[数学][期末]湖南省邵阳市邵东市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

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考试时间：分钟 满分：分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(共8题；共40分)
1. 已知复数z 满足 ， 则（ ）
A . 1 B . C . D .
2. 某校高一学生550人，高二学生500人，高三学生450人，现有分层抽样，在高三抽取了18人，则高二应抽取的人数为（ ）
A . 24 B . 22 C . 20 D . 18
3. 已知向量满足 ， 且 ， 则在上的投影向量为（ ）
A . B . C . D .
4. 已知、、是三个不同的平面，、、是三条不同的直线，则（ ）
A . 若 ， ， 则 B . 若 ， ， ， 则 C . 若 ， ， ， 则 D . 若 ， 且 ， 则
5. 下表是足球世界杯连续八届的进球总数
则进球总数的第一四分位数是（ ）
A . 145 B . 146 C . 147 D . 166
6. 一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件A为“两次记录的数字和为奇数”，事件为“两次记录的数字和大于4”，事件C为“第一次记录的数字为奇数”，事件D为“第二次记录的数字为偶数”，则（ ）
A . A与D互斥 B . C与D对立 C . A与B相互独立 D . A与C相互独立
7. 点O ， G ， P为所在平面内的点，且有 ， ， ， 则点O ， G ， P分别为的（ ）
A . 垂心，重心，外心 B . 垂心，重心，内心 C . 外心，重心，垂心 D . 外心，垂心，重心
8. 在三棱锥中， ， ， ， ， 则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A . 40π B . 20π C . 80π D . 60π
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.(共3题；共18分)
9. 某校举办数学文化节活动，10名教师组成评委小组，给参加数学演讲比赛的选手打分.已知各位评委对某名选手的打分如下：

则下列结论正确的为（ ）
A . 平均数为48 B . 极差为9 C . 中位数为47 D . 第75百分位数为51
10. 中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， O为的外心， ， ， 的面积S满足.若.则下列结论正确的是（ ）
A . B . C . D .
11. 如图，在正方体中， ， 点P为线段上的一动点，则（ ）
A . 三棱锥的体积为定值 B . 当时，直线与面所成角的正切值为 C . 直线PB与直线AC所成角的余弦值可能为 D . 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.(共3题；共15分)
12. 已知向量 ， ， 若 ， 则实数____________________．
13. 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如 ， 在不超过11的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是____________________(用分数表示).
14. 《九章算术・商功》中描述几何体“阳马”为底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥.现有阳马如图平面点E ， F分别在线段AB ， BC上，则当空间四边形PEFD的周长最小时，直线PA与平面PFD所成角的正切值为____________________.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.(共5题；共77分)
15. 已知向量 ， ， .
（1） 求函数 的单调递增区间和最小正周期；
（2） 若当 时，关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围.
16. 如图，在三棱柱中，直线平面 ， 平面平面.
（1） 求证：；
（2） 若 ， 在棱上是否存在一点P ， 使得四棱锥的体积为？若存在，指出点P的位置；若不存在，请说明理由.
17. 4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.某高校为了了解全体师生阅读时间的分配情况，对全校师生进行抽样问卷调查日平均阅读时间(单位：小时)，得到样本数据，并绘制如图3所示的频率分布直方图.
（1） 求频率分布直方图中a的值；
（2） 根据频率分布直方图估算全校师生日平均阅读时间；(每组数据用该组的区间中点值作代表)
（3） 将(2)所得到的日平均阅读时间保留为整数，并根据频率分布直方图估算师生日平均阅读时间的方差.
18. 如图所示，长方形ABCD中， ， ， 点M是边CD的中点，将沿AM翻折到 ， 连接PB ， PC ， 得到图的四棱锥 ．
（1） 求四棱锥的体积的最大值；
（2） 若棱PB的中点为N ， 求CN的长；
19. 若函数在时，函数值的取值区间恰为 ， 就称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数 ， 当时，.
（1） 求的解析式；
（2） 求函数在内的“倒域区间”；
（3） 求函数在定义域内的所有“倒域区间”. 年份
1994
1998
2002
2006
2010
2014
2018
2022
进球总数
141
171
161
147
145
171
169
172