2024云南中考数学二轮专题复习 题型六 二次函数与几何综合题（课件）

这是一份2024云南中考数学二轮专题复习 题型六 二次函数与几何综合题（课件），共60页。PPT课件主要包含了例1题解图①，例1题图，例1题解图②，例1题解图③，垂直平分线，垂直平分线与抛物线，两圆与抛物线的交点，例2题图，例2题解图①，例2题解图②等内容，欢迎下载使用。
探究一：在抛物线上找一点P，使得△ACP为等腰三角形；
解：①若AC为等腰三角形的底边时，AP＝________；在图①中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹).
【作图依据】________________________________________.
满足条件的点P如解图①所示
垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
②若AC为等腰三角形的腰时，AC＝________或AC＝ ________；在图②中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹).
满足条件的点P如解图②所示
探究二：在抛物线的对称轴上找一点E使得△BCE为等腰三角形．在图③中画出所有满足条件的点E的示意图(保留作图痕迹)．
满足条件的点E如解图③所示
【方法总结】二次函数中等腰三角形的存在性一般要分情况讨论：常以已知边为________或________讨论；以探究一为例，已知边AC为底时，可以作底边的__________，所找点即为___________________的交点；若已知边AC为腰时，作图方法为：______________________，_________________所找点即为____________________．
例2 如图，已知抛物线交x轴于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接AC.
探究一：在抛物线对称轴上找一点P，使得△ACP为直角三角形；
解：①若∠PAC＝90°时，在图①中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹);
①满足条件的点P如解图①所示
②若∠PCA＝90°时，在图②中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹)；
②满足条件的点P如解图②所示
③若∠APC＝90°时，在图③中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹)；
③满足条件的点P如解图③所示
探究二：在抛物线上找一点E使得△BCE为直角三角形．在图④中画出所有满足条件的点E的示意图(保留作图痕迹)．
满足条件的点E如解图④所示
【方法总结】二次函数中直角三角形的存在性一般要分情况讨论；以探究一为例，若∠PAC＝90°，过点A作PA⊥AC交抛物线对称轴于点P；若∠PCA＝90°，作图方法：__________________________________，所找点为_________________；若∠APC＝90°，作图方法：___________________________________，所找点为____________________．
过点C作PC⊥AC交抛物线对称轴于点P
例3 已知抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴DF交BC于点E，交x轴于点F.
(1)如图①，在抛物线上是否存在一点G，使得△BCG是以BC为底边的等腰三角形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；
【思维引导】要使△BCG是以BC为底的等腰三角形，可作BC的垂直平分线，其与抛物线的交点即为所求点G．
联立抛物线与直线l的解析式可得 解得 或 ∴满足条件的点G的坐标为( ， )或( ， )；
(2)如图②，在抛物线对称轴上是否存在一点M，使得△BCM是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
【思维引导】设点M坐标，然后表示出BM和CM，分BC为腰，BC为底边两种情况讨论，列方程，若方程有解，则存在，否则不存在．
(3)如图③，在抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得△BCH是直角三角形？若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由；
【思维引导】分∠HCB＝90°、∠HBC＝90°、∠CHB＝90°三种情况讨论，利用直角三角形的性质求解．
(3)存在．设点H的坐标为(1，h)，要使△BCH为直角三角形，需分三种情况讨论：①当∠HCB＝90°时，如解图①，
∵点D为抛物线顶点，∴D(1，4)，
∵CD2＝12＋(4－3)2＝2，BD2＝(3－1)2＋42＝20，BC2＝32＋32＝18.∴BC2＋CD2＝BD2.∴∠DCB＝90°.∴当点H与点D重合时，∠BCH＝90°，此时点H的坐标为(1，4)；
②当∠HBC＝90°时，如解图②，
∵OB＝OC＝3，∴∠BCO＝45°.∴∠BEH＝∠BCO＝45°.∴BE＝BH.∵EH⊥BF，∴FH＝BF＝OB－OF＝2.∴此时点H的坐标为(1，－2)；
(4)如图④，在抛物线上是否存在一点N，使得△BCN是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【思维引导】△BCN是以BC为直角边的直角三角形，需分点B和点C分别为直角顶点两种情况讨论，结合△OBC是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求解．
(4)存在．设N(n，－n2＋2n＋3)，分两种情况讨论；
①当∠NCB＝90°时，如解图④，过点N作NG⊥y轴于点G，
∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠CBO＝45°.∴∠NCG＝180°－∠BCO－∠BCD＝45°.∴CG＝NG.∵CG＝OG－OC＝－n2＋2n＋3－3＝－n2＋2n，NG＝n，∴－n2＋2n＝n.解得n1＝0(舍)，n2＝1.∴N(1，4)；
则∠HBN＝90°－∠CBO＝45°，∴BH＝NH.∵BH＝3－n，NH＝－(－n2＋2n＋3)＝n2－2n－3.∴3－n＝n2－2n－3，解得n1＝3(舍)，n2＝－2.∴N(－2，－5)．综上所述，点N的坐标为(1，4)或(－2，－5)．
②当∠NBC＝90°时，如解图⑤，过点N作NH⊥x轴于点H，
类型四　与四边形形状有关的问题
例1 如图，已知抛物线交x轴于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接AC.
探究一：P是平面内一点，找出点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形；
解：①若AC为平行四边形的边时，AC∥BP，且AC＝BP，在图①中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹).
②若AC为平行四边形的对角线时，在图②中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹).
讨论：探究菱形的存在性时，要区别于平行四边形的点为：①菱形各边相等；②菱形的对角线互相垂直．
探究二：M是x轴上的点，N是平面内一点，使得以B、C、M、N为顶点的四边形为菱形，在图③中画出满足条件的点M、N(保留作图痕迹)．
满足条件的点M、N如解图③所示
【方法总结】二次函数中特殊四边形的存在性一般要分情况讨论：常以已知边为______或________讨论；以探究一为例，若AC为边时，过点B作BP∥AC，点P可在x轴上方，也可在x轴下方；作图依据：________________________________________；若AC为对角线时，作法：_________________________________________________．
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
取AC的中点D，连接BD并延长至点P，使得DP＝BP
例2 已知抛物线y＝x2＋6x＋5与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，M为顶点，抛物线的对称轴l与x轴交于点D，与过A、C两点的直线交于点E.
(1)如图①，将抛物线沿x轴平移，使得点A落在点B处记为A′，此时点C的对应点为C′，求点C′的坐标，判断四边形AA′C′C的形状，并说明理由．
【思维引导】根据平移的性质可知，点A平移到点B的规律与点C平移到点C′的规律一致，即可得到点C′的坐标，再由AA′＝CC′，AA′∥CC′即可判断四边形的形状．
(1)四边形AA′C′C是平行四边形，理由如下：∵抛物线y＝x2＋6x＋5与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，∴当x＝0时，y＝5；当y＝0，即x2＋6x＋5＝0时，解得x＝－1或－5，
∴A(－5，0)、B(－1，0)、C(0，5)，∴AB＝－1－(－5)＝4，∴由平移的性质得C′(4，5)，AA′＝CC′，AA′∥CC′，∴四边形AA′C′C是平行四边形；
(2)如图②，设点G是抛物线上一点，过点G作GH∥x轴交对称轴l于点H，是否存在点G，使得以A、B、G、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；
【思维引导】由GH∥x轴，AB在x轴上可知AB∥GH，从而只需GH＝AB即可得到以A、B、G、H为顶点的四边形是平行四边形．分点H在点G左侧和点H在点G右侧两种情况．
即|g＋3|＝4，解得g＝1或g＝－7.当g＝1时，g2＋6g＋5＝12，此时点G的坐标为G1(1，12)；当g＝－7时，g2＋6g＋5＝12，此时点G的坐标为G2(－7，12)．综上所述，满足条件的点G有两个，坐标分别为(1，12)或(－7，12)；
(3)如图③，G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时，求点G的坐标；
【思维引导】已知平行四边形的三个顶点，求第四个顶点，可顺次连接已知三点构成△ACM，分别以AC，AM，CM作为平行四边形的对角线进行分类讨论，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”及中点坐标公式求解．
(3)∵抛物线的解析式为y＝x2＋6x＋5＝(x＋3)2－4，∴点M(－3，－4)．设点G(x，y)，∵A(－5，0)，C(0，5)，分三种情况讨论：
(4)如图④，设G是抛物线的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A，C，G，K 为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；
【思维引导】要使以A，C，G，K为顶点的四边形是矩形，只需△ACG是直角三角形即可，可分为①∠ACG＝90°，②∠CAG＝90°，③∠CGA＝90°三种情况，分别利用勾股定理列方程即可求解．
(4)存在．要使以A，C，G，K为顶点的四边形是矩形，则△ACG一定是直角三角形．∵点G在对称轴上，∴设点G的坐标为(－3，g)，由勾股定理得AC2＝52＋52＝50，AG2＝(－5＋3)2＋g2＝4＋g2，CG2＝32＋(g－5)2＝g2－10g＋34，分三种情况讨论：
①若∠ACG＝90°，则AC2＋CG2＝AG2，即50＋g2－10g＋34＝4＋g2，解得g＝8，此时点G的坐标为(－3，8)；②若∠CAG＝90°，则AC2＋AG2＝CG2，即50＋4＋g2＝g2－10g＋34，解得g＝－2，此时点G的坐标为(－3，－2)；
③若∠CGA＝90°，则CG2＋AG2＝AC2，即g2－10g＋34＋4＋g2＝50，解得g1＝6，g2＝－1，此时点G的坐标为(－3，6)或(－3，－1)；综上所述，存在满足题意的点G，点G的坐标为(－3，8)或(－3，－2)或(－3，6)或(－3，－1)；
(5)如图⑤，设Q是抛物线上一点，点R是坐标平面内一点，是否存在四边形AQCR是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【思维引导】由四边形AQCR是菱形可确定AC是对角线，则Q、R均在AC的垂直平分线上，联立方程求解即可．
(5)存在．如解图，过点O作OI⊥AC于点I，
类型五　与三角形相似有关的问题
探究一：P是线段AC上一点，找出点P，使得以A、O、P为顶点的三角形与△ABC相似；
解：①若△AOP∽△ABC时，在图①中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹).
②若△APO∽△ABC时，在图②中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹)
探究二： 若D为对称轴与x轴的交点，P是对称轴上的点，画出满足条件的点P，使得以O、D、P为顶点的三角形与△OBC相似.
满足条件的点P如解图③所示
【方法总结】二次函数中相似三角形的存在性一般要分情况讨论：以探究一为例，已知∠A公用，故需分∠AOP＝∠ABC和____________两种情况．解决此类问题通常利用相似三角形的性质，列出线段比例关系，求解即可．
(1)如图①，点P在x轴上，连接CP，若△AOC∽△ACP，求点P的坐标；
【思维引导】设出点P的横坐标，利用相似关系列方程即可．
如解图①，设点P(p，0)，∴PA＝|p＋2|.
(2)如图②，已知x轴上一动点Q(m，0)，连接BQ，若△ABQ与△AOC相似，求m的值；
【思维引导】分两种情况：①△AOC∽△AQB；②△AOC∽△ABQ，再利用三角形相似的性质即可求解．
(2)如解图②，分两种情况讨论，
①当△AOC∽△AQB时，过点B作BQ1⊥x轴于点Q1，∴BQ1∥CO，∴△AOC∽△AQ1B，此时点Q1的坐标为(4，0)，即m的值为4；②当△AOC∽△ABQ时，过点B作BQ2⊥AB，交x轴于点Q2，∵∠CAO＝∠Q2AB，∠AOC＝∠ABQ2＝90°，∴△AOC∽△ABQ2，
(3)如图③，设抛物线的对称轴与BC相交于点Q，点P是抛物线对称轴上的动点，且点P不与点Q重合，是否存在点P，使得以P、B、Q为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【思维引导】由已知条件可知△AOC是直角三角形，且点P在点Q上方，∴∠ACO＝∠BQP，∴只需要在△BPQ中确定一个直角即可．分情况考虑：①∠BPQ＝90°；②∠QBP＝90°，再分别求解．