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2024徐州中考数学二轮重点专题研究 第26课时 圆的基本性质（课件）
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这是一份2024徐州中考数学二轮重点专题研究 第26课时 圆的基本性质（课件），共34页。PPT课件主要包含了圆的基本概念，第1题图，第2题图，第3题图，第4题图，第5题图，垂径定理的相关计算，第6题图，第7题图，第8题图等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O 上，AC与OD交于点E，AE＝EC，OE＝ED.连接BC、CD.
求证：(1)△AOE≌△CDE；
证明：(1)在△AOE和△CDE中，∴△AOE≌△CDE(SAS)；(3分)
(2)四边形OBCD是菱形．
(2)由(1)可得AO＝CD，∠BAC＝∠ACD，∴AB∥CD.∵AB是⊙O的直径，∴AO＝OB＝CD.∴四边形OBCD是平行四边形．∵OB＝OD，∴四边形OBCD是菱形．(8分)
圆周角定理及其推论的相关计算
2.如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOB＝72°，则∠ACB等于( )A. 28° B. 54° C. 18° D. 36°
3. 如图，在⊙O中，OA、OB为半径，AB、AC、BC为弦，若∠OAB＝70°，则∠C的度数为( )A. 40° B. 70° C. 20° D. 30°
4. 如图，点A，B，C在⊙O上，BC∥OA，∠A＝20°，则∠B的度数为( )A. 10° B. 20° C. 40° D. 50°
5. 如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ADC＝58°，则∠BAC＝________°.
6. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为( )A. 10 B. 8 C. 5 D. 3
7. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC.若∠CAB＝22.5°，CD＝8 cm，则⊙O的半径为________cm.
8. 如图，A，B，C是半径为2的⊙O上的点，弦BC＝2 ，则∠BAC的度数是( )A. 30° B. 45° C. 60° D. 70°
9. 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，AC＝8，BC＝6.则sin∠ABD＝__________.
10. 如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为______．
11. 如图，A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点，若O为正多边形的中心，则∠OAD＝________°.
【对接教材】苏科：九上第2章P38－P62，P77－P82
弦和直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦(如图①中的线段BC)，经过圆心的弦叫做直径(如图①中的线段AB)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆．大于半圆的弧称为优弧(如图①中的 )，小于半圆的弧称为劣弧(如图① 中的)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角(如图①中的∠AOC)圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角(如图①中的∠ABC)对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，_______是它的对称中心
弦、弧、圆心角的关系 (如图②)
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________，即若∠AOB＝________，则＝ ＝ ,AB=CD
1.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一 组量相等,那么它们所对应的其余各组量都相等 2.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等
定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的________，同弧或等弧推论：直径所对的圆周角是________，90°的圆周角所对的弦是_______
一条弦对着两条弧,其中一条弧所对的圆周角与另一条弧所对的圆周角互补;一条弧只对着一个圆心角,但却对着无数个圆周角.
垂径定理及其延伸 (*选学)
定理：垂直于弦的直径________弦以及弦所对的两条弧
1. 平分弦(不是直径)的直径________于弦，并且________弦所对的两条弧2．弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧3．平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧4．圆中两条平行弦所夹的弧相等
垂径定理与推论的延伸:根据圆的对称性,如图③所示,在以下五个结论中:(1) ＝________；(2)________＝ ；(3)AE＝________；(4)AB⊥CD；(5)CD是直径．只要满足其中两个结论，另外三个结论一定成立，即知二推三垂径定理的简单应用：如图③，⊙O的半径为r，a是弦长，d是弦心距，半径OD与弦AB垂直，常用到勾股定理r2＝d2＋( )2或解直角三角形求线段长
三角形的外接 圆(如图④)
外接圆:三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆圆心(外心):三角形三条边的____________的交点性质:三角形的外心到三角形____________ 的距离相等角度关系:∠BOC=2∠A补充:当三角形为直角三角形时,则外接圆半径 (c为直角三角形斜边长)
圆内接四边形的对角________，如图⑤，∠A＋∠BCD＝________，∠B＋∠D＝________推论：圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的________， 如图⑤，∠DCE＝________
正多边形与圆(如图⑥)
1. 设正n边形的边长为a，则边心距2. 正n边形的周长l＝na；正n边形的面积S＝ lr＝ nar3. 中心角θ＝________
正多边形的有关计算常用方法是直接利用或构造出由半径、边长的一半、边心距组成的直角三角形，然后再利用勾股定理或锐角三角函数求解．
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上任意一点，连接CD交AB于点E，连接OC，AD，BD.
(1)∠ACB＝________；【解题依据】___________________________.
直径所对的圆周角为90°
(2)若∠BAC＝26°，则∠ACO＝________，∠BOC＝_________；
(3)若∠ABD＝54°，OC∥BD，则∠ACO＝________；
(4)若∠CAB＝30°，则∠CDB＝________，∠COB＝______，∠OCB＝______；若点B为 的中点，则∠BCD＝______；
(5)当CD⊥AB时，若AB＝10，CD＝8，则BE＝________.【解题依据】________________________.
例2 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点F为 上一点，连接CF交AD的延长线于点E, 已知∠DCE＝∠BAC，AC＝EC.
【思维教练】根据圆内接四边形对角互补求解即可．
(1)证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，∵∠ADC＋∠CDE＝180°，∴∠ABC＝∠EDC；
(1)求证：∠ABC＝∠EDC；
∵AC＝CE，∠ACE＝76°，∴∠CAE＝∠CEA＝ ＝52°，∴∠COD＝2∠CAE＝2×52°＝104°；
(2)连接OC，OD，若∠ACE＝76°，求∠COD的度数；
【思维教练】要求∠COD的度数，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，只需求出∠CAE的度数即可．
(2)解：如图，连接OC，OD，
(3)证明：BC＝DE；
【思维教练】要证明BC＝DE，即证明△CDE≌△ABC.
(3)证明：∵在△CDE和△ABC中，∴△CDE≌△ABC(AAS)，∴BC＝DE；
(4)若∠CDA＝60°，AC＝2 ，求⊙O的半径；
【思维教练】要求⊙O的半径，即连接CO并延长交⊙O于点G，连接AG，根据同弧所对的圆周角相等可以得到∠AGC的度数，在Rt△GCA中，根据锐角三角函数即可求解．
(4)解：如图，连接CO并延长交⊙O于点G，连接AG，
(5)连接BD，若AB＝CD，求证：四边形BCED是平行四边形．
【思维教练】要证明四边形BCED是平行四边形，可证明两条对边平行，根据同弧所对的圆周角相等即可求解．
(5)证明：如图，∵AB＝CD，AC＝CE，
∴∠BDA＝∠CAD，∠CBD＝∠ADB，∠CAE＝∠CEA，∴BC∥DE，∵∠CBD＝∠CAD，∴∠ADB＝∠CEA，∴BD∥CE，∴四边形BCED是平行四边形．
1. 如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O 上，AC与OD交于点E，AE＝EC，OE＝ED.连接BC、CD.
求证：(1)△AOE≌△CDE；
证明：(1)在△AOE和△CDE中，∴△AOE≌△CDE(SAS)；(3分)
(2)四边形OBCD是菱形．
(2)由(1)可得AO＝CD，∠BAC＝∠ACD，∴AB∥CD.∵AB是⊙O的直径，∴AO＝OB＝CD.∴四边形OBCD是平行四边形．∵OB＝OD，∴四边形OBCD是菱形．(8分)
圆周角定理及其推论的相关计算
2.如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOB＝72°，则∠ACB等于( )A. 28° B. 54° C. 18° D. 36°
3. 如图，在⊙O中，OA、OB为半径，AB、AC、BC为弦，若∠OAB＝70°，则∠C的度数为( )A. 40° B. 70° C. 20° D. 30°
4. 如图，点A，B，C在⊙O上，BC∥OA，∠A＝20°，则∠B的度数为( )A. 10° B. 20° C. 40° D. 50°
5. 如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ADC＝58°，则∠BAC＝________°.
6. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为( )A. 10 B. 8 C. 5 D. 3
7. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC.若∠CAB＝22.5°，CD＝8 cm，则⊙O的半径为________cm.
8. 如图，A，B，C是半径为2的⊙O上的点，弦BC＝2 ，则∠BAC的度数是( )A. 30° B. 45° C. 60° D. 70°
9. 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，AC＝8，BC＝6.则sin∠ABD＝__________.
10. 如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为______．
11. 如图，A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点，若O为正多边形的中心，则∠OAD＝________°.
【对接教材】苏科：九上第2章P38－P62，P77－P82
弦和直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦(如图①中的线段BC)，经过圆心的弦叫做直径(如图①中的线段AB)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆．大于半圆的弧称为优弧(如图①中的 )，小于半圆的弧称为劣弧(如图① 中的)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角(如图①中的∠AOC)圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角(如图①中的∠ABC)对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，_______是它的对称中心
弦、弧、圆心角的关系 (如图②)
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________，即若∠AOB＝________，则＝ ＝ ,AB=CD
1.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一 组量相等,那么它们所对应的其余各组量都相等 2.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等
定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的________，同弧或等弧推论：直径所对的圆周角是________，90°的圆周角所对的弦是_______
一条弦对着两条弧,其中一条弧所对的圆周角与另一条弧所对的圆周角互补;一条弧只对着一个圆心角,但却对着无数个圆周角.
垂径定理及其延伸 (*选学)
定理：垂直于弦的直径________弦以及弦所对的两条弧
1. 平分弦(不是直径)的直径________于弦，并且________弦所对的两条弧2．弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧3．平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧4．圆中两条平行弦所夹的弧相等
垂径定理与推论的延伸:根据圆的对称性,如图③所示,在以下五个结论中:(1) ＝________；(2)________＝ ；(3)AE＝________；(4)AB⊥CD；(5)CD是直径．只要满足其中两个结论，另外三个结论一定成立，即知二推三垂径定理的简单应用：如图③，⊙O的半径为r，a是弦长，d是弦心距，半径OD与弦AB垂直，常用到勾股定理r2＝d2＋( )2或解直角三角形求线段长
三角形的外接 圆(如图④)
外接圆:三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆圆心(外心):三角形三条边的____________的交点性质:三角形的外心到三角形____________ 的距离相等角度关系:∠BOC=2∠A补充:当三角形为直角三角形时,则外接圆半径 (c为直角三角形斜边长)
圆内接四边形的对角________，如图⑤，∠A＋∠BCD＝________，∠B＋∠D＝________推论：圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的________， 如图⑤，∠DCE＝________
正多边形与圆(如图⑥)
1. 设正n边形的边长为a，则边心距2. 正n边形的周长l＝na；正n边形的面积S＝ lr＝ nar3. 中心角θ＝________
正多边形的有关计算常用方法是直接利用或构造出由半径、边长的一半、边心距组成的直角三角形，然后再利用勾股定理或锐角三角函数求解．
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上任意一点，连接CD交AB于点E，连接OC，AD，BD.
(1)∠ACB＝________；【解题依据】___________________________.
直径所对的圆周角为90°
(2)若∠BAC＝26°，则∠ACO＝________，∠BOC＝_________；
(3)若∠ABD＝54°，OC∥BD，则∠ACO＝________；
(4)若∠CAB＝30°，则∠CDB＝________，∠COB＝______，∠OCB＝______；若点B为 的中点，则∠BCD＝______；
(5)当CD⊥AB时，若AB＝10，CD＝8，则BE＝________.【解题依据】________________________.
例2 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点F为 上一点，连接CF交AD的延长线于点E, 已知∠DCE＝∠BAC，AC＝EC.
【思维教练】根据圆内接四边形对角互补求解即可．
(1)证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，∵∠ADC＋∠CDE＝180°，∴∠ABC＝∠EDC；
(1)求证：∠ABC＝∠EDC；
∵AC＝CE，∠ACE＝76°，∴∠CAE＝∠CEA＝ ＝52°，∴∠COD＝2∠CAE＝2×52°＝104°；
(2)连接OC，OD，若∠ACE＝76°，求∠COD的度数；
【思维教练】要求∠COD的度数，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，只需求出∠CAE的度数即可．
(2)解：如图，连接OC，OD，
(3)证明：BC＝DE；
【思维教练】要证明BC＝DE，即证明△CDE≌△ABC.
(3)证明：∵在△CDE和△ABC中，∴△CDE≌△ABC(AAS)，∴BC＝DE；
(4)若∠CDA＝60°，AC＝2 ，求⊙O的半径；
【思维教练】要求⊙O的半径，即连接CO并延长交⊙O于点G，连接AG，根据同弧所对的圆周角相等可以得到∠AGC的度数，在Rt△GCA中，根据锐角三角函数即可求解．
(4)解：如图，连接CO并延长交⊙O于点G，连接AG，
(5)连接BD，若AB＝CD，求证：四边形BCED是平行四边形．
【思维教练】要证明四边形BCED是平行四边形，可证明两条对边平行，根据同弧所对的圆周角相等即可求解．
(5)证明：如图，∵AB＝CD，AC＝CE，
∴∠BDA＝∠CAD，∠CBD＝∠ADB，∠CAE＝∠CEA，∴BC∥DE，∵∠CBD＝∠CAD，∴∠ADB＝∠CEA，∴BD∥CE，∴四边形BCED是平行四边形．
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