2024-2025学年度人教版八上数学-第11章-三角形-09第11章三角形小结与复习【教案】

这是一份2024-2025学年度人教版八上数学-第11章-三角形-09第11章三角形小结与复习【教案】，共6页。
第11章三角形小结与复习一、教学目标(一)知识与技能：1.了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形，会画任意三角形的高、中线、 角平分线，了解三角形的稳定性；2.了解与三角形有关的角(内角、外角)，会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180° ，探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；3.了解多边形的有关概念(边、内角、对角线、正多边形)，探索并了解多边形的内角和与外角和公式.(二)过程与方法：结合图形回顾本章知识点，复习几种基本的画图，复习简单的证明技巧，在此基础上进行典型题、热点题的较大量的训练，旨在提高同学们对三角形有关知识、多边形内角和、外角和知识综合运用能力.(三)情感态度与价值观：通过初步的几何证明的学习培养学生的推理能力，通过由特殊到一般的探究过程的训练培养学生的探索能力，创新能力，以达到培养学生良好学习习惯的目的.二、教学重点、难点重点：三角形的三条重要线段、三角形的内角和、外角和、多边形的内角和、外角和等知识的灵活运用.难点：简单的几何证明及几何知识的简单应用.三、教学过程知识梳理1.三角形的三边关系： 三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 如：AB＋AC＞BC，BC－AC＜AB2.三角形的分类3.三角形的高、中线与角平分线高：顶点与对边垂足间的线段，三条高或其延长线相交于一点，如图①.中线：顶点与对边中点间的线段，三条中线相交于一点(重心)，如图②.角平分线：三条角平分线相交于一点，如图③.4.三角形的内角和与外角(1)三角形的内角和等于180°；(2)直角三角形的两个锐角互余；(3)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；(4)三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.∠A＋∠B＋∠C＝180° ∠A＋∠B＝90°∠ACD＝∠A＋∠B，∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B5.多边形及其内角和在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 正多边形是各个角都相等，各条边都相等的多边形.n边形内角和等于(n－2)×180°(n≥3的整数)n边形的外角和等于360°正多边形的每个内角的度数是或正多边形的每个外角的度数是考点讲练考点一 三角形的三边关系例1 已知两条线段的长分别是3cm、8cm，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？解：由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得 8-3＜a＜8+3，解得 5＜a＜11.又∵ 第三边长为奇数，∴ 第三条边长为7cm或9cm.针对训练1.以线段3、4、x－5为边组成三角形，那么x的取值范围是__________.例2 等腰三角形的周长为16，其一边长为6，求另两边长.解：(1)当6为底边长时，腰长为(16-6)÷2=5，这时另两边长分别为5，5；(2)当6为腰长时，底边长为16-6-6=4，这时另两边长分别为6，4.综上所述，另两边长为5，5或6，4.针对训练2.已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为( ) A.16 B.20或16 C.20 D.123.若(a－2)2＋|b－3|＝0，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为_______. 考点二 三角形中的重要线段例3 如图，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长. 解：∵ CD为△ABC的AB边上的中线∴ AD=BD∵ △BCD的周长比△ACD的周长大3cm∴ (BC+BD+CD)-(AC+AD+CD)=3cm∴ BC-AC=3cm∵ BC=8cm∴ AC=5cm例4 如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为24，求△BEF的面积. 解：∵ 点E是AD的中点∴ S△ABE=S△ABD，S△ACE=S△ADC∴ S△ABE+S△ACE=(S△ABD+S△ADC)=S△ABC=×24=12∴ S△BCE=S△ABC-(S△ABE+S△ACE)=12∵ 点F是CE的中点∴ S△BEF=S△BCE=×12=6针对训练4.下列四个图形中，线段BD是△ABC的高的是( )5.在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长.解：如图，∵ DB为△ABC的中线∴ AD=CD设AD=CD=x，则AB=AC=2x当x+2x=12，BC+x=15，解得x=4，BC=11此时△ABC的三边长为AB=AC=8，BC=11；当x+2x=15，BC+x=12，解得x=5，BC=7此时△ABC的三边长为AB=AC=10，BC=7.考点三 有关三角形内、外角的计算例5 ∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，且分别满足下列条件，求∠A，∠B，∠C中未知角的度数.(1)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°；(2)∠A:∠B:∠C＝2:3:4.解：(1)由∠C=54°知∠A+∠B=180°-54°=126°①又∠A-∠B=16°②，由①②解得∠A=71°，∠B=55°；(2)设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x则 2x+3x+4x=180°，解得x=20°∴ ∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°.例6 如图，已知在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数. 解：设∠1=∠2=x，则∠4=∠3=2x∵ ∠BAC=63°∴ ∠2+∠4=117°即 x+2x=117°，解得 x=39°∴ ∠3=∠4=78°∴ ∠DAC=180°-∠3-∠4=24°针对训练6.在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C，满足∠B－∠A＝∠C－∠B，则∠B＝_____.7.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A＝70°，∠BCE＝30°，则∠EBF的度数是_____，∠FBC的度数是_____.8.如图，在△ABC中，两条角平分线BD和CE相交于点O，若∠BOC＝132°，那么∠A的度数是_____.第7题图 第8题图考点四 多边形的内角和与外角和例7 已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的，求这个多边形的边数.解：设这个多边形的外角的度数为x，则相邻内角的度数为4x，则x+4x=180，解得x=36.∴ 边数n=360°÷36°=10.例8 如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1＝∠2，∠3＝∠4. 求∠CAD的度数. 解：∵ 五边形ABCDE的内角都相等∴ ∠E=∠B=∠BAE=540°÷5=108°又∵ ∠1=∠2，∠3=∠4由三角形内角和定理可知∠1=∠2=∠3=∠4=(180°-108°)÷2=36°∴ ∠CAD=∠BAE-∠1-∠3=108°-36°-36°=36°针对训练9.已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数.解：设这个多边形的边数是n，依题意得 (n-2)×180°=3×360°-180° 解得 n=7∴ 这个多边形的边数是7.10.如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠1＝∠2＝60°，AB与DE及AD与BC有怎样的位置关系？为什么？ 解：AB∥DE，AD∥BC.理由如下：∵ 六边形ABCDEF的内角都相等∴ ∠EDC=∠FAB=∠C=720°÷6=120°∵ ∠1=∠2=60°∴ ∠EDA=∠1=60°∴ AB∥DE∵ ∠2+∠C=180°∴ AD∥BC考点五 本章中的思想方法分类讨论思想例9 (1)已知等腰三角形的两边长分别为10和6，则三角形的周长是_______；(2)已知等腰三角形的两边长分别为16和8，则三角形的周长是_______.方程思想例10 如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC，△BDE是等边三角形，求∠C的度数. 解：设∠C=x°，则∠ABC=x°∵ △BDE是等边三角形∴ ∠ABE=60°∴ ∠EBC=x°-60°∵ BE⊥AC，∴ ∠BEC=90°在△BCE中，根据三角形内角和定理得 90+x+x-60=180，解得x=75∴ ∠C=75°能力提升11.小红在数学课上学习了角的相关知识后，立即对角产生了浓厚的兴趣. 她查阅书籍发现两个有趣的概念，三角形中相邻两条边的夹角叫做三角形的内角；三角形一条边的延长线与其邻边的夹角，叫做三角形的外角. 小红还了解到三角形的内角和是180°，同时她很容易地证明了三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.于是，爱思考的小红在想，三角形的内角是否也具有类似的性质呢？三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？①尝试探究：(1)如图1，∠1与∠2分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠1＋∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？解：数量关系：∠l＋∠2＝180°＋∠A理由：∵∠1与∠2分别为△ABC的两个外角∴ ∠1＝180°－∠3，∠2＝180°－∠4∴ ∠1＋∠2＝360°－(∠3＋∠4)∵ 三角形的内角和为180°∴ ∠3＋∠4＝180°－∠A∴ ∠l＋∠2＝360°－(180°－∠A)＝180°＋∠A小红顺利地完成了探究过程，并想考一考同学们，请同学们利用上述结论完成下面的问题.②初步应用：(2)如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2－∠C＝_____；(3)如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，则∠P与∠A有何数量关系______________.(直接填答案)(4)如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，则∠P与∠1、∠2有何数量关系？为什么？(若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由.) 解：数量关系：∠1+∠2+2∠P=360°. 理由如下：如图，延长线段BA、CD交于点Q.由(3)可知，∠Q+2∠P=180°由(1)可知，∠1+∠2=180°+∠Q∴ (∠1+∠2-180°)+2∠P=180°∴ ∠1+∠2+2∠P=36