四川省绵阳市2024届九年级下学期中考一诊数学试卷(含解析)

这是一份四川省绵阳市2024届九年级下学期中考一诊数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）在下列实数，3π，3.14，，，中，无理数的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
答案：C
解答：解：是分数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
3.14是小数，属于有理数；
3π，属于无理数．
故选：C．
2．（3分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱B．五棱柱C．长方体D．五棱锥
答案：B
解答：解：由几何体的左视图和俯视图都是长方形，故该几何体是柱体，又因为主视图是五边形，故该几何体是五棱柱．
故选：B．
3．（3分）经历百年风雨，中国共产党从小到大、由弱到强，从建党时50多名党员，发展成为今天已经拥有超过9800万党员的世界第一大政党.9800万用科学记数法表示为（ ）
A．9.8×108B．9.8×107C．9.8×106D．9.8×103
答案：B
解答：解：9800万＝98000000＝9.8×107，
故选：B．
4．（3分）如果a＝﹣3﹣2，b＝，c＝，那么a，b，c三数的大小为（ ）
A．a＜c＜bB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜c＜a
答案：A
解答：解：a＝﹣3﹣2＝﹣，
b＝＝9；
c＝＝1，
∵﹣＜1＜9，
∴a＜c＜b，
故选：A．
5．（3分）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（ ）
A．（2，4）B．（4，2）C．（6，4）D．（5，4）
答案：C
解答：解：∵△ABC与△A′B′C′位似，△A′B′C′与△ABC的相似比为2：1，
∴△ABC与△A′B′C′位似比为1：2，
∵点C的坐标为（3，2），
∴点C′的坐标为（3×2，2×2），即（6，4），
故选：C．
6．（3分）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440
B．（16﹣x）（200+80x）＝1440
C．（16﹣x﹣10）（200+80）＝1440
D．（16﹣x）（200+80）＝1440
答案：A
解答：解：设每袋粽子售价降低x元，每天的利润为1440元．
根据题意，得（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440，
故选：A．
7．（3分）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（ ）
A．（30+5）π m2B．40π m2
C．（30+5）π m2D．55π m2
答案：A
解答：解：设底面圆的半径为R，
则πR2＝25π，解得R＝5（m），
圆锥的母线长＝＝（m），
所以圆锥的侧面积＝•2π•5•＝5π（m2）；
圆柱的侧面积＝2π•5•3＝30π（m2），
所以需要毛毡的面积＝（30π+5π）m2．
故选：A．
8．（3分）（非课改）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足+＝﹣1，则m的值是（ ）
A．3B．1C．3或﹣1D．﹣3或1
答案：A
解答：解：根据条件知：
α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2，
∴＝﹣1，
即m2﹣2m﹣3＝0，
所以，得，
解得m＝3．
故选：A．
9．（3分）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3B．m＜3C．m＞3且m≠6D．m≥3且m≠6
答案：D
解答：解：方程两边都乘x﹣3，
得2x﹣m＝x﹣3，
解得x＝m﹣3，
∴m﹣3≥0且m﹣3﹣3≠0，
解得m≥3且m≠6，
故选：D．
10．（3分）如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（ ）
A．（，）B．（2，2）C．（，2）D．（2，）
答案：C
解答：解：∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，
∴4＝a×（﹣2）2，
解得：a＝1
∴解析式为y＝x2，
∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4），
∴OB＝OD＝2，
∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，
∴CD∥x轴，
∴点D和点P的纵坐标均为2，
∴令y＝2，得2＝x2，
解得：x＝±，
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为：（，2）
故选：C．
11．（3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，如果⊙O的半径为2，则点O到BE的距离OM＝（ ）
A．B．C．1D．
答案：A
解答：解：连接OD，OA，OB，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠AOD＝×360°＝90°，
在△AOD中，由勾股定理得：AD＝＝4，
∴CD＝AD＝BC＝4，
∵E是CD中点，
∴DE＝CE＝2，
在△BCE中由勾股定理得：BE＝，
由相交弦定理得：CE×DE＝BE×EF，
即2×2＝2EF，
∴EF＝，
∴BF＝+＝，
∵OM⊥BF，OM过圆心O，
∴BM＝FM＝BF＝，
在△BOM中，由勾股定理得：OB2＝OM2+BM2，＝OM2+，
解得：OM＝，
故选：A．
12．（3分）如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在BC边上（与B，C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q．连接BE．给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：3；③∠FBE＝45°；④AD2＝FQ•AC；⑤BD2+CG2＝2AB2．其中，正确的结论有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
答案：B
解答：解：∵FG⊥CA，交CA的延长线于点G，
∴∠G＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠C＝∠G，
∵四边形ADEF为正方形，
∴AD＝FA，∠DAF＝90°，
∴∠ADC＝∠FAG＝90°﹣∠DAC，
∴△ADC≌△FAG（AAS），
∴AC＝FG，
故①正确；
∵∠C+∠G＝180°，
∴CB∥GF，
∵CB＝CA，CA＝GF，
∴CB＝GF，
∴四边形CBFG是平行四边形，
∵∠C＝90°，
∴四边形CBFG是矩形，
∴S△FAB＝BF•BC，S四边形CBFG＝BF•BC，
∴S△FAB：S四边形CBFG＝1：2≠1：3，
故②错误；
作EH⊥CB交CB的延长线于点H，则∠H＝∠C＝∠ADE＝90°，
∴∠HDE＝∠CAD＝90°﹣∠ADC，
∵DE＝AD，
∴△DEH≌△ADC（AAS），
∴HD＝CA＝CB，HE＝CD，
∴HD﹣BD＝CB﹣BD，
∴HB＝CD，
∴HE＝HB，
∴∠HBE＝∠HEB＝45°，
∵∠FBH＝∠FBC＝90°，
∴∠FBE＝∠FBH﹣∠HBE＝45°，
故③正确；
∵∠AFE＝∠GFB＝90°，
∴∠QFE＝∠AFG＝90﹣∠AFQ，
∵∠FEQ＝∠G＝90°，
∴△QFE∽△AFG，
∴＝，
∴FA•FE＝FQ•FG，
∵FA＝FE＝AD，AC＝FG，
∴AD2＝FQ•AC，
故④正确；
连接DF，则DF2＝AD2+FA2＝2AD2，
∵BF＝CG，
∴BD2+CG2＝BD2+BF2＝DF2＝2AD2≠2AB2，
故⑤错误，
故选：B．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）
13．（4分）在平面直角坐标系中，如果点P1（a，﹣3）与点P2（4，b）关于原点O对称，那么式子（a+b）2023的值为 ﹣1 ．
答案：见试题解答内容
解答：解：∵点P1（a，﹣3）与点P2（4，b）关于原点O对称，
∴a＝﹣4，b＝3，
故（a+b）2023＝（﹣4+3）2023＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．（4分）如图，直线m∥n，∠A＝50°，∠2＝30°，则∠1等于 80° ．
答案：见试题解答内容
解答：解：如图，∵∠3＝∠2+∠A，∠2＝30°，∠A＝50°，
∴∠3＝80°，
∵直线m∥n，
∴∠1＝∠3，
∵∠3＝80°，
∴∠1＝80°，
故答案为：80°
15．（4分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．若要从“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中抽取两张，则恰好抽到“立夏”、“秋分”两张邮票的概率是 ．
答案：见试题解答内容
解答：解：将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“立夏”、“秋分”两张邮票的结果有：BC，CB，共2种，
∴恰好抽到“立夏”、“秋分”两张邮票的概率为＝．
故答案为：．
16．（4分）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是 40 m（结果保留根号）
答案：见试题解答内容
解答：解：由题意可得：∠BDA＝45°，
则AB＝AD＝120m，
又∵∠CAD＝30°，
∴在Rt△ADC中，
tan∠CAD＝tan30°＝＝，
解得：CD＝40（m），
故答案为：40．
17．（4分）如图，A、B是反比例函数图象上的两点，过点A、B分别作x轴的平行线交y轴于点C、D，直线AB交y轴正半轴于点E．若点B的横坐标是4，CD＝3AC，，则A点的坐标是 （，3） ．
答案：见试题解答内容
解答：解：∵BD∥x轴，
∴∠EDB＝90°，
∵cs∠BED＝＝，
∴设DE＝3a，BE＝5a，
∴BD＝＝4a，
∵点B的横坐标为4，
∴4a＝4，则a＝1．
∴DE＝3．
设AC＝b，则CD＝3b，
∵AC∥BD，
∴．
∴EC＝b．
∴ED＝3b+b＝b．
∴b＝3，则b＝．
∴AC＝，CD＝．
设B点的纵坐标为n，
∴OD＝n，则OC＝CD+OD＝+n．
∵A（，+n），B（4，n），
∴A、B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点．
∴k＝×（+n）＝4n．
∴n＝．
∴A（，3）．
故答案为（，3）．
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝16，点E，F分别在边AD，BC上，且DE＝6，CF＝3，将矩形沿EF折叠后，点D，C分别落在D'，C′处，延长ED'交BC于点G．当A，D'，C′三点共线时，△D'GH的面积是 ．
答案：见试题解答内容
解答：解：由折叠可知，
D′E＝DE＝6，FC′＝FC＝3，∠ED′H＝∠D＝90°，
∴AE＝16﹣6＝10．
在Rt△AD′E中，
AD′＝，
∴tan∠EAD′＝．
∵AD∥BC，
∴∠EAD′＝∠D′HG．
又∵∠D′HG＝∠FHC′，
∴tan∠FHC′＝tan∠D′HG＝tan∠EAD′＝．
则，
∴C′H＝4．
∴HF＝．
在Rt△D′GH中，
tan∠D′HG＝，
令D′G＝3x，D′H＝4x，
∴GH＝．
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFG．
由折叠可知，
∠DEF＝∠GEF，
∴∠GEF＝∠EFG，
∴GE＝GF，
则3x+6＝5x+5，
解得x＝，
∴D′G＝，D′H＝2，
∴．
故答案为：．
三、解答题：（本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
19．（16分）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
答案：见试题解答内容
解答：解：（1）
＝2﹣1﹣++1﹣
＝2；
（2）
＝÷
＝•
＝
＝，
当时，原式＝＝+1．
20．（12分）为了解某校九年级学生的物理实验操作情况，随机抽查了40名学生实验操作的得分．根据获取的样本数据，制作了下面的条形统计图和扇形统计图，请根据相关信息，解答下列问题．
（1）这40个样本数据的平均数是 8.3 分，众数是 9 分，中位数是 8 分；
（2）扇形统计图中m的值为 30 ；
（3）若该校九年级共有480名学生，估计该校九年级物理实验操作得满分的学生有多少名．
答案：见试题解答内容
解答：解：（1）这40个样本数据的平均数是（分），
成绩为9分的出现次数是12次，出现次数最多，故众数为9分，
第20，21个数据分别为8分，8分，故中位数是（分），
故答案为：8.3，9，8；
（2）m%＝1﹣10%﹣15%﹣27.5%﹣17.5%＝30%，
∴m＝30，
故答案为：30；
（3）（名），
答：该校九年级物理实验操作得满分的学生约有84名．
21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出y1＜y2时，x的取值范围；
（3）在平面内存在一点P，且∠APB＝90°，请直接写出OP的最小值．
答案：见试题解答内容
解答：解：A（1，2）在反比例函数y2＝的图象上，
∴k＝1×2＝2，
∴反比例函数的解析式为y2＝，
∵B（﹣2，m）在反比例函数y2＝的图象上，
∴m＝＝﹣1，
∴B（﹣2，﹣1），
把A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y1＝ax+b得：
，
解得，
∴一次函数解析式为y1＝x+1；
（2）由函数图象可知：y1＜y2时，x＜﹣2或0＜x＜1；
（3）∵∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，
设AB的中点为Q，
当P，O，Q三点共线且O，P在AB的同侧时OP有最小值，
∵A（1，2），B（﹣2，﹣1），
∴AB＝＝3，
∴PQ＝AB＝，
∵AB的中点为Q，
∴Q（﹣，），
∴OQ＝，
∴OP＝PQ﹣OQ＝，
故OP的最小值为．
22．（12分）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．
（1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？
答案：见试题解答内容
解答：解：（1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是（x﹣40）元，
由题意可得5x+10（x﹣40）＝1100，
解得x＝100，
x﹣40＝60．
答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元；
（2）设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”（120﹣m）套，
由题意可得：，
解得85≤m＜90，
又∵m为正整数，
∴m可以取85，86，87，88，89；
∴共有5种购买方案，
方案1：购进35套甲型号“文房四宝”，85套乙型号“文房四宝”；
方案2：购进34套甲型号“文房四宝”，86套乙型号“文房四宝”；
方案3：购进33套甲型号“文房四宝”，87套乙型号“文房四宝”；
方案4：购进32套甲型号“文房四宝”，88套乙型号“文房四宝”；
方案5：购进31套甲型号“文房四宝”，89套乙型号“文房四宝”；
∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，
∴甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低，
∴最低费用是31×100+60×89＝8440（元）．
23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DB延长线上一点，且∠DEC＝∠ABC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若，AC＝2BC，求线段BC的长．
答案：见试题解答内容
解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵BC＝BC，
∴∠A＝∠D，
又∵∠DEC＝∠ABC，
∴∠D+∠DEC＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∴CD⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，CD⊥CE，
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
∵∠A＝∠D，AC＝2BC，
∴tanA＝tanD，
即＝，
∴CD＝2CE，
在Rt△CDE中，CD2+CE2＝DE2，DE＝4，
∴（2CE）2+CE2＝（4）2，
解得CE＝4，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∴∠CBE＝90°，
∴∠BCE＝∠D，
∴，
设BE＝x，BC＝2x，
∴CE＝x＝4，
∴x＝，
∴BC＝．
24．（12分）在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD位置，点D在直线AB外，连接AD，BD．
（1）如图1，求∠ADB的大小；
（2）已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD，DE∥AB．
（i）如图2，连接CD，求证：BD＝CD；
（ii）如图3，连接BE，若AC＝8，BC＝6，求tan∠ABE的值．
答案：见试题解答内容
解答：（1）解：∵M是AB的中点，
∴MA＝MB，
由旋转的性质得：MA＝MD＝MB，
∴∠MAD＝∠MDA，∠MDB＝∠MBD，
∵∠MAD+∠MDA+∠MDB+∠MBD＝180°，
∴∠ADB＝∠MDA+∠MDB＝90°，
即∠ADB的大小为90°；
（2）（i）证明：∵∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，
∵ME⊥AD，
∴ME∥BD，
∵ED∥BM，
∴四边形EMBD是平行四边形，
∴DE＝BM＝AM，
∴DE∥AM，
∴四边形EAMD是平行四边形，
∵EM⊥AD，
∴平行四边形EAMD是菱形，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴A、C、D、B四点共圆，
∵∠BCD＝∠CAD，
∴＝，
∴BD＝CD；
（ii）解：如图3，过点E作EH⊥AB于点H，
则∠EHA＝∠EHB＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝10，
∵四边形EAMD是菱形，
∴AE＝AM＝AB＝5，
∴sin∠CAB＝＝＝，
∴EH＝AE•sin∠CAB＝5×＝3，
∴AH＝＝＝4，
∴BH＝AB﹣AH＝10﹣4＝6，
∴tan∠ABE＝＝＝，
即tan∠ABE的值为．
25．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．
（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．
答案：见试题解答内容
解答：解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；
（2）设点P（m，m2﹣2m﹣3），
①当点P在第三象限时，
设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），
将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：
直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，
S△POD＝×OG（xD﹣xP）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，
②当点P在第四象限或第二象限时，
设PD交y轴于点M，
同理可得：S△POD＝×OM（xD﹣xP）＝﹣m2+m+3，
综上，S△POD＝﹣m2+m+3，
∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；
（3）∵OB＝OC＝3，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：
①当∠ACB＝∠BOQ时，
AB＝4，BC＝3，AC＝，
过点A作AH⊥BC于点H，
S△ABC＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，
则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝2，
则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，
联立①②并解得：x＝或﹣，
故点Q（，﹣2）或（﹣，2），
②∠BAC＝∠BOQ时，
tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，
则点Q（n，﹣3n），
则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，
联立①③并解得：x＝，
故点Q（，）或（，）；
综上，当△OBE与△ABC相似时，Q的坐标为：（，﹣2）或（﹣，2）或（，）或（，）．