2023-2024学年广西示范性高中高一下学期期末考试数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广西示范性高中高一下学期期末考试数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各对角中终边相同的是( )
A. π2和7π2B. −π3和22π3C. −7π9和11π9D. 20π3和π6
2.对于α∈R，下列等式恒成立的是( )
A. tanπ+α=tan2π−αB. cs3π2−α=sinα
C. cs−α=−csαD. sin3π−α=sinα
3.在▵ABC中，角A,B,C对边为a,b,c，且2c⋅cs2A2=b+c，则▵ABC的形状为( )
A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
4.已知sinα+π8=23，则cs2α−3π4=( )
A. 23B. −23C. 19D. −19
5.如图，在▵ABC中，AD=2DC，若BA=a，BC=b，则BD=( )
A. a+2bB. a+12bC. 13a+23bD. 23a+13b
6.函数y=csx+π3,x∈−π2,0的值域是( )
A. 12,1B. 32,1C. 12, 32D. − 32,1
7.如图，▵AOB的斜二测画法的直观图是腰长为3 2的等腰直角三角形，y′轴经过A′B′的中点，则AB=( )
A. 6B. 3 6C. 12D. 6 6
8.设a,b为两条不同的直线，α,β为两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若a//α,b//α，则a/​/b
B. 若a//α,b//α,a⊂β,b⊂β，则β//α
C. 若α//β,a⊂α，则a//β
D. 若α//β,b//α，则b//β
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9.下列各组向量中，能作为基底的是( )
A. e1=0,0，e2=1,−2B. e1=2,−3，e2=12,34
C. e1=3,5，e2=6,10D. e1=−1,2，e2=5,7
10.已知函数f(x)=−2sin(2x+φ)(−πB
B. 若a2+b2−c2>0，则△ABC一定是锐角三角形
C. 若acsB−bcsA=c，则△ABC一定为直角三角形
D. 若acsA=bcsB，则△ABC一定是等腰三角形
12.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，则下列说法错误的是( )
A. E，F，G，H四点共面B. EF // GH
C. EG，FH，AA1三线共点D. ∠EGB1=∠FHC1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=y,−2,b=1,3，若a⊥b，则y= ．
14.已知角α的终边经过点(1,2 2)，则sin(2α+π2)=
15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，tanBcsC=1−sinC，△ABC的面积为2，则△ABC的周长的最小值为 ．
16.已知函数fx=2cs2x−2 3sinxcsx−a，若不等式fx≥0对任意的x∈0,π2都成立，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题：共6小题，共70分。
17.（10分）已知sinθ=45，θ为第二象限角．
(1)求sin2θ的值；
(2)求csθ−π6的值．
18.（12分）已知a=(1,0)，b=(2,1)．
(1)当k为何值时，ka−b与b垂直？
(2)若AB=2a+3b，BC=a+mb且A、B、C三点共线，求m的值．
19.（12分）▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcsA=ccsA+acsC．
(1)求A；
(2)若a=4，求▵ABC面积的最大值．
20.（12分）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱B1C1的中点，F为棱D1C1的中点．
(1)求证：E、F、B、D四点共面；
(2)求异面直线EF与AD1所成角的大小．
21.（12分）某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究．
(1)小王获得了以下信息：
a.教学楼AB和体育馆CD之间有一条笔直的步道BD；
b.在步道BD上有一点M，测得M到教学楼顶A的仰角是45∘，到体育馆楼顶C的仰角是30∘；
c.从体育馆楼顶C测教学楼顶A的仰角是15∘；
d.教学楼AB的高度是20米．
请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度CD．
(2)小李获得了以下信息：
a.体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米；
b.大屏幕的高度PQ是2米；
c.当观众所站的位置N到屏幕上下两端P，Q所张的角∠PNQ最大时，观看屏幕的效果最佳．
请帮助小李完成任务二：求步道BD上观看屏幕效果最佳地点N的位置．
22.（12分）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为DD1的中点．

(1)求证：BD1‖平面AEC；
(2)CC1上是否存在一点F，使得平面AEC‖平面BFD1？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据终边相同的角的集合形式即可判断各选项．
【详解】对于A，7π2=4π−π2，其终边与−π2的终边相同，与π2的终边不相同，A错；
对于B，22π3=8π−2π3，其终边与−2π3的终边相同，与−π3的终边不相同，B错；
对于C，11π9=2π−7π9，其终边与−7π9的终边相同，C对；
对于D，20π3=6π+2π3，其终边与2π3的终边相同，与π6的终边不相同，D错．
故选：C
2.【答案】D
【解析】【分析】根据诱导公式化简即可．
【详解】对于A，tanπ+α=tanα，tan2π−α=tan−α=−tanα，故 A错误；
对于B，cs3π2−α=cs2π−π2−α=cs−π2−α=csπ2+α=−sinα，故 B错误；
对于C，cs−α=csα，故 C错误；
对于D，sin3π−α=sinπ−α=sinα，故 D正确．
故选：D．
3.【答案】B
【解析】【分析】先根据二倍角公式化简cs2A2，根据余弦定理化简得到c2=a2+b2即可得到答案．
【详解】因为2c⋅cs2A2=b+c，
所以2c⋅1+csA2=b+c，即c+ccsA=b+c，
所以ccsA=b，
在▵ABC中，由余弦定理：csA=b2+c2−a22bc，
代入得，c⋅b2+c2−a22bc=b，即b2+c2−a2=2b2，
所以c2=a2+b2．
所以▵ABC直角三角形．
故选：B
4.【答案】D
【解析】【分析】根据诱导公式及二倍角的余弦公式求解即可．
【详解】因为csα−3π8=cs3π8−α=csπ2−α+π8=sinα+π8=23，
所以cs2α−3π4=cs2α−3π8=2cs2α−3π8−1=2×49−1=−19．
故选：D．
5.【答案】C
【解析】【分析】根据AD=23AC，BD=BA+AD,AC=BC−BA即可求解．
【详解】因为AD=2DC，所以AD=23AC，
所以BD=BA+AD=a+23AC=a+23BC−BA=13a+23b．
故选：C．
6.【答案】A
【解析】【分析】由x的范围，可得x+π3的范围，结合余弦函数的性质进而求出函数的值域．
【详解】因为x∈−π2,0，所以x+π3∈−π6,π3，
因为函数t=csx在−π6,0上递增，0,π3上递减，
又cs−π6= 32，cs0=1，csπ3=12，所以csx+π3∈12,1
即y∈12,1．
故选：A．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查投影与斜二测画法，属于基础题．
先将直角坐标系中的原图作出，再比对直观图与原图直接求出即可．
【解答】
解：
由题意得▵AOB的原图如图所示，其中D为AB的中点，且OA=3 2，
OD=3 2× 22×2=6，
所以AD= OA2+OD2=3 6，故AB=2AD=6 6．
故选：D．
8.【答案】C
【解析】【分析】根据题意，结合线面平行的判定与性质，以及面面平行的判定与性质，逐项判定，即可求解．
【详解】对于A中，若a//α,b//α，则a//b，a与b相交或异面，所以 A错误
对于B中，若a//α,b//α,a⊂β,b⊂β，则β//α或α与β相交，所以B错误；
对于C中，若α//β,a⊂α，根据面面平行的性质，可得a//β，所以 C正确；
对于D中，若α//β,b//α，则b//β或b⊂β，所以 D错误．
故选：C
9.【答案】BD
【解析】【分析】两个向量若不共线即可作为一组基底，所以找出不共线的向量组即可．
【详解】只要两个向量不共线，即可作为基底向量
对于A，因为e1=0,0，e2=1,−2，所以0×−2−0×1=0，则e1,e2共线，故 A不符合；
对于B，因为e1=2,−3，e2=12,34，所以2×34−−3×12=3≠0，则则e1,e2不共线，故 B符合；
对于C，因为e1=3,5，e2=6,10，所以e2=2e1，则则e1,e2共线，故 C不符合；
对于D，因为e1=−1,2，e2=5,7，所以−1×7−2×5=−17≠0，则则e1,e2不共线，故 D符合；
故选：BD．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查三角函数图象的平移变换，考查正弦型函数的图象与性质，属于中档题．
根据三角函数图象的平移变换可得平移后的解析式为，由P(0,2)在其图象上可求φ=−π6，故，由可以判断A，结合正弦函数的单调性可以判断B、D，x=−π6时，，可以判断C．
【解答】
解：将函数f(x)图象向右平移π6个单位长度得到的图象，
又其图象过点P(0,2)，所以，得．
因为，所以，
所以，解得φ=−π6，
所以．
对于A，，
所以7π12,0是f(x)的一个对称中心，故A正确；
对于B，x∈π6,π3时，，
所以y=2sin⁡(2x−π6)在区间π6,π3上单调递增，
所以在区间π6,π3上单调递减，故B错误；
对于C，x=−π6时，，
所以x=−π6是f(x)的一条对称轴，故C正确；
对于D，x∈−5π6,−2π3，，
因为，
所以y=2sin⁡(2x−π6)在区间−5π6,−2π3上单调递增，
所以在区间−5π6,−2π3上单调递减，故D正确．
故选ACD．
11.【答案】AC
【解析】【分析】根据正弦定理结合已知可得a>b，即可得出A；B根据余弦定理只能得出C为锐角，无法判断A、B的情况；根据余弦定理角化边，结合已知整理，即可判断C、D项．
【详解】对于A项，由正弦定理asinA=bsinB可得，ab=sinAsinB>1，所以a>b，所以A>B，故 A项正确；
对于B项，由余弦定理可得csC=a2+b2−c22ab>0，所以C为锐角，但无法判断A,B角，故 B项错误；
对于C项，由余弦定理csB=a2+c2−b22ac以及csA=b2+c2−a22bc，代入已知整理可得，a2=c2+b2，所以△ABC一定为直角三角形，故C项正确；
对于D项，由余弦定理csB=a2+c2−b22ac以及csA=b2+c2−a22bc，代入已知整理可得，a2−b2a2+b2−c2=0，所以a2−b2=0或a2+b2−c2=0，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故D项错误．
故选：AC．
12.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查空间中的共面、共点问题及直线与直线的位置关系，属于中档题．
根据空间中的共面、共点及直线与直线的位置关系相关定理判断即可．
【解答】
解：选项A，如图，
连接EF，GH．
∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH/​/B1C1．
∵B1E//C1F，且B1E=C1F，∴四边形B1EFC1是平行四边形，
∴EF//B1C1，∴EF/​/GH，∴E，F，G，H四点共面，故A、B正确;
对于选项C，如图，延长EG，FH相交于点P．
∵P∈EG，EG⊂平面ABB1A1，
∴P∈平面ABB1A1，
∵P∈FH，FH⊂平面ACC1A1，
∴P∈平面ACC1A1，
∵平面ABB1A1∩平面ACC1A1=AA1，
∴P∈AA1，∴EG，FH，AA1三线共点，故C正确；
对于选项D，∵EB1=FC1，当GB1≠HC1时，∠EGB1≠∠FHC1，故D错误．
故选D．
13.【答案】6
【解析】【分析】根据向量垂直列方程，由此求得y的 值．
【详解】因为向量a=y,−2,b=1,3，a⊥b，
所以a⋅b=y−6=0，解得y=6．
故答案为：6．
14.【答案】−79
【解析】【分析】根据诱导公式、二倍角的余弦公式及三角函数定义求解．
【详解】因为角α的终边经过点(1,2 2)，
所以csα=1 1+8=13，
所以sin(2α+π2)=cs2α=2cs2α−1=29−1=−79．
故答案为：−79
15.【答案】4+2 2
【解析】【分析】
本题考查同角三角函数关系，两角和与差的正弦公式、三角形面积公式，基本不等式求最值，属于中档题．
由三角恒等变换公式求得C=π2或B+C+B+π2=π，然后分情况讨论，结合面积求得ab=4，利用基本不等式即可求解．
【解答】
解：由tan Bcs C=1−sin C，得sinBcsBcsC=1−sinC，sin Bcs C+cs Bsin C=cs B，sin(B+C)=csB=sin(B+π2)，故C=π2或B+C+B+π2=π，
若2B+C=π2，则B+Cπ2，不合题意，
所以C=π2，S▵ABC=12ab=2，ab=4，△ABC的周长为a+b+ a2+b2，
因为a+b+ a2+b2≥2 ab+ 2ab=4+2 2(当且仅当a=b=2时取等号)，
所以△ABC的周长的最小值为4+2 2．
故答案为4+2 2．
16.【答案】−∞,−1
【解析】【分析】首先逆用两角和差公式化简函数表达式，从而原题条件等价于2cs2x+π3+1≥a恒成立，构造函数求出表达式左边的最小值即可得解．
【详解】由题意fx=2cs2x−2 3sinxcsx−a=cs2x− 3sin2x+1−a=2cs2x+π3+1−a≥0，对任意的x∈0,π2都成立，
即2cs2x+π3+1≥a对任意的x∈0,π2都成立，令gx=2cs2x+π3+1，
而对任意的x∈0,π2，有2x+π3∈π3,4π3，
所以当2x+π3=π，即x=π3时，gxmin=gπ3=−2+1=−1，
所以a≤−1．
综上，实数a的取值范围为−∞,−1．
故答案为：−∞,−1．
17.【答案】解：(1)∵sinθ=45 ， θ 为第二象限角，
∴csθ=− 1−sin2θ=− 1−452=−35 ，
则 sin2θ=2sinθcsθ=2×45×−35=−2425 ；
(2)cs (θ−π6)=cs θcs π6+sin θsin π6
=−35× 32+45×12=4−3 310．

【解析】本题考查三角函数的同角公式、二倍角公式以及两角差的余弦公式，属于基础题．
(1)根据同角三角函数结合已知得出 csθ ，即可根据二倍角的正弦公式代入数值得出答案；
(2)根据两角和差的余弦公式代入数值得出答案．
18.【答案】解：(1)
∵a=(1,0)，b=(2,1)，
∴ka−b=(k−2,−1)，
又ka−b与b垂直，得2(k−2)−1=0，即k=52；
(2)
AB=2a+3b=(8,3)，BC=a+mb=(1+2m,m)，
∵A、B、C三点共线，∴AB//BC，
则8m−3(1+2m)=0，解得：m=32．

【解析】【分析】(1)先利用向量坐标运算求出ka−b与b的坐标，再利用垂直可求k；
(2)先利用向量坐标运算求出AB,AC，利用向量平行可求m．
19.【答案】解：(1)根据正弦定理及 2bcsA=ccsA+acsC ，
得 2sinBcsA=sinCcsA+sinAcsC=sin(A+C)=sinB ．
∵ sinB≠0 ，∴ csA=12 ．
∵ 0