2024年内蒙古包头市青山区二机一中中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2024年内蒙古包头市青山区二机一中中考数学三模试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列4个数中，最小的数是( )
A. −(−2)B. |−2|C. (−2)0D. (−2)−1
2.下列计算正确的是( )
A. a2⋅a3=a5B. (−a2)3=a6C. a2+a2=2a4D. a3÷a2=1
3.下面几何体都是由6个大小相同的小正方体组成的，其中主视图和左视图相同的几何体是( )
A. B.
C. D.
4.一个含30°的直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1=20°，则∠2的度数为( )
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 50°
5.如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′/​/AB，则∠BAB′的度数是( )
A. 35°B. 40°C. 50°D. 70°
6.如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且OD/​/BC，若∠BAC=α，则∠BAD的度数可以表示为( )
A. 2α
B. 90°−α
C. 45°−α2
D. 45°+α2
7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=−2x2+bx+c经过平移后得到抛物线y2，则抛物线y2的表达式为( )
A. y=−2x2−4x
B. y=−2x2−4x+1
C. y=−2x2+4x
D. y=−2x2+4x+1
8.如图，在△ABC中，CA=CB，AB=4，点D是AB的中点，分别以点A、B、C为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AC、BC于点E、F、G、H，若点E、F是线段AC的三等分点时，图中阴影部分的面积为( )
A. 8 2−2π
B. 16 2−4π
C. 8 2−4π
D. 16 2−2π
9.黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法.其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形.若CF=4a，则AB=( )
A. ( 5−1)aB. (2 5−2)aC. ( 5+1)aD. (2 5+2)a
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
10.分解因式：x2y−y3=______．
11.若实数m，n是一元二次方程x2−2x−5=0的两个根，且m12.如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上.若OA：AA′=1：2，则△ABC与△A′B′C′的周长之比为______．
13.如图，在正方形ABCD中，分别以点A，B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE，则∠CDE= ______°.
14.如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB=30°，∠OCB=45°，BA⊥y轴于点A，CB⊥OB于点B，若AB=1，反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象恰好经过点C，则k的值为______．
15.如图，四边形ABCD是正方形，以BC为底边向正方形外部作等腰直角三角形BCE，连接AE，分别交BD，BC于点F，G.则下列结论：①△AFB∽△ABE；②△ADF∽△GCE；③CG=3BG；④AF=EF，其中正确的有______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
(1)化简：(2−x−1x+2)÷x2+10x+25x2−4；
(2)解不等式组：2x+7>3x+13>x−12．
17.(本小题8分)
为“提升青少年科学素养，夯实科技强国之基”，某初中分别在七、八、九年级中随机抽取5%的学生加科学竞赛.同时对全体学生“是否愿意利用课余时间参加科学讲座”这一问题进行调查．
【收集数据】
本次竞赛满分10分，已收集到三个年级参加竞赛同学的成绩数据与三个年级全体学生的问卷调查数据．
【整理数据】
a.图1为七、八年级学生科学竞赛成绩折线统计图；
b.九年级学生科学竞赛成绩数据为：8，8，5，10，9，7，9，8．
【分析数据】
图表为七、八、九年级所抽取学生参加科学竞赛成绩的平均数、众数、中位数；
【解决问题】
(1)m= ______，n= ______．
(2)设七、八年级学生科学竞赛成绩的方差分别是s12，s22，比较大小s12 ______s22；
(3)在“是否愿意利用课余时间参加科学讲座？”这一问题的调查中，已知七、八、九三个年级选择“非常愿意”的学生所占百分比分别为32%，48%和75%，求出该校全体学生中选择“非常愿意”的学生所占百分比．
18.(本小题8分)
位于海南临高县城西北部3.6公里处的高山岭，古称毗耶山，海拔高193米，是省级自然保护区.岭上有神石、神湖、怪石、瞭望塔和奇花异草.某数学学习小组的同学来到高山岭脚下，测量瞭望塔AB的高度.如图，小颖同学在坡底C处测得瞭望塔顶端A的仰角为45°，∠ACB=15°，小颖沿坡面CB前行120m到达D处，测得瞭望塔顶端A的仰角为60°.求瞭望塔AB的高度.(结果精确到1m，参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73)
19.(本小题8分)
某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y(单位：效力)与时间x(单位：分钟)呈现三段函数图象，其中AB段为渐消毒阶段，BC段为深消毒阶段，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段.请根据图中信息解答下列问题：
(1)第3分钟时消毒效果为______效力；
(2)求深消毒阶段和降消毒阶段中y与x之间的函数关系式；
(3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？
20.(本小题8分)
如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E是BC的中点，连接OE、DE．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若sinC=45，DE=5，求AD的长；
(3)求证：2DE2=CD⋅OE．
21.(本小题8分)
综合探究
(1)如图1，在等边△ABC中，点D为BC边上一动点，DE/​/AB交AC于点E，将AD绕点D顺时针旋转60°，得到DF，连接CF，则AE与FC的数量关系是______；∠ACF的度数为______度.
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，点D为BC边上一动点，DE/​/AB交AC于点E，当∠ADF=∠ACF=90°时，求AEFC的值．
(3)如图3，在等边△ABC中，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，连接BE.取BE的中点F，连接DF.若AB=4 3，BD=2，请直接写出线段DF的长．
22.(本小题8分)
如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于A(−1,0)，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OB=OC=3OA．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线上是否存在一点M，使得S△MBC=12S△ABC？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．
(3)如图2，点D是该抛物线的顶点，点P(m,n)是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、BP，当∠PBA=∠CBD时，求m的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
利用有理数的运算法则把数化为最简，比较大小即可得到结果．
本题考查有理数的比较，熟记有理数的运算法则是解题的关键．
【解答】
解：A、−(−2)=2；
B、|−2|=2；
C、(−2)0=1；
D、(−2)−1=−12，
∴−12<1<2．
故选：D．
2.【答案】A
【解析】解：a2⋅a3=a5，
∴A正确，符合题意；
(−a2)3=−a6，
∴B不正确，不符合题意；
a2+a2=2a2，
∴C不正确，不符合题意；
a3÷a2=a，
∴D不正确，不符合题意．
故选：A．
A.根据同底数幂的乘法运算法则计算即可；
B.根据幂的乘方运算法则计算即可；
C.合并同类项即可；
D.根据同底数幂的除法运算法则计算即可．
本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方和合并同类项，掌握它们的运算法则是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A.主视图的底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形；左视图底层是三个小正方形，上层左边和中间各一个小正方形，故本选项不合题意；
B.主视图的底层是两个小正方形，上层左边是两个小正方形；左视图底层是三个小正方形，上层左边是一个小正方形，故本选项不合题意；
C.主视图的底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形；左视图底层是三个小正方形，上层左边和中间各一个小正方形，故本选项不合题意；
D.主视图和左视图均为底层是三个小正方形，上层左边是一个小正方形，故本选项符合题意；
故选：D．
主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．分别分析四种几何体的主视图与左视图，即可求解．
本题考查了利用几何体判断三视图，培养了学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
4.【答案】C
【解析】解：∵AB/​/CD，
∴∠2=∠3，
∵∠1=20°，
∴∠3=60°−20°=40°，
∴∠2=40°，
故选：C．
根据两直线平行，同位角相等解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行线的性质．先根据旋转的性质得到∠CAC′=∠BAB′，AC=AC′，再根据平行线的性质得到∠ACC′=∠CAB=70°，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出CAC′=40°，从而得到∠BAB′的度数．
【解答】
解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，
∴∠CAC′=∠BAB′，AC=AC′，
∵CC′//AB，
∴∠ACC′=∠CAB=70°，
∵AC=AC′，
∴∠AC′C=∠ACC′=70°，
∴∠CAC′=180°−(∠AC′C+∠ACC′)=180°−70°−70°=40°，
∴∠BAB′的度数为40°．
故选B．
6.【答案】C
【解析】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=α，
∴∠B=90°−α，
∵OD//CB，
∴∠BOD=∠B=90°−α，
∵OD=OA，
∴∠OAB=∠ODA，
∵∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠BAD，
∴∠BAD=12×(90°−α)=45°−12α.
故选：C．
由圆周角定理得到∠ACB=90°，求出∠B=90°−α，由平行线的性质推出∠BOD=∠B=90°−α，由等腰三角形的性质推出∠OAB=∠ODA，由三角形外角的性质求出∠BAD=45°−12α.
本题考查圆周角定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由圆周角定理得到∠ACB=90°，由平行线的性质推出∠BOD=∠B=90°−α，由三角形外角的性质即可求出∠BAD的度数．
7.【答案】B
【解析】解：∵抛物线y1=−2x2+bx+c经过平移后得到抛物线y2，而y2的顶点坐标为：(−1,3)，
∴y2=−2(x+1)2+3=−2x2−4x+1，即y=−2x2−4x+1；
故选：B．
由平移的性质可得二次项的系数为−2，再结合平移后的抛物线的顶点坐标可得答案．
本题考查的是抛物线的平移的性质，熟记抛物线的平移的性质是解本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：连接CD，
∵CA=CB，点D是AB的中点，AB=4，
∴CD⊥AB，AD=2，
由题意可知AC=3AD=6，
∴CD= AC2−AD2= 62−22=4 2，
∴S阴影=S△ABC−S扇形ADF−S扇形BDH−S△扇形CEG=12×4×4 2−180π×22360=8 2−2π．
故选：A．
连接CD，根据等腰三角形三线合一的性质得出CD⊥AB，AD=2，利用勾股定理求得CD，然后根据S阴影=S△ABC−S扇形ADF−S扇形BDH−S△扇形CEG求得即可．
此题主要考查了扇形面积求法以及等腰三角形的性质，得出CD的长是解题关键．
9.【答案】D
【解析】解：设AB=x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=x，
∵矩形ABFG是黄金矩形，
∴ABBF= 5−12，
∴xx+4a= 5−12，
解得：x=(2+2 5)a，
经检验：x=(2+2 5)a是原方程的根，
∴AB=(2+2 5)a，
故选：D．
设AB=x，根据正方形的性质可得AB=BC=x，然后根据黄金矩形的定义可得ABBF= 5−12，从而可得xx+4a= 5−12，最后进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
10.【答案】y(x+y)(x−y)
【解析】解：x2y−y3
=y(x2−y2)
=y(x+y)(x−y)．
故答案为：y(x+y)(x−y)．
先提取公因式y，再利用平方差公式进行二次分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解是解题的关键，分解要彻底．
11.【答案】二
【解析】解：由题意，∵m，n是一元二次方程x2−2x−5=0的两个根，
∴m+n=2>0，mn=−5<0．
∴m，n异号，
又m∴m<0，n>0．
∴(m,n)在第二象限．
故答案为：二．
依据题意，由m，n是一元二次方程x2−2x−5=0的两个根，故m+n=2>0，mn=−5<0，从而判断m，n的符号可以得解．
本题主要考查了根与系数的关系，点的坐标特征，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
12.【答案】1：3
【解析】解：∵OA：AA′=1：2，
∴OA：OA′=1：3，
∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，
∴AC//A′C′，△ABC∽△A′B′C′，
∴△AOC∽△A′OC′，
∴AC：A′C′=OA：OA′=1：3，
∴△ABC与△A′B′C′的周长比为1：3，
故答案为：1：3．
根据题意求出OA：OA′=1：3，根据相似三角形的性质求出AC：A′C′，根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键．
13.【答案】15
【解析】解：连接AE、BE，
∵AE=BE=AB，
∴△ABE是等边三角形．
∴∠EAB=60°，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠ADC=∠DAB=90°，
∵AE=AD，∠DAE=30°，
∴∠ADE=∠AED=12×(180°−30°)=75°，
∴∠CDE=∠ADC−∠ADE=15°，
故答案为：15．
根据条件可以得到△ABE是等边三角形，然后利用正方形的性质和等边三角形的性质即可解决问题．
本题考查了作图−基本作图，等边三角形的性质，正方形的性质，正确得到△ABE是等边三角形是关键．
14.【答案】2
【解析】解：过点C作CD⊥x轴，延长AB，DC交于点E，
∵BA⊥y轴，∠BOD=90°，
∴四边形OAED为矩形，
∴∠E=∠OAB=90°，OA=DE，
∵∠OCB=45°，∠OBC=90°，
∴Rt△OBC为等腰直角三角形，
∴OB=BC，
∵∠ECB=∠OBA=90°−∠CBE，
∴△ABO≌△ECB(ASA)，
∴CE=AB=1，BE=OA，
∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，
∴OB=2AB=2,OA= 3AB= 3，
∴BE= 3，DE= 3，
∴CD=DE−CE= 3−1,AE=AB+BE= 3+1，
∴C( 3+1, 3−1)，
∴k=( 3+1)×( 3−1)=3−1=2；
故答案为：2．
过点C作CD⊥x轴，延长AB，DC交于点E，证明△ABO≌△ECB，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，求出C点坐标即可得出结果．
本题考查反比例函数图象上点的特征，解题的关键是掌握发布会老师的性质，灵活运用所学知识解决问题．
15.【答案】②④
【解析】解：如图，连接AC，交BD于O，过点E作EH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是正方形，△BCE是等腰直角三角形，
∴∠ADF=∠ABD=∠BCE=∠CBE=45°
∴∠ABE=135°
∵∠AFD=∠BAF+∠ABF=∠BAF+45°>45°
∴∠AFB=180°−∠AFD<135°
∴∠AFB≠∠ABE，
∴△AFB与△ABE不相似，故①错误，
∵EH⊥BC，∠ABC=90°
∴EH/​/AB，
∴∠HEG=∠FAB，∠AFD=∠FAB+∠ABD=45°+∠HEG=∠CEG，
又∵∠ADB=∠GCE=45°，
∴△ADF=△GCE，故②正确，
∵EH//AB，
∴△HEG∽△BAG，
∴FHAB=HGBG，
∵△BCE是等腰直角三角形，
∴EH=CH=BH=12BC=12AB，
∴HGBG=12，即BG=2HG，
∴CH=BH=3HG，
∴CG=CH+HG=4HG，
∴CG=2BG，故③错误，
∵△EHG∽△ABG，
∴EGAG=EHAB=12，
∴设EG=a，AG=2a，
∵AD/​/BG，
∴△ADF∽△GBF，
∴FGAF=BGAD=13，
∴AG=4FG，
∴GE=2FG，
∴AF=EF，故④正确．
方法二：∵四边形ABCD是正方形，△BCE是等腰直角三角形，
∴∠AOF=90°，∠FBE=∠DBC+∠CBE=45°+45°=90°，OA= 22AB，BE= 22BC，
∴∠AOF=∠FBE，OA=BE，
在△AOF和△EBF中，
∠AFO=∠BFE∠AOF=∠FBE,OA=BE
∴△AOF≌△EBF(AAS)，
∴AF=EF，故④正确，
综上所述：正确的结论有②④，
故答案为：②④．
由四边形ABCD是正方形，△BCE是等腰直角三角形，得到∠ADF=∠BCE=45°，根据平行线的性质得到∠DAF=∠BGF，推出∠DAF=∠AGE，得到△ADF∽△GCE；故②正确；由∠ABE=∠ABC+∠CBE=135°，∠AFB<135°，得到∠ABE≠∠AFB，于是得到△AFB与△ABE不相似，故①错误；过E作EH⊥BC，则EH=12BC=12AB，EH/​/AB，根据相似三角形的性质得到HGBG=12，即BG=2HG，进一步得到③错误；设EG=a，AG=2a，求得AG=4FG，得到GE=2FG，推出AF=EF，故④正确．
本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键．
16.【答案】解：(1)原式=2(x+2)−(x−1)x+2⋅(x−2)(x+2)(x+5)2
=2x+4−x+1x+2⋅(x−2)(x+2)(x+5)2
=x+5x+2⋅(x−2)(x+2)(x+5)2
=x−2x+5；
(2)2x+7>3①x+13>x−12②，
解①得：x>−2；
解②得：x<5，
故不等式组的解集为：−2【解析】(1)直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案；
(2)分别解不等式，进而得出不等式组的解集．
此题主要考查了分式的混合运算以及一元一次不等式组的解法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
17.【答案】8 7 >
【解析】解：(1)∵8出现了3次，出现的次数最多，
∴众数是8，即m=8；
把8年级的学生科学竞赛成绩从小到大排列为：4，5，6，6，7，7，8，8，9，10，
中位数是n=7+72=7；
故答案为：8，7；
(2)从折线统计图可以看出，七年级科学竞赛成绩的波动幅度较大，故方差较大；
八年级科学竞赛成绩波动幅度较小，故方差较小，所以s12>s22，
故答案为：>；
(3)∵10÷5%=200(人)，
∴七八年级各200人，
∵8+5%=160(人)，
∴九年级160人，
∴200×32%+200×48%+160×75%200+200+160=50%，
∴该初中所有学生中选择“非常原意”的学生所占百分比为50%．
(1)分别根据中位数、众数和算术平均数的定义解答即可；
(2)根据数据的波动情况判断即可；
(3)用样本估计总体即可．
本题考查折线统计图、中位数、众数、平均数、方差以及用样本估计总体，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的关键．
18.【答案】解：过点D作DH⊥CE，垂足为H，
在Rt△CDH中，∠DCH=30°，CD=120米，
∴DH=12CD=60(米)，
延长AB交CE于点F，过点D作DG⊥AF，垂足为F，
由题意得：AF⊥CE，DH=FG，DG=HF，
设DG=FH=x米，
在Rt△CDH中，∠DCH=30°，CD=120米，
∴CH= 3DH=60 3(米)，
∴DH=FG=60米，CF=CH+HF=(x+60 3)米，
在Rt△ADG中，∠ADG=60°，
∴AG=DG⋅tan60°= 3x(米)，
∴AF=AG+FG=( 3x+60)米，
在Rt△ACF中，∠ACF=45°，
∴AF=CF⋅tan45°=(x+60 3)米，
∴x+60 3= 3x+60，
解得：x=60，
∴CF=AF=(60 3+60)米，
在Rt△BCF中，BF=CF⋅tan30°=(60 3+60)× 33=(60+20 3)米，
∴AB=AF−BF=60 3+60−(60+20 3)=40 3≈69(米)，
∴瞭望塔AB的高度约为69米．
【解析】过点D作DH⊥CE，垂足为H，利用含30度角的直角三角形的性质求出DH的长度，延长AB交CE于点F，过点D作DG⊥AF，垂足为F，根据题意可得：AF⊥CE，DH=FG，DG=HF，然后设DG=FH=x米，在Rt△CDH中，利用含30度角的直角三角形的性质求出CH的长，从而求出CF的长，再在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，从而求出AF的长，最后在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而列出关于x的方程，进行计算可求出CF和AF的长，再在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19.【答案】0.9
【解析】解：(1)设线段AB所在直线的解析式为y=kx，
∵经过(10,3)，
∴10k=3，
解得：k=310，
∴解析式为y=310x，
当x=3时，y=310×3=0.9，
故答案为：0.9．
(2)设BC段的函数解析式为y=kx+b，
把(10,3)和(30,6)代入得10k+b=330k+b=6，
解得：k=320b=32，
∴BC段的函数解析式为y=320x+32(4≤x≤30)，
设CD段的函数解析式为y=mx，把(30,6)代入得6=m30，
∴m=180，
∴CD段的函数解析式为y=180x(x≥30)；
(3)把y=4分别代入y=320x+32和y=180x得，x=503和x=45，
∵45−503=2813>28，
∴本次消毒有效．
(1)求得线段AB所在直线的解析式后代入x=3求得y的值即可；
(2)设BC段的函数解析式为y=kx+b，把(10,3)和(30,6)代入得求得BC段的函数解析式为y=320x+32，设CD段的函数解析式为y=mx，把(30,6)代入求得CD段的函数解析式为y=180x；
(3)把y=4分别代入y=320x+32和y=180x得到x=503或x=45，于是得到结论．
本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答．
20.【答案】(1)证明：连接OD，BD，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDC=180°−∠ADB=90°，
∵点E是BC的中点，
∴DE=BE=EC，
∵OB、OD是⊙O的半径，
∴OB=OD，
在△ODE和△OBE中
OD=OBOE=OEDE=BE
∴△ODE≌△OBE(SSS)，
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∴半径OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：连接BD，如图，
由(1)知：DE=BE=EC，∠ADB=∠BDC=∠ABC=90°，
∵DE=5，
∴BC=10，
∵sinC=45，
∴BDBC=45，
∴BD=8，
∵∠C+∠CBD=∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠ABD=∠C，
∴sin∠ABD=sin∠C=45，
∴ADAB=45，
设AD=4x，则AB=5x，
∵AD2+BD2=AB2，
∴(4x)2+82=(5x)2，
解得：x=83(负值舍去)，
∴AD=4x=4×83=323；
(3)证明：连接BD，
由(1)(2)得：∠BDC=∠OBE=90°，BE=DE，
∵点O是AB的中点，点E是BC的中点，
∴OE//AC，BC=2BE，
∴∠C=∠OEB，
∴△BCD∽△OEB，
∴CDBE=BCOE，即CDDE=2DEOE，
∴2DE2=CD⋅OE．
【解析】(1)连接OD，BD，由AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°=∠BDC，由点E是BC的中点，可得DE=BE=EC，进而证得△ODE≌△OBE(SSS)，得出半径OD⊥DE，即可证得结论；
(2)利用解直角三角形可得BD=8，再由sin∠ABD=sin∠C=45，可得ADAB=45，设AD=4x，则AB=5x，利用勾股定理可得(4x)2+82=(5x)2，求得x=83，即可求得AD=323；
(3)连接BD，可证得△BCD∽△OEB，得出CDBE=BCOE，即CDDE=2DEOE，即可证得2DE2=CD⋅OE．
本题是圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，直角三角形性质，中点定义，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是学会添加常用辅助线．
21.【答案】相等 60
【解析】解：(1)在等边△ABC中，DE/​/AB交AC于点E．
∠B=∠DEC=60°，∠BAC=∠DEC=60°，∠C=60°，
∴△EDC是等边三角形，DE=EC=DC．
∵AD绕点D顺时针旋转60°，得到DF，
∴∠ADF=60°，AD=FD，
∴∠ADF=∠EDC，
∴∠ADF−∠EDF=∠EDC−∠EDF，
∴∠ADE=∠FDC，
∵AD=FD，ED=CD，
∴△ADE≌△FDC(SAS)，
∴AE=FC，∠AED=∠FDC，
∵∠DEC=60°，
∴∠AED=120°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACF=120°−60°=60°．
故答案为：AE=CF，60．
(2)∵DE//AB，
∴∠EDC=∠ABC=90°，
∵∠ADF=90°，
∴∠ADF−∠EDF=∠EDC−∠EDF，
∴∠ADE=∠FDC．
∵∠ACF=90°，
∠AED=∠EDC+∠ACB，
∠FCD=∠ACF+∠ACB，
∴∠AED=∠FCD，
∵∠ADE=∠FDC，
∴△DAE∽△DFC，
∴AEFC=DEDC，
∵∠EDC=90°，∠ACB=60°，
∴tan∠ACB=DEDC= 3，
∴AEFC= 3．
(3)过点D作DG//AB交AC于点G，截取DH=DB，连接EH，交BC于点K．
在等边△ABC中，DG//AB交AC于点G．
∠B=∠GEC=60°，∠BAC=∠DGC=60°，∠C=60°，
∴△EGC是等边三角形，DG=GC=DC．
∴∠BDG=180°−60°=120°
∵AD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，
∴∠ADE=120°，AD=ED，
∴∠ADE=∠BDG，
∴∠ADE−∠ADG=∠BDG−∠ADG，
∴∠ADB=∠EDH，
∵BD=DH，AD=ED，
∴△ADB≌△EDH(SAS)，
∴AB=EH=4 3，∠ABD=∠EHD=60°，
∴△DHK是等边三角形，HK=DH=DK=DB=2，
∴KE=EH−HK=4 3−2，
∵BD=DK，BF=FE，
∴DF是△BEK的中位线，
∴DF=12KE=2 3−1．
(1)AD=DE，DE=DC，∠ADE=∠FDC，根据SAS得到△ADE≌△FDC，得到对应边，对应角的相等关系即可．
(2)证明△ADE∽△FDC，得出对应边成比例，再利用60°的正切值即可．
(3)过点D作DG//AB交AC于点G，截取DH=DB，连接EH，交BC于点K.证明△ADB≌△EDH，可得AB=EH，△DHK是等边三角形．求出EK=4 3−2.DF时△BEK的中位线，可求DF的值．
本题考查了图形的旋转，三角形全等，三角形相似，三角形的中位线，关键是添加辅助线，构造全等，及各知识点的综合运用．
22.【答案】解：(1)∵A(−1,0)，
∴OA=1，
∵OB=OC=3OA，
∴BO=OC=3，
∴B(3,0)，C(0,−3)，
将点A(−1,0)，B(3,0)，C(0,−3)代入y=ax2+bx+c，
∴c=−3a−b+c=09a+3b+c=0，
解得a=1b=−2c=−3，
∴y=x2−2x−3；
(2)存在一点M，使得S△MBC=12S△ABC，理由如下：
连接AC，
∵A(−1,0)，C(0,−3)，
∴AC的中点为(−12,−32)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴b=−33k+b=0，
∴k=1b=−3，
∴y=x−3，
∴过AC的中点与BC平行的直线解析式为y=x−1，
联立方程组y=x−1y=x2−2x−3，
解得x=3+ 172y=1+ 172或x=3− 172y=1− 172，
∴M(3+ 172,1+ 172)或(3− 172,1− 172)；
∴直线y=x−1关于直线BC对称的直线为y=x−5，
联立方程组y=x−5y=x2−2x−3，
解得x=1y=−4或x=2y=−3，
∴M(1,−4)或(2,−3)；
综上所述：M点坐标为(1,−4)或(2,−3)或(3+ 172,1+ 172)或(3− 172,1− 172)；
(3)∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴D(1,−4)，
∵A(−1,0)，B(3,0)，C(0,−3)，
∴BC=3 2，BD=2 5，CD= 2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BDC=90°，
∴tan∠CBD= 23 2=13，
过点P作PQ⊥x轴交于Q，
∵∠PBA=∠CBD，
∴13=PQAB，
∵点P(m,n)在第二象限内，
∴3(m2−2m−3)=3−m，
解得m=3(舍)或m=−43．
【解析】(1)求出点B(3,0)，C(0,−3)，再由待定系数法求函数的解析式即可；
(2)连接AC，求出过AC中点且与直线BC平行的直线为y=x−1，联立方程组y=x−1y=x2−2x−3，交点的坐标即为M点坐标；再求出直线y=x−1关于直线BC对称的直线为y=x−5，联立方程组y=x−5y=x2−2x−3，交点的坐标即为M点坐标；
(3)先判断△BCD是直角三角形，可知tan∠CBD=13，过点P作PQ⊥x轴交于Q，则13=PQAB，由此求m的值即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，平行线的性质，分类讨论是解题的关键．平均数
众数
中位数
七年级
6
8
7
八年级
7
6、7、8
n
九年级
8
m
8