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2024徐州中考数学二轮重点专题研究 微专题 运动产生的角度问题（课件）
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这是一份2024徐州中考数学二轮重点专题研究 微专题 运动产生的角度问题（课件），共24页。PPT课件主要包含了例1题图②，例1题图③，例1题解图②，例1题图④，例1题解图③，例1题图⑤，例1题解图④，例1题解图⑤，例2题图①，例2题图②等内容，欢迎下载使用。
(2)如图②，点A( ，1)，点C为BA延长线上一点，若∠COB＝2∠AOB，则点C的坐标为 ________；
(3)如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为x轴上一点，若∠PBA＝15°，求点P的坐标；
(3)∵直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A(2，0)，B(0，2)，∴OA＝OB＝2，∴∠OBA＝45°.设点P的坐标为(x，0)，如解图②，当点P在点A左侧时，∵∠P1BA＝15°，∴∠OBP1＝∠OBA－∠P1BA＝30°，∴OP1＝OB·tan30°＝ ，
点P1的坐标为( ，0)；当点P在点A右侧时，∵∠P2BA＝15°，∴∠OBP2＝∠OBA＋∠P2BA＝60°，∴OP2＝OB·tan60°＝ ，∴点P2的坐标为( ，0)．综上所述，点P的坐标为( ，0)或( ，0)．
(4)如图④，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(2，3)，过点A作AB⊥x轴于点B，点C为直线AB上一点，当OC平分∠AOB时，求点C的坐标；
(4)如解图③，过点C作CD⊥OA于点D，∵OC平分∠AOB，DC⊥OA，CB⊥OB，∴DC＝BC.∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ABO＝90°，∴△ADC∽△ABO.∴ .∵点A(2，3)，∴OB＝2，AB＝3，在Rt△ABO中，OA＝ .
设点C的坐标为(2，m)(m>0)，则CD＝BC＝m，∴ ，解得m＝ ，则点C的坐标为(2， )．
(5)如图⑤，在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)，过点A作AB⊥x轴于点B，C是y轴上一动点，是否存在点C使得∠ACO＝∠AOB？若存在，请你求出点C坐标；若不存在，请说明理由．
(5)存在．如解图④，当点C在y轴正半轴时，∵AB⊥x轴，∴AB∥y轴．∴∠AOC＝∠OAB，∵∠ACO＝∠AOB，∴△AOC∽△BAO，∴ .∵点A(2，3)，
∴OB＝2，AB＝3，OA＝ ，∴ ，∴OC＝ .∴点C的坐标为(0， )；如解图⑤，当点C在y轴负半轴上时，∵∠ACO<∠AOB，∴∠ACO与∠AOB不可能相等．综上所述，符合条件的点C坐标为(0， )．
①若所求角度为90°，一般将其放在直角三角形中，利用勾股定理列方程求解；或利用相似或全等三角形的性质求解；②若所求角度为非特殊角，可通过相关角的和差关系将所求角度转化为特殊角，再结合锐角三角函数求解．
例 2 如图①，抛物线y＝ x2＋bx＋c与x轴交于A(－3，0)、B两点，与y轴交于点C(0，3 )，抛物线的顶点为M，连接AC，BC，抛物线的对称轴交x轴于点E，交BC于点F.(1)求抛物线的表达式及顶点M的坐标；
(2)如图②，已知点R是y轴上一点，连接AR，若AR恰好平分∠OAC，求点R的坐标；
【思维教练】要求点R的坐标，先设出点R的坐标，结合AR平分∠OAC，且OR⊥AO，故可考虑过点R作RD⊥AC于点D，利用角平分线性质得到RD＝RO，再结合∠RCD＝∠ACO，∠RDC＝∠AOC得△CRD∽△CAO，列比例式求解即可．
(2)如解图①，过点R作RD⊥AC于点D，设点R的坐标为(0，r)，∵AR平分∠CAO，RO⊥AO，∴DR＝RO＝r，∠CDR＝∠AOC＝90°，∵在△CDR与△COA中，∠RCD＝∠ACO，∠CDR＝∠COA∴△CDR∽△COA，∴ ，又∵点A(－3，0)，C(0，3 )，∴OA＝3，OC＝3 ，
在Rt△AOC中，由勾股定理得AC= ，∴ ，解得r＝ ，∴点R的坐标为(0， )；
(3)如图③，抛物线上是否存在点H，使得∠HCB＝∠HBC，若存在，请你求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；
【思维教练】要求满足∠HCB＝∠HBC的点H坐标，则由等角对等边可知HC＝HB，即点H在线段BC的垂直平分线上，从而取BC的中点S，过S作SL⊥BC，交x轴于点L，交抛物线于点H，则点H即为所求．先求点L的坐标，从而得到直线SL的函数表达式，再与抛物线联立得方程组，求解即可得到点H的坐标．
(3)存在．如解图②，取BC的中点S，过点S作SL⊥BC，交x轴于点L，交抛物线于点H，此时点H即为所求．令y＝ x2＋ x＋3 ＝0，解得x1＝－3，x2＝9，∴A(－3，0)，B(9，0)．∵C(0，3 )，∴BC的中点S的坐标为( ， )．∵OC＝3 ，OB＝9，∴BC＝6 ，又∵OA＝3，AC＝6，∴∠ACO＝∠CBO＝30°，∴BS＝ BC＝3 ，
∴BL ，∴OL＝OB－BL＝9－6＝3，此时点L与点E重合，则点L的坐标为(3，0)．设直线SL的表达式为y＝kx＋t(k≠0)，将点L，S的坐标代入得， ， 解得∴直线的解析式为y＝ x－3 ，与抛物线表达式联立得方程组
解得∴满足条件的点H有两个，坐标为(6，3 )或(－9，－12 )；
(4)如图⑤，在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得∠CPB＝90°，若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)存在．如解图③，过点C作CT⊥ME于点T，设点P的坐标为(3，e)，则CT＝3，BE＝6，PT＝|e－3 |，PE＝|e|，∵∠CPB＝90°，∴∠CPT＋∠EPB＝90°，∵∠CTP＝90°，∴∠TCP＋∠CPT＝90°，∴∠EPB＝∠TCP，∵∠CTP＝∠PEB，
(2)如图②，点A( ，1)，点C为BA延长线上一点，若∠COB＝2∠AOB，则点C的坐标为 ________；
(3)如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为x轴上一点，若∠PBA＝15°，求点P的坐标；
(3)∵直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A(2，0)，B(0，2)，∴OA＝OB＝2，∴∠OBA＝45°.设点P的坐标为(x，0)，如解图②，当点P在点A左侧时，∵∠P1BA＝15°，∴∠OBP1＝∠OBA－∠P1BA＝30°，∴OP1＝OB·tan30°＝ ，
点P1的坐标为( ，0)；当点P在点A右侧时，∵∠P2BA＝15°，∴∠OBP2＝∠OBA＋∠P2BA＝60°，∴OP2＝OB·tan60°＝ ，∴点P2的坐标为( ，0)．综上所述，点P的坐标为( ，0)或( ，0)．
(4)如图④，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(2，3)，过点A作AB⊥x轴于点B，点C为直线AB上一点，当OC平分∠AOB时，求点C的坐标；
(4)如解图③，过点C作CD⊥OA于点D，∵OC平分∠AOB，DC⊥OA，CB⊥OB，∴DC＝BC.∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ABO＝90°，∴△ADC∽△ABO.∴ .∵点A(2，3)，∴OB＝2，AB＝3，在Rt△ABO中，OA＝ .
设点C的坐标为(2，m)(m>0)，则CD＝BC＝m，∴ ，解得m＝ ，则点C的坐标为(2， )．
(5)如图⑤，在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)，过点A作AB⊥x轴于点B，C是y轴上一动点，是否存在点C使得∠ACO＝∠AOB？若存在，请你求出点C坐标；若不存在，请说明理由．
(5)存在．如解图④，当点C在y轴正半轴时，∵AB⊥x轴，∴AB∥y轴．∴∠AOC＝∠OAB，∵∠ACO＝∠AOB，∴△AOC∽△BAO，∴ .∵点A(2，3)，
∴OB＝2，AB＝3，OA＝ ，∴ ，∴OC＝ .∴点C的坐标为(0， )；如解图⑤，当点C在y轴负半轴上时，∵∠ACO<∠AOB，∴∠ACO与∠AOB不可能相等．综上所述，符合条件的点C坐标为(0， )．
①若所求角度为90°，一般将其放在直角三角形中，利用勾股定理列方程求解；或利用相似或全等三角形的性质求解；②若所求角度为非特殊角，可通过相关角的和差关系将所求角度转化为特殊角，再结合锐角三角函数求解．
例 2 如图①，抛物线y＝ x2＋bx＋c与x轴交于A(－3，0)、B两点，与y轴交于点C(0，3 )，抛物线的顶点为M，连接AC，BC，抛物线的对称轴交x轴于点E，交BC于点F.(1)求抛物线的表达式及顶点M的坐标；
(2)如图②，已知点R是y轴上一点，连接AR，若AR恰好平分∠OAC，求点R的坐标；
【思维教练】要求点R的坐标，先设出点R的坐标，结合AR平分∠OAC，且OR⊥AO，故可考虑过点R作RD⊥AC于点D，利用角平分线性质得到RD＝RO，再结合∠RCD＝∠ACO，∠RDC＝∠AOC得△CRD∽△CAO，列比例式求解即可．
(2)如解图①，过点R作RD⊥AC于点D，设点R的坐标为(0，r)，∵AR平分∠CAO，RO⊥AO，∴DR＝RO＝r，∠CDR＝∠AOC＝90°，∵在△CDR与△COA中，∠RCD＝∠ACO，∠CDR＝∠COA∴△CDR∽△COA，∴ ，又∵点A(－3，0)，C(0，3 )，∴OA＝3，OC＝3 ，
在Rt△AOC中，由勾股定理得AC= ，∴ ，解得r＝ ，∴点R的坐标为(0， )；
(3)如图③，抛物线上是否存在点H，使得∠HCB＝∠HBC，若存在，请你求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；
【思维教练】要求满足∠HCB＝∠HBC的点H坐标，则由等角对等边可知HC＝HB，即点H在线段BC的垂直平分线上，从而取BC的中点S，过S作SL⊥BC，交x轴于点L，交抛物线于点H，则点H即为所求．先求点L的坐标，从而得到直线SL的函数表达式，再与抛物线联立得方程组，求解即可得到点H的坐标．
(3)存在．如解图②，取BC的中点S，过点S作SL⊥BC，交x轴于点L，交抛物线于点H，此时点H即为所求．令y＝ x2＋ x＋3 ＝0，解得x1＝－3，x2＝9，∴A(－3，0)，B(9，0)．∵C(0，3 )，∴BC的中点S的坐标为( ， )．∵OC＝3 ，OB＝9，∴BC＝6 ，又∵OA＝3，AC＝6，∴∠ACO＝∠CBO＝30°，∴BS＝ BC＝3 ，
∴BL ，∴OL＝OB－BL＝9－6＝3，此时点L与点E重合，则点L的坐标为(3，0)．设直线SL的表达式为y＝kx＋t(k≠0)，将点L，S的坐标代入得， ， 解得∴直线的解析式为y＝ x－3 ，与抛物线表达式联立得方程组
解得∴满足条件的点H有两个，坐标为(6，3 )或(－9，－12 )；
(4)如图⑤，在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得∠CPB＝90°，若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)存在．如解图③，过点C作CT⊥ME于点T，设点P的坐标为(3，e)，则CT＝3，BE＝6，PT＝|e－3 |，PE＝|e|，∵∠CPB＝90°，∴∠CPT＋∠EPB＝90°，∵∠CTP＝90°，∴∠TCP＋∠CPT＝90°，∴∠EPB＝∠TCP，∵∠CTP＝∠PEB，
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