2024云南中考数学二轮专题训练 题型一 多解题 (含答案)

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作图微技能
例1 (1)如图①，已知∠C＝30°，AC＝4，点B是射线CD上的动点，画出△ABC，使得AB＝2eq \r(2)；
【思维引导】过点A作CD的垂线，由已知可求垂线的长度为2，∠A为锐角或钝角，即分点B在垂线左侧和垂线右侧两种情况画图．
(2)如图②，已知∠C＝30°，AC＝4，点B是射线CD上的动点，画出△ABC，使得△ABC是直角三角形；
【思维引导】分∠BAC＝90°和∠ABC＝90°两种情况画图．
(3)如图③，已知∠C＝30°，AC＝4，点B是射线CD上的动点，画出△ABC，使得△ABC是等腰三角形；
【思维引导】分∠C为顶角和∠C为底角两种情况，当∠C为底角时又分AC＝AB和AB＝BC两种情况画图．
(4)如图④，已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是平面内一点，画出以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形．
【思维引导】分AB为边和AB为对角线两种情况，当AB为边时，又分点D在BC左侧和点D在BC右侧两种情况．
针对训练
1. (2023云南黑白卷)已知四边形ABCD是矩形，且长为6，宽为4，点E在矩形ABCD的边上，∠ABE＝45°，则AE的长为________.
第2题图
2. 沿三角形的两条中位线分别剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的平行四边形，经测量这个平行四边形的相邻的两边长分别为10、6，一条对角线的长为8，则原三角形纸片的周长是________．
3. 在△ABC中，AC＝BC＝4eq \r(2)，∠C＝90°，点D、E分别为AB，BC上的点，且AD＝3BD，若△BDE是直角三角形，则CE的长为________．
类型二 点位置不确定
作图微技能
例2 (1)如图①，在正方形ABCD中，点E是直线AD上的点，且满足AE＝eq \f(1,2)AB，连接CE，画出满足条件的线段CE；
例2题图①
【思维引导】分点E在线段AD上和点E在射线DA上两种情况画图．
(2)如图②，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D是△ABC直角边上的中点，画出点D的位置；
例2题图②
【思维引导】分点D在AC边上和点D在BC边上两种情况画图．
(3)如图③，在矩形ABCD中，AB>eq \f(1,2)AD，点E是矩形对称轴上的点，且AB＝AE，画出满足条件的△AED；
例2题图③
【思维引导】分点E在AD的垂直平分线和AB的垂直平分线两种情况，当E在AD的垂直平分线上时，又分E在AD上方和E在AD下方两种情况．
(4)如图④，已知圆O和弦AB，C、D是圆O上的点，且CD⊥AB，请画出圆周角∠ACB.
例2题图④
【思维引导】分点C在优弧AB和点C在劣弧AB上两种情况画图．
针对训练
1. (2023云南逆袭卷)在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，D为AB的中点，E为直线BC上的动点，且满足BC＝2CE，则△ADE的面积为________．
2. 在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，点D是直角边上的中点，DE⊥AC，垂足为E，则AE的长为________________________________________________________________________．
3. 已知⊙O的直径为4，AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，点P在⊙O上，若点P到直线AB的距离为1，则∠PAB的度数为________．
4. 在边长为6的菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC、BD交于点O，点E是对角线上的点，且AE＝2OE，则BE的长为________．
类型三 对应关系不确定
作图微技能
例3 (1)如图，已知△ABC，点D是AB边的中点，点E是AC边上的动点，当△ABC和以A、D、E为顶点的三角形相似时，找出点E的位置，并画出图形；
例3题图
【思维引导】分△ABC∽△ADE和△ABC∽△AED两种情况讨论．
(2)在矩形ABCD中，∠B的平分线将AD分成长度为1和2的两部分，请画出图形，并标出矩形的长和宽．
【思维引导】若∠B的平分线交AD于点E，分AE＝1，DE＝2和AE＝2，DE＝1两种情况．
针对训练
1. (2023云南逆袭卷)将一副直角三角板如图放置，把△COD绕点O逆时针旋转180°，在旋转过程中，若△COD的直角边与AB垂直，则旋转角α的度数为________．
第1题图
2. 已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，0)，以OA为边作正方形OABC，反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象经过边AB的三等分点，则k的值为________．
3. 已知△ABC为等边三角形，且AB＝4，∠B的平分线交AC于点D，点E是射线BD上的点，且以C、D、E为顶点的三角形和△ABD相似，则BE的长为________．
类型四 运动方向不确定
作图微技能
例4 (1)如图①，已知△ABC，∠B＝60°，将边BC绕点B旋转30°得到BD，连接AD，请画出满足条件的线段AD；
例4题图①
【思维引导】分边BC绕点B顺时针旋转30°和逆时针旋转30°两种情况．
(2)如图②，已知平面直角坐标系xOy和线段OA，将线段OA沿着y轴方向平移OA个单位长度，请画出平移后的线段CD.
【思维引导】分将线段OA向上平移和向下平移两种情况．
例4题图②
针对训练
1. 已知二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3，将二次函数的图象沿着x轴平移使其经过坐标原点O(0，0)，则二次函数图象平移的长度为________．
2. 已知在平面直角坐标系中，四边形OBCD为矩形，点B(3eq \r(3)，0)，点D(0，3)，将矩形OBCD绕点D旋转60°后，点B′的坐标为________．
参考答案
类型一 图形形状不确定
作图微技能
例1 解：(1)画出图形如解图①②；
图①

图②
例1题解图
(2)画出图形如解图③④；
图③

图④
例1题解图
(3)画出图形如解图⑤⑥⑦；
图⑤
图⑥
图⑦
例1题解图
(4)画出图形如解图⑧⑨⑩.
图⑧
图⑨
图⑩
例1题解图
针对训练
1. 4或2eq \r(5) 【解析】分两种情况，①当AB为矩形ABCD的宽时，如解图①，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE＝90°，∵∠ABE＝45°，∴∠AEB＝45°，∴AE＝AB＝4；②当AB为矩形ABCD的长时，如解图②，连接AE，∵∠ABE＝45°，∴∠CBE＝45°，∠CEB＝45°，∴CE＝BC＝4，∴DE＝CD－CE＝6－4＝2，在Rt△ADE中，AE＝eq \r(AD2＋DE2)＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5).
图①
图②
第1题解图
2. 48或32＋8eq \r(13) 【解析】如解图①，周长为2×(10＋8＋6)＝48；如解图②，∵BD＝6，BC＝8，CD＝10，∴BD2＋BC2＝CD2，∴△BCD是直角三角形，∴AC＝12，AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝4eq \r(13)，∴周长为2×(10＋4eq \r(13)＋6)＝32＋8eq \r(13).综上所述，原三角形纸片的周长是48或32＋8eq \r(13).
图①
图②
第2题解图
3. 2eq \r(2)或3eq \r(2) 【解析】∵AC＝BC＝4eq \r(2)，∠C＝90°，∴∠ABC＝45°，AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝8.∵AD＝3BD，∴BD＝eq \f(1,4)AB＝2.①当DE⊥AB时，如解图①，BE＝eq \f(BD,cs45°)＝2eq \r(2)，∴CE＝BC－BE＝2eq \r(2)；②当DE⊥BC时，如解图②，BE＝BD·cs45°＝eq \r(2)，∴CE＝BC－BE＝3eq \r(2).综上所述，CE的长为2eq \r(2)或3eq \r(2).
图①

图②
第3题解图
类型二 点位置不确定
作图微技能
例2 解：(1)画出图形如解图①②；
图①
图②
例2题解图
(2)画出图形如解图③④；
图③
图④
例2题解图
(3)画出图形如解图⑤⑥⑦⑧；
图⑤
图⑥
图⑦
图⑧
例2题解图
(4)画出图形如解图⑨eq \(○,\s\up1(10)).
图⑨
图eq \(○,\s\up1(10))
例2题解图
针对训练
1. 2或6 【解析】①如解图①，当点E在线段BC上时，由BC＝2CE，可得CE＝BE＝2，∵D为AB的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE＝eq \f(1,2)AC＝2，∴S△ADE＝eq \f(1,2)DE·CE＝2；②如解图②，当点E在线段BC的延长线上时，由BC＝2CE，可得CE＝2，∴BE＝6，过点D作DF⊥BC于点F，可得DF＝2，∴S△ADE＝S△ABE－S△BDE＝6.综上所述，△ADE的面积为2或6.
图①
图②
第1题解图
2. eq \f(\r(5),5)或eq \f(6\r(5),5) 【解析】根据题意得AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5).点D的位置有两种情况：①如解图①，点D在AB边上时，在Rt△ABC和Rt△AED中，∵∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△AED，∴eq \f(AE,AB)＝eq \f(AD,AC)，∴AE＝AB·eq \f(AD,AC)＝2×eq \f(1,2\r(5))＝eq \f(\r(5),5)；②如解图②，当点D在BC边上时，在Rt△ABC和Rt△DEC中，∵∠ACB＝∠DCE，∴△ABC∽△DEC，∴eq \f(CE,CB)＝eq \f(CD,CA)，∴CE＝CB·eq \f(CD,CA)＝4×eq \f(2,2\r(5))＝eq \f(4\r(5),5)，∴AE＝AC－CE＝2eq \r(5)－eq \f(4\r(5),5)＝eq \f(6\r(5),5).综上所述，AE的长为eq \f(\r(5),5)或eq \f(6\r(5),5).
图①

图②
第2题解图
3. 30°或15°或105° 【解析】如解图，过点O作OP1⊥AB交⊙O于点P1，交AB于点H，过点O作直线P2P3∥AB交⊙O于点P2，P3.∵∠AOB＝120°，OA＝OB，OH⊥AB，∴∠AOH＝eq \f(1,2)∠AOB＝60°，∠AHO＝90°，∴∠OAH＝30°，∴OH＝eq \f(1,2)OA＝1，∴HP1＝1，∴直线AB与直线P2P3之间的距离为1，∴P1，P2，P3是满足条件的点．∠P1AB＝eq \f(1,2)∠BOP1＝30°，∠P3AB＝eq \f(1,2)∠BOP3＝15°.∵P2P3为直径，∴∠P2AP3＝90°，∴∠P2AB＝∠P3AB＋∠P2AP3＝105°.综上所述，∠PAB的度数为30°或15°或105°.
第3题解图
4. 2eq \r(3)或4eq \r(3)或2eq \r(7)或6 【解析】由菱形的性质可知，AC⊥BD，∠ABD＝∠CBD＝eq \f(1,2)∠ABC＝30°，∴AO＝CO＝eq \f(1,2)AB＝3，BO＝DO＝AB·cs30°＝6×eq \f(\r(3),2)＝3eq \r(3).∵点E在对角线上，∴点E的位置有四种情况：①如解图①，当点E在BO上时，∵eq \f(OE,AE)＝sin∠OAE＝eq \f(1,2)，∴∠OAE＝30°，∴OE＝AO·tan30°＝3×eq \f(\r(3),3)＝eq \r(3)，∴BE＝BO－OE＝3eq \r(3)－eq \r(3)＝2eq \r(3)；②如解图②，当点E在DO上时，由①可得OE＝eq \r(3)，∴BE＝BO＋OE＝3eq \r(3)＋eq \r(3)＝4eq \r(3)；③如解图③，当点E在AO上时，∵AE＝2OE，∴AO＝AE＋OE＝3OE，∴OE＝eq \f(1,3)AO＝1.在Rt△BOE中，BE＝eq \r(BO2＋OE2)＝eq \r(（3\r(3)）2＋12)＝2eq \r(7)；④如解图④，当点E在OC上时，此时点E与点C重合，∴BE＝BC＝6.综上所述，BE的长为2eq \r(3)或4eq \r(3)或2eq \r(7)或6.
图①

图②
图③

图④
第4题解图
类型三 对应关系不确定
作图微技能
例3 解：(1)画出图形如解图①②；
图①
图②
例3题解图
(2)画出图形如解图③④.
图③
图④
例3题解图
针对训练
1. 45°或135° 【解析】分两种情况讨论：如解图①，当OC⊥AB时，即∠BEO＝90°，∴∠BOE＝180°－90°－45°＝45°，∴α＝∠AOB－∠BOE＝90°－45°＝45°；如解图②，当OD⊥AB时，∠BOE＝45°，∴∠BOC＝∠DOC－∠BOE＝45°，∴α＝∠AOB＋∠BOC＝90°＋45°＝135°.综上所述，旋转角α的度数为45°或135°.
图①
图②
第1题解图
2. 6或3或－3或－6 【解析】根据题意得，点D的位置共有四种情况：①如解图①，当点D位于第一象限，BD＝eq \f(1,3)AB时，根据题意得点D的坐标为(3，2)，将点D(3，2)代入y＝eq \f(k,x)中得k＝6；②当点D位于第一象限，AD＝eq \f(1,3)AB时，根据题意得点D的坐标为(3，1)，将点D(3，1)代入y＝eq \f(k,x)中得k＝3；③如解图③，当点D位于第四象限，AD＝eq \f(1,3)AB时，根据题意得点D的坐标为(3，－1)，将点D(3，－1)代入y＝eq \f(k,x)中得k＝－3；④如解图④，当点D位于第四象限，BD＝eq \f(1,3)AB时，根据题意得点D的坐标为(3，－2)，将点D(3，－2)代入y＝eq \f(k,x)中得k＝－6.综上所述，k的值为6或3或－3或－6.
图①

图②
图③

图④
第2题解图
3. eq \f(4\r(3),3)或eq \f(8\r(3),3)或4eq \r(3) 【解析】∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，∴AD＝DC＝eq \f(1,2)AC＝2，BD⊥AC，∠ABD＝∠CBD＝eq \f(1,2)∠ABC＝30°，∴BD＝AB·cs30°＝4×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3).∵以C、D、E为顶点的三角形和△ABD相似，∴点E的位置共有三种情况：①如解图①，当点E在线段BD上时，△ABD∽△ECD，∴∠ECD＝∠ABD＝30°，∴DE＝CD·tan30°＝2×eq \f(\r(3),3)＝eq \f(2\r(3),3)，∴BE＝BD－DE＝2eq \r(3)－eq \f(2\r(3),3)＝eq \f(4\r(3),3)；②如解图②，当点E在BD的延长线上时，△ABD∽△ECD，∴∠ECD＝∠ABD＝30°，∴DE＝CD·tan30°＝2×eq \f(\r(3),3)＝eq \f(2\r(3),3)，∴BE＝BD＋DE＝2eq \r(3)＋eq \f(2\r(3),3)＝eq \f(8\r(3),3)；③如解图③，当点E在BD的延长线上时，△ABD∽△CED，∠CED＝∠ABD＝30°，∴DE＝CD·tan60°＝2×eq \r(3)＝2eq \r(3)，∴BE＝BD＋DE＝2eq \r(3)＋2eq \r(3)＝4eq \r(3).综上所述，BE的长为eq \f(4\r(3),3)或eq \f(8\r(3),3)或4eq \r(3).
图①
图②
图③
第3题解图
类型四 运动方向不确定
作图微技能
例4 解：(1)画出图形如解图①②；
图①
图②
例4题解图
(2)画出图形如解图③④.
图③
图④
例4题解图
针对训练
1. 1或3 【解析】∵y＝x2＋2x－3＝(x－1)(x＋3)，∴函数图象与x轴交点坐标分别为(－3，0)和(1，0)．①如解图①，将该函数图象沿x轴向左移动，使其经过原点时，点(1，0)平移到了点(0，0)，平移的长度为1；②如解图②，将该函数图象沿x轴向右移动，使其经过原点时，(－3，0)平移到了点(0，0)，平移的长度为3.综上所述，二次函数图象平移的长度为1或3.
图①
图②
第1题解图
2. (3eq \r(3)，6)或(0，－3) 【解析】由题易得旋转角为60°，DB＝6，点B的位置共有两种情况：①如解图①，将矩形OBCD绕点D逆时针旋转60°时，点B旋转到点B′的位置，作B′E⊥y轴于点E，则B′E ＝DB′·sin60°＝6×eq \f(\r(3),2)＝3eq \r(3)，DE＝DB′·sin30°＝6×eq \f(1,2)＝3，∴点B′的坐标为(3eq \r(3)，6)；②如解图②，将矩形OBCD绕点D顺时针旋转60°时，点B′落在y轴负半轴上，点B′的坐标为(0，－3)．综上所述，点B′的坐标为(3eq \r(3)，6)或(0，－3)．
图①
图②
第2题解图