−∠BAC=15°，
∵AF=EF，
∴∠FEA=∠FAE=15°，
∴∠EFN=30°，
设NE=x，
∴AF=EF=2x，
∴NF= 3x，
∴AE= AN2+NE2= (2x+ 3x)2+x2=( 2+ 6)x，
∵∠NDE=∠CDM=30°，
∴DE=CD=2x，
∴AECD= 2+ 62；
(3)当F在A的右侧时，如图，过D作DG⊥l于G，过B作BH⊥l于H，BN⊥AD于N，BM⊥DE于M，连接BF，
∵翻折，
∴∠BDC=∠BDE，BC=BE=AB，∠C=∠BED=60°，CD=DE，
又∵∠CDM=∠EDN，
∴∠BDM=∠BDN，
∴BM=BN，
∵l//BC，
∴∠HAB=∠ABC=60°=∠BAC，∠CAF=∠C=60°，
又∵BH⊥l，BN⊥AD，
∴BH=BN，
∴BH=BM，
∴BF平分∠AFE，
∴∠AFB=∠EFB，
∵∠CAF=60°，∠BAC=60°，∠BED=60°，
∴∠BAF=∠BAC+∠CAF=120°，∠BEF=180°−∠BED=120°，
∴∠BAF=∠BEF，
又∵BF=BF，
∴△ABF≌△EBF(AAS)，
∴AF=EF=1，
设CD=x，则DE=x，AD=6−x，
∵DG⊥AG，∠CAF=60°，
∴∠ADG=30°，
∴AG=12AD=3−12x，
∴FG=AG−AF=2−12x，
在Rt△ADG中，DG2=AD2−AG2=(6−x)2−(3−12x)2，
在Rt△FD中，DG2=FD2−FG2=(x+1)2−(2−12x)2，
∴(6−x)2−(3−12x)2=(x+1)2−(2−12x)2，
解得x=3013，
∴CD=3013，
当F在A的左侧时，如图，过D作DG⊥l于G，过B作BH⊥l于H，BN⊥AD于N，BM⊥DE于M，连接BF，
同理可证BF平分∠HFM，
∴∠HFB=∠MFB，
又∵∠EFH=∠AFM，
∴∠BFE=∠BFA，
又∵∠BEF=∠BAF=60°，BF=BF，
∴△ABF≌△EBF(AAS)，
∴AF=EF=1，
设CD=x，则DE=x，AD=6−x，
∵DG⊥AG，∠CAF=60°，
∴∠ADG=30°，
∴AG=12AD=3−12x，
∴FG=AG+AF=4−12x，
在Rt△ADG中，DG2=AD2−AG2=(6−x)2−(3−12x)2，
在Rt△FDG中，DG2=FD2−FG2=(x−1)2−(4−12x)2，
∴(6−x)2−(3−12x)2=(x−1)2−(4−12x)2，
解得x=4211，
∴CD=4211；
综上，CD的长为3013或4211．
【解析】(1)过D作DH⊥BC于H，利用含30°的直角三角形的性质、勾股定理等求出CH，DH，利用翻折的性质以及三角形内角和定理可求出∠BDH=∠DBC=45°，利用等角对等边可求出BH，即可求解；
(2)延长ED交BC于M，在AC取点F，使AF=EF，利用翻折的性质可求出∠BDC=∠BDE=105° 105°，利用三角形内角和定理求出∠EBD=∠CBD=15°15°，利用等腰三角形三线合一性质得出BE⊥AC，利用等边对等角和三角形内角和定理求出∠BAE=∠AEB=75°，进而求出∠NAE=15°，利用等边对等角和三角形外角的性质求出∠EFN=30°，设NE=x，利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理求出AF=EF=2x，NF= 3x，利用勾股定理求出AE=( 2+ 6)x，利用含30°的直角三角形的性质DE=CD=2x，即可求解；
(3)分点F在A的右侧和左侧两种情况讨论，利用角平分线的性质与判定可证BF平分∠AFE，然后利用AAS可证△ABF≌△EBF，得出AF=EF=1，在Rt△ADG、Rt△FDG中，利用勾股定理可得出DG2=AD2−AG2=FD2−FG2，代入数据即可求解．
本题考查了相似型的综合应用，主要考查等边三角形的性质，折叠的性质，角平分线的判定与性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，正确分类讨论是解题的关键．
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