2023-2024学年湖南省邵阳市邵东一中高一（下）第三次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省邵阳市邵东一中高一（下）第三次月考数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知a，b∈R，复数z=a+bi满足z(1+i)=(2−2i)，则a+b=( )
A. −1B. −2C. −3D. −4
2.设D为△ABC所在平面内一点，若BC=3CD，则下列关系中正确的是( )
A. AD=−13AB+43ACB. AD=14AB+34AC
C. AD=34AB+14ACD. AD=43AB−13AC
3.设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列四个命题中，正确命题的序号是( )
①若m/​/α，n/​/α，则m/​/n；
②若α/​/β，β/​/γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若m⊥α，n/​/α，则m⊥n；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α/​/β．
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
4.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为( )
A. 9：4B. 4：3C. 3：1D. 3：2
5.如图，正方形A′B′C′D′是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形ABCD的直观图，若A′D′=1，则四边形ABCD周长为( )
A. 2
B. 4
C. 2 2
D. 8
6.已知a，b，c分别是△ABC三内角A，B，C的对边，且满足asinC+acsC=b+c，则△ABC的形状是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形
7.在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1、圆心在线段CD(含端点)上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则AP⋅AB的取值范围是( )
A. [2,8]．B. [4,8]C. [2,10]D. [4,10]
8.《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AA1=2，当阳马B−ACC1A1体积为43时，堑堵ABC−A1B1C1的外接球的体积的最小值为( )
A. 43π
B. 8 23π
C. 323π
D. 64 23π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知i是虚数单位，以下四个说法中正确的是( )
A. i2021+i2022+i2023+i2024=0
B. 复数z=−3+i的虚部为i
C. 若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=z2−
D. 已知复数z满足|z−3i|=2，则z在复平面内对应的点的轨迹为圆
10.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且3bcsC+3ccsB=a2，则下列说法正确的是( )
A. 若B+C=2A，则△ABC的外接圆的面积为3π
B. 若A=π4，且△ABC有两解，则b的取值范围为[3,3 2]
C. 若C=2A，且△ABC为锐角三角形，则c的取值范围为(3 2,3 3)
D. 若A=2C，且sinB=2sinC，O为△ABC的内心，则△AOB的面积为3 3−34
11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是AB，AD的中点，P为线段C1D1上的动点，则下列结论正确的是( )
A. 存在点P，使得直线PM与直线AD1为异面直线
B. 存在点P，使得MN⊥PN
C. 若P为线段C1D1的中点，则三棱锥P−MNC1与三棱锥C1−MNB体积相等
D. 过M，N，P三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为3 34
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量a=(3,−4)在向量b=(−2,1)上的投影向量为λb，则λ等于______．
13.如图，在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，A1B1= 2,AB=2 2，该棱台体积V=14 33，则该棱台外接球的表面积为______．
14.已知A，B，C三座小岛的位置如图所示，其中B岛在A岛的南偏西60°方向，C岛在B岛的正东方向，A，C两岛相隔4千海里，一货轮由A岛出发沿着AC的方向直线航行了34的路程后，到达M岛进行补给后再前往C岛，若M岛到B岛的距离与M岛到A岛的距离相同，则B，C两岛的距离为______千海里．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，截去三棱锥A1−ABD，求

(1)截去的三棱锥A1−ABD的表面积；
(2)剩余的几何体A1B1C1D1−DBC的体积；
(3)在剩余的几何体A1B1C1D1−DBC中连接B1D1，求四棱锥A1−BB1D1D的体积．
16.(本小题15分)
在等边△ABC中，点M是BC上靠近点B的一个三等分点，点Q为AC的中点，BQ交AM于点N．
(1)若BN=λBQ，求λ的值；
(2)若NA⋅NM=−9，求△ABC的面积．
17.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3(sinA−sinB)sinC=3c−2ba+b．
(1)求csA；
(2)若△ABC的面积为163 2．
①已知E为BC的中点，求△ABC底边BC上中线AE长的最小值；
②求内角A的角平分线AD长的最大值．
18.(本小题17分)
如图，在四面体C−ABD中，CB=CD，AB=AD，∠BAD=90°，E，F分别是BC，AC的中点．

(1)求证：AC⊥BD；
(2)在AC上能否找到一点M，使BF/​/平面MED？若存在，请求出CMCA的值，若不存在，请说明理由；
(3)若平面CBD⊥平面ABD，且CB=BD，求直线BF与平面ABD所成角的正切值．
19.(本小题17分)
若存在常数a、b，使得函数f(x)对于∀x∈R同时满足：f(a+x)=−f(a−x)，f(b+x)=f(b−x)，则称函数f(x)为“(a,b)”类函数．
(1)判断函数f(x)=cs2x是否为“(a,b)”类函数？如果是，写出一组(a,b)的值；如果不是，请说明理由；
(2)函数g(x)是“(0,1)”类函数，且当0≤x≤1时，g(x)=lg2(x+1)．
(ⅰ)证明：g(x)是周期函数，并求出g(x)在[−3,−1]上的解析式；
(ⅱ)若∀x∈R，g(t−2x8+2x+3)+g(12)≥0，求t的最大值和最小值．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：因为z(1+i)=(2−2i)，
所以z=2−2i1+i=2(1−i)(1−i)(1+i)(1−i)=2(−2i)2=−2i，
所以a=0，b=−2，a+b=−2．
故选：B．
2.【答案】A
【解析】解：因为BC=3CD，所以CD=13BC，
所以AD=AB+BC+CD=AB+43BC=AB+43(AC−AB)=−13AB+43AC．
故选：A．
3.【答案】B
【解析】解：①若m/​/α，n/​/α，则m与n相交、平行或为异面直线都有可能，因此不正确；
②∵α//β，β/​/γ，∴α//γ，又m⊥α，则m⊥γ，正确；
③∵n//α，过直线n作平面β∩α=k，则n//k．
∵m⊥α，∴m⊥k，则m⊥n，故正确；
④∵α⊥γ，β⊥γ，∴α/​/β或α与β相交，故不正确．
综上可知：只有②③正确．
故选：B．
4.【答案】D
【解析】解：设球的半径为1；圆锥的高为3，则圆锥的底面半径为r，
由△POD∽△PBO1，得ODO1B=OPPB=PDPO1，即1r= 33，
所以r= 3，
圆锥的侧面积为：12×2 3×2 3π=6π，
球的表面积为：4π，
所以圆锥的侧面积与球的表面积之比6π：4π=3：2．
故选：D．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意，直观图中，四边形A′B′C′D′是正方形A′B′C′D′，且边长为1，
则A′B′=1，O′D′= 2，
作出原图如图：
OD=2O′D′=2 2，则有AD= 8+1=3，
四边形ABCD为平行四边形，则BC=3，CD=1，
故四边形ABCD周长为1+3+3+1=8．
故选：D．
6.【答案】B
【解析】解：asinC+acsC=b+c，
由正弦定理可知，sinAsinC+sinAcsC=sinB+sinC，
A+B+C=π，
则sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，
故sinAsinC+sinAcsC=sinAcsC+csAsinC+sinC，即sinAsinC=csAsinC+sinC，
C∈(0,π)，
则sinC≠0，
故sinA−csA=1，
两边同时平方可得，sin2A+cs2A−2sinAcsA=1−sin2A=1，即sin2A=0，
A∈(0,π)，
故A=π2．
故选：B．
7.【答案】A
【解析】解：如图，当圆心Q为点D时，设圆Q交DE于点N，点N为DE的中点，点P为点N时，AP在AB上的投影最小为1，
∴AP⋅AB取最小值2；
当圆心Q为点C时，过C作CG/​/AB，交圆Q于G，过点G作AB的垂线，交AB的延长线于H，点P为点G时，AP在AB上的投影最大为4，
∴AP⋅AB取最大值8，
∴AP⋅AB的取值范围为[2,8]．
故选：A．
8.【答案】B
【解析】解：设AC=x，BC=y，则阳马B−A1ACC1体积V=13×2xy=43，
∴xy=2，
把堑堵ABC−A1B1C1补形为长方体，
则长方体的对角线长L= x2+y2+4≥ 2xy+4=2 2，
当且仅当x=y= 2时上式取“=”．
∴堑堵ABC−A1B1C1的外接球的体积的最小值为43π×( 2)3=8 2π3．
故选：B．
9.【答案】AD
【解析】解：对于A：i2021+i2022+i2023+i2024=i1+i2+i3+i4=i−1−i+1=0，故A选项正确；
对于B：z的虚部为1，故B选项错误；
对于C：设复数z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R，
则z1z2=(ac−bd)+(ad+bc)i，
若z1z2∈R，则ad+bc=0，故C选项错误；
对于D：若复数z满足|z−3i|=2，
则z在复平面内对应的点的轨迹为以点(0,3)为圆心，以2为半径的圆，故D选项正确．
故选：AD．
10.【答案】ACD
【解析】解：因为3bcsC+3ccsB=a2，所以由正弦定理，得3sinBcsC+3sinCcsB=asinA，
即3sin(B+C)=asinA，
因为A+B+C=π，所以sin(B+C)=sinA，且sinA≠0，所以a=3．
选项A：若B+C=2A，则A=π3，所以△ABC的外接圆的直径2R=asinA=2 3，所以R= 3，
所以△ABC的外接圆的面积为π×( 3)2=3π，选项A正确，
选项B：∵△ABC有两解，则bsinA